1、 1 考点分析考点分析：分段函数的考察在实际应用题以及数形结合的填空选择题中出现 的频率还是比较高的， 常见的应用题中已知两种不同的函数关系并且求出相关的 一些问题，需要我们对初中的几个函数表达式熟悉，数形结合题目中一般会给我 们分段函数的图像，由两种或者多种函数组成的新的函数图像，我们在利用已学 的函数知识的基础上进行加以理解与运用。 常见的函数关系： 1.正比例函数关系 y=kx k0，a0 2.一次函数关系 y=kx+b 3.反比例函数关系 y= 4.二次函数关系 y=ax 2+bx+c 解题步骤方法：解题步骤方法： 1.根据题意设出相应的函数关系式。 2.根据已知的数据求出函数表达式，
2、如果遇到图像题，那么要找 到相应的函数图像上的点坐标去代入从而求出函数的解析式。 3. 如果要研究面积那就根据求解面积来列式，如果要求利润那 就列关于利润的表达式，充分利用前面小问中求出来的解析式。 4.自变量的取值一定要看清楚，不同的取值对应了不同的函数， 所以对应的函数值也不同，需要格外注意。 【例 1】某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本， 2 且不高于 80 元经市场调查，每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一 次函数关系，部分数据如下表： 售价 x(元/kg) 50 60 70 销售量 y(kg) 100 80 60 (1)求 y 与 x
3、之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W与 x之间的函数表达式(利润收入 成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元 时获得最大利润，最大利润是多少？ 【例 2】某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研 发、生产这种产品的成本为 30 元/件，且年销售量 y(万件)关于售价 x(元/件) 的函数表达式为： y 2x140（40x60）， x80（60x70）. (1)若企业销售该产品获得的年利润为 W(万元)，请直接写出年利润关于售价 x(元/件)的函数表达式； (2)当该产品的售价 x(元/件)为多少时，企
4、业销售该产品获得的年利润最大？ 最大年利润是多少？ (3)若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x(元/ 件)的取值范围 3 (3)当 40x60 时，令 W750，得 2(x50)2800750，解得 x145，x255. 由函数 W2(x50)2800 的性质可知， 当 45x55 时，W750， 当 60x70 时，W 最大值为 600750. 答：要使企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，该产品的销售价 x(元/件)的取值范 围为 45x55. 【例 3】某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在 整个销售旺季的80天里，销售单价
5、p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p 1 4t16（1t40，t为整数）， 1 2t46（41t80，t为整数）， 日销售量 y(kg)与时间第 t 天之间的函 数关系如图 331 所示 (1)求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2 400 元？ (4)在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 kg 小龙虾，就捐赠 m(m 7)元给村里的特困户在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时 间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求
6、解可得； 图 331 4 (2)设日销售利润为W，分1t40和41t80两种情况，根据“总利润每千克利润 销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断； (3)求出 W2 400 时 x 的值，结合函数图象即可得出答案； (4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由 1t40 且销售利润随时间 t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案 当 41t80 时，w 1 2t466 (2t200)(t90) 2100， 当 t41 时，W最大2 301， 2 4502 301， 第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2 450 元； (3)由(2)得当 1t40 时
7、，W1 2(t30) 22 450， 令 W2 400，即1 2(t30) 22 4502 400，解得 t 120，t240， 由函数 W1 2(t30) 22 450 的图象(如答图)可知，当 20t40 时，日销售利润不低 于 2 400 元， 第 3 题答图 而当 41t80 时，W最大2 3012 400， t 的取值范围是 20t40，共有 21 天符合条件； 5 【例 4】小慧和小聪沿图 332中景区公路游览小慧乘坐车速为 30 km/h 的 电动汽车，早上 7：00 从宾馆出发，游玩后中午 12：00 回到宾馆小聪骑车 从飞瀑出发前往宾馆，速度为 20 km/h，途中遇见小慧时
8、，小慧恰好游完一 景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆图中的图象分别表 示两人离宾馆的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系试结合图中信息回答： 图 332 (1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？ (2)试求线段 AB，GH 的交点 B 的坐标，并说明它的实际意义； (3)如果小聪到达宾馆后，立即以 30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中 他几点钟遇见小慧？ (2)设直线 GH 的函数表达式为 sktb， 6 由于点 G 的坐标为 1 2，50 ，点 H 的坐标为(3，0)， 则有 501 2kb， 03kb， 解得 k20， b60， 直线 GH 的函数表达式为 s20t
