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2019中考数学压轴题全揭秘精品专题18 综合问题(教师版)

1、 1 中考中考压轴题全揭秘压轴题全揭秘 专题专题 1818 综合问题综合问题 一、单选题一、单选题 1有一天,兔子和乌龟赛跑比赛开始后,兔子飞快地奔跑,乌龟缓慢的爬行不一会儿,乌龟就被远远 的甩在了后面兔子想:“这比赛也太轻松了,不如先睡一会儿”而乌龟一刻不停地继续爬行当兔子 醒来跑到终点时,发现乌龟已经到达了终点正确反映这则寓言故事的大致图象是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 乌龟运动的图象是一条直线,兔子运动的图象路程先增大,而后不变,再增大,并且乌龟所用时间最短 故选 D 【关键点拨】 本题考查了函数图象问题,本题需先读懂题意,根据实际情况找出正确函数图象即可 2 如图, 在

2、平面直角坐标系中, 直线 l1: y=x+1 与 x 轴, y 轴分别交于点 A 和点 B, 直线 l2: y=kx (k0) 与直线 l1在第一象限交于点 C若BOC=BCO,则 k 的值为( ) A B C D2 2 【答案】B 【解析】 如图,过 C作 CDOA于 D 直线 l1:yx+1 中,令 x0,则 y1,令 y0,则 x2 ,即 A(2,0) ,B(0,1) ,RtAOB 中,AB3 BOCBCO,CBBO1,AC2 CDBO,ODAO,CDBO,即 C( ) ,把 C()代入直线 l2:ykx, 可得:k,即 k 故选 B 【关键点拨】 本题考查了两直线相交或平行问题,两条直

3、线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所 组成的二元一次方程组的解 3如图,点 A,B在双曲线 y= (x0)上,点 C在双曲线 y= (x0)上,若 ACy轴,BCx 轴,且 AC=BC,则 AB等于( ) A B2 C4 D3 【答案】B 【解析】 点 C 在双曲线 y= 上,ACy轴,BCx 轴, 设 C(a, ) ,则 B(3a, ) ,A(a, ) , 3 AC=BC, =3aa, 解得 a=1, (负值已舍去) C(1,1) ,B(3,1) ,A(1,3) , AC=BC=2, RtABC中,AB=2, 故选 B 【关键点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征

4、,注意反比例函数图象上的点(x,y)的横 纵坐标的积是定值 k,即 xy=k 4如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,OAB=30,若点 A 在反比例函数 y= (x0)的图象上, 则经过点 B 的反比例函数解析式为( ) Ay= By= Cy= Dy= 【答案】C 【解析】 过点 B作 BCx 轴于点 C,过点 A 作 ADx 轴于点 D, BOA=90 , BOC+AOD=90 , AOD+OAD=90 , BOC=OAD, 又BCO=ADO=90 , BCOODA, =tan30 =, 4 , ADDO= xy=3, SBCO= BCCO= SAOD=1, 经过点 B的反比例函数图象在第

5、二象限, 故反比例函数解析式为:y= 故选:C 【关键点拨】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质,反比例函数数的几何意义,正确得出 SAOD=2 是解题关键 5如图,点 A的坐标为(0,1) ,点 B 是 x轴正半轴上的一动点,以 AB为边作 RtABC,使BAC=90 , ACB=30 ,设点 B的横坐标为 x,点 C的纵坐标为 y,能表示 y与 x 的函数关系的图象大致是( ) A B C 5 D 【答案】C 【解析】 如图所示:过点 C 作 CDy轴于点 D, BAC=90 , DAC+OAB=90 , DCA+DAC=90 , DCA=OAB, 又CDA=AOB=90 , CDAAO

6、B, =tan30 , 则, 故 y=x+1(x0) , 则选项 C 符合题意 故选:C 【关键点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象,正确利用相似得出函数关系式是解题关键 6如图,在ABCD中,AB=6,BC=10,ABAC,点 P 从点 B 出发沿着 BAC的路径运动,同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动,当点 P 到达点 C 时,点 Q随之停止运动,设点 P 运 动的路程为 x,y=PQ2,下列图象中大致反映 y与 x之间的函数关系的是( ) 6 A B C D 【答案】B 【解析】 在 RtABC中,BAC=90 ,AB=6,BC=10,AC=8, 当 0x6

