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备战2019中考数学热点难点突破第3.4讲 变式探究题(教师版)

1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 专题专题 04 变式探究题变式探究题 考纲要求考纲要求: 变式探究题比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力,难度适 中,从而深受命题者的青睐,中考题型以填空题、解答题为主,难度一般不是很大 基础知识回顾基础知识回顾: 解变式探究题时,一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件,然后严格证明,解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合,归纳猜想等数型思想方法. 应用举例应用举例: 类型一、类型一、特殊的四边形的变式题 【例【例 1】在正方形 ABCD 中,AB=8,点 P 在边 CD 上,tan

2、PBC= 3 4 ,点 Q 是在射线 BP 上的一个动点, 过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M,点 R 在射线 AD 上,使 RQ 始终与直线 BP 垂直 (1)如图 1,当点 R 与点 D 重合时,求 PQ 的长; (2)如图 2,试探索: RM MQ 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化?若有变化,请说明你的理由;若没有 变化,请求出它的比值; (3)如图 3,若点 Q 在线段 BP 上,设 PQ=x,RM=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出它的定义域 【答案】(1) 6 5 ;(2) 3 4 ;(3) 93 202 yx;0x 26 5 . 【解析】 (1)由题意

3、,得8ABBCCDAD,90CA 在 RtBCP中, 90Ctan PC PBC BC 3 tan 4 PBC6PC 2RP 22 10PBPCBC 2 RQBQ 90RQPCRQP BPCRPQ PBCPRQ PBPC RPPQ 10 6 2PQ 6 5 PQ (2)答: RM MQ 的比值随点Q的运动没有变化 理由:如图, MQAB 1ABP , QMRA 90CA 90QMRC RQBQ 190RQM 90ABCABPPBC RQMPBC RMQPCB RMPC MQBC 6PC , 8BC 3 4 RM MQ RM MQ 的比值随点Q的运动没有变化,比值为 3 4 (3)延长BP交AD

4、的延长线于点N 3 PDAB PDND ABNA 8NANDADND 2 88 ND ND 8 3 ND 22 10 3 PNPDND PDAB, MQAB PDMQ PDNP MQNQ 3 4 RM MQ , RMy 4 3 MQy 又2PD , 10 3 NQPQPNx 10 2 3 410 33 yx 93 202 yx 它的定义域是 26 0 5 x 类型二、类型二、三角形有关的变式题 【例【例 2】数学课上,张老师出示了问题:如图 1,AC,BD 是四边形 ABCD 的对角线,若 ACB=ACD=ABD=ADB=60 ,则线段 BC,CD,AC 三者之间有何等量关系? 经过思考,小明

5、展示了一种正确的思路:如图 2,延长 CB 到 E,使 BE=CD, 连接 AE, 证得ABEADC, 从而容易证明ACE 是等边三角形,故 AC=CE,所以 AC=BC+CD 小亮展示了另一种正确的思路:如图 3,将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60 ,使 AB 与 AD 重合,从而容易 证明ACF 是等边三角形,故 AC=CF,所以 AC=BC+CD 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图 4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为 4 “ACB=ACD=ABD=ADB=45”,其它条件不变,那么线段 BC,CD,AC 三者之间有何等量关系?针 对小颖提出

6、的问题,请你写出结论,并给出证明 (2)小华提出:如图 5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为 “ACB=ACD=ABD=ADB=”,其它条件不变,那么线段 BC,CD,AC 三者之间有何等量关系?针对 小华提出的问题,请你写出结论,不用证明 【答案】(1)BC+CD=AC;(2)BC+CD=2ACcos 【解析】 试题解析:(1)BC+CD=AC; 理由:如图 1,延长 CD 至 E,使 DE=BC, ABD=ADB=45 , AB=AD,BAD=180 ABDADB=90 , ACB=ACD=45 ,ACB+ACD=45 , BAD+BCD=180 , ABC+ADC=18

