1、 1 专题专题 6：直角三角形性质的应用：直角三角形性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例：如图，在 RtABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CD=CE （1）如图 1，求证：CAE=CBD； （2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AECF； （3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求CGF 的面积 【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S CFG = 【解析】【解析】（1）直接判断出ACEBCD 即可得出结论； （2）先判断出BCF=CBF，进而得出BCF=CAE，即可得出结论； （
2、3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，最后用面积 公式即可得出结论 【解答】（1）在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD， CAE=CBD； （2）如图 2， 在 RtBCD 中，点 F 是 BD 的中点， CF=BF， BCF=CBF， 由（1）知，CAE=CBD， BCF=CAE， CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90 ， 2 AMC=90 ， AECF； （3）如图 3， AC=2 ， BC=AC=2 ， CE=1， CD=CE=1， 在 RtBCD 中，根据勾股定理得，BD= =3， 点 F 是 BD 中点， C
3、F=DF= BD= ， 同理：EG= AE= ， 连接 EF，过点 F 作 FHBC， ACB=90 ，点 F 是 BD 的中点， FH= CD= ， S CEF = CEFH= 1 = ， 由（2）知，AECF， S CEF = CFME= ME= ME， ME= ， ME= ， GM=EG-ME= - = ， S CFG = CFGM= = 【强化训练】【强化训练】 1在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点（点 E 不与点 C、D 重合），连结 BE （感知）如图，过点 A 作 AFBE 交 BC 于点 F易证ABFBCE（不需要证明） （探究）如图，取 BE 的中点 M，过点 M
4、 作 FGBE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G （1）求证：BE=FG （2）连结 CM，若 CM=1，则 FG 的长为 3 （应用） 如图， 取 BE 的中点 M， 连结 CM 过点 C 作 CGBE 交 AD 于点 G， 连结 EG、 MG 若 CM=3， 则四边形 GMCE 的面积为 【答案】【答案】（1）证明见解析；（2）2，9. 【解析】【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出BAF=CBE，即可得出结论； 探究：（1）判断出 PG=BC，同感知的方法判断出PGFCBE，即可得出结论； （2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半， 应用：借助感知得出结论和直角三角形斜
5、边的中线是斜边的一半即可得出结论 【解答】感知：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，BCE=ABC=90 ， ABE+CBE=90 ， AFBE， ABE+BAF=90 ， BAF=CBE， 在ABF 和BCE 中， ， ABFBCE（ASA）； 探究：（1）如图， 过点 G 作 GPBC 于 P， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，A=ABC=90 ， 四边形 ABPG 是矩形， 4 PG=AB，PG=BC， 同感知的方法得，PGF=CBE， 在PGF 和CBE 中， ， PGFCBE（ASA）， BE=FG； （2）由（1）知，FG=BE， 连接 CM， BCE=90 ，点
6、M 是 BE 的中点， BE=2CM=2， FG=2， 故答案为：2 应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ME=3， 同探究（1）得，CG=BE=6， BECG， S四边形CEGM= CG ME= 6 3=9， 故答案为：9 2综合与实践： 如图 1，将一个等腰直角三角尺 的顶点 放置在直线 上， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 观察发现： （1）如图 1当 ， 两点均在直线 的上方时， 猜测线段 ， 与 的数量关系，并说明理由； 直接写出线段 ， 与 的数量关系； 操作证明： （2）将等腰直角三角尺 绕着点 逆时针旋转至图 2 位置时，线段 ， 与 又有怎样的数量关系，
7、 请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索： （3）将等腰直角三用尺 绕着点 继续旋转至图 3 位置时， 与 交于点 ，若 ， ，请直 接写出 的长度 5 【答案】【答案】（1） 理由见解析； ；（2） ；证明见解析； （3） 的长度为 【分析】（1）过点 作 ，根据已知条件结合直角三角形性质证明 ，从而得到四边形 为正方形，最后得出 ，直接写出 （2）过点 作 ，先证明 ，证明四边形 为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点 作 ，证明 ，四边形 为正方形，再求解. 【解答】解：（1） 理由如下： 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ， 又 四边形 为矩形 又 ， 即 在 和 中，
8、 ( ) ， 又四边形 为矩形， 6 四边形 为正方形 （2） 如图，过点 作 ，交 延长线于点 ， ， ， 又 ， 四边形 为矩形 又 ， ， 即 在 和 中， ( ) ， 又四边形 为矩形， 四边形 为正方形 ， （3） 7 如图，过点 作 ，交 于点 ， 同理可证， ，四边形 为正方形 ， ， ， ， ， ， 3如图，在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A，C 重合），在ABC 的外部 作CED，使CED=90 ，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF （1）请直接写出线段 AF，AE 的数量关系 ； （
9、2）将CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数 量关系，并证明你的结论； （3）在图的基础上，将CED 绕点 C 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变， 结合图写出证明过程；若变化，请说明理由 【答案】【答案】(1)AF= AE；（2）AF= AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF= AE，理由详见解析. 8 【分分析】析】（1）如图中，结论：AF= AE，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可（2）如图中，结 论： AF= AE， 连接 EF， DF 交 BC 于 K， 先证明EKFEDA 再证明AEF
