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2018-2019学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)( ) A1+2i B12i C2+i D2i 2 (5 分)已知 UR,函数 yln(1x)的定义域为 M,集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是( ) AMNN BM(UN) CMNU DM(UN) 3 (5 分)已知命题 p:aR,且 a0,a+2,命题 q:x0R,sin x0+cos x0,则 下列判断正确的是( )

2、 Ap 是假命题 Bq 是真命题  Cp(q)是真命题 D (p)q 是真命题 4 (5 分)已知等差数列an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则an前 10 项的和为 ( ) A10 B8 C6 D8 5 (5 分)已知函数 f(x)ex+(aR) ,若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x)在 x0 处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 6 (5 分)已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 为边 CD 的中点,则( ) A B C D 7 (5 分)某工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y117x2,生 产总成本 y2(

3、万元)也是产量 x(千台)的函数;y22x3x2(x0) ,为使利润最大, 应生产( ) A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 8 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,点 N 为 B1B 的中点, 则|MN|( ) Aa Ba Ca Da 第 2 页(共 23 页) 9 (5 分)已知直线 l1:x1,l2:xy+10,点 P 为抛物线 y24x 上的任一点,则 P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值为( ) A2 B C1 D 10 (5 分)已知 f(x),g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 则 m 的取值范围是( ) A1,+) B1

4、,0) C0,+) D1,+) 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 F1,F2分别为双曲线 的左、右焦点,P 是双曲线左支上一点,M 是 PF1的中点,且 OMPF1,2|PF1|PF2|, 则双曲线的离心率为( ) A B C2 D 12 (5 分) 已知函数, g (x) x3+x2+5, 若对任意的, 都有 f(x1)g(x2)0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A (,24ln2 B (,1  C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 x1,观察下列不等式: x+

5、2; x2+3; x3+4; 按此规律,第 n 个不等式为   14 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 zx+y 的最小值为   15 (5 分)dxsinxdx   16 (5 分)若函数 f(x)ax2+xlnx 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是   第 3 页(共 23 页) 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:

6、题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,其面积为 S,且 b2+c2a2 S (1)求 A; (2)若 a5,cosB,求 c 18 (12 分)已知数列an,Sn是其前 n 项的和,且满足 3an2Sn+n(nN*) ()求证:数列an+为等比数列; ()记 TnS1+S2+Sn,求 Tn的表达式 19 (12 分)如图,五边形 ABSCD 中,四边形 ABCD 为长方形,三角形 SBC 是边长为 2 的 正三角形,将三角形 SBC 沿 BC 折起,使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上

7、()证明:平面 SAB平面 SAD; ()若 AB1,求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 20 (12 分)已知圆 M:和点,Q 是圆 M 上任意一点,线 段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P,P 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点,直线 xty+m 交 E 于 B、C 两点,直线 AB, AC 的斜率分别是 k1,k2,若 k1k29,求:m 的值;ABC 面积的最大值 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+lnx(aR) (1)讨论函数 f(x)在1,2上的单调性; (2)令函数 g(x)ex

8、1+x2+af(x) ,e2.71828是自然对数的底数,若函数 g(x) 有且只有一个零点 m,判断 m 与 e 的大小,并说明理由 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在第第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第 4 页(共 23 页) 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为( 为参数) 以 原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系 ()求圆 C 的普通方程及其极坐标方程;

9、()设直线 l 的极坐标方程为 sin()2,射线 OM:与圆 C 的交点为 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|x+1| ()解不等式 f(x)2; ()设函数 f(x)的最小值为 m,若 a,b 均为正数,且+m,求 a+b 的最小值  第 5 页(共 23 页) 2018-2019 学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5

10、分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)( ) A1+2i B12i C2+i D2i 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂运算性质,求出 结果 【解答】解:2i, 故选:D 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相 除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数 2 (5 分)已知 UR,函数 yln(1x)的定义域为 M,集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是( ) AMNN BM(UN) CMNU DM(UN) 【分析】分

11、别解出关于 M,N 的范围,然后判断即可 【解答】解:由 1x0,解得:x1, 故函数 yln(1x)的定义域为 M(,1) , 由 x2x0,解得:0x1, 故集合 Nx|x2x0(0,1) , MNN, 故选:A 【点评】本题考察了集合的包含关系,考察不等式问题,是一道基础题 3 (5 分)已知命题 p:aR,且 a0,a+2,命题 q:x0R,sin x0+cos x0,则 下列判断正确的是( ) Ap 是假命题 Bq 是真命题  Cp(q)是真命题 D (p)q 是真命题 第 6 页(共 23 页) 【分析】本题的关键是对命题 p:aR,且 a0,有,命题 q:xR, 的真假

