1、 1 专题 3：截长补短法 【典例引领】【典例引领】 例题：（2013 黑龙江龙东地区）正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC、BD 的交点， 过点 O 作 OE MN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F。 （1）如图 1，点 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系？ 请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【强化训练】【强化训练】 1、（2018 黑龙江龙东地区） 如图， 在 RtBCD 中， C
2、BD=90 ， BC=BD， 点 A 在 CB 的延长线上， 且 BA=BC， 点 E 在直线 BD 上移动，过点 E 作射线 EFEA，交 CD 所在直线于点 F. （1）当点 E 在线段 BD 上移动时，如图（1）所示，求证：BCDE= DF. 2 （2）当点 E 在直线 BD 上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段 BC、DE 和 DF 又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，不需证明. 3 2如图，（图如图，（图 1，图，图 2），四边形），四边形 ABCD 是边长为是边长为 4 的正方形，点的正方形，点 E 在线段在线段 BC 上，上， AEF=90 ,且且 EF 交正方形外角平
3、分线交正方形外角平分线 CP 于点于点 F， 交， 交 BC 的延长线于点的延长线于点 N, FNBC. （1）若点）若点 E 是是 BC 的中点（如图的中点（如图 1），），AE 与与 EF 相等吗？相等吗？ （2）点）点 E 在在 BC 间运动时（如图间运动时（如图 2），设），设 BE=x， ECF 的面积为的面积为 y。 求求 y 与与 x 的函数关系式；的函数关系式； 当当 x 取何值时，取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值有最大值，并求出这个最大值. 3阅读下面材料：阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图小明遇到这样一个问题：如图 1，在，在 ABC 中，中，ACB90 ，
4、ACBC，在三角形内，在三角形内 取一点取一点 D，ADAC，CAD30 ，求，求ADB 小明通过探究发现，小明通过探究发现，DABDCB15 ，BCAD，这样就具备了一边一角的图，这样就具备了一边一角的图 4 形特征，他果断延长形特征，他果断延长 CD 至点至点 E，使，使 CEAB，连接，连接 EB，造出全等三角形，使问题，造出全等三角形，使问题 得到解决得到解决 （1）按照小明思路完成解答，求）按照小明思路完成解答，求ADB； （2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：）参考小明思考问题的方法，解答下列问题： 如图如图 2， ABC 中，中，ABAC，点，点 D、E、F 分别为分别为
5、BC、AC、AB 上一点，连接上一点，连接 DE， 延长延长 FE、DF 分别交分别交 BC、CA 延长线于点延长线于点 G、H，若，若DHCEDG2G 在图中找出与在图中找出与DEC 相等的角，并加以证明；相等的角，并加以证明； 若若 BGkCD，猜想，猜想 DE 与与 DG 的数量关系并证明的数量关系并证明 4【问题情境】在ABC 中，AB=AC，点 P 为 BC 所在直线上的任一点，过点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E，过点 C 作 CFAB，垂足为 F当 P 在 BC 边上时（如图 1），求证：PD+PE=CF 5 图 图 图 证明思路是：如图 2，连接 AP，由ABP 与ACP 面积之和等于ABC 的面积可以证 得：PD+PE=CF（不要证明） 【变式探究】 当点 P 在 CB 延长线上时，其余条件不变（如图 3）.试探索 PD、PE、CF 之间的数量 关系并说明理由. 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图 4，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C处，点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PGBE、PHBC，垂足分别为 G、H，若 AD=8， CF=3，求 PG+PH 的值；