7、 时,AP=6x,AQ=x,y=PQ2=AP2+AQ2=2x212x+36; 当 6x8 时,AP=x6,AQ=x,y=PQ2=(AQAP)2=36; 当 8x14时,CP=14x,CQ=x8,y=PQ2=CP2+CQ2=2x244x+260, 故选 B 【关键点拨】本题考查了二次函数的应用,动点问题的函数图象,结合图形正确地分三种情况进行讨论是 解题的关键. 7在同一直角坐标系中,二次函数 yx2与反比例函数 y(x0)的图象如图所示,若两个函数图象上 有三个不同的点 A(x1,m) ,B(x2,m) ,C(x3,m) ,其中 m为常数,令 x1+x2+x3,则 的值为( ) A1 Bm C

8、m2 D 7 【答案】D 【解析】 设点 A、B在二次函数 yx2的图象上,点 C在反比例函数 y(x0)的图象上, 因为 A、B两点纵坐标相同,则 A、B 关于 y轴对称,则 x1+x2 =0, 因为点 C(x3,m)在反比例函数图象上,则 x3= , x1+x2+x3=, 故选 D. 【关键点拨】 本题考查了二次函数图象的轴对称性,反比例函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数图象上点纵坐标相 同时,对应点关于抛物线对称轴对称是解题的关键. 8如图,菱形 ABCD的边 AD 与 x轴平行,A、B两点的横坐标分别为 1和 3,反比例函数 y= 的图象经过 A、B两点,则菱形 ABCD的面积是(

9、) A4 B4 C2 D2 【答案】A 【解析】 如图,作 AHBC交 CB的延长线于 H, 反比例函数 y= 的图象经过 A、B两点,A、B 两点的横坐标分别为 1和 3, A、B 两点的纵坐标分别为 3和 1,即点 A的坐标为(1,3) ,点 B的坐标为(3,1) , AH=31=2,BH=31=2, 由勾股定理得,AB=, 四边形 ABCD是菱形, BC=AB=2, 8 菱形 ABCD 的面积=BC AH=4, 故选 A 【关键点拨】 本题考查的是反比例函数的系数 k 的几何意义、菱形的性质,根据反比例函数解析式求出 A 的坐标、点 B 的坐标是解题的关键 9如图,在平面直角坐标系中,将

10、正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1,依此方式, 绕点O连续旋转 2018次得到正方形OA2018B2018C2018, 如果点A的坐标为 (1, 0) , 那么点 B2018的坐标为 ( ) A (1,1) B (0,) C () D (1,1) 【答案】D 【解析】 四边形 OABC是正方形,且 OA=1, B(1,1) , 连接 OB, 由勾股定理得:OB=, 9 由旋转得:OB=OB1=OB2=OB3=, 将正方形 OABC 绕点 O逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1, 相当于将线段 OB 绕点 O逆时针旋转 45 ,依次得到AOB=B

11、OB1=B1OB2=45, B1(0, ) ,B2(-1,1) ,B3(- ,0) , 发现是 8次一循环,所以 20188=252余 2, 点 B2018的坐标为(-1,1) 故选:D 【关键点拨】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角也考查了坐标与图形的变化、规律型:点的坐标等知识,解题的关键是学会从特殊到一般的 探究规律的方法 10如图,平面直角坐标系中,点 A是 x轴上任意一点,BC 平行于 x轴,分别交 y= (x0) 、y= (x0) 的图象于 B、C两点,若ABC的面积为 2,则 k值为( ) A1 B1 C D 【答案】A

12、【解析】 连接 OC、OB,如图, BCx 轴, SACB=SOCB, 而 SOCB= |3|+ |k|, |3|+ |k|=2, 而 k0, k=1, 10 故选 A 【关键点拨】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义:在反比例函数 y= 图象中任取一点,过这一个点向 x 轴和 y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作 垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|,且保持不变 11如图,一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内,向容器内按一定的速度均匀注水,60 秒后将容器内 注满.容器内水面的高度 h(cm)与注水时间 t(s)

13、之间的函数关系图象大致是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内,向容器内按一定的速度均匀注水,60 秒后将容器内注满.因 为长方体是均匀的,所以初期的图像应是直线,当水越过长方体后,注水需填充的体积变大,因此此时的 图像也是直线,但斜率小于初期,综上所述答案选 D. 【关键点拨】 能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键. 12如图,菱形 ABCD的边 ADy轴,垂足为点 E,顶点 A在第二象限,顶点 B 在 y轴的正半轴上,反比 例函数 y= (k0,x0)的图象同时经过顶点 C,D若点 C的横坐标为 5,BE=3DE,则 k

