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备战2020年中考几何压轴题分类导练专题01 构造等边三角形 (教师版)

1、 1 专题专题 1:构造等边三角形:构造等边三角形 【典例引领】【典例引领】 例:例:在菱形 ABCD 中,ABC=60,E 是对角线 AC 上一点,F 是线段 BC 延长线上一点,且 CF=AE,连 接 BE、EF。 (1)若 E 是线段 AC 的中点,如图 1,易证:BE=EF(不需证明); (2)若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变,如图 2、图 3,线段 BE、EF 有怎样的数 量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明。 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【分析】 首先构造全等三角形, 过点 E 作 EGBC, 可得到AGE 是等边三角形,

2、 就可证出 BGEECF, 进而得出 BE=EF 【解答】 证明:(2)图 2:BE=EF 图 3:BE=EF 图 2 证明如下:过点 E 作 EGBC,交 AB 于点 G 四边形 ABCD 为菱形AB=BC 又ABC=60ABC 是等边三角形 AB=AC ACB=60 2 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE 是等边三角形 AG=AE, BG=CE 又CF=AE GE=CF 又BGE=ECF=120 BGEECF(SAS) BE=EF 图 3 证明如下:过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点 G 四边形 ABCD 为菱形 AB=BC 又ABC=60 ABC 是等边三

3、角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE 是等边三角形 AG=AE BG=CE 又CF=AE GE=CF AGE =ECF=60 BGEECF(SAS) BE=EF 【强化训练】【强化训练】 1如图,ABC 中,AB=BC,BDAC 于点 D,FAC= ABC,且FAC 在 AC 下方点 P,Q 分别是 射线 BD,射线 AF 上的动点,且点 P 不与点 B 重合,点 Q 不与点 A 重合,连接 CQ,过点 P 作 PECQ 于 点 E,连接 DE 3 (1)若ABC=60,BP=AQ 如图 1,当点 P 在线段 BD 上运动时,请直接写出线段

4、DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系; 如图 2,当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时,试判断中的结论是否成立,并说明理由; (2)若ABC=260,请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时,能使(1)中的结论 仍然成立(用含的三角函数表示) 【答案】(1)DE= AQ,DEAQ,理由见解析; EAQ,DE= AQ,理由见解析;(2)AQ=2BPsin ,理由见解析. 【分析】 (1)先判断出ABC 是等边三角形,进而判断出CBP=CAQ,即可判断出BPCAQC,再判断 出PCQ 是等边三角形,进而得出 CE=QE,即可得出结论; 同的方法即可得出结论; (2)先判断出

5、,PAQ=90ACQ,BAP=90ACQ,进而得出BCP=ACQ,即可判断出进 而判断出BPCAQC,最后用锐角三角函数即可得出结论 【解答】 (1)DE= AQ,DEAQ, 理由:如图 1,连接 PC,PQ, 在ABC 中,AB=AC,ABC=60, ABC 是等边三角形, ACB=60,AC=BC, 4 AB=BC,BDAC, AD=CD,ABD=CBD= BAC, CAF= ABC, CBP=CAQ, 在BPC 和AQC 中, , BPCAQC(SAS), PC=QC,BPC=ACQ, PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60, PCQ 是等边三角形, PECQ, CE=QE

6、, AD=CD, DE= AQ,DEAQ; DEAQ,DE= AQ, 理由:如图 2,连接 PQ,PC, 同的方法得出 DEAQ,DE= AQ; (2)AQ=2BPsin, 5 理由:连接 PQ,PC, 要使 DE= AQ,DEAQ, AD=CD, CE=QE, PECQ, PQ=PC, 易知,PA=PC, PA=PE=PC 以点 P 为圆心,PA 为半径的圆必过 A,Q,C, APQ=2ACQ, PA=PQ, PAQ=PQA= (180APQ)=90ACQ, CAF=ABD,ABD+BAD=90, BAQ=90, BAP=90PAQ=90ACQ, 易知,BCP=BAP, BCP=ACQ, C

