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备战2020年中考几何压轴题分类导练专题06 直角三角形性质的应用(教师版)

1、 1 专题专题 6:直角三角形性质的应用:直角三角形性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例:如图,在 RtABC 中,AC=BC,ACB=90 ,点 D,E 分别在 AC,BC 上,且 CD=CE (1)如图 1,求证:CAE=CBD; (2)如图 2,F 是 BD 的中点,求证:AECF; (3)如图 3,F,G 分别是 BD,AE 的中点,若 AC=2 ,CE=1,求CGF 的面积 【答案】【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)S CFG = 【解析】【解析】(1)直接判断出ACEBCD 即可得出结论; (2)先判断出BCF=CBF,进而得出BCF=CAE,即可得出结论; (

2、3)先求出 BD=3,进而求出 CF= ,同理:EG= ,再利用等面积法求出 ME,进而求出 GM,最后用面积 公式即可得出结论 【解答】(1)在ACE 和BCD 中, , ACEBCD, CAE=CBD; (2)如图 2, 在 RtBCD 中,点 F 是 BD 的中点, CF=BF, BCF=CBF, 由(1)知,CAE=CBD, BCF=CAE, CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90 , 2 AMC=90 , AECF; (3)如图 3, AC=2 , BC=AC=2 , CE=1, CD=CE=1, 在 RtBCD 中,根据勾股定理得,BD= =3, 点 F 是 BD 中点, C

3、F=DF= BD= , 同理:EG= AE= , 连接 EF,过点 F 作 FHBC, ACB=90 ,点 F 是 BD 的中点, FH= CD= , S CEF = CEFH= 1 = , 由(2)知,AECF, S CEF = CFME= ME= ME, ME= , ME= , GM=EG-ME= - = , S CFG = CFGM= = 【强化训练】【强化训练】 1在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 上一点(点 E 不与点 C、D 重合),连结 BE (感知)如图,过点 A 作 AFBE 交 BC 于点 F易证ABFBCE(不需要证明) (探究)如图,取 BE 的中点 M,过点 M

4、 作 FGBE 交 BC 于点 F,交 AD 于点 G (1)求证:BE=FG (2)连结 CM,若 CM=1,则 FG 的长为 3 (应用) 如图, 取 BE 的中点 M, 连结 CM 过点 C 作 CGBE 交 AD 于点 G, 连结 EG、 MG 若 CM=3, 则四边形 GMCE 的面积为 【答案】【答案】(1)证明见解析;(2)2,9. 【解析】【解析】【分析】感知:利用同角的余角相等判断出BAF=CBE,即可得出结论; 探究:(1)判断出 PG=BC,同感知的方法判断出PGFCBE,即可得出结论; (2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半, 应用:借助感知得出结论和直角三角形斜

5、边的中线是斜边的一半即可得出结论 【解答】感知:四边形 ABCD 是正方形, AB=BC,BCE=ABC=90 , ABE+CBE=90 , AFBE, ABE+BAF=90 , BAF=CBE, 在ABF 和BCE 中, , ABFBCE(ASA); 探究:(1)如图, 过点 G 作 GPBC 于 P, 四边形 ABCD 是正方形, AB=BC,A=ABC=90 , 四边形 ABPG 是矩形, 4 PG=AB,PG=BC, 同感知的方法得,PGF=CBE, 在PGF 和CBE 中, , PGFCBE(ASA), BE=FG; (2)由(1)知,FG=BE, 连接 CM, BCE=90 ,点

6、M 是 BE 的中点, BE=2CM=2, FG=2, 故答案为:2 应用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6, ME=3, 同探究(1)得,CG=BE=6, BECG, S四边形CEGM= CG ME= 6 3=9, 故答案为:9 2综合与实践: 如图 1,将一个等腰直角三角尺 的顶点 放置在直线 上, , ,过点 作 于点 ,过点 作 于点 观察发现: (1)如图 1当 , 两点均在直线 的上方时, 猜测线段 , 与 的数量关系,并说明理由; 直接写出线段 , 与 的数量关系; 操作证明: (2)将等腰直角三角尺 绕着点 逆时针旋转至图 2 位置时,线段 , 与 又有怎样的数量关系,