14、 的值为( ) 11 A B3 C D5 【答案】C 【解析】 过点 D做 DFBC于 F, 由已知,BC=5, 四边形 ABCD是菱形, DC=5, BE=3DE, 设 DE=x,则 BE=3x, DF=3x,BF=x,FC=5-x, 在 RtDFC 中, DF2+FC2=DC2, (3x)2+(5-x)2=52, 解得 x=1, DE=1,FD=3, 设 OB=a, 则点 D坐标为(1,a+3) ,点 C 坐标为(5,a) , 点 D、C在双曲线上, 1 (a+3)=5a, a= , 12 点 C坐标为(5, ) k=. 故选 C 【关键点拨】 本题是代数几何综合题,考查了数形结合思想和反

15、比例函数 k 值性质解题关键是通过勾股定理构造方程 13如图,曲线 C2是双曲线 C1:y= (x0)绕原点 O 逆时针旋转 45 得到的图形,P 是曲线 C2上任意一 点,点 A 在直线 l:y=x 上,且 PA=PO,则POA的面积等于( ) A B6 C3 D12 【答案】B 【解析】 如图,将 C2及直线 y=x绕点 O 逆时针旋转 45 ,则得到双曲线 C3,直线 l与 y轴重合 双曲线 C3,的解析式为 y=- , 过点 P 作 PBy轴于点 B, PA=PO, B 为 OA中点 SPAB=SPOB, 由反比例函数比例系数 k的性质,SPOB=3, POA的面积是 6. 13 故选

16、:B 【关键点拨】本题为反比例函数综合题,考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数 k 的几何 意义 14如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC的顶点 O 与坐标原点重合,顶点 A、C 分别在 x轴、y轴上, 反比例函数 y= (k0,x0)的图象与正方形 OABC的两边 AB、BC 分别交于点 M、N,NDx轴,垂足 为 D,连接 OM、ON、MN,则下列选项中的结论错误的是( ) AONCOAM B四边形 DAMN 与OMN面积相等 CON=MN D若MON=45 ,MN=2,则点 C 的坐标为(0,+1) 【答案】C 【解析】 点 M、N都在 y= 的图象上, SONC=SO

17、AM= k,即 OCNC= OAAM, 四边形 ABCO为正方形, OC=OA,OCN=OAM=90 , NC=AM, OCNOAM, A 正确; SOND=SOAM= k, 而 SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN, 四边形 DAMN与MON面积相等, 14 B 正确; OCNOAM, ON=OM, k的值不能确定, MON的值不能确定, ONM只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形, ONMN, C 错误; 作 NEOM于 E 点,如图所示: MON=45 ,ONE为等腰直角三角形, NE=OE, 设 NE=x,则 ON=x, OM=x, EM=x-x=( -1)x, 在 RtN

18、EM中,MN=2, MN2=NE2+EM2,即 22=x2+( -1)x2, x2=2+ , ON2 =(x)2=4+2 , CN=AM,CB=AB, BN=BM, BMN为等腰直角三角形, BN=MN=, 设正方形 ABCO的边长为 a,则 OC=a,CN=a-, 15 在 RtOCN中,OC2+CN2=ON2, a2+(a- )2=4+2,解得 a1=+1,a2=-1(舍去) , OC=+1, C 点坐标为(0,+1) , D 正确 故选:C 【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意 义和正方形的性质;本题难度较大,综合性强;熟练运用勾股

19、定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算 15已知抛物线 y= x 2+1 具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终 相等,如图,点 M 的坐标为(,3) ,P 是抛物线 y= x 2+1 上一个动点,则PMF 周长的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】 过点 M 作 MEx轴于点 E,交抛物线 y= x2+1 于点 P,此时PMF周长最小值, F(0,2) 、M( ,3) , ME=3,FM=2, PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5 故选 C 【关键点拨】 本题求线段和的最值问题,把需要求和的线段,找到相等的线段进行转化,

20、转化后的线段共线时为最值情 况. 16 16如图,AOB=90 ,且 OA、OB 分别与反比例函数 y= (x0) 、y= (x0)的图象交于 A、B 两 点,则 tanOAB 的值是( ) A B C1 D 【答案】A 【解析】 过点 A作 ACx 轴于 C,过点 B作 BDx轴于 D, ACO=ODB=90 , OBD+BOD=90 , AOB=90 , BOD+AOC=90 , OBD=AOC, OBDAOC, , 点 A在反比例函数 y= 的图象上,点 B 在反比例函数 y= 的图象上, SOBD= ,SAOC=2, , tanOAB= 17 故选 A 【关键点拨】 本题是反比例函数综