9、60， 又点 B 的纵坐标为 30， 当 s30 时，得20t6030，解得 t3 2， 点 B 的坐标为 3 2，30 . 答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相 遇； (3)方法一：设直线 DF 的函数表达式为 sk1tb1，该直线过点 D 和 F(5，0)， 由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为 50 305 3(h)， 小慧从飞瀑准备返回时 t55 3 10 3 (h)， 即点 D 的坐标为 10 3 ，50 . 则有 10 3 k1b150， 5k1b10， 解得 k130， b1150. 直线 DF 的函数表达式为 s30t150， 小聪上
10、午 10：00 到达宾馆后立即以 30 km/h 的速度返回飞瀑，所需时间为 50 305 3 (h) 如答图，HM 为小聪返回时 s 关于 t 的函数图象， 点 M 的横坐标为 35 3 14 3 ，M 14 3 ，50 ， 第 4 题答图 7 【例 5】科技有限公司用 160 万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种 市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产 品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格 x(元/件)的关系如图 333 所示，其中 AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利
11、润为 W(万 元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损， 则亏损记做下一年的成本) 图 333 (1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式 (2)求出第一年这种电子产品的年利润 W(万元)与 x(元/件)之间的函数关系 式，并求出第一年年利润的最大值 (3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 W(万元)取得最大值时进行 销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价 8 格 x(元)定在 8 元以上(x8)，当第二年的年利润不低于 103 万元时，请结合 年利润 W(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，求销售价格 x(元/
12、件)的取 值范围 (3)根据条件“第二年的年利润不低于 103 万元”，可得 W103，这是一个一元二次不 等式，观察年利润 W(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，从而得出结果 解：(1)当 4x8 时，设 yk x，将 A(4，40)代入，得 k440160. y 与 x 之间的函数关系式为 y160 x . 当 8x28 时，设 ykxb，将 B(8，20)，C(28，0)代入，得 8kb20， 28kb0. 解得 k1， b28. y 与 x 之间的函数关系式为 yx28. 综上所述，得 y 160 x （4x8）， x28（8x28）； (2)当 4x8 时，W(x4)y16
13、0(x4)160 x 160640 x . 9 (3)第一年的年利润为16 万元 16 万元应作为第二年的成本 又x8， 第二年的年利润 W(x4)(x28)16 x232x128， 令 W103，则x232x128103，解得 x111，x2 21. 在平面直角坐标系中，画出 W 与 x 的函数示意图如答图，观察示意图可知：当 W103 时，11x21. 当 11x21 时，第二年的年利润 W 不低于 103 万元 【例 6】水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次
14、降价的第 1 天算起，第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗 费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果 第 x(天)的利润为 y(元)，求 y 与 x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几 天时销售利润最大？ 时间 x(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120x 储存和损耗费 用(元) 403x 3x264x400 (3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则 第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 第 5 题答
15、图 10 解：(1)设该种水果每次降价的百分率为 x，依题意， 得 10(1x)28.1， 解得 x10.110%，x21.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10%. (2)第一次降价后的销售价格为 10(110%)9(元/斤)， 当 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352； 当 9x15 时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80， 综上所述，y 与 x 的函数关系式为 y 17.7x352（1x9，x为整数）， 3x260x80（9x15，x为整数）. 当 1x9 时，y17.7x352， 当 x1 时，y最大334.3(元)； 当 9x15 时，y3x260x803(x10)2380， 当 x10 时，y最大380(元) 334.3380， 在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元，依题意，得 380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5，解得 a0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元