7、0 , ADC+ADE=180 , ABC=ADE, 在ABC 和ADE 中, AB=AD,ABC=ADE,BC=DE, ABCADE(SAS), ACB=AED=45 ,AC=AE, 5 ACE 是等腰直角三角形, CE=AC, CE=CE+DE=CD+BC, BC+CD=AC; (2)BC+CD=2ACcos理由:如图 2,延长 CD 至 E,使 DE=BC, ABD=ADB=, AB=AD,BAD=180 ABDADB=180 2, ACB=ACD=, ACB+ACD=2, BAD+BCD=180 , ABC+ADC=180 , ADC+ADE=180 ,ABC=ADE, 在ABC 和A

8、DE 中, AB=AD,ABC=ADE,BC=DE, ABCADE(SAS), ACB=AED=,AC=AE, AEC=,过点 A 作 AFCE 于 F, CE=2CF, 在 RtACF 中,ACD=,CF=ACcosACD=ACcos, CE=2CF=2ACcos, CE=CD+DE=CD+BC, BC+CD=2ACcos 类型三、类型三、图形的旋转与对称变式 6 【例【例 3】如图 1,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90 ,AB=AC,四边形 ADEF 是正方形,点 B、C 分 别在边 AD、AF 上,此时 BD=CF,BDCF 成立 (1)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 (0 90

9、)时,如图 2,BD=CF 成立吗?若成立,请证明,若不成 立,请说明理由; (2)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 H 求证:BDCF; 当 AB=2,AD=3 时,求线段 DH 的长 【答案】(1)BD=CF,理由见解析;(2)证明见解析;DH= 【解析】 解:(l)、BDCF 成立 由旋转得:ACAB,CAFBAD;AFAD, ABDACF, BDCF. (2) 、由(1)得,ABDACF, HFNADN, HNFAND,AND+AND=90 HFN+HNF90 ,NHF90 , HDHF,即 BDCF. 、如图,连接 DF,延长 AB,与

10、DF 交于点 M. 四边形 ADEF 是正方形, MDA45 , MAD45 , MADMDA,AMD90 , AM=DM AD=3 在MAD 中, AMDM3.MBAM-AB=321, 在BMD 中, 7 , MAD=MDA=45 , AMD=90 ,又DHF=90 ,MDB=HDF, DMBDHF, DM:DH=DB:DF,即, 解得,DH= 方法、规律归纳方法、规律归纳: 解开放型问题时,一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件,然后严格证明,解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合,归纳猜想等数型思想方法. 实战演练实战演练: 1. 在 RtABC 中, ACB=90

11、 , 点 D 与点 B 在 AC 同侧, DACBAC, 且 DA=DC, 过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E,M 为 AB 的中点,连接 MD,ME (1)如图 1,当ADC=90 时,线段 MD 与 ME 的数量关系是 ; (2)如图 2,当ADC=60 时,试探究线段 MD 与 ME 的数量关系,并证明你的结论; (3)如图 3,当ADC= 时,求 ME MD 的值 【答案】(1)MD=ME;(2)MD=3ME;(3)tan 2 【解析】 8 (1)MD=ME如图 1,延长 EM 交 AD 于 F, BEDA,FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME,AMFBME, AF=B

12、E,MF=ME,DA=DC,ADC=90 , BED=ADC=90 ,ACD=45 , ACB=90 ,ECB=45 , EBC=BEDECB=45 =ECB, CE=BE,AF=CE,DA=DC,DF=DE, DMEF,DM 平分ADC,MDE=45 , MD=ME,故答案为:MD=ME; (2)MD=3ME,理由: 如图 2,延长 EM 交 AD 于 F,BEDA,FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME,AMFBME, AF=BE,MF=ME,DA=DC,ADC=60 , BED=ADC=60 ,ACD=60 ,ACB=90 ,ECB=30 , EBC=BEDECB=30 =ECB,

13、CE=BE, AF=CE,DA=DC,DF=DE,DMEF,DM 平分ADC,MDE=30 ,在 RtMDE 中, tanMDE= ME MD = 3 3 ,MD=3ME (3)如图 3,延长 EM 交 AD 于 F,BEDA,FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME,AMFBME, AF=BE,MF=ME,延长 BE 交 AC 于点 N,BNC=DAC, DA=DC,DCA=DAC,BNC=DCA, ACB=90 ,ECB=EBC,CE=BE,AF=CE, DF=DE,DMEF,DM 平分ADC,ADC=,MDE= 2 , 在 RtMDE 中, ME MD =tanMDE=tan 2 9

