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2019年中考数学函数考点全突破专题03 一次函数的应用

1、 1 考纲要求 命题趋势 1 能确定简单的实际问题的一次函数 解析式以及函数自变量取值范围 2 经历一次函数知识分析和解决问题 的过程,初步感受建模思想。 3 画一次函数图像时感受取值的重要 性. 一次函数是中考的重点,主要 考查一次函数的定义、图象、性质 及其实际应用,有时与方程、不等 式相结合题型以解答题为主. 一次函数的应用包括这样几大类: 1.一次函数图像的应用 2.表格信息类 3. 文字信息类方案最优问题 方法总结方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为:(1)根据题意,设定 问题中的变量;(2)建立一次函数关系式模型;(3)确定自变量的取值范围; (4)与方程或不等式(组)结合

2、解决实际问题 考点一、一次函数图像的应用 【例 1】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁 的路程是 4 千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一 阁,图中折线 OABC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题: 2 (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为_分钟,小聪返回学校的速度为 _千米/分; (2)请你求出小明离开学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分)之间的函数关系; (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 解:解:(1)15 4

3、15 (2)由图象可知,s是t的正比例函数 设所求函数的解析式为skt(k0),代入(45,4),得 445k,解得k 4 45.s 与t 的函数关系式为s 4 45t(0t45) 触类旁通一、触类旁通一、甲、 乙两车从A城出发匀速行驶至B城 在 整个行驶过程中, 甲、 乙两车离开 A 城的距离 y(km)与甲 车行驶的时间 t(h)之间的函数关系如图 314 所示 则 下列结论:A,B 两城相距 300 km;乙车比甲车晚出 发 1 h,却早到 1 h;乙车出发后 2.5 h 追上甲车;当图 314 3 甲、乙两车相距 50 km/h,t5 4或 15 4 .其中不正确的结论是 _(填序号)

4、 【解析】 由图象可知A,B两城市之间的距离为 300 km,甲行驶的时间为 5 h,而乙是 在甲出发 1 h 后出发的,且用时 3 h,即比甲早到 1 h,都正确;设甲车离开A 城的距离y与t的关系式为y甲kt,把(5,300)代入可求得k60,y甲60t,设乙 车离开A城的距离y与t的关系式为y乙mtn,把(1,0)和(4,300)代入,得 mn0, 4mn300,解得 m100, n100, y乙100t100,令y甲y乙,可得 60t100t100,解得t2.5,即甲、乙两直线 的交点横坐标为t2.5,此时乙出发时间为 1.5 h,即乙车出发 1.5 h 后追上甲车, 考点二、表格信息

5、类 【例 2】某农机租赁公司共有 50 台收割机,其中甲型 20 台、乙型 30 台,现将这 50 台联 合收割机派往 A,B 两地区收割水稻,其中 30 台派往 A 地区,20 台派往 B 地区,两地 区与该农机租赁公司商定的每天租赁价格如下表: 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A 地区 1 800 元 1 600 元 B 地区 1 600 元 1 200 元 (1)设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机,租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为 y 元,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若使农机租赁公司这 50 台收割机一天所获租金不低于 79 600 元,试写出满

6、足条件的 所有分派方案; (3)农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司 50 台收割机每天获得的租金最高,并说 4 明理由 解:(1)由于派往 A 地区的乙型收割机 x 台,则派往 B 地区的乙型收割机为(30x)台, 派往 A,B 地区的甲型收割机分别为(30x)台和(x10)台 y1 600x1 200(30x)1 800(30x)1 600(x10) 200x74 000(10x30); (3)y200x74 000 中,y 随 x 的增大而增大, 当 x30 时,y 取得最大值,此时,y2003074 00080 000(元) 答: 建议农机租赁公司将 30 台乙型收割机全部派往 A

7、地区, 20 台甲型收割机全部派往 B 地区,这样公司每天获得的租金最高,最高租金为 80 000 元 触类旁通二、触类旁通二、数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程 是:当温度达到设定温度20时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上 升到4时,制冷开始,温度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至20时,制冷再次停 止,按照以上方式循环进行 同学们记录了 44 min 内 15 个时间点冷柜中的温度 y()随时间 x(min)的变化情况,制成 下表: 时间 x/min 4 8 10 16 20 21 22 温度 y/ 20 10 8 5 4 8 12 时间 x/min

8、24 28 30 36 40 42 44 温度 y/ 20 10 8 5 4 a 20 (1)通过分析发现,冷柜中的温度 y 是时间 x 的函数 5 当 4x20 时,写出一个符合表中数据的函数表达式_y80 x _; 当 20x24 时,写出一个符合表中数据的函数表达式_y4x76_; (2)a 的值为_12_; (3)如图 315,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩余数 据对应的点,并画出当 4x44 时温度 y 随时间 x 变化的函数图象 图 315 解:(1)4(20)80,8(10)80,10(8)80, 16(5)80,20(4)80, 当 4x20 时,y8

