1、 1 专题专题 6：直角三角形性质的应用直角三角形性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例：如图，在 RtABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CD=CE （1）如图 1，求证：CAE=CBD； （2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AECF； （3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求CGF 的面积 【强化训练】【强化训练】 1在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点（点 E 不与点 C、D 重合），连结 BE （感知）如图，过点 A 作 AFBE 交 BC 于点 F易证ABFBCE（不需要证明） （
2、探究）如图，取 BE 的中点 M，过点 M 作 FGBE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G 2 （1）求证：BE=FG （2）连结 CM，若 CM=1，则 FG 的长为 （应用） 如图， 取 BE 的中点 M， 连结 CM 过点 C 作 CGBE 交 AD 于点 G， 连结 EG、 MG 若 CM=3， 则四边形 GMCE 的面积为 2综合与实践： 如图 1，将一个等腰直角三角尺 的顶点 放置在直线 上， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 观察发现： （1）如图 1当 ， 两点均在直线 的上方时， 猜测线段 ， 与 的数量关系，并说明理由； 直接写出线段 ， 与 的数量关系； 操作
3、证明： 3 （2）将等腰直角三角尺 绕着点 逆时针旋转至图 2 位置时，线段 ， 与 又有怎样的数量关系， 请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索： （3）将等腰直角三用尺 绕着点 继续旋转至图 3 位置时， 与 交于点 ，若 ， ，请直 接写出 的长度 3如图，在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A，C 重合），在ABC 的外部 作CED，使CED=90 ，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF （1）请直接写出线段 AF，AE 的数量关系 ； （2）将CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC
4、 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数 量关系，并证明你的结论； （3）在图的基础上，将CED 绕点 C 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变， 结合图写出证明过程；若变化，请说明理由 4 4如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 （0 90 ），得到图，AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM 与 PN 的数 量关系，并加以证明 5 5如图，在ABC 中，ABC=90 ，AB=BC，点 E 是直线 BC 上一点，连接 AE，过点 C 作 CFAE 于点 F，连接 BF如图，当点 E 在 BC 上时，易证 AFCF= BF（不需证明），点 E 在 CB 的延长线上，如 图：点 E 在 BC 的延长线上，如图，线段 AF，CF，BF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜 想，并选择一种情况给予证明