7、BP=CAQ, 6 BPCAQC, , 在 RtBCD 中,sin= , =2 =2sin, AQ=2BPsin 2如图,在 RtABC 中,ACB=90,A=30,点 O 为 AB 中点,点 P 为直线 BC 上的动点(不与点 B、点 C 重合),连接 OC、OP,将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60,得到线段 PQ,连接 BQ (1)如图 1,当点 P 在线段 BC 上时,请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系 (2)如图 2,当点 P 在 CB 延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明 理由; (3)如图 3,当点 P 在 BC 延长线上时,若BPO

8、=15,BP=4,请求出 BQ 的长 【答案】(1)BQ=CP;(2)成立:PC=BQ;(3) 【分析】(1)结论:BQ=CP如图 1 中,作 PHAB 交 CO 于 H,可得PCH 是等边三角形,只要证明 POHQPB 即可; (2)成立:PC=BQ作 PHAB 交 CO 的延长线于 H证明方法类似(1); (3) 如图 3 中, 作 CEOP 于 E, 在 PE 上取一点 F, 使得 FP=FC, 连接 CF 设 CE=CO=a, 则 FC=FP=2a, EF= a,在 RtPCE 中,表示出 PC,根据 PC+CB=4,可得方程 ,求出 a 即可解 决问题; 【解答】 7 解:(1)结论

9、:BQ=CP 理由:如图 1 中,作 PHAB 交 CO 于 H 在 RtABC 中,ACB=90,A=30,点 O 为 AB 中点, CO=AO=BO,CBO=60,CBO 是等边三角形,CHP=COB=60,CPH=CBO=60, CHP=CPH=60, CPH 是等边三角形,PC=PH=CH,OH=PB, OPB=OPQ+QPB=OCB+COP,OPQ=OCP=60,POH=QPB,PO=PQ, POHQPB,PH=QB, PC=BQ (2)成立:PC=BQ理由:作 PHAB 交 CO 的延长线于 H 在 RtABC 中,ACB=90,A=30,点 O 为 AB 中点,CO=AO=BO,

10、CBO=60,CBO 是 等边三角形,CHP=COB=60,CPH=CBO=60, CHP=CPH=60,CPH 是等边三角形, PC=PH=CH,OH=PB,POH=60+CPO, 8 QPO=60+CPQ,POH=QPB,PO=PQ, POHQPB,PH=QB,PC=BQ (3)如图 3 中,作 CEOP 于 E,在 PE 上取一点 F,使得 FP=FC,连接 CF OPC=15, OCB=OCP+POC, POC=45, CE=EO, 设 CE=CO=a, 则 FC=FP=2a, EF= a, 在 RtPCE 中, PC= = = , PC+CB=4, ,解得 a= ,PC= ,由(2)

11、可知 BQ=PC,BQ= 3在菱形 中, ,点 是射线 上一动点,以 为边向右侧作等边 ,点 的位置随 点 的位置变化而变化. (1)如图 1,当点 在菱形 内部或边上时,连接 , 与 的数量关系是 , 与 的位 置关系是 ; (2)当点 在菱形 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立, 请说明理由(选择图 2,图 3 中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图 4,当点 在线段 的延长线上时,连接 ,若 , ,求四边形 的面积. 【答案】(1)BP=CE; CEAD;(2)成立,理由见解析;(3) . 9 【分析】(1)连接 AC,证明ABPACE,根据全等三角形的

12、对应边相等即可证得 BP=CE;根据 菱形对角线平分对角可得 ,再根据ABPACE,可得 ,继而可推导得 出 ,即可证得 CEAD; (2)(1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立,利用(1)的方法进行证明即可; (3)连接 AC 交 BD 于点 O,CE,作 EHAP 于 H,由已知先求得 BD=6,再利用勾股定理求出 CE 的长, AP 长,由APE 是等边三角形,求得 , 的长,再根据 四 ,进行计算即可得. 【解答】(1)BP=CE,理由如下: 连接 AC, 菱形 ABCD,ABC=60, ABC 是等边三角形, AB=AC,BAC=60, APE 是等边三角形, AP=AE ,