10、是等腰直角三角形即可 （3） 如图中，结论不变，AF= AE，连接 EF，延长 FD 交 AC 于 K，先证明EDFECA，再证明AEF 是等腰直角三角形即可 【解答】（1）如图中，结论：AF= AE 理由：四边形 ABFD 是平行四边形 ， AB=DF， AB=AC， AC=DF， DE=EC， AE=EF， DEC=AEF=90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF= AE （2）如图中，结论：AF= AE 理由：连接 EF，DF 交 BC 于 K 四边形 ABFD 是平行四边形， ABDF， 9 DKE=ABC=45 ， EKF=180 DKE=135 ， ADE=180 EDC=180
11、 45 =135 ， EKF=ADE， DKC=C， DK=DC， DF=AB=AC， KF=AD， 在EKF 和EDA 中， ， EKFEDA， EF=EA，KEF=AED， FEA=BED=90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF= AE （3）如图中，结论不变，AF= AE 理由：连接 EF，延长 FD 交 AC 于 K EDF=180 KDCEDC=135 KDC， ACE=（90 KDC）+DCE=135 KDC， EDF=ACE， DF=AB，AB=AC， DF=AC 在EDF 和ECA 中， ， 10 EDFECA， EF=EA，FED=AEC， FEA=DEC=90 ， AE
12、F 是等腰直角三角形， 4如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 （0 90 ），得到图，AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM 与 PN 的数 量关系，并加以证明 【答案】【答案】（1）PM=
13、PN，PMPN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析 【分分析】析】（1）由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD，由此可得 AE=BD，再根据三角形中位线定理 即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PMPN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路 即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明BCDACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、M、N 分别 为 AD、AB、DE 的中点，所以 PM=BD，PN=AE，进而可证明 PM=kPN 【解答】（1）PM=PN，PMPN，理由如下： ACB 和ECD 是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB
14、=ECD=90 11 在ACE 和BCD 中， ACEBCD（SAS）， AE=BD，EAC=CBD， 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点， PM=BD，PN=AE， PM=PM， NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90 ， MPA+NPC=90 ， MPN=90 ， 即 PMPN； （2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD， CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD， BHO=ACO=90 点 P、M、N 分别为 A
15、D、AB、DE 的中点， PM=BD，PMBD； PN=AE，PNAE PM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN （3）PM=kPN ACB 和ECD 是直角三角形， ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD BC=kAC，CD=kCE， =k BCDACE BD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， PM=BD，PN=AE PM=kPN 12 5如图，在ABC 中，ABC=90 ，AB=BC，点 E 是直线 BC 上一点，连接 AE，过点 C 作 CFAE 于点 F，连接 BF如图，当点 E 在 BC 上时，易
16、证 AFCF= BF（不需证明），点 E 在 CB 的延长线上，如 图：点 E 在 BC 的延长线上，如图，线段 AF，CF，BF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜 想，并选择一种情况给予证明 【答案】【答案】证明 AF=CF+ BF 如图中，结论：CFAF= BF理由见解析；如图中，结论：CF+AF= BF理由见解析. 【分析】 如图中，作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF，即可解决问题. 如图中，结论：CFAF BF作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF，即可解決问題. 如图中，结论：CFAF BF，只要证明BAHBCF，即可解決问题. 【解答】 证明：如
17、图中，作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， EFC=EBA=90 ， CEF=AEB， ECF=EAB， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， 13 FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AFAH=AFCF， AFCF=BF， AF=CF+BF 如图中，结论：CFAF=BF 理由：作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， AFC=ABC=90 ， CEF+FCB=90 ，AEB+BAH=90 ECF=EAB， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AHAF=CFAF， CFAF=BF 如图中，结论：CF+AF=BF 14 理由：作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH， FBC=ABH， AFC=ABC=90 ， BCF+BAF=180 ，BAF+BAH=180 BCF=BAH， 在BAH 和BCF 中， ， BAHBCF， AH=CF，BH=BF， FBH=90 ， BFH 是等腰直角三角形， FH=BF， FH=AH+AF=CF+AF， CF+AF=BF