1、 1 中考中考压轴题全揭秘压轴题全揭秘 专题专题 1010 四边形问题四边形问题 一、单选题一、单选题 1如图 1的矩形 ABCD中，有一点 E在 AD上，今以 BE为折线将 A点往右折，如图 2 所示，再作过 A点 且与 CD垂直的直线，交 CD于 F点，如图 3所示，若 AB=6，BC=13，BEA=60 ，则图 3中 AF的长 度为何？（ ） A2 B4 C2 D4 2在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置 图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠 ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部 分的面积为，图
2、2中阴影部分的面积为当时，的值为 A2a B2b C D 3如图，已知AOBC 的顶点 O（0，0） ，A（1，2） ，点 B 在 x 轴正半轴上按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧在AOB内交于点 F；作射线 OF，交边 AC于点 G，则点 G的坐标为（ ） A （1，2） B （，2） C （3，2） D （2，2） 4如图，在矩形 ABCD 中，ADC的平分线与 AB交于 E，点 F在 DE的延长线上，BFE=90 ，连接 AF、 CF，CF与 AB交于 G有以下结论： 2 AE
3、=BC AF=CF BF2=FGFC EGAE=BGAB 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 5如图，在矩形 ABCD 中，AD=AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延 长交CD于点 F， 连接 DE交 BF于点O， 下列结论： AED=CED； OE=OD； BH=HF； BCCF=2HE； AB=HF，其中正确的有（ ） A2 个 B3个 C4个 D5 个 6已知AOB=45，求作AOP=22.5，作法： （1）以 O 为圆心，任意长为半径画弧分别交 OA，OB 于点 N，M； （2）分别以 N，M 为圆心，以 OM 长为半径在角的内部画
4、弧交于点 P； （3）作射线 OP，则 OP 为AOB 的平分线，可得AOP=22.5 根据以上作法，某同学有以下 3 种证明思路： 可证明OPNOPM，得POA=POB，可得； 可证明四边形 OMPN 为菱形，OP，MN 互相垂直平分，得POA=POB，可得； 可证明PMN 为等边三角形，OP，MN 互相垂直平分，从而得POA=POB，可得 你认为该同学以上 3 种证明思路中，正确的有（ ） 3 A B C D 7如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC，EG 剪开，拼成如图 2 所示的ALMN， 若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且ALMN
5、的面积为 50，则正方形 EFGH 的面积为（ ） A24 B25 C26 D27 8如图，在矩形 ABCD中，E是 AB边的中点，沿 EC对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC， 连结 AP 并延长 AP 交 CD于 F点，连结 CP 并延长 CP 交 AD于 Q点给出以下结论： 四边形 AECF为平行四边形； PBA=APQ； FPC 为等腰三角形； APBEPC 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 9如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，垂足为 E，BFAC 交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分 ABF，AE=2BF给出下列四个结论：D
6、E=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正确的结论 4 共有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EGBC，将矩形折叠，使点 C 与点 O 重合， 折痕 MN 恰好过点 G 若 AB=，EF=2，H=120，则 DN 的长为（ ） A B C D 11如图，在正方形 ABCD中，AB=9，点 E 在 CD边上，且 DE=2CE，点 P是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD的最小值是（ ） A B C9 D 12如图，正方形 ABCD的边长为 1，以对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线
7、 AE为边作第 三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为（ ） 5 A （）n1 B2n1 C （）n D2n 13如图，ABC的周长为 19，点 D，E在边 BC上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，ACB的平 分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN的长度为（ ） A B2 C D3 14如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD，分别交 BC、BD 于点 E、P， 连接 OE，ADC=60 ，AB= BC=1，则下列结论： CAD=30 BD=S平行四边形ABCD=ABACOE= ADSAPO=，正确的个数是（ ）
8、 A2 B3 C4 D5 15如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB、AC 于点 M，N， 分别以 M，N为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH并延长交 BC 于点 E，再分 别以 A、E为圆心，以大于 AE长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB 于点 F， G， L， 交 CB的延长线于点 K， 连接 GE， 下列结论： LKB=22.5 ， GEAB， tanCGF=， SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（ ） 6 A B C D 二、填空题二、填空题 16 如图， 在AB
9、C 中， AD， CD 分别平分BAC和ACB， AECD， CEAD 若从三个条件： AB=AC； AB=BC；AC=BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是_（填序号） 17如图，CE 是ABCD的边 AB的垂直平分线，垂足为点 O，CE与 DA 的延长线交于点 E连接 AC，BE， DO，DO与 AC交于点 F，则下列结论： 四边形 ACBE 是菱形； ACDBAE； AF：BE2：3； S四边形AFOE：SCOD2：3 其中正确的结论有_ （填写所有正确结论的序号） 18如图，在菱形 ABCD 中，ABC=120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处
10、（不与 B、D 重合） ，折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，则 BE 的长为_ 7 19如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角形顶点 E，F 分别在边 AB，BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，则的值是_ 20如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接 AC，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径作弧， 两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 CD于点 E，连接 AE，则AED的周长是_ 21如图， ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD，过点 O 作 OMAC，交 AD 于点 M如果CDM 的周长为 8，那么 ABCD 的周