7、 请写出你的猜想,并写出证明过程; 拓广探索: (3)将等腰直角三用尺 绕着点 继续旋转至图 3 位置时, 与 交于点 ,若 , ,请直 接写出 的长度 5 【答案】【答案】(1) 理由见解析; ;(2) ;证明见解析; (3) 的长度为 【分析】(1)过点 作 ,根据已知条件结合直角三角形性质证明 ,从而得到四边形 为正方形,最后得出 ,直接写出 (2)过点 作 ,先证明 ,证明四边形 为正方形,根据正方形的性质求解(3)过点 作 ,证明 ,四边形 为正方形,再求解. 【解答】解:(1) 理由如下: 如图,过点 作 ,交 的延长线于点 , , , 又 四边形 为矩形 又 , 即 在 和 中,

8、 ( ) , 又四边形 为矩形, 6 四边形 为正方形 (2) 如图,过点 作 ,交 延长线于点 , , , 又 , 四边形 为矩形 又 , , 即 在 和 中, ( ) , 又四边形 为矩形, 四边形 为正方形 , (3) 7 如图,过点 作 ,交 于点 , 同理可证, ,四边形 为正方形 , , , , , , 3如图,在ABC 中,BAC=90 ,AB=AC,点 E 在 AC 上(且不与点 A,C 重合),在ABC 的外部 作CED,使CED=90 ,DE=CE,连接 AD,分别以 AB,AD 为邻边作平行四边形 ABFD,连接 AF (1)请直接写出线段 AF,AE 的数量关系 ; (

9、2)将CED 绕点 C 逆时针旋转,当点 E 在线段 BC 上时,如图,连接 AE,请判断线段 AF,AE 的数 量关系,并证明你的结论; (3)在图的基础上,将CED 绕点 C 继续逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否发生变化?若不变, 结合图写出证明过程;若变化,请说明理由 【答案】【答案】(1)AF= AE;(2)AF= AE,证明详见解析;(3)结论不变,AF= AE,理由详见解析. 8 【分分析】析】(1)如图中,结论:AF= AE,只要证明AEF 是等腰直角三角形即可(2)如图中,结 论: AF= AE, 连接 EF, DF 交 BC 于 K, 先证明EKFEDA 再证明AEF

10、是等腰直角三角形即可 (3) 如图中,结论不变,AF= AE,连接 EF,延长 FD 交 AC 于 K,先证明EDFECA,再证明AEF 是等腰直角三角形即可 【解答】(1)如图中,结论:AF= AE 理由:四边形 ABFD 是平行四边形 , AB=DF, AB=AC, AC=DF, DE=EC, AE=EF, DEC=AEF=90 , AEF 是等腰直角三角形, AF= AE (2)如图中,结论:AF= AE 理由:连接 EF,DF 交 BC 于 K 四边形 ABFD 是平行四边形, ABDF, 9 DKE=ABC=45 , EKF=180 DKE=135 , ADE=180 EDC=180

11、 45 =135 , EKF=ADE, DKC=C, DK=DC, DF=AB=AC, KF=AD, 在EKF 和EDA 中, , EKFEDA, EF=EA,KEF=AED, FEA=BED=90 , AEF 是等腰直角三角形, AF= AE (3)如图中,结论不变,AF= AE 理由:连接 EF,延长 FD 交 AC 于 K EDF=180 KDCEDC=135 KDC, ACE=(90 KDC)+DCE=135 KDC, EDF=ACE, DF=AB,AB=AC, DF=AC 在EDF 和ECA 中, , 10 EDFECA, EF=EA,FED=AEC, FEA=DEC=90 , AE

