1、 1 专题专题 1：构造等边三角形：构造等边三角形 【典例引领】【典例引领】 例：例：在菱形 ABCD 中，ABC=60，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连 接 BE、EF。 （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 1，易证：BE=EF（不需证明）； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图 2、图 3，线段 BE、EF 有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】 首先构造全等三角形， 过点 E 作 EGBC， 可得到AGE 是等边三角形，
2、 就可证出 BGEECF， 进而得出 BE=EF 【解答】 证明：（2）图 2：BE=EF 图 3：BE=EF 图 2 证明如下：过点 E 作 EGBC，交 AB 于点 G 四边形 ABCD 为菱形AB=BC 又ABC=60ABC 是等边三角形 AB=AC ACB=60 2 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE 是等边三角形 AG=AE， BG=CE 又CF=AE GE=CF 又BGE=ECF=120 BGEECF（SAS） BE=EF 图 3 证明如下：过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点 G 四边形 ABCD 为菱形 AB=BC 又ABC=60 ABC 是等边三
3、角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE 是等边三角形 AG=AE BG=CE 又CF=AE GE=CF AGE =ECF=60 BGEECF（SAS） BE=EF 【强化训练】【强化训练】 1如图，ABC 中，AB=BC，BDAC 于点 D，FAC= ABC，且FAC 在 AC 下方点 P，Q 分别是 射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于 点 E，连接 DE 3 （1）若ABC=60，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段
4、DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论 仍然成立（用含的三角函数表示） 【答案】（1）DE= AQ，DEAQ，理由见解析； EAQ，DE= AQ，理由见解析；（2）AQ=2BPsin ，理由见解析. 【分析】 （1）先判断出ABC 是等边三角形，进而判断出CBP=CAQ，即可判断出BPCAQC，再判断 出PCQ 是等边三角形，进而得出 CE=QE，即可得出结论； 同的方法即可得出结论； （2）先判断出
5、，PAQ=90ACQ，BAP=90ACQ，进而得出BCP=ACQ，即可判断出进 而判断出BPCAQC，最后用锐角三角函数即可得出结论 【解答】 （1）DE= AQ，DEAQ， 理由：如图 1，连接 PC，PQ， 在ABC 中，AB=AC，ABC=60， ABC 是等边三角形， ACB=60，AC=BC， 4 AB=BC，BDAC， AD=CD，ABD=CBD= BAC， CAF= ABC， CBP=CAQ， 在BPC 和AQC 中， ， BPCAQC（SAS）， PC=QC，BPC=ACQ， PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60， PCQ 是等边三角形， PECQ， CE=QE
6、， AD=CD， DE= AQ，DEAQ； DEAQ，DE= AQ， 理由：如图 2，连接 PQ，PC， 同的方法得出 DEAQ，DE= AQ； （2）AQ=2BPsin， 5 理由：连接 PQ，PC， 要使 DE= AQ，DEAQ， AD=CD， CE=QE， PECQ， PQ=PC， 易知，PA=PC， PA=PE=PC 以点 P 为圆心，PA 为半径的圆必过 A，Q，C， APQ=2ACQ， PA=PQ， PAQ=PQA= （180APQ）=90ACQ， CAF=ABD，ABD+BAD=90， BAQ=90， BAP=90PAQ=90ACQ， 易知，BCP=BAP， BCP=ACQ， C
7、BP=CAQ， 6 BPCAQC， ， 在 RtBCD 中，sin= ， =2 =2sin， AQ=2BPsin 2如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 O 为 AB 中点，点 P 为直线 BC 上的动点（不与点 B、点 C 重合），连接 OC、OP，将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60，得到线段 PQ，连接 BQ （1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系 （2）如图 2，当点 P 在 CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明 理由； （3）如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，若BPO
8、=15，BP=4，请求出 BQ 的长 【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3） 【分析】（1）结论：BQ=CP如图 1 中，作 PHAB 交 CO 于 H，可得PCH 是等边三角形，只要证明 POHQPB 即可； （2）成立：PC=BQ作 PHAB 交 CO 的延长线于 H证明方法类似（1）； （3） 如图 3 中， 作 CEOP 于 E， 在 PE 上取一点 F， 使得 FP=FC， 连接 CF 设 CE=CO=a， 则 FC=FP=2a， EF= a，在 RtPCE 中，表示出 PC，根据 PC+CB=4，可得方程 ，求出 a 即可解 决问题； 【解答】 7 解：（1）结论
9、：BQ=CP 理由：如图 1 中，作 PHAB 交 CO 于 H 在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 O 为 AB 中点， CO=AO=BO，CBO=60，CBO 是等边三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60， CHP=CPH=60， CPH 是等边三角形，PC=PH=CH，OH=PB， OPB=OPQ+QPB=OCB+COP，OPQ=OCP=60，POH=QPB，PO=PQ， POHQPB，PH=QB， PC=BQ （2）成立：PC=BQ理由：作 PHAB 交 CO 的延长线于 H 在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 O 为 AB 中点，CO=AO=BO，
