1、 1 一、一、考点分析：考点分析：二次函数与圆的综合题中涉及到的知识面还是很广的，包括待定系数法， 勾股定理， 相似三角形以及圆的基本的性质特征等等， 所以对于学生的知识掌握程度要求很高。 这类题目基础问题考察解析式点坐标等问题，压轴问题考察动点相切以及长度面积的变化问 题，或者相似三角形构成问题，这类难度比较大。 二二、解决此类题目的基本步骤与思路、解决此类题目的基本步骤与思路 1.复习好二次函数与圆的基础题型，把基础内容掌握扎实 2.整理二次函数与圆问题的常见题型 3. 正确应用二次函数的性质与圆的知识解决问题 4. 合理的充分运用三角形的知识与定理 5.归纳总结自己的薄弱知识环节并巩固
2、三三、二次函数中二次函数中圆的综合圆的综合问题问题 （一）例题演示 1已知二次函数 yx2bxc1. (1)当 b1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； (2)若 c1 4b 22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切； (3)如图，若二次函数的图象与 x 轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1x2，与 y轴的正半轴交于点 M，以AB 为直径的半圆恰好经过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴，直线 BM，直线 AM 分别相交于点 D，E，F，且 满足DE EF 1 3，求二次函数的表达式 【解析】： 本题考察了二次函数的性质、二次函数的图像与 x 轴的交点、顶点坐标圆
3、周角定理，相似三角 形的判定与性质、根与系数的关系等知识，综合性很强。 【解答】 (1)二次函数的对称轴为 x b 2a， 2 a1，b1，x1 2； (2)与 x 轴相切就是与 x 轴只有一个交点，即x2bx1 4b 22b10 有相等的实数根，b2 4(1) 1 4b 22b1 0 8b40，解得 b1 2，即 b 1 2时，函数图象与 x 轴相切； 设 A(m，0)(m0)，则 B(1 m，0)，b m21 m ，对称轴为 xb 2 m21 2m ， yAM经过点 A(m，0)，M(0，1)，yAM1 mx1， yBM经过点 B(1 m，0)，M(0，1)，yBMmx1， xEm 21
4、2m ，yEm 21 2 ，DEm 21 2 ， xFm 21 2m ，yFm 21 2m2 ， DE EF 1 3， DE DF 1 4， m21 2 m21 2m2 1 4，m 21 4(m0)，解得 m 1 2， bm 21 m 3 2， yx23 2x1. 3 【试题精炼】【试题精炼】 2在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc 与M 相交于 A，B，C，D 四点，其中 A，B 两点坐标 分别为(1，0)，(0，2)，点 D 在 x 轴上且 AD 为M 的直径，E 是M 与 y 轴的另一个交点，过劣弧 ED 上的点 F 作 FHAD 于点 H，且 FH1.5. (1)求点 D 的坐标
5、及抛物线的表达式； (2)若 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由 【解答】(1)如答图，连结 MB，设M 的半径为 r. A(1，0)，B(0，2)， 在 RtOMB 中，OB2，OMr1， 由勾股定理，得 22(r1)2r2. 4 r5 2.AD5. 点 D 的坐标是(4，0) 抛物线 yax2bxc 过点 A(1，0)，B(0，2)，D(4，0)， abc0， c2， 16a4bc0， 解得 a 1 2， b3 2， c2. 抛物
6、线的表达式为 y1 2x 23 2x2； .【中考链接】【中考链接】 3如图对称轴为直线 x2 的抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐 标为(1，0) (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出 B，C 两点的坐标； (3)求过 O，B，C 三点的圆的面积(结果用含的代数式表示) 【解析】：(1)根据对称轴和 A 点坐标可以求出抛物线的表达式。(2)根据抛物线解析式容易求出 BC 两点的 5 坐标(3)抓住OBC是直角三角形，所以半径就等于斜边的一半，从而快速的求出圆面积 (3)如答图， 连结 BC，则OBC 是直角三角形， 过 O，B，C
7、三点的圆的直径是线段 BC 的长度， 在 RtOBC 中，OBOC5， BC5 2， 圆的半径为5 2 2 ，S 5 2 2 2 25 2 . 4.已知抛物线 yax2bx3(a0)与 x 轴交于 A(3，0)，B 两点，与 y 轴交于点 C.抛物线的 对称轴是直线 x1，D 为抛物线的顶点，点 E 在 y 轴 C 点的上方，且 CE 1 2. 6 (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； (2)求证：直线 DE 是ACD 外接圆的切线； (3)在直线 AC 上方的抛物线上找一点 P，使 SPAC1 2SACD，求点 P 的坐标； (4)在坐标轴上找一点 M，使以点 B，C，M 为顶点的三角
8、形与ACD 相似，直接写出点 M 的坐标 【解答】(1)把 A(3，0)代入 yax2bx3，得 09a3b3. 抛物线的对称轴为 x1. b 2a1. 解组成的方程组，得 a1，b2.抛物线的表达式为 yx22x3. yx22x3(x1)24， D 的坐标是(1，4) (2)证明：在 yx22x3 中，当 x0 时，y3.C(0，3)，OC3. A(3，0)，OA3. 在OAC 中，由勾股定理得 AC218. 如答图， 7 过点 E 作 EHCD，垂足为点 H.则 EHCHEC 2 1 2 2 2 4 . CD22，AC218， CD 2，AC3 2. DH 2 2 4 3 2 4 . 在D
9、EH 中，tanEDHEH DH 2 4 3 2 4 1 3. 在ACD 中，tanDACCD AC 2 3 2 1 3. EDHDAC. ACD90 ，DACADC90 . EDHADC90 ，即ADE90 . ADDE.DE 是ACD 外接圆的切线 (3)CD 2，AC3 2. S ACD 1 2AC CD3. 设直线 AC 的函数表达式为 ymxn. 把 A(3，0)，C(0，3)代入，得 03mn， 3n. 解得 m1，n3. 8 直线 AC 的函数表达式为 yx3. 设 P(t，t22t3)，如答图， (4) 0，1 3 ，(9，0)，(0，0) 提示：ACD 是直角三角形，ACD 与BCM 相似， BCM 是直角三角形 抛物线的对称轴是直线 x1，A(3，0)，B(1，0)，OB1. 连结 BC.OB OC 1 3， CD AC 1 3， 又ACDBOC，ACDCOB.BCM 与COB 相似 当点 B 为直角顶点时，如答图， 9 当点 C 为直角顶点时，如答图， 过点 C 作 CM2BC 交 x 轴于点 M2. 同理可求 OM29.M2(9，0) 当点 M 为直角顶点时，如答图， 10