21、合题,涉及的知识有相似三角形的判定与性质、反比例函数 k 的几何意义,证明 OBDAOC是解决本题的关键 17如图,抛物线 y= (x+2) (x8)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y轴交于点 C,顶点为 M,以 AB 为直径 作D下列结论:抛物线的对称轴是直线 x=3;D 的面积为 16;抛物线上存在点 E,使四边形 ACED 为平行四边形;直线 CM与D相切其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 在 y= (x+2) (x8)中,当 y=0 时,x=2 或 x=8, 点 A(2,0) 、B(8,0) , 抛物线的对称轴为 x=3,故正确; D的直径为 8

22、(2)=10,即半径为 5, D的面积为 25,故错误; 在 y= (x+2) (x8)= x2 x4 中,当 x=0时 y=4, 点 C(0,4) , 当 y=4 时, x2 x4=4, 解得:x1=0、x2=6, 所以点 E(6,4) , 则 CE=6, 18 AD=3(2)=5, ADCE, 四边形 ACED不是平行四边形,故错误; y= x2 x4= (x3)2 , 点 M(3,) , DM=, 如图,连接 CD,过点 M作 MNy轴于点 N,则有 N(0,) ,MN=3, C(0,-4) ,CN= ,CM2=CN2+MN2=, 在 RtODC中,COD=90 ,CD2=OC2+OD2

23、=25,CM2+CD2=, DM2= , CM2+CD2=DM2, DCM=90 ,即 DCCM, CD是半径, 直线 CM 与D 相切,故正确, 故选 B 【关键点拨】本题考查了二次函数与圆的综合题,涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、 待定系数法、两直线垂直、切线的判定等,综合性较强,有一定的难度,运用数形结合的思想灵活应用相 关知识是解题的关键. 18如图,是函数上两点, 为一动点,作 轴,轴,下列说法正确的是( ) 19 ;若,则平分;若,则 A B C D 【答案】B 【解析】 显然 AO与 BO不一定相等,故AOP 与BOP 不一定全等,故错误; 延长 BP,交 x轴

24、于点 E,延长 AP,交 y轴于点 F, AP/x 轴,BP/y轴,四边形 OEPF是矩形,SEOP=SFOP, SBOE=SAOF= k=6,SAOP=SBOP,故正确; 过 P 作 PMBO,垂足为 M,过 P 作 PNAO,垂足为 N, SAOP= OAPN,SBOP= BOPM,SAOP=SBOP,AO=BO, PM=PN,PO平分AOB,即 OP 为AOB 的平分线,故正确; 设 P(a,b) ,则 B(a,) 、A(,b) , SBOP= BPEO=4, ab=4, SABP= APBP=8, 故错误, 综上,正确的为, 故选 B. 20 【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题,

25、正确添加辅助线、熟知反比例函数 k 的几何意义是解题的 关键. 19如图,直线都与直线 l垂直,垂足分别为 M,N,MN=1,正方形 ABCD的边长为 ,对角线 AC 在直线 l上,且点 C位于点 M处,将正方形 ABCD沿 l向右平移,直到点 A与点 N重合为止,记点 C平移 的距离为 x,正方形 ABCD的边位于之间部分的长度和为 y,则 y关于 x 的函数图象大致为( ) A B C D 【答案】A 【解析】 由正方形的性质,已知正方形 ABCD的边长为,易得正方形的对角线 AC=2,ACD=45 , 如图,当 0x1时,y=2, 如图,当 10)的图象分别与 AD,CD 交于点 M、点

26、 N,点 N 的坐标是(3,n) ,连接 OM,MC. (1)求反比例函数的解析式; (2)求证:OMC是等腰三角形. 【答案】 (1); (2)见解析. 【解析】 (1)四边形 ABCD是菱形, ADBC,AB=AD=BC=5, 在 RtAOB中,sinABC=, OA=4, 根据勾股定理得,OB=3, OC=BC-OB=2, C(2,0) , AD=5,OA=4, D(5,4) , 78 直线 CD的解析式为 y= x- , 点 N的坐标是(3,n) , n= , N(3, ) , 点 N在反比例函数 y= (x0)图形上, k=3 =4, 反比例函数的解析式为 y= ; (2)由(1)知