11、长是_ 22如图，点 E、F、G 分别在菱形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AE= AB，CF= CB，AG= AD已知EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于_ 23如图，M、N是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足，连接 AC交 BN于点 E，连接 DE 交 AM于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF的最小值是_ 8 24如图，在正方形 ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交 AD于点 E、F，连接 BD、 DP，BD与 CF 相交于点 H给出下列结论： ABEDCF；DP2=PHPB； 其中正确的是_ （写出所有正确结论
12、的序号） 25如图，正方形 ABCD的边长为 12，点 E 在边 AB上，BE=8，过点 E 作 EFBC，分别交 BD、CD于 G、 F两点若点 P、Q分别为 DG、CE的中点，则 PQ的长为_ 26如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB，CBE 由DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点 M 位置变化，使得DHC=60时，2BE=DM； 无论点 M 运动到何处，都有 DM=HM；无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论 的序号为_ 27如图，在矩形 ABCD中，点 E 是 CD的中
13、点，将BCE沿 BE 折叠后得到BEF、且点 F在矩形 ABCD 9 的内部，将 BF延长交 AD于点 G若，则=_ 28如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A 关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于点 D，连接 AC，AD，有下列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形 OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为a2； 其中正确的是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 29如图，在平行四边形 ABCD 中，对角
14、线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点，连接 EF，CEF=45 ，EMBC 于点 M，EM交 BD于点 N，FN=，则线段 BC的长为_ 30如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BCAB，BD=8给出以下判断： AC 垂直平分 BD； 四边形 ABCD 的面积 S=ACBD； 顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形； 当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为； 将ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BFCD 时，点 F 到直线 A
15、B 10 的距离为 其中正确的是_ （写出所有正确判断的序号） 三、解答题三、解答题 31如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，ADB=30P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 ABBC 运 动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过 点 P 作 PNAD，垂足为点 N连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作PQMN设运动的时间为 x（s） ，PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm 2） （1）当 PQAB 时，x 等于多少； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并
16、写出 x 的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值 32如图 1在ABC 中，矩形 EFGH的一边 EF在 AB上，顶点 G、H分别在 BC、AC上，CD是边 AB上 的高，CD交 GH 于点 I若 CI4，HI3，AD矩形 DFGI恰好为正方形 11 （1）求正方形 DFGI 的边长； （2）如图 2，延长 AB至 P使得 ACCP，将矩形 EFGH 沿 BP的方向向右平移，当点 G刚好落在 CP上 时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ （3） 如图 3， 连接 DG， 将正方形 DFGI绕点 D顺
17、时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI， 正方形 DFGI 分别与线段 DG、DB相交于点 M、N，求MNG的周长 33如图 1，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，以点 E 直角顶点的直角三角形 EFG 的两边 EF，EG 分别过点 B， C，F30. （1）求证：BECE （2）将EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动.若 EF，EG 分别与 AB，BC 相交 于点 M，N.（如图 2） 求证：BEMCEN； 若 AB2，求BMN 面积的最大值； 当旋转停止时，点 B 恰好在 FG 上（如图 3） ，求 sinEBG 的值. 34（1） 如图 1
18、， 将矩形 ABCD 折叠， 使 BC落在对角线 BD 上， 折痕为 BE， 点 C落在点 C处， 若ADB=46 ， 12 则DBE的度数为 （2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9 （画一画） 如图 2，点 E在这张矩形纸片的边 AD上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设为 MN（点 M， N 分别在边 AD，BC上） ，利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段 描清楚） ； （算一算） 如图 3，点 F在这张矩形纸片的边 BC上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD上，折痕为 GF，点 A，B分别 落在点 A，B处，若
19、AG= ，求 BD 的长； （验一验） 如图 4，点 K在这张矩形纸片的边 AD上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK所在直线上，折痕为 HI， 点 A，B分别落在点 A，B处，小明认为 BI所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说明理由 35已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC点 E 为 CD边上一点，AE与 BE分别为DAB 和CBA 的平分线 13 （1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB于点 O，并以 AB 为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） ； （3）在（2
