1、 1 专题专题 07 动点折叠类问题中图形存在性动点折叠类问题中图形存在性及落点及落点“有迹性有迹性”问题问题 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运 动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求静， 灵活运用相关数学 知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分， 题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学
2、生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等 模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目解题思路：分析题目依据落点定折痕依据落点定折痕建立模型建立模型设出未知数列方程求解设出未知数列方程求解得到结论得到结论. 落点落点“有迹性有迹性”问题问题 该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度
3、. 解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似 三角形等知识求解三角形等知识求解. 我们选取部分真题及模考题，逐一分析此类题目的解题思路与方法，希望能带给各位老师及同学一些帮助. 二二、精品例题解析、精品例题解析 题型一：题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题折叠问题中等腰三角形存在性问题 例例 1.（2019金水区校级模拟金水区校级模拟）如图，AOB=90 ，点 P 为AOB 内部一点，作射线 OP，点 M 在射线 OB 上，且 OM= 3
4、，点 M 与点 M关于射线 OP 对称，且直线 MM与射线 OA 交于点 N，当ONM为等 腰三角形时，ON 的长为 . 例例 2.（2019 春包河区校级月考）春包河区校级月考）如图所示，ABC 中，ACB=90 ，ACBC，将ABC 沿 EF 折叠， 2 使点 A 落在直角边 BC 上的 D 点，设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、点 F，如果折叠后CDF 与BDE 均 为等腰三角形，则B= . 例例 3 （ （2019河南）河南）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a，点 E 在边 BC 上，且 BE= 3 5 a. 连接 AE， 将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应
5、点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 例例 4 （ （2019卧龙区二模）卧龙区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=3，点 E 为射线 BC 上一动点，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE. 点 B恰好落在射线 CD 上，则 BE 的长为 . 3 例例 5. 如图，在等边 ABC 中，AB=2 32，点 D 在边 AB 上，且 AD=2，点 E 是 BC 边上一动点，将 B 沿 DE 折叠，当点 B 的对应点 B落在 ABC 的边上时，BE 的长为 . 例例 6. 如图，在等腰直角 ABC 中，AB=BC=3，点 P 在边 AB 上，且 BP=1，点 Q 为边 AC
6、上的任意一 点（不与 A、C 重合） ，将 APQ 沿 PQ 折叠，当点 A 的对应点 A落在 ABC 的边上时，AQ 的长为 4 例例 7 （ （2018红旗区校级一模）红旗区校级一模）如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 ，AB=5，BC=8，点 P 是射线 BC 上 一动点，连接 AP，将 ABP 沿 AP 折叠，当点 B 的对应点 B落在线段 BC 的垂直平分线上时，则 BP 的长 等于 例例 8. 矩形纸片 ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点 P，且 DP=3，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 P 重合，折痕所在的直线交矩形两边于点 E、F，则 EF 长为 . 5 例例 9. 在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 P 在 AB 上若将 DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在矩形对 角线上的 A处，则 AP 的长为 例例 10（2019三门峡二模）三门峡二模）在矩形 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在边 BC 上，且 BE2CE，将 矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，D 的对应点分别为 C，D，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C，D恰好 在同一直线上时，AF 的长为