27、,反比例函数的解析式为 y= , 点 M 在 AD上, M点的纵坐标为 4, 点 M 的横坐标为 1, M(1,4) , C(2,0) , OM= ,CM= , OM=CM, OMC是等腰三角形 【关键点拨】 本题是反比例函数综合题,考查了菱形的性质,锐角三角函数,勾股定理,等腰三角形的判定,待定系数 法,两点间的距离公式,求出直线 CD 的解析式是解题的关键 62如图,已知ABC 的顶点坐标分别为 A(3,0) ,B(0,4) ,C(-3,0).动点 M,N 同时从 A 点出发, M 沿 AC,N 沿折线 ABC,均以每秒 1 个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点 C 时,另一个动点 也

28、随之停止移动,移动时间记为 t 秒.连接 MN. (1)求直线 BC 的解析式; (2)移动过程中,将AMN 沿直线 MN 翻折,点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处,求此时 t 值及点 D 的坐标; (3)当点 M,N 移动时,记ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S,求 S 关于时间 t 的函数关系式. 79 【答案】 (1)y= x+4; (2)D(-,) ; (3)当 0t5 时,S= t2,当 5t6 时,S= t2+t-12. 【解析】 (1)设直线的解析式为,则, 解得, 直线的解析式为 (2)如图,连接交于点 由题意:四边形是菱形, , 点 在上, , 解得 时,点 恰好

29、落在边上点 处,此时, (3)如图 2中,当时,在直线右侧部分是, 80 如图 3 中,当时,在直线右侧部分是四边形 【关键点拨】 考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角 形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题. 63如图,在矩形 ABCO 中,AO=3,tanACB= ,以 O 为坐标原点,OC 为 轴,OA 为 轴建立平面直角坐标 系.设 D,E 分别是线段 AC,OC 上的动点,它们同时出发,点 D 以每秒 3 个单位的速度从点 A 向点 C 运动, 点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C

30、 向点 O 运动,设运动时间为 秒. (1)求直线 AC 的解析式; (2)用含 的代数式表示点 D 的坐标; (3)当 为何值时,ODE 为直角三角形? (4)在什么条件下,以 RtODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 轴的抛物线?并请选择一种情况, 求出所确定抛物线的解析式. 【答案】 (1); (2)D(,) ; (3),; (4) 【解析】 (1)根据题意,得 CO=AB=BCtanACB=4,则 A(0,3) 、B(4,3) 、C(4,0) ; 设直线 AC的解析式为:y=kx+3,代入 C 点坐标,得: 4k+3=0,k=- , 直线 AC:; 81 (2)分别作 DFAO,D

31、HCO,垂足分别为 F,H, 则有ADFDCHACO, AD:DC:AC=AF:DH:AO=FD:HC:OC, 而 AD=(其中 0 ) ,OC=AB=4,AC=5,FD= AD= ,AF= AD=, DH=,HC=, D(,) ; (3)CE= ,E( ,0) ,OE=OC-CE=4- ,HE=|CH-CE|=, 则 OD2=DH2+OH2= =, DE2=DH2+HE2=, 当ODE 为 Rt时,有 OD2+DE2=OE2,或 OD2+OE2=DE2,或 DE2+OE2=OD2, 即, 或, 或, 上述三个方程在 0 内的所有实数解为 ,; (4)当 DOOE,及 DEOE时,即和时,以

32、RtODE 的三个顶点不确定对称轴平行于 轴的 抛物线,其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于 轴的抛物线 D(,) ,E(4- ,0) , 当时,D(, ) ,E(3,0) ,因为抛物线过 O(0,0) , 所以设所求抛物线为,将点 D,E 坐标代入,求得, 82 所求抛物线为. (当时,所求抛物线为). 【关键点拨】 本题考查的是代数几何综合应用,涉及了待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理、二次函数等知识, 综合性较强, ,有一定的难度,熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想进行解题的关键. 64如图, (图 1,图 2) ,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,点 E 在线段 BC