13、PAE=60 , BAP=CAE, ABPACE,BP=CE; CEAD , 菱形对角线平分对角, , ABPACE, , 10 , , , , CFAD ,即 CEAD; (2)(1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立,理由如下: 连接 AC, 菱形 ABCD,ABC=60, ABC 和ACD 都是等边三角形, AB=AC,BAD=120 , BAP=120DAP, APE 是等边三角形, AP=AE , PAE=60 , CAE=6060DAP=120DAP, BAP=CAE, ABPACE,BP=CE, , DCE=30 ,ADC=60, DCEADC=90 , CHD=90 ,C

14、EAD, 11 (1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立; (3) 连接 AC 交 BD 于点 O,CE,作 EHAP 于 H, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD,BD 平分ABC , ABC=60, , ABO=30 , , BO=DO=3, BD=6, 由(2)知 CEAD, ADBC,CEBC, , , , 由(2)知 BP=CE=8,DP=2,OP=5, , APE 是等边三角形, , , 四 , 四 , 12 = = = , 四边形 ADPE 的面积是 . 4已知:在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴的负半轴上,直线 y= x+ 与 x 轴、y 轴分别

15、交于 B、C 两点,四边形 ABCD 为菱形 (1)如图 1,求点 A 的坐标; (2)如图 2,连接 AC,点 P 为ACD 内一点,连接 AP、BP,BP 与 AC 交于点 G,且APB=60,点 E 在线段 AP 上,点 F 在线段 BP 上,且 BF=AE,连接 AF、EF,若AFE=30,求 AF2+EF2的值; (3)如图 3,在(2)的条件下,当 PE=AE 时,求点 P 的坐标 【答案】(1)A( ,0)(2)49;(3)P( ,3 ) 【分析】(1)利用勾股定理求出 BC 的长即可解决问题; (2)如图 2 中,连接 CE、CF证明CEF 是等边三角形,AFCF 即可解决问题

16、; (3)如图 3 中,延长 CE 交 FA 的延长线于 H,作 PQAB 于 Q,PKOC 于 K,在 BP 设截取 BT=PA, 连接 AT、CT、CF、PC证明APF 是等边三角形,ATPB 即可解决问题; 【解答】(1)如图 1 中, 13 y=- x+ , B( ,0),C(0, ), BO= ,OC= , 在 RtOBC 中,BC= =7, 四边形 ABCD 是菱形, AB=BC=7, OA=AB-OB=7- = , A(- ,0) (2)如图 2 中,连接 CE、CF OA=OB,COAB, AC=BC=7, AB=BC=AC, ABC 是等边三角形, 14 ACB=60, AP

17、B=60, APB=ACB, PAG+APB=AGB=CBG+ACB, PAG=CBG,AE=BF, ACEBCF, CE=CF,ACE=BCF, ECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60, CEF 是等边三角形, CFE=60,EF=FC, AFE=30, AFC=AFE+CFE=90, 在 RtACF 中,AF2+CF2=AC2=49, AF2+EF2=49 (3)如图 3 中,延长 CE 交 FA 的延长线于 H,作 PQAB 于 Q,PKOC 于 K,在 BP 设截取 BT=PA, 连接 AT、CT、CF、PC CEF 是等边三角形, CEF=60,EC=CF, AFE=3

18、0,CEF=H+EFH, 15 H=CEF-EFH=30, H=EFH, EH=EF, EC=EH, PE=AE,PEC=AEH, CPEHAE, PCE=H, PCFH, CAP=CBT,AC=BC, ACPBCT, CP=CT,ACP=BCT, PCT=ACB=60, CPT 是等边三角形, CT=PT,CPT=CTP=60, CPFH, HFP=CPT=60, APB=60, APF 是等边三角形, CFP=AFC-AFP=30, TCF=CTP-TFC=30, TCF=TFC, TF=TC=TP, ATPF,设 BF=m,则 AE=PE=m, 16 PF=AP=2m,TF=TP=m,TB=2m,BP=3m, 在 RtAPT 中,AT= m, 在 RtABT 中,AT2+TB2=AB2, ( m)2+(2m)2=72, 解得 m= 或- (舍弃), BF= ,AT= ,BP=3 ,sinABT= , OK=PQ=BPsinPBQ=3 =3 ,BQ= =6, OQ=BQ-BO=6- = , P(- ,3 )