14、 2. 如图,ABC 和ADE 是有公共顶点的直角三角形,BACDAE90 ,点 P 为射线 BD,CE 的交 点 (1)如图 1,若ABC 和ADE 是等腰三角形,求证:ABDACE; (2)如图 2,若ADEABC30 ,问:(1)中的结论是否成立?请说明理由 (3)在(1)的条件下,AB6,AD4,若把ADE 绕点 A 旋转,当EAC90 时,请直接写出 PB 的 长度 【答案】(1)见详解 (2)结论仍成立,理由见详解 (3)PB=或. 【解析】 解:(1)ABC 和ADE 是等腰三角形, AD=AE,AB=AC, BAC=DAE=90 , DAB=EAC, DABEAC(SAS),

15、ABD=ACE, (2)结论仍成立, 理由:ADE=ABC=30 , 10 tan30 =, 由(1)知, DAB=EAC, DAB 相似EAC(相等角的对应边成比例), ABD=ACE, (3)a、如下图中,当点 E 在 AB 上时,BE=AB-AE=2, EAC=90 , CE= =, 同(1)可证ADBAEC DBA=ECA PEB=AEC, PEBAEC ,即,PB=, b、如下图中,当点 E 在 BA 延长线上时,BE=10, EAC=90 , 11 CE= =, 同(1)可证ADBAEC DBA=ECA BEP=CEA, PEBAEC, ,即,PB=, 综上,PB=或. 3已知:A

16、BC 和ADE 均为等边三角形,连接 BE,CD,点 F,G,H 分别为 DE,BE,CD 中点 (1)当ADE 绕点 A 旋转时,如图 1,则FGH 的形状为 ,说明理由; (2)在ADE 旋转的过程中,当 B,D,E 三点共线时,如图 2,若 AB=3,AD=2,求线段 FH 的长; (3)在ADE 旋转的过程中,若 AB=a,AD=b(ab0),则FGH 的周长是否存在最大值和最小值, 若存在,直接写出最大值和最小值;若不存在,说明理由 【答案】(1)FGH 是等边三角形;(2) 61 2 ;(3)FGH 的周长最大值为 3 2 (a+b),最小值为 3 2 (ab) 【解析】 (2)如

17、图 2 中,连接 AF、EC在 RtAFE 和 RtAFB 中,解直角三角形即可; (3)首先证明GFH 的周长=3GF= 3 2 BD,求出 BD 的最大值和最小值即可解决问题; 试题解析:(1)结论:FGH 是等边三角形理由如下: 如图 1 中,连接 BD、CE,延长 BD 交 CE 于 M,设 BM 交 FH 于点 O 12 ABC 和 ADE 均 为 等 边 三 角 形 , AB=AC , AD=AE , BAC=DAE , BAD=CAE , BADCAE,BD=CE,ADB=AEC,EG=GB,EF=FD,FG= 1 2 BD,GFBD,DF=EF, DH=HC , FH= 1 2

18、 EC , FHEC , FG=FH , ADB+ADM=180, AEC+ADM=180, DMC+DAE=180 ,DME=120 ,BMC=60 GFH=BOH=BMC=60 ,GHF 是等边三角形,故答案为:等边三角形 (2)如图 2 中,连接 AF、EC 易知 AFDE, 在 RtAEF 中, AE=2, EF=DF=1, AF= 22 21=3, 在 RtABF 中, BF= 22 ABAF =6,BD=CE=BFDF=61,FH= 1 2 EC= 61 2 (3)存在理由如下 由 (1) 可知, GFH 是等边三角形, GF= 1 2 BD, GFH 的周长=3GF= 3 2 B

19、D, 在ABD 中, AB=a, AD=b, BD 的最小值为 ab,最大值为 a+b,FGH 的周长最大值为 3 2 (a+b),最小值为 3 2 (ab) 4请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题: 13 探究 1:如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得 到线段 BD,连接求证:的面积为提示:过点 D 作 BC 边上的高 DE,可证 探究 2:如图 2,在一般的中,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BD,连接请用含 a 的式子表示的面积,并说明理由 探究 3:如图 3,在等腰三角形 ABC 中,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段