12、进行判定,在利用复合命题的真假判定 【解答】解:对于命题 p:aR,且 a0,有, 利用均值不等式,显然 p 为真,故 A 错 命题 q:xR, 而 所以 q 是假命题,故 B 错 利用复合命题的真假判定, p(q)是真命题,故 C 正确 (p)q 是假命题,故 D 错误 故选:C 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题 的简单命题的真假,再根据真值表进行判断 4 (5 分)已知等差数列an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则an前 10 项的和为 ( ) A10 B8 C6 D8 【分析】设公差 d2,运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式

13、和求和公式,计算 可得所求和 【解答】解:等差数列an的公差 d 为 2,若 a1,a3,a4成等比数列, 可得 a32a1a4, 即有(a1+4)2a1(a1+6) , 解得 a18, 则an前 10 项的和为810+109210 故选:A 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,等比中项的定义,考查方程思想和 运算能力,属于基础题 5 (5 分)已知函数 f(x)ex+(aR) ,若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x)在 x0 第 7 页(共 23 页) 处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 【分析】利用函数是奇函数,求出 a,求出函数的导数,得到切线的斜率,切

14、点坐标,然 后求解切线方程 【解答】解:由题意,因为函数 f(x)ex+(aR)为奇函数,则 f(0)e0+ 0,解得 a1, 即 f(x)ex,则 f(x)ex+,所以 f(0)e0+2,即 k2, 且当 x0 时,f(0)e00,即切点的坐标为(0,0) , 所以切线的方程为 y2x, 故选:C 【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力  6 (5 分)已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 为边 CD 的中点,则( ) A B C D 【分析】作出图形,利用向量加法的平行四边形法则,容易得解 【解答】解:如图, , , 故选:A 【点评】

15、此题考查了向量的加法法则,属容易题 7 (5 分)某工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y117x2,生 第 8 页(共 23 页) 产总成本 y2(万元)也是产量 x(千台)的函数;y22x3x2(x0) ,为使利润最大, 应生产( ) A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 【分析】根据利润收入成本可得 yy1y2,求出 y讨论其大于小于 0 得到函数的 最大值 【解答】解:利润 yy1y218x22x3,y6x2+36x, 解 y0 得 0x6;解 y0 得 x6; 当 x6 时,y 取得最大值 故选:A 【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能

16、力 8 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,点 N 为 B1B 的中点, 则|MN|( ) Aa Ba Ca Da 【分析】以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,确定向量、 的坐标,可得的坐标,从而可得|MN| 【解答】解:以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0, 0) ,B(a,0,0) ,B1(a,0,a) ,C1(a,a,a) (a,a,a) , 点 N 为 B1B 的中点, (a,0,) |MN|a 故选:A 【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,确定向量的坐标是关键 9 (

17、5 分)已知直线 l1:x1,l2:xy+10,点 P 为抛物线 y24x 上的任一点,则 P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值为( ) 第 9 页(共 23 页) A2 B C1 D 【分析】过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N设抛物线的焦点为 F,由 抛物线的定义可得|PM|PF|,求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|,当三点 N,P,F 共线时, |PN|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可 【解答】解:过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0) ,l2:x+10 是抛物线 y24x

18、的准线方程 由抛物线的定义可得|PM|PF|, |PM|+|PN|PN|+|PF|,当三点 N,P,F 共线时,|PN|+|PF|取得最小值 故小值为点 F 到其最到直线 l2的距离,|FN|, 故选:B 【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式,考查转 化思想的应用,属于中档题 10 (5 分)已知 f(x),g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 则 m 的取值范围是( ) A1,+) B1,0) C0,+) D1,+) 【分析】由题意可得 g(x)0,即 f(x)xm 有两个不等实根,即有函数 yf(x) 和直线 yxm 有两个交点,作出 yf(

19、x)的图象和直线 yxm,平移直线即可 得到所求范围 【解答】解:g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 可得 g(x)0,即 f(x)xm 有两个不等实根, 即有函数 yf(x)和直线 yxm 有两个交点, 作出 yf(x)的图象和直线 yxm, 当m1,即 m1 时,yf(x)和 yxm 有两个交点, 故选:A 第 10 页(共 23 页) 【点评】本题考查函数的零点个数问题解法,注意运用转化思想和数形结合思想,考查 指数函数、对数函数的图象和运用,属于中档题 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 F1,F2分别为双曲线 的左、右焦点,P 是双曲线左支上一点,M

