1、 1 1.考点解析 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要 求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. 2.考点分类：考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点分析与常见题型 常考热点 三角形 三角形的性质与定理 一般考点 二次函数 结合高中二次函数的内容 冷门考点 圆 圆，曲线的新定义 【方法点拨】 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移. 一、中考题型分析一、中考题型分析 “新定义”型问题成为近
2、年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能 力。近几年命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占 8 到 12 分。 二、典例精析二、典例精析 考点一：规律题型中的新定义考点一：规律题型中的新定义 典例一：典例一：定义： a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数 如：2 的差倒数是 =-，1 的差倒数是= 已知 a1 ，a2是 a1 的差倒数，a3是 a2的差倒数， a4 是 a3的差倒数， ，依此类推，a2009 【考点】有【考点】有理数，倒数，新定义题型找规律 【解析】【解析】本题的核心是理解差倒数的概念，要根据定义去做，通过
3、计算找出差倒数的规律，同时逐一 2 分析循环的规律。 解答： a2= = a3= a4= =- 显然每三个循环一次，又因为 2009 3=669 余 2，故 a2009=a2 典例二：典例二：古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第二 个三角形数，6 是第三个三角形数，依此类推，第 100 个三角形数是_5_050_ 来源: 考点二：运算题型中的新定义考点二：运算题型中的新定义来源来源:Zxxk.Com 典例一：典例一： 对于两个不相等的实数 a、 b ， 定义一种新的运算如下， a*b= （a+b0） ， 如： 3*2= =，那么 6*
4、（5*4）= 1 【解析】【解析】本题考察了运算的新定义，结合题目给定的运算方式进行模仿去计算 【解答】【解答】6*（5*4）=6 *=6 * 3= =1 典例二：典例二：对于任意实数 m，n，定义一种运算 mnmnmn3，等式的右边是通常的加减和乘法运 算例如：353 535310.请根据上述定义解决问题：若 a2x7，且解集中有两个整数解，则 a 的取值范围是_4a5_ 【解析】【解析】 2x2x2x3x1 ax17，即 a1x6， 若解集中有两个整数解，则这两个整数解为 5，4 即 a14， a13，解得 4a5. 考点三：探索题型中的新定义考点三：探索题型中的新定义 典例一：典例一：设
5、 a，b 是任意两个实数，用 maxa，b表示 a，b 两数中较大者，例如：max1，1 1，max1，22，max4，34，参照上面的材料，解答下列问题：来源:Z+xx+k.Com 3 (1)max5，2_5_，max0，3_3_； (2)若 max3x1，x1x1，求 x 的取值范围； (3)求函数 yx22x4 与 yx2 的图象的交点坐标，函数 yx22x4 的图象如图 112 所示， 请你在图中作出函数 yx2 的图象，并根据图象直接写出 maxx2，x22x4的最小值 【解析】 (1)比较 5 和 2，0 和 3 的大小关系即可求得答案； (2)若 max3x1，x1x1，得x13
6、x1，由此可求得答案； (3)求得抛物线与直线的交点坐标，再利用新定义确定 maxx2，x22x4的最小值 典例二：典例二：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形 如图，等腰直角四边形 ABCD，ABBC，ABC90 . 若 ABCD1，ABCD，求对角线 BD 的长 若 ACBD，求证：ADCD. 4 【解析】由 ABCD，ABCD，得到四边形 ABCD 是平行四边形再根据 ABBC，ABC90 ， 判断出平行四边形 ABCD 的形状，利用勾股定理计算出 BD 的长由 ABB C，ACBD，根据等腰 三角形的三线合一性得到ABDCBD，再证明ABDCBD； ￥
7、 1. 定义一种新的运算：x*yx2y x ，如：3*132 1 3 5 3，则(2*3)*2_2_ 【解析】 根据新运算的定义，(2*3)*222 3 2 *24*242 2 4 2. 2. 如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，下列各组数据中， 能作为一个智慧三角形三边长的一组是( D ) A1，2，3 B1，1， 2 C1，1， 3 D1，2， 3 【解析】 A123，不能构成三角形故错误； B.1212( 2)2，是等腰直角三角形故错误； C.底边上的高线长是12 3 2 2 1 2，可知是顶角 120 ，底角 30 的等腰三角形故错误； 5
8、D.解直角三角形可知该三角形是三个角分别为 90 ， 60 ，30 的直角三角形，其中 90 30 3， 符合“智慧三角形”的定义 故 D 正确故选 D. 3. 我们定义：当 m，n 是正实数，且满足 mnmn 时，就称 P m，m n 为“完美点”，已知点 A(0，5)与点 B 都在直线 yxb 上，且 B 是“完美点”，若 C 也是“完美点”且 BC 2，则点 C 的坐标可以是 ( B ) A(1，2) B(2，1) C(3，4) D(2，4) 4. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个实数根， 且其中一个根为另一个根的 2 倍， 则称这样的 方程为“倍根方程”，以下关于倍
9、根方程的说法，正确的是_(写出所有正确说法的序号) 方程 x2x20 是倍根方程； 若(x2)(mxn)0 是倍根方程，则 4m25mnn20； 若点(p，q)在反比例函数 y2 x的图象上，则关于 x 的方程 px 23xq0 是倍根方程； 若方程 ax2bxc0 是倍根方程，且相异两点 M(1t，s)，N(4t，s)都在抛物线 yax2bxc 上， 则方程 ax2bxc0 的一个根为5 4. 6 5. 若抛物线 L：yax2bxc(a，b，c 是常数，abc0)与直线 l 都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“一带一路”
10、关系此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”， 抛物线 L 叫做直线 l 的“路线” ￥ (1)若直线 ymx1 与抛物线 yx22xn 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；来源: (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数 y6 x的图象上，它的“带线”l 的表达式为 y2x4，求此“路线”L 的 表达式； (3)当常数 k 满足1 2k2 时，求抛物线 L：yax 2(3k22k1)xk 的“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角 形的面积的取值范围 【解答】【解答】(1)令直线 ymx1 中 x0，则 y1，即直线与 y 轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线 y x22xn 中，得 n1. 抛物线的表达式为 yx22x1(x1)2， 抛物线的顶点坐标为(1，0) 将点(1，0)代入到直线 ymx1 中，得 0m1， 解得 m1. 7 解得 p3k 22k1 2 .来源: “带线”l 的表达式为 y3k 22k1 2 xk. 令“带线”l：y3k 22k1 2 xk 中，y0，则 03k 22k1 2 xk，解得 x 2k 3k22k1. 即“带线”l 与 x 轴的交点为 2k 3k22k1，0 ，与 y 轴的交点为(0，k) “带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积 S1 2 2k 3k22k1 |k|， 1 2k2， 1 2 1 k2， 8