20、BD,连接试探究用含 a 的式子表示的面积,要有探究过程 【答案】(1)详见解析;(2)的面积为,理由详见解析;(3)的面积为 【解析】 如图 1,过点 D 作交 CB 的延长线于 E, , 由旋转知, , 在和中, , , ,; 的面积为, 理由:如图 2,过点 D 作 BC 的垂线,与 BC 的延长线交于点 E, 14 , 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BE, , , , , 在和中, , , , , ; 如图 3,过点 A 作与 F,过点 D 作的延长线于点 E, , , , , 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的, 15 在和中, , , , , 的面积为 5在 RtA

21、BC 中,ACB90 ,AB,AC2,过点 B 作直线 mAC,将ABC 绕点 C 顺时针 旋转得到ABC(点 A,B 的对应点分别为 A,B),射线 CA,CB分別交直线 m 于点 P,Q (1)如图 1,当 P 与 A重合时,求ACA的度数; (2)如图 2,设 AB与 BC 的交点为 M,当 M 为 AB的中点时,求线段 PQ 的长; (3)在旋转过程中,当点 P,Q 分别在 CA,CB的延长线上时,试探究四边形 PABQ 的面积是否存在最 小值若存在,求出四边形 PABQ 的最小面积;若不存在,请说明理由 【答案】(1)60 ;(2)PQ ;(3)存在,SPCQ的最小值3,S四边形PA

22、BQ3 【解析】 (1)由旋转可得:AC=AC=2 ACB=90 ,AB,AC=2,BC ACB=90 ,mAC,ABC=90 ,cosACB,ACB=30 ,ACA=60 ; (2)M 为 AB的中点,ACM=MAC,由旋转可得:MAC=A,A=ACM, tanPCB=tanA,PBBC BQC=BCP=A,tanBQC=tanA, BQ=BC2,PQ=PB+BQ; 16 (3)S四边形PABQ=SPCQSACB=SPCQ, S四边形PABQ最小,即 SPCQ最小,SPCQPQ BCPQ, 法一:(几何法)取 PQ 的中点 G PCQ=90 ,CGPQ,即 PQ=2CG,当 CG 最小时,P

23、Q 最小, CGPQ,即 CG 与 CB 重合时,CG 最小,CGmin,PQmin=2, SPCQ的最小值=3,S四边形PABQ=3; 法二(代数法)设 PB=x,BQ=y,由射影定理得:xy=3,当 PQ 最小时,x+y 最小, (x+y)2=x2+2xy+y2=x2+6+y22xy+6=12, 当 x=y时,“=”成立,PQ, SPCQ的最小值=3,S四边形PABQ=3 6已知ABC 与DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形 (1)如图所示,连接 AE,DB,试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系,并说明理由; (2)如图所示,连接 DB,将线段 DB 绕 D 点顺时针旋转 90

24、到 DF,连接 AF,试判断线段 DE 和 AF 的 数量和位置关系,并说明理由 【答案】(1)AE=DB,AEDB;(2)DE=AF,DEAF 【解析】 ABC 与DEC 是等腰直角三角形,AC=BC,EC=DC,在 RtBCD 和 RtACE 中,AC=BC, ACE=BCD, CE=CD, RtBCDRtACE, AE=BD, AEC=BDC, BCD=90 , DHE=90 , AEDB; (2)DE=AF,DEAF证明如下: 17 设 DE 与 AF 交于 N,由题意得,BE=AD, EBD=C+BDC=90 +BDC,ADF=BDF+BDC=90 +BDC, EBD=ADF,在EB

25、D 和ADF 中,BE=AD,EBD=ADF,DE=DF, EBDADF,DE=AF,E=FAD,E=45 ,EDC=45 , FAD=45 ,AND=90 ,即 DEAF 7 如图 1, 在正方形 ABCD 中, 点 E, F 分别是边 BC, AB 上的点, 且 CE=BF 连接 DE, 过点 E 作 EGDE, 使 EG=DE,连接 FG,FC (1)请判断:FG 与 CE 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图 2,若点 E,F 分别是边 CB,BA 延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请 作出判断并给予证明; (3)如图 3,若点 E,F 分别是边 BC,AB