33、上,AEF=90,且 EF 交正方 形外角平分线 CP 于点 F,交 BC 的延长线于点 N, FNBC. (1)若点 E 是 BC 的中点(如图 1) ,AE 与 EF 相等吗? (2)点 E 在 BC 间运动时(如图 2) ,设 BE=x,ECF 的面积为 y. 求 y 与 x 的函数关系式; 当 x 取何值时,y 有最大值,并求出这个最大值. 【答案】 (1)AE=EF; (2)y=- x 2+2x(0x4),当 x=2,y 最大值=2. 【解析】 (1)如图,在 AB上取 AG=EC, 四边形 ABCD是正方形, AB=BC, 有AG=EC ,BG=BE , 又B=90 , AGE=1

34、35 , 又BCD=90 ,CP 平分DCN, ECF=135 , BAEAEB=90 ,AEBFEC=90 , BAE=FEC, 83 在AGE 和ECF中, , AGEECF, AE=EF; (2)由(1)证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF, BAE=NEF,B=ENF=90 , ABEENF, FN=BE=x, SECF= (BC-BE) FN, 即 y= x(4-x) , y=- x2+2x(0x4), , 当 x=2,y最大值=2. 【关键点拨】 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数的最值问题,综合性较强,正确添加辅助 线、熟练掌握相关知识是解题的关键

35、 65如图,已知点 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,1)在抛物线 y=ax2+bx+c上 (1)求抛物线解析式; (2)在直线 BC上方的抛物线上求一点 P,使PBC面积为 1; (3)在 x 轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点 Q,使BQC=BAC?若存在,求出 Q 点坐标;若 不存在,说明理由 84 【答案】 (1)抛物线的解析式为 y= x2+ x+1; (2)点 P 的坐标为(1, )或(2,1) ; (3)存在,理由见 解析 【解析】 (1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1) (x3) ,将 C(0,1)代入得3a=1,解得:a= , 抛物线的解析式为 y= x2+ x

36、+1; (2)过点 P 作 PDx,交 BC与点 D, 设直线 BC的解析式为 y=kx+b,则,解得:k= , 直线 BC的解析式为 y= x+1, 设点 P(x, x2+ x+1) ,则 D(x, x+1) , PD=( x2+ x+1)( x+1)= x2+x, SPBC= OBDP= 3 ( x2+x)= x2+ x, 又SPBC=1, x2+ x=1,整理得:x23x+2=0,解得:x=1或 x=2, 点 P 的坐标为(1, )或(2,1) ; (3)存在 A(1,0) ,C(0,1) , OC=OA=1, BAC=45 , BQC=BAC=45 , 点 Q为ABC外接圆与抛物线对称

37、轴在 x轴下方的交点, 85 设ABC 外接圆圆心为 M,则CMB=90 , 设M 的半径为 x,则 RtCMB 中,由勾股定理可知 CM2+BM2=BC2,即 2x2=10, 解得:x=(负值已舍去) , AC的垂直平分线的为直线 y=x,AB 的垂直平分线为直线 x=1, 点 M 为直线 y=x与 x=1 的交点,即 M(1,1) , Q 的坐标为(1,1) 【关键点拨】 本题考查的是二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质,求得 点 M的坐标以及M 的半径的长度是解题的关键 66如图,在矩形 ABCD 中,AB=2cm,ADB=30P,Q 两点分别从 A

38、,B 同时出发,点 P 沿折线 ABBC 运 动,在 AB 上的速度是 2cm/s,在 BC 上的速度是 2cm/s;点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动,过 点 P 作 PNAD,垂足为点 N连接 PQ,以 PQ,PN 为邻边作PQMN设运动的时间为 x(s) ,PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y(cm 2) (1)当 PQAB 时,x 等于多少; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (3)直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分时,直接写出 x 的值 【答案】 (1) s; (2)y=; (3)当 x= s

39、 或 时,直线 AM 将矩形 ABCD 的面 积分成 1:3 两部分 【解析】 (1)当 PQAB时,BQ=2PB, 2x=2(22x) , 86 x= s (2)如图 1 中,当 0x 时,重叠部分是四边形 PQMN y=2xx=2x2 如图中,当 x1 时,重叠部分是四边形 PQEN y= (2x+2x)x=x2+x. 如图 3 中,当 1x2 时,重叠部分是四边形 PNEQ y= (2x+2)x2(x1)=x23x+4; 87 综上所述,y= (3)如图 4 中,当直线 AM 经过 BC 中点 E 时,满足条件 则有:tanEAB=tanQPB, =, 解得 x= 如图 5 中,当直线

