1、 1 专题专题 5：角平分线性质的应用角平分线性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例： 在等腰ABC 中，B=90 ，AM 是ABC 的角平分线，过点 M 作 MNAC 于点 N，EMF=135 将 EMF 绕点 M 旋转，使EMF 的 两边交直线 AB 于点 E，交直线 AC 于点 F，请解答下列问题： （1）当EMF 绕点 M 旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当EMF 绕点 M 旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段 BE，CF，BM 之间的数量关系，不 需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM=3，AN=2+1，则 BM= ，CF= 【强化训练】 1
2、（2017 辽宁省葫芦岛市）如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120 ， 旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点 D 和点 E 2 （1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论； 请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=3，请直接写 出线段 AD
3、 和 DF 的长 2（2017 辽宁省抚顺市，第 25 题，12 分）如图，OF 是MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是 直线 ON 上的两动点，点 Q 在点 P 的右侧，且 PQ=OA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF、ON 交 于点 B、点 C，连接 AB、PB （1）如图 1，当 P、Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系； （2）如图 2，当 P、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在（1）中的数量关系？ 若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； 3 （3）如图 3，MON=60 ，连
4、接 AP，设 AP OQ =k，当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时，k 是否存在最小 值？若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由 3如图，已知正方形 ABCD 的边长为2，连接 AC、BD 交于点 O，CE 平分ACD 交 BD 于点 E， （1）求 DE 的长； （2）过点 EF 作 EFCE，交 AB 于点 F，求 BF 的长； （3）过点 E 作 EGCE，交 CD 于点 G，求 DG 的长 4 4已知AOB90 ，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它的两条 直角边分别与 OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点 D，E. 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图)，易证：ODOE2OC； 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若 成立， 请给予证明： 若不成立， 线段 OD， OE， OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 不需证明