20、是 PF1的中点,且 OMPF1,2|PF1|PF2|, 则双曲线的离心率为( ) A B C2 D 【分析】运用双曲线的定义和PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|PF2|2,|F1F2|2 ,由 离心率公式,计算即可得到离心率的范围 【解答】解:P 为双曲线左支上的一点, 则由双曲线的定义可得,|PF2|PF1|2a, 由|PF2|2|PF1|,则|PF2|4a,|PF1|2a, M 是 PF1的中点,且 OMPF1 由PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|PF2|2,|F1F2|2 5a2c2 即有 e 故选:B 第 11 页(共 23 页) 【点评】本题考查双曲线的定义和性质,

21、考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础 题 12 (5 分) 已知函数, g (x) x3+x2+5, 若对任意的, 都有 f(x1)g(x2)0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A (,24ln2 B (,1  C D 【分析】根据不等式恒成立,利用参数分类法进行转化为 axx2lnx 在x2 上恒成 立,构造函数 h(x)xx2lnx,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系求出 函数的最值即可 【解答】解:函数 g(x)的导数 g(x)3x2+2xx(3x2) , 函数 g(x)在,上递增,则,2上递减, g(),g(2)1, 若对任意的 x1,x2,2,都有 f(

22、x1)g(x2)0 成立, 即当x2 时,f(x)1 恒成立, 即+xlnx1 恒成立, 即 axx2lnx 在x2 上恒成立, 令 h(x)xx2lnx,则 h(x)12xlnxx,h(x)32lnx, 当在x2 时,h(x)32lnx0, 即 h(x)12xlnxx 在x2 上单调递减, 由于 h(1)0, 第 12 页(共 23 页) 当x1 时,h(x)0, 当 1x2 时,h(x)0, h(x)在,1)递增,在(1,2递减, 由 h()+ln2h(2)24ln2, 故 h(x)minh(2)24ln2, a24ln2 故选:A 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,构造函数利用参数分

23、离法结合函数单调性和 导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 x1,观察下列不等式: x+2; x2+3; x3+4; 按此规律,第 n 个不等式为 xn+n+1 【分析】由归纳推理易得:xn+n+1 【解答】解:由 x+2; x2+3; x3+4; 按此规律,第 n 个不等式为:xn+n+1, 故答案为:xn+n+1 【点评】本题考查了归纳推理,属简单题 第 13 页(共 23 页) 14 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 zx+y 的最小值为 2

24、【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数 zx+y 对应的直线进行平 移,可得当 x1,y1 时,目标函数 z 取得最小值,从而得到本题答案 【解答】解:作出 x,y 满足约束条件表示的平面区域, 得到如图的区域,其中 A(1,1) , 设 zF(x,y)x+y,将直线 l:zx+y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最小值 z最小值F(1,1)1+12 故答案为:2 【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数 zx+y 的最小值,着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题 15 (5 分)dxsinxdx 【分析】由定积分的

25、几何意义求得dx,直接求定积分得到sinxdx,则答 案可求 【解答】解:求dxsinxdx 由定积分的几何意义可知,dx 是以原点为圆心,以 1 为半径的四分之一圆的 面积,等于 第 14 页(共 23 页) sinxdx dxsinxdx 故答案为: 【点评】本题考查了定积分,考查了定积分的几何意义,是基础的计算题 16 (5 分)若函数 f(x)ax2+xlnx 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是  【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后,既可以采用不完全分离 参数法数形结合求解(如法 1) , 也可以采用常规的完全分离参数法,数形结合求解(如法 2) ,相

26、比较而言,法 2 更容易 理解 【解答】解:法 1:函数 f(x)ax2+xlnx 有两个极值点,即导函数 f'(x)2ax+lnx+1 在(0,+)上有两个变号零点, 即方程 lnx2ax1 有两个不同正实数根, 即函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不 同的交点,作出图象如右图; 设恒过定点的函数 y2ax1 与函数 ylnx 相切于点(x0,y0) , 则有, 解得 x01,y00,即切点为(1,0) ,此时直线的斜率为 k1, 由图象可知,要使函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不同的交点, 则 02a1,即 a(,0) , 法 2:转化为导函数 f'(x)

27、2ax+lnx+1 在(0,+)上有两个变号零点, 第 15 页(共 23 页) 分离参数得到,方程2a在(0,+)上有两个不同的实根, 令 g(x),定义域为 x0,g(x), 则 x(0,1)时,g'(x)0,函数 g(x)单调递增, x(1,+)时,g'(x)0,函数 g(x)单调递减, 故 g(x)maxg(1)1,/br 作出函数 yg(x)和 y2a 的图象于同一个坐标系中, 则得到 02a1,即 a(,0) , 故答案为: (,0) 【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化,需要我们对相关的知识要很清 楚,另外需要了解常见的分离参数法的不同类型 三、解答题