40、AM 经过 CD 的中点 E 时,满足条件 此时 tanDEA=tanQPB, =, 解得 x= , 综上所述,当 x= 或 时,直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分 88 故答案为:(1) s;(2)y=;(3)x= 或 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会用方程的思想解决问题,属于中考压轴题 67 如图1, 直线l:与x轴交于点, 与y轴交于点B, 点C是线段OA上一动点 以点 A为圆心,AC 长为半径作交 x 轴于另一点 D,交线段 AB于点 E,连结 OE并

41、延长交于点 F 求直线 l的函数表达式和的值; 如图 2,连结 CE,当时, 求证:; 求点 E的坐标; 当点 C在线段 OA 上运动时,求的最大值 【答案】 (1)直线 l的函数表达式,;证明见解析;E; 最 大值为 【解析】 (1)直线 l:与 x 轴交于点, , , 直线 l的函数表达式, , 89 , 在中,; 如图 2,连接 DF, , , , , 四边形 CEFD 是的圆内接四边形, , , , , 过点于 M, 由知, 设,则, , , , 由知, , , , , , 舍 或, , ; 90 如图,设的半径为 r,过点 O 作于 G, , , , , , , , 连接 FH, 是

42、直径, , , , , , 时,最大值为 【关键点拨】本题是圆的综合题,主要考查了待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾 股定理等,熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识,运用数理结合思想,正确添加辅助 线进行图形构建是解本题的关键 68如图,已知抛物线过点 A(,-3) 和 B(3,0),过点 A 作直线 AC/x 轴,交 y 轴与 点 C. (1)求抛物线的解析式; 91 (2)在抛物线上取一点 P,过点 P 作直线 AC 的垂线,垂足为 D,连接 OA,使得以 A,D,P 为顶点的三 角形与AOC 相似,求出对应点 P 的坐标; (3)抛物线上是否存在点 Q,使

43、得?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1); (2)P 点坐标为(4 ,6)或(,- ) ; (3)Q 点坐标(3,0)或(-2, 15) 【解析】 (1)把,和点,代入抛物线得:, 解得:, 则抛物线解析式为; (2)当 在直线上方时, 设 坐标为,则有, 当时,即, 整理得:,即, 解得:,即或(舍去) , 此时,; 当时,即, 整理得:,即, 解得:,即或(舍去) , 92 此时,; 当点时,也满足; 当 在直线下方时,同理可得: 的坐标为, 综上, 的坐标为,或,或,或; (3)在中, 根据勾股定理得:, , , , 边上的高为 , 过 作,截取,过作,交

44、 轴于点 ,如图所示: 在中,即, 过作轴, 在中,即, 设直线解析式为, 把坐标代入得:,即,即, 联立得:, 解得:或,即,或, 93 则抛物线上存在点 ,使得,此时点 的坐标为,或, 【关键点拨】 二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,点到直线的距离 公式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键 69菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线 AC 与 BD 的交点 E 恰好在 y 轴上,过点 D 和 BC 的中点 H 的直线交 AC 于点 F,线段 DE,CD 的长是方程 x29x+18=0 的两根,请解答下列问题: (1)求点 D 的坐

45、标; (2)若反比例函数 y= (k0)的图象经过点 H,则 k= ; (3)点 Q 在直线 BD 上,在直线 DH 上是否存在点 P,使以点 F,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1) ( ,3) (2) (3) ( ,)或(,5)或(,) 【解析】 (1)x29x+18=0, (x3) (x6)=0, x=3 或 6, CDDE, CD=6,DE=3, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD,AE=EC=3, DCA=30,EDC=60, 94 RtDEM 中,DEM=30, DM=DE=, OMAB, S菱形 AB

46、CD=ACBD=CDOM, =6OM,OM=3, D(,3) ; (2)OB=DM=,CM=6=, B(,0) ,C(,3) , H 是 BC 的中点, H(3,) , k=3=; 故答案为:; (3) DC=BC,DCB=60, DCB 是等边三角形, H 是 BC 的中点, DHBC, 当 Q 与 B 重合时,如图 1,四边形 CFQP 是平行四边形, FC=FB, FCB=FBC=30, 95 ABF=ABCCBF=12030=90, ABBF,CPAB, RtABF 中,FAB=30,AB=6, FB=2=CP, P(,) ; 如图 2,四边形 QPFC 是平行四边形, CQPH, 由知:PHBC, CQBC, RtQBC 中,BC=6,QBC=60, BQC=30, CQ=6, 连接 QA, AE=EC,QEAC,