1、 1 专题专题 1：构造等边三角形：构造等边三角形 【典例引领】【典例引领】 例：例：在菱形 ABCD 中，ABC=60，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连 接 BE、EF。 （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 1，易证：BE=EF（不需证明）； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图 2、图 3，线段 BE、EF 有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。 【强化训练】【强化训练】 1如图，ABC 中，AB=BC，BDAC 于点 D，FAC= ABC，且FAC 在 AC 下方点 P，Q
2、 分别是 射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于 点 E，连接 DE （1）若ABC=60，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； 2 （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论 仍然成立（用含的三角函数表示） 2如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 O 为 AB 中点，
3、点 P 为直线 BC 上的动点（不与点 B、点 C 重合），连接 OC、OP，将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60，得到线段 PQ，连接 BQ （1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系 （2）如图 2，当点 P 在 CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明 理由； （3）如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，若BPO=15，BP=4，请求出 BQ 的长 3在菱形 中， ,点 是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点 的位置随 点 的位置变化而变化. （1）如图 1，当点 在菱形 内部或边上时，连接
4、， 与 的数量关系是 ， 与 的位 置关系是 ； （2）当点 在菱形 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图 4，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，若 , ,求四边形 的面积. 3 4已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，直线 y= x+ 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为菱形 （1）如图 1，求点 A 的坐标； （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，连接 AP、BP，BP 与 AC 交于点 G，且APB=60，点 E 在线段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE，连接 AF、EF，若AFE=30，求 AF2+EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标