28、:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,其面积为 S,且 b2+c2a2 S (1)求 A; (2)若 a5,cosB,求 c 【分析】 (1)已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简,整理求出 tanA 的值,即可 确定出 A 的度数; (2)由 co

29、sB 的值求出 sinB 的值,进而求出 sinC 的值,由 a,sinA,sinC 的值,利用正 弦定理即可求出 c 的值 【解答】解: (1)b2+c2a22bccosA,SbcsinA, 第 16 页(共 23 页) 代入已知等式得:2bcosAbcsinA, 整理得:tanA, A 是三角形内角, A60; (2)B 为三角形内角,cosB, sinB, sinCsin(B+A)sin(B+60)sinB+cosB, a5,sinA,sinC, 由正弦定理得:c3+4 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解 本题的关键 18 (12 分)已知数列a

30、n,Sn是其前 n 项的和,且满足 3an2Sn+n(nN*) ()求证:数列an+为等比数列; ()记 TnS1+S2+Sn,求 Tn的表达式 【分析】 ()由 3an2Sn+n,类比可得 3an12Sn1+n1(n2) ,两式相减,整理即 证得数列an+是以为首项,3 为公比的等比数列; ()由()得 an+3nan(3n1) ,Sn,分组求和,利用 等比数列与等差数列的求和公式,即可求得 Tn的表达式 【解答】 ()证明:3an2Sn+n, 3an12Sn1+n1(n2) , 两式相减得:3(anan1)2an+1(n2) , an3an1+1(n2) , an+3(an1+) ,又 a

31、1+, 数列an+是以为首项,3 为公比的等比数列; ()解:由()得 an+3n 1 3n, 第 17 页(共 23 页) an3n(3n1) , Sn(3+32+3n)n(n), TnS1+S2+Sn(32+33+3n+3n+1)(1+2+n) 【点评】本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,突出考查分组求和,熟练应 用等比数列与等差数列的求和公式是关键,属于难题 19 (12 分)如图,五边形 ABSCD 中,四边形 ABCD 为长方形,三角形 SBC 是边长为 2 的 正三角形,将三角形 SBC 沿 BC 折起,使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上 ()证明:平面 S

32、AB平面 SAD; ()若 AB1,求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 【分析】 ()作 SOAD,则 SO平面 ABCD,SOAB,再由 ABAD,得 AB平面 SAD由此能证明平面 SAB平面 SAD ()连结 BO,CO,以 OA,OE,OS 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法 能求出平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明: ()如图,作 SOAD,垂足为 O,依题意得 SO平面 ABCD,SO AB 又 ABAD,SOADO,AB平面 SAD 又AB平面 SAB,平面 SAB平面 SAD (5 分) 解: ()连结 BO,CO,

33、SBSC,RtSOBRtSOC, BOCO,又四边形 ABCD 为长方形,RtAOBRtDOC,OAOD 取 BC 中点 E,得 OEAB,连结 SE,SE, 其中 OE1,OAOD1,OS 由以上证明可知 OS,OE,AD 互相垂直, 第 18 页(共 23 页) 以 OA,OE,OS 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 (0,1,0) ,(1,1,) ,(2,0,0) , 设 (x,y,z)是平面 SCD 的法向量, 则,令 z1,得 (,0,1) 设 (x,y,z)是平面 SBC 的法向量, 则有,令 z1 得 (0,1) 则平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值为: |c

34、os , | (12 分) 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知圆 M:和点,Q 是圆 M 上任意一点,线 段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P,P 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点,直线 xty+m 交 E 于 B、C 两点,直线 AB, AC 的斜率分别是 k1,k2,若 k1k29,求:m 的值;ABC 面积的最大值 【分析】 (1)利用定义求出椭圆的方程 (2)利用圆柱曲线和直线的位置关系,建立

35、方程组,进一步利用一元二次方程根和系数 的关系求出 m 的值最后求出三角形面积的最大值 【解答】解: (1)圆 M:的圆心为,半径为, 第 19 页(共 23 页) 点 N在圆 M 内, 所以曲线 E 是 M,N 为焦点,长轴长为的椭圆, 由, 得 b2321, 所以曲线 E 的方程为 (2)设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 则:C:xty+m, 联立方程组, 得(1+3t2)y2+6mty+3m230, 由0,解得 t21, , 由 k1k29 知 y1y29(x11) (x21) , 9(ty1+m1) (ty2+m1) , , 且 m1,代入化简得(9t21) (m+1)18