20、）的条件下，O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sinAGF= ，求O的 半径 36综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也 伴随着我们初中数学的学习 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借 助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数 学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论 实践操作 如图 1， 将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折， 使点 B落在矩形 ABCD所在
21、平面内， BC 和 AD相交于点 E， 连接 BD 解决问题 (1)在图 1 中， BD和 AC 的位置关系为 ； 将AEC 剪下后展开，得到的图形是 ； (2)若图 1 中的矩形变为平行四边形时(ABBC)，如图 2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选 其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对 称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ； 拓展应用 14 (4)在图 2 中，若B=30 ，AB=4，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 37如图（1） ，已知点 G在正方形 AB
22、CD的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF绕点 C顺时针方向旋转 角（0 45 ） ，如图（2）所示，试探究线段 AG与 BE 之间的 数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形 CEGF在旋转过程中，当 B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG交 AD于点 H若 AG=6，GH=2，则 BC= 15 38在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB上一点，把PBC沿直线 PC折叠，顶点 B的对应点是点 G，过 点 B 作 BE
23、CG，垂足为 E且在 AD上，BE 交 PC于点 F （1）如图 1，若点 E是 AD的中点，求证：AEBDEC； （2）如图 2，求证：BP=BF； 当 AD=25，且 AEDE时，求 cosPCB的值； 当 BP=9时，求 BEEF的值 39对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折叠，使点 B落在 CD边上（如图） ，再沿 CH 折叠，这时发现点 E恰好与点 D重合（如图） （1）根据以上操作和发现，求的值； （2）将该矩形纸片展开 如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形纸片展开求证： HPC=90 ； 不借助工具，利用图
24、探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的 P 点，要求只有一条折痕，且 点 P 在折痕上，请简要说明折叠方法 （不需说明理由） 16 40如图 1，在ABCD 中，DHAB于点 H，CD的垂直平分线交 CD 于点 E，交 AB于点 F，AB=6，DH=4， BF：FA=1：5 （1）如图 2，作 FGAD于点 G，交 DH于点 M，将DGM沿 DC 方向平移，得到CGM，连接 MB 求四边形 BHMM的面积； 直线 EF上有一动点 N，求DNM周长的最小值 （2）如图 3，延长 CB交 EF于点 Q，过点 Q作 QKAB，过 CD边上的动点 P 作 PKEF，并与 QK交于 点 K，将PKQ
25、沿直线 PQ翻折，使点 K的对应点 K恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长 41在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点 为中心，顺时针旋转 矩形，得到矩形，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， . （）如图，当点 落在边上时，求点 的坐标； （）如图，当点 落在线段上时，与交于点 . 求证； 求点 的坐标. （）记 为矩形对角线的交点， 为的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）. 17 42在菱形中，,点 是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点 的位置随点 的位置变化而变化. （1）如图 1，当点 在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关 系是 ； （2）当点
26、 在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图 4，当点 在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积. 43问题提出 （1）如图，已知ABC，请画出ABC 关于直线 AC 对称的三角形 问题探究 （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边 BC、CD 上分别存在点 G、H， 使得四边形 EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由 问题解决 （3）如图，有一矩形板材 ABCD，AB=3 米，AD=6 米，现想从此板材中
27、裁出一个面积尽可能大的四边 形 EFGH 部件，使EFG=90，EF=FG=米，EHG=45，经研究，只有当点 E、F、G 分别在边 ADAB、 BC 上，且 AFBF，并满足点 H 在矩形 ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁 得符合要求的面积尽可能大的四边形 EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形 EFGH 部件的面积；若不能， 请说明理由 18 44在正方形 ABCD中，E是边 CD上一点（点 E不与点 C、D 重合） ，连结 BE （感知）如图，过点 A作 AFBE交 BC于点 F易证ABFBCE （不需要证明） （探究）如图，取 BE的中点 M，过点 M作
28、FGBE交 BC于点 F，交 AD于点 G （1）求证：BE=FG （2）连结 CM，若 CM=1，则 FG 的长为 （应用）如图，取 BE 的中点 M，连结 CM过点 C作 CGBE交 AD 于点 G，连结 EG、MG若 CM=3， 则四边形 GMCE 的面积为 45已知，斜边，将绕点 顺时针旋转，如图 1，连接 （1）填空： ； （2）如图 1，连接，作，垂足为 ，求的长度； （3）如图 2，点 ， 同时从点 出发，在边上运动， 沿路径匀速运动， 沿路径匀 速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为 1.5 单位 秒，点 的运动速度为 1 单位 秒，设运 动时间为 秒，的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？ 19