9、0 x . (2)观察表格,可知该冷柜的工作周期为 20 min, 当 x42 时,与 x22 时的 y 值相同,a12. (3)描点、连线,画出函数图象如答图所示 6 考点三、文字信息类方案最优问题 【例 3】某商店购进甲,乙两种商品,甲的进货单价比乙的进货单价高 20 元,已知 20 个 甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价相同 (1)求甲、乙商品的进货单价; (2)若甲、乙两种商品共进货 100 件,要求两种商品的进货总价不高于 9 000 元,同时甲 商品按进价提高 10%后的价格销售,乙商品按进价提高 25%后的价格销售,两种商品全 部售完后的销售总额不低于 10 480 元

10、,问有几种进货方案? (3)在条件(2)下,并且不再考虑其他因素,若甲、乙两种商品全部售完,哪种方案利润最 大?最大利润是多少? 解:(1)设甲商品的进货单价是 m 元,乙商品的进货单价是 n 元 根据题意,得 mn20, 20m25n,解得 m100, n80. 答:甲商品的进货单价是 100 元,乙商品的进货单价是 80 元; (2)设甲商品进货 x 件,乙商品进货(100x)件 根据题意, 得 100x80(100x)9 000, 100x(110%)80(100x)(125%)10 480, 7 解得 48x50. 又x 是正整数,x 的正整数值是 48 或 49 或 50,有三种进货

11、方案:第一种:甲商 品进货 48 件,乙商品进货 52 件;第二种:甲商品进货 49 件,乙商品进货 51 件;第三 种:甲商品进货 50 件,乙商品进货 50 件; 触类旁通三、触类旁通三、江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的 美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出 售品质相同的小龙虾, “龙虾节”期间,甲、乙两家 商店都让利酬宾,付款金额 y 甲,y 乙(单位:元) 与原价 x(单位:元)之间的函数关系如图 316 所示: (1)直接写出 y 甲,y 乙关于 x 的函数关系式; (2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾能更省钱? 解:(1)设 y 甲kx,把(2 000,1

12、 600)代入, 得 2 000x1 600,解得 k0.8,则 y 甲0.8x; 当 0x2 000 时,设 y 乙ax, 把(2 000,2 000)代入,得 2 000x2 000,解得 k1,则 y 乙x; 当 x2 000 时,设 y 乙mxn, 把(2 000,2 000),(4 000,3 400)代入, 得 2 000mn2 000, 4 000mn3 400, 解得 m0.7, n600, y 乙 x(0x2 000), 0.7x600(x2 000); 图 316 8 (2)当 0x2 000 时,0.8xx,到甲商店购买更省钱;当 x2 000 时,若到甲商店购 买更省钱

13、, 则 0.8x0.7x600, 解得 x6 000, 若到乙商店购买更省钱, 则 0.8x0.7x 600,解得 x6 000;若到甲、乙两商店购买一样省钱,则 0.8x0.7x600,解得 x 6 000. 故当购买金额按原价小于6 000元时, 到甲商店购买更省钱; 当购买金额按原价大于6 000 元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于 6 000 元时,到甲、乙两商店购买 花钱一样 学校准备租用一批汽车,现有甲、乙两种大客车,甲种客车每辆载客量 45 人,乙种客 车每辆载客量 30 人已知 1 辆甲种客车和 3 辆乙种客车需租金 1 240 元,3 辆甲种客车 和 2 辆乙种客

14、车共需租金 1 760 元 (1)求 1 辆甲种客车和 1 辆乙种客车的租金分别是多少元? (2)学校计划租用甲、乙两种客车共 8 辆,送 330 名师生集体外出活动,最节省的租车费 用是多少? (2)设租用甲种客车 x 辆,则租用乙种客车(8x)辆,再设租车费用为 y 元,则 y400x 280(8x)120x2 240. 又45x30(8x)330,解得 x6. x 的取值范围是 6x8 的整数 在函数 y120x2 240 中,k1200,y 随 x 的增大而增大 当 x6 时,y 有最小值 12062 2402 960(元) 端午节前夕,在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在 500 m 的 赛道上,所划行的路程 y(m)与时间 x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是 ( D ) 9 A乙队比甲队提前 0.25 min 到达终点 B当乙队划行 110 m 时,此时落后甲队 15 m C0.5 min 后,乙队比甲队每分钟快 40 m D自 1.5 min 开始,若甲队要与乙队同时到达终点,则甲队的速度需要提高 到 255 m/min