12、F 是等腰直角三角形, 4如图,ABC 与CDE 是等腰直角三角形,直角边 AC、CD 在同一条直线上,点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点,点 P 为 AD 的中点,连接 AE、BD (1)猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系,请直接写出结论; (2)现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 (0 90 ),得到图,AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形,使 BC=kAC,CD=kCE,如图,写出 PM 与 PN 的数 量关系,并加以证明 【答案】【答案】(1)PM=

13、PN,PMPN,理由见解析;(2)理由见解析;(3)PM=kPN;理由见解析 【分分析】析】(1)由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD,由此可得 AE=BD,再根据三角形中位线定理 即可得到 PM=PN,由平行线的性质可得 PMPN;(2)(1)中的结论仍旧成立,由(1)中的证明思路 即可证明;(3)PM=kPN,由已知条件可证明BCDACE,所以可得 BD=kAE,因为点 P、M、N 分别 为 AD、AB、DE 的中点,所以 PM=BD,PN=AE,进而可证明 PM=kPN 【解答】(1)PM=PN,PMPN,理由如下: ACB 和ECD 是等腰直角三角形, AC=BC,EC=CD,ACB

14、=ECD=90 11 在ACE 和BCD 中, ACEBCD(SAS), AE=BD,EAC=CBD, 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点,点 P 为 AD 的中点, PM=BD,PN=AE, PM=PM, NPD=EAC,MPN=BDC,EAC+BDC=90 , MPA+NPC=90 , MPN=90 , 即 PMPN; (2)ACB 和ECD 是等腰直角三角形, AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD, CAE=CBD 又AOC=BOE,CAE=CBD, BHO=ACO=90 点 P、M、N 分别为 A

15、D、AB、DE 的中点, PM=BD,PMBD; PN=AE,PNAE PM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN (3)PM=kPN ACB 和ECD 是直角三角形, ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD BC=kAC,CD=kCE, =k BCDACE BD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点, PM=BD,PN=AE PM=kPN 12 5如图,在ABC 中,ABC=90 ,AB=BC,点 E 是直线 BC 上一点,连接 AE,过点 C 作 CFAE 于点 F,连接 BF如图,当点 E 在 BC 上时,易

16、证 AFCF= BF(不需证明),点 E 在 CB 的延长线上,如 图:点 E 在 BC 的延长线上,如图,线段 AF,CF,BF 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜 想,并选择一种情况给予证明 【答案】【答案】证明 AF=CF+ BF 如图中,结论:CFAF= BF理由见解析;如图中,结论:CF+AF= BF理由见解析. 【分析】 如图中,作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF,即可解决问题. 如图中,结论:CFAF BF作 BHBF 交 AF 于 H只要证明BAHBCF,即可解決问題. 如图中,结论:CFAF BF,只要证明BAHBCF,即可解決问题. 【解答】 证明:如

17、图中,作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH, FBC=ABH, EFC=EBA=90 , CEF=AEB, ECF=EAB, 在BAH 和BCF 中, , BAHBCF, AH=CF,BH=BF, 13 FBH=90 , BFH 是等腰直角三角形, FH=BF, FH=AFAH=AFCF, AFCF=BF, AF=CF+BF 如图中,结论:CFAF=BF 理由:作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH, FBC=ABH, AFC=ABC=90 , CEF+FCB=90 ,AEB+BAH=90 ECF=EAB, 在BAH 和BCF 中, , BAHBCF, AH=CF,BH=BF, FBH=90 , BFH 是等腰直角三角形, FH=BF, FH=AHAF=CFAF, CFAF=BF 如图中,结论:CF+AF=BF 14 理由:作 BHBF 交 AF 于 H ABC=FBH, FBC=ABH, AFC=ABC=90 , BCF+BAF=180 ,BAF+BAH=180 BCF=BAH, 在BAH 和BCF 中, , BAHBCF, AH=CF,BH=BF, FBH=90 , BFH 是等腰直角三角形, FH=BF, FH=AH+AF=CF+AF, CF+AF=BF