36、mt2+3(m1) (1+3t2)0, 解得 m2, , (当且仅当时取等号) 综上,ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查的知识要点:椭圆的方程的求法及应用,直线和圆锥曲线的位置关系 的应用一元二次方程根和系数的关系的应用 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+lnx(aR) (1)讨论函数 f(x)在1,2上的单调性; 第 20 页(共 23 页) (2)令函数 g(x)ex 1+x2+af(x) ,e2.71828是自然对数的底数,若函数 g(x) 有且只有一个零点 m,判断 m 与 e 的大小,并说明理由 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调

37、区间即可; (2)根据函数的单调性求出 g(x)在(0,+)上有唯一零点 x1,由已知函数 g(x) 有且只有 1 个零点 m,则 mx1,得(2m)em 1lnm+ 0,令 p(x)(2x) ex 1lnx+ (x0) ,故 p(m)0,求出 m 的范围即可 【解答】解: (1)由已知 x0,且 f(x), 当a280 时,即当2a2时,f(x)0, 则函数 f(x)在1,2递增, 当a280 即 a2或 a2时,2x2+ax+10 有 2 个根, x,x0,x, 1,当1 时,令 f(1)3+a0,解得:a3, 故3a2或 a2时,函数 f(x)在1,2递增, 2当 12 时,令 f(1)

38、3+a0,f(2)+a0, 解得:a3, 故当a3 时,函数 f(x)在1,)递减,在,2递增,  3当2 时,令 f(2)+a0,解得:a, 故 a时,函数 f(x)在1,2递减; (2)函数 g(x)ex 1+x2+af(x)ex1lnxax+a, 则 g(x)ex 1 ah(x) , 则 h(x)ex 1+ 0,g(x)在(0,+)递增, 当 x0,g(x)+,x+,g(x)+,故 g(x)R, 第 21 页(共 23 页) 故 g(x)在(0,+)上有唯一零点 x1, 当 x(0,x1) ,g(x)0,x(x1,+) ,g(x)0, 故 g(x1)为 g(x)的最小值, 由已

39、知函数 g(x)有且只有 1 个零点 m,则 mx1, 故 g(m)0,g(m)0,则, 则 em 1lnm(em1 )m+(em 1 )0, 得(2m)em 1lnm+ 0, 令 p(x)(2x)ex 1lnx+ (x0) ,故 p(m)0, 则 p(x)(1x) (ex 1+ ) , 故 x(0,1) ,p(x)0,x(1,+) ,p(x)0, 故 p(x)在(1,+)递减, p(1)10,p(e)(2e)ee 11+ (2e)ee 1 0, 故 p(x)在(1,e)上有 1 个零点,在(e,+)无零点, 故 me 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,

40、转 化思想,是一道综合题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为( 为参数) 以 原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系 ()求圆 C 的普通方程及其极坐标方程; ()设直线 l 的极坐标方程为 sin()2,射线 OM:与圆 C 的交点为 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 【分析】

41、()先将圆的参数方程消去参数得到普通方程,再由普通方程根据 xcos , ysin 变换即可得出圆的极坐标方程; ()由题意线段 PQ 的长|PQ|PQ|,故联立对应方程求出极径,直接代入公式即 第 22 页(共 23 页) 可求出线段的长度 【解答】 ()圆 C 的参数方程为( 为参数) , 消去参数 得普通方程为:x2+(y1)21 又 xcos ,ysin , (cos )2+(sin 1)21,化简得圆 C 的极坐标方程为:2sin ()射线 OM:与圆 C 的交点为 P 把 代入圆的极坐标方程可得:P2sin1 又射线 OM:与直线 l 的交点为 Q, 把 代入直线 l 的极坐标方程

42、可得:sin2 Q2 线段 PQ 的长|PQ|PQ|1 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程普通方程的互化,以及利用极坐标方程求线段 的长度,属于参数方程与极坐标方程的综合题,熟练掌握三种方程及它们间转化的规律 是解答的关键 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|x+1| ()解不等式 f(x)2; ()设函数 f(x)的最小值为 m,若 a,b 均为正数,且+m,求 a+b 的最小值  【分析】 ()通过讨论 x 的范围,求出各个区间上的 x 的范围,取并集即可; ()求出 m 的值,根据基本不等式的性质求出 a+b 的最小值即可 【解答】解: ()f(x), 或 或, 1x1, 不等式解集为1,1(5 分) ()|x1|+|x+1|(x1)(x+1)|2, m2, 第 23 页(共 23 页) 又+2,a0,b0, +1, a+b(a+b) (+)+2, 当且仅当即时取等号, (a+b)min,(10 分) 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质以及转化思想,是一 道常规题