1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 专题专题 0101 探求规律题探求规律题 考纲要求考纲要求: 探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过 程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论 基础知识回顾基础知识回顾: 1数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问 题 2数式规律型：通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要 内容 3图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别
2、，用相应 的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合 4数形结合猜想型：首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出 来，从而得出图形与数或式的对应关系 5动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有 发生变化，从而逐步发现规律 应用举例应用举例: 类型一、类型一、数字猜想型 【例【例 1】一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33和 43分别可以按如图所示的 方式“分裂”，则 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是_ 类型二、类型二、数式规律型 【例【例 2】观察下面三行数 （1）第行数的第 n
3、 个数是 . 2 （2）请将第行数中的每一个数分别减去第行数中对应位置的数,并找出规律，根据你得到的结论，直接 写出第行数的第 n 个数是 ； 同理，直接写出第行数的第 n 个数是 . （3）取每行的第 k 个数，这三个数的和能否等于-509?如果能，请求出 k 的值；如果不能，请说明理由. 类型三、类型三、图形规律型： 【例【例 3】 把三角形按如图所示的规律拼图案， 其中第个图案中有 4 个三角形， 第个图案中有 6 个三角形， 第个图案中有 8 个三角形，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ） A 12 B 14 C 16 D 18 类型四、数形结合猜想型： 【例【例 4】如
4、图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为（1，1），是以点 B 为 圆心，BA 为半径的圆弧；是以点 O 为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，CA2为半 径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的 曲线 AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”，那么点 A5的坐标是_，点 A2018的坐标是_ 类型五、动态规律型： 【例【例 5】如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置，继续绕右下角的顶点按 顺时针方向旋转 90 至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若
5、AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋 转过程中所经过的路径总长为（ ） 3 A2017 B2034 C3024 D3026 方法、规律归纳方法、规律归纳: 数字规律： 标序数(1，2，3，n)； 找规律，观察： 当所给的一组数字是整数时： A.数字与序数的关系；B.数字的符号规律，若为正负号交替，则用() 1 n 或 1 ( 1)n表示符号； 代数式规律： 标序数(1，2，3，n)； 找规律，观察：A.系数、代数式字母的指数与序数的关系；B.符号规律方法同“数字规律”时. 图形规律： (1)基础图形固定累加： 标 序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”； 数图形个数：数出每组图形的个数
6、； 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系：将后一个 图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差 来观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式； 验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确 (2)基础图形递变累加： 标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”； 数图形个数：数出每组图形的个数； 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作商 来观察图形个数；或将图形个数与 n 进行对比，寻找是否是与 n 有关的平方、平方加 1、平方减 1 等 关系； 验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确 4 实战演练实战演练: 1、根据以下图
7、形变化的规律，第 2016 个图形中黑色正方形的数量是_ 2. 在一列数：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个 位数字，则这一列数中的第 2017 个数是（ ） A1 B3 C7 D9 3. 如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次 接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2017 次运动后， 动点 P 的坐标是_ 4. 观察下列 格式： 111 1 1 222 111112 1 1 22 32233 111111113 1 1
8、22 33 4223344 请按上述规律，写出第 n 个式子的计算结果（n 为正整数） （写出最简计算结果即可） 5. 已知 a0，S1= ，S2=S11，S3= ，S4=S31，S5= ，（即当 n 为大于 1 的奇数时，Sn=；当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=Sn11），按此规律，S2018=_ 6. （2017 滨州）观察下列各式： 211 1 313 ， 211 2424 211 3 535 请利用你所得结论， 化简代数式 2 1 3 2 24 2 3 5 2 (2)n n （n3 且为整数） ， 其结果为_ 7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，
9、每次移动 1 个单位，依次得到 5 点 P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，1），P5（2，1），P6（2，0），则点 P2017的 坐标是 8. 观察下列各式及其验证过程： ，验证： ，验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 a（a 为自然数，且 a2）表示的等式，并给出验证； （3）用 a（a 为任意自然数，且 a2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程 9. 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层 多一个圆圈,一共堆了 n 层.将图倒置后与
10、原图拼成图的形状,这样我们可以算出图中所有圆圈的个 数为 1+2+3+n=. 如果图和图中的圆圈都有 13 层. (1)我们自上往下，在图的每个圆圈中填上一串连续的正整数 1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈 中的数是_； (2)我们自上往下，在图每个圆圈中填上一串连续的整数23，22，21，20，求最底层最右边圆圈 内的数是_； (3)求图中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程) 10. 观察下列等式： 6 （1）第 1 个等式：a1= 111 1 1 323 ； 第 2 个等式：a2= 1111 3 5235 ； 第 3 个等式：a3= 1111 5 7257 ； 第 4 个等式：a4= 1111 7 9279 ； 用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an=_=_（n 为正整数）； （2）按一定规律排列的一列数依次为 2 3 ，1， 8 7 ， 11 9 ， 14 11 ， 17 13 ，按此规律，这列数中的第 100 个数是_