26、延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请 直接写出你的判断 【答案】(1)FG=CE,FGCE;(2)成立;(3)成立 【解析】 (1)FG=CE,FGCE; (2)过点 G 作 GHCB 的延长线于点 H,EGDE,GEH+DEC=90 ,GEH+HGE=90 , DEC=HGE, 在HGE 与CED 中, GHE=DCE, HGE=DEC, EG=DE, HGECED (AAS),GH=CE,HE=CD,CE=BF,GH=BF,GHBF,四边形 GHBF 是矩形,GF=BH, FGCH,FGCE四边形 ABCD 是正方形,CD=BC,HE=BC,HE+EB=BC+EB,BH

27、=EC, FG=EC; 18 (3)四边形 ABCD 是正方形,BC=CD,FBC=ECD=90 ,在CBF 与DCE 中,BF=CE, FBC=ECD,BC=DC,CBFDCE(SAS),BCF=CDE,CF=DE,EG=DE,CF=EG, DEEG, DEC+CEG=90 , CDE+DEC=90 , CDE=CEG, BCF=CEG, CFEG, 四边形 CEGF 平行四边形,FGCE,FG=CE 8. 如图,MAN=60 ,AP 平分MAN,点 B 是射线 AP 上一定点,点 C 在直线 AN 上运动,连接 BC,将 ABC(0 ABC120 )的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B

28、 顺时针旋转 120 ,旋转后角的两边分别与射 线 AM 交于点 D 和点 E (1)如图 1,当点 C 在射线 AN 上时,请判断线段 BC 与 BD 的数量关系,直接写出结论; 请探究线段 AC,AD 和 BE 之间的数量关系,写出结论并证明; (2)如图 2,当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时,BC 交射线 AM 于点 F,若 AB=4,AC=,请直接写 出线段 AD 和 DF 的长 【答案】(1)BC=BD;AD+AC=BE;(2)AD=,DF= 【解析】试题分析:(1)结论:BC=BD只要证明BGDBHC 即可结论:AD+AC=BE只 要证明 AD+AC=2AG=2EG,再证明

29、 EB=BE 即可解决问题; (2) 如图 2 中, 作 BGAM 于 G, BHAN 于 H, AKCF 于 K 由 (1) 可知, ABGABH, BGDBHC, 易知 BH,AH,BC,CH, AD 的长,由 sinACH=,推出 AK 的长,设 FG=y,则 AF=y, 19 BF=,由AFKBFG,可得,可得关于 y 的方程,求出 y 即可解决问题 试题解析:(1)结论:BC=BD, 理由:如图 1 中,作 BGAM 于 G,BHAN 于 H, MAN=60 ,PA 平分MAN,BGAM 于 G,BHAN 于 H,BG=BH,GBH=CBD=120 , CBH=GBD,BGD=BHC

30、=90 ,BGDBHC,BD=BC; 结论:AD+AC=BE, ABE=120 , BAE=30 , BEA=BAE=30 , BA=BE, BGAE, AG=GE, EG=BEcos30=BE, BGDBHC,DG=CH,AB=AB,BG=BH,RtABGRtABH,AG=AH, AD+AC=AG+DG+AHCH=2AG=BE,AD+AC=BE; (2)如图 2 中,作 BGAM 于 G,BHAN 于 H,AKCF 于 K, 由(1)可知,ABGABH,BGDBHC, 易知 BH=GB=2,AH=AG=EG=,BC=BD= =,CH=DG=, AD=,sinACH=,AK=, 20 设 FG

31、=y,则 AF=y,BF=, AFK=BFG,AKF=BGF=90 , AFKBFG,解得 y=或(舍弃), DF=GF+DG=,即 DF= 9.已知四边形 ABCD 是菱形,AB=4,ABC=60 ,EAF 的两边分别与射线 CB,DC 相交于点 E,F,且 EAF=60 (1)如图 1,当点 E 是线段 CB 的中点时,直接写出线段 AE,EF,AF 之间的数量关系; (2)如图 2,当点 E 是线段 CB 上任意一点时(点 E 不与 B、C 重合),求证:BE=CF; (3)如图 3,当点 E 在线段 CB 的延长线上,且EAB=15 时,求点 F 到 BC 的距离 【答案】(1)AE=