10、CBO=60，CBO 是 等边三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60， CHP=CPH=60，CPH 是等边三角形， PC=PH=CH，OH=PB，POH=60+CPO， 8 QPO=60+CPQ，POH=QPB，PO=PQ， POHQPB，PH=QB，PC=BQ （3）如图 3 中，作 CEOP 于 E，在 PE 上取一点 F，使得 FP=FC，连接 CF OPC=15， OCB=OCP+POC， POC=45， CE=EO， 设 CE=CO=a， 则 FC=FP=2a， EF= a， 在 RtPCE 中， PC= = = ， PC+CB=4， ，解得 a= ，PC= ，由（2）
11、可知 BQ=PC，BQ= 3在菱形 中， ,点 是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点 的位置随 点 的位置变化而变化. （1）如图 1，当点 在菱形 内部或边上时，连接 ， 与 的数量关系是 ， 与 的位 置关系是 ； （2）当点 在菱形 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图 4，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，若 , ,求四边形 的面积. 【答案】（1）BP=CE； CEAD；（2）成立，理由见解析；（3） . 9 【分析】（1）连接 AC，证明ABPACE，根据全等三角形的
12、对应边相等即可证得 BP=CE；根据 菱形对角线平分对角可得 ，再根据ABPACE，可得 ，继而可推导得 出 ，即可证得 CEAD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接 AC 交 BD 于点 O，CE，作 EHAP 于 H，由已知先求得 BD=6，再利用勾股定理求出 CE 的长， AP 长，由APE 是等边三角形，求得 ， 的长，再根据 四 ，进行计算即可得. 【解答】（1）BP=CE，理由如下： 连接 AC， 菱形 ABCD，ABC=60， ABC 是等边三角形， AB=AC，BAC=60， APE 是等边三角形， AP=AE ，
13、PAE=60 ， BAP=CAE， ABPACE，BP=CE； CEAD ， 菱形对角线平分对角， ， ABPACE， ， 10 ， ， ， ， CFAD ，即 CEAD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立，理由如下： 连接 AC， 菱形 ABCD，ABC=60， ABC 和ACD 都是等边三角形， AB=AC，BAD=120 ， BAP=120DAP， APE 是等边三角形， AP=AE ， PAE=60 ， CAE=6060DAP=120DAP， BAP=CAE， ABPACE，BP=CE， ， DCE=30 ，ADC=60， DCEADC=90 ， CHD=90 ，C
14、EAD， 11 (1)中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立； (3) 连接 AC 交 BD 于点 O，CE，作 EHAP 于 H， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BD 平分ABC ， ABC=60， ， ABO=30 ， ， BO=DO=3， BD=6， 由(2)知 CEAD， ADBC，CEBC， ， ， ， 由(2)知 BP=CE=8，DP=2，OP=5， ， APE 是等边三角形， ， ， 四 ， 四 ， 12 = = = ， 四边形 ADPE 的面积是 . 4已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，直线 y= x+ 与 x 轴、y 轴分别
15、交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为菱形 （1）如图 1，求点 A 的坐标； （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，连接 AP、BP，BP 与 AC 交于点 G，且APB=60，点 E 在线段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE，连接 AF、EF，若AFE=30，求 AF2+EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标 【答案】（1）A（ ，0）（2）49；（3）P（ ，3 ） 【分析】（1）利用勾股定理求出 BC 的长即可解决问题； （2）如图 2 中，连接 CE、CF证明CEF 是等边三角形，AFCF 即可解决问题
16、； （3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，作 PQAB 于 Q，PKOC 于 K，在 BP 设截取 BT=PA， 连接 AT、CT、CF、PC证明APF 是等边三角形，ATPB 即可解决问题； 【解答】（1）如图 1 中， 13 y=- x+ ， B（ ，0），C（0， ）， BO= ，OC= ， 在 RtOBC 中，BC= =7， 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=7， OA=AB-OB=7- = ， A（- ，0） （2）如图 2 中，连接 CE、CF OA=OB，COAB， AC=BC=7， AB=BC=AC， ABC 是等边三角形， 14 ACB=60， AP
17、B=60， APB=ACB， PAG+APB=AGB=CBG+ACB， PAG=CBG，AE=BF， ACEBCF， CE=CF，ACE=BCF， ECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60， CEF 是等边三角形， CFE=60，EF=FC， AFE=30， AFC=AFE+CFE=90， 在 RtACF 中，AF2+CF2=AC2=49， AF2+EF2=49 （3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，作 PQAB 于 Q，PKOC 于 K，在 BP 设截取 BT=PA， 连接 AT、CT、CF、PC CEF 是等边三角形， CEF=60，EC=CF， AFE=3
18、0，CEF=H+EFH， 15 H=CEF-EFH=30， H=EFH， EH=EF， EC=EH， PE=AE，PEC=AEH， CPEHAE， PCE=H， PCFH， CAP=CBT，AC=BC， ACPBCT， CP=CT，ACP=BCT， PCT=ACB=60， CPT 是等边三角形， CT=PT，CPT=CTP=60， CPFH， HFP=CPT=60， APB=60， APF 是等边三角形， CFP=AFC-AFP=30， TCF=CTP-TFC=30， TCF=TFC， TF=TC=TP， ATPF，设 BF=m，则 AE=PE=m， 16 PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m， 在 RtAPT 中，AT= m， 在 RtABT 中，AT2+TB2=AB2， （ m）2+（2m）2=72， 解得 m= 或- （舍弃）， BF= ，AT= ，BP=3 ，sinABT= ， OK=PQ=BPsinPBQ=3 =3 ，BQ= =6， OQ=BQ-BO=6- = ， P（- ，3 ）