32、EF=AF;(2)证明见解析;(3)33 【解析】 (1)解:结论 AE=EF=AF 理由: 如图 1 中, 连接 AC, 四边形 ABCD 是菱形, B=60 , AB=BC=CD=AD, B=D=60 , ABC, ADC 是等边三角形,BAC=DAC=60 BE=EC,BAE=CAE=30 ,AEBC,EAF=60 ,CAF=DAF=30 , AFCD,AE=AF(菱形的高相等),AEF 是等边三角形,AE=EF=AF (2)证明:如图 2 中,BAC=EAF=60 , BAE=CAE,在BAE 和CAF 中, BAE=CAF,BA=AC,B=ACF, BAECAF,BE=CF (3)解

33、:过点 A 作 AGBC 于点 G,过点 F 作 FHEC 于点 H, EAB=15 ,ABC=60 ,AEB=45 , 21 在 RTAGB 中,ABC=60 AB=4,BG=2,AG=2 3, 在 RTAEG 中,AEG=EAG=45 ,AG=GE=2 3,EB=EGBG=2 32, AEBAFC,AE=AF,EB=CF=2 32,AEB=AFC=45 ,EAF=60 ,AE=AF,AEF 是等边三角形,AEF=AFE=60 AEB=45 ,AEF=60 ,CEF=AEFAEB=15 , 在 RTEFH 中,CEF=15 ,EFH=75 ,AFE=60 , AFH=EFHAFE=15 ,A

34、FC=45 ,CFH=AFCAFH=30 , 在 RTCHF 中,CFH=30 ,CF=2 32, FH=CFcos30 = 3 (2 32) 2 =33, 点 F 到 BC 的距离为33 考点:1四边形综合题;2探究型;3变式探究 10如图,过、作 x 轴的垂线,分别交直线于 C、D 两点 抛物线 经过 O、C、D 三点 求抛物线的表达式; 点 M 为直线 OD 上的一个动点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N,问是否存在这样的点 M,使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点 M 的横坐标;若不存在,请说明理由; 若沿 CD 方向平移 点 C 在线段 CD

35、上,且不与点 D 重合 ,在平移的过程中与重叠 部分的面积记为 S,试求 S 的最大值 22 【答案】(1);(2) 或或;(3) 【解析】 (1)由题意,可得 C(1,3),D(3,1) 抛物线过原点,设抛物线的解析式为:y=ax2+bx,解得,抛物线的表达式 为:yx2x (2)存在 设直线 OD 解析式为 y=kx,将 D(3,1)代入,求得 k,直线 OD 解析式为 yx 设点 M 的横坐标为 x,则 M(x, x),N(x,x2x),MN=|yMyN|=| x(x2x)|=| x2 4x| 由题意, 可知 MNAC, 因为以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形, 则有

36、MN=AC=3, | x24x|=3 若 x24x=3,整理得:4x212x9=0,解得:x或 x; 若 x24x=3,整理得:4x212x+9=0,解得:x,存在满足条件的点 M,点 M 的横坐标为: 或 或 (3)C(1,3),D(3,1),易得直线 OC 的解析式为 y=3x,直线 OD 的解析式为 yx 23 如解答图所示,设平移中的三角形为AOC,点 C在线段 CD 上 设 OC与 x 轴交于点 E,与直线 OD 交于点 P; 设 AC与 x 轴交于点 F,与直线 OD 交于点 Q 设水平方向的平移距离为 t(0t2),则图中 AF=t,F(1+t,0),Q(1+t,t),C(1+t,3t) 设直线 OC的解析式为 y=3x+b,将 C(1+t,3t)代入得:b=4t,直线 OC的解析式为 y=3x4t,E ( t,0) 联立 y=3x4t 与 yx,解得:xt,P( t, t) 过点 P 作 PGx 轴于点 G,则 PGt,S=SOFQSOEPOFFQOEPG (1+t)(t) t t (t1)2 当 t=1 时,S 有最大值为 ,S 的最大值为