1、 1 专题专题 9：由动点引出的几种面积问题由动点引出的几种面积问题 动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为 我们所熟知的模型来解。 基本模型一 利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积. a a h h 面积公式：S= 1 2 ah 基本模型二 C A B D 其中：: ACDBCD SSAD BD ： ，: ACDBCA SSAD BA ： 基本模型三 a h C A OB 1 2 AOBACBAOBC SSSa hOA 四边形 类型一、一次函
2、数由动点问题引出的面积问题 例 1. 如图例 1-1，在平面直角坐标系中，直线 1 21yx和直线 2 4 4 3 yx 交于点 A. 直线yn 从 x 轴出发以每秒 2 个单位的速度向上运动，至通过 A 点时停止. 在运动过程中，直线yn分别交 y1、y2 两条直线于 C、B 两点，交 y 轴于点 D. 连接 OC、OB. 2 （1）设运动时间为 t（s） ，求 t 的取值范围. （2）求出OBC 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值及此时 n 的值. Ox y A y1 y2 y=n B CD 图例 1-1 【答案】见解析 【解析】 （1）联立 1 21yx， 2 4 4
3、 3 yx 得： 21 4 4 3 yx yx 解得： 9 10 14 5 x y 即点 A 坐标为 9 14 , 105 . 直线 y=n 运动到 A 点的时间为 147 2 55 s. 所以 t 的取值范围为 7 0 5 t . （2）由题意可知 OD=2t，B、C 两点纵坐标为 2t. 将 y=2t 分别代入 1 21yx， 2 4 4 3 yx 求得两 点横坐标为： 21 2 C t x ， 3 4263 42 B tt x . 所以 632175 222 BC ttt BCxx . 根据三角形面积公式，得： 1 2 SODBC 175 2 22 t t 2 5749 21040 t
4、. 3 因为 7 0 5 t ， 5 0 2 ，所以当 7 10 t 时，S 取最大值，最大值为 49 40 . 此时 7 2 5 nt. 【点睛】会利用联立函数解析式求函数的交点坐标；平面直角坐标系中两点 A(x1,y)、B(x2,y)，则 AB=|x1 x2|. 类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题 例 2. 如图例 2-1，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴的交点为 A、D(A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C，且 A(4，0)，C(0，3)，对称轴是直线 x=1 (1)求二次函数的解析式； (2)若 M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形 O
5、CMA 的面积为 S请写出 S 与 m 之间 的函数关系式，并求出当 m 为何值时，四边形 OCMA 的面积最大. AOD C x y AOD C x y M F E 图例 2-1 图例 2-2 【答案】见解析 【解析】 （1）因为二次函数对称轴是直线 x=1，所以1 2 b a . 将 A(4，0)，C(0，3)代入 y=ax2+bx+c 得： 1640 3 abc c 解得： 33 3 84 abc ， 即二次函数解析式为： 2 33 3 84 yxx. （2）连接 AC. 过点 M 作 MFx 轴，交 AC 于点 E. 设直线 AC 的解析式为：ykxn 将 A(4，0)，C(0，3)代
6、入ykxn得： 40 3 kn n . 解得： 3 4 3 k n . 4 即直线 AC 的解析式为： 3 3 4 yx. 因为 M 点横坐标为 m，所以 M 点坐标为 2 33 3 84 mmm ，E 点坐标为 3 3 4 mm ， 所以 22 33333 33 48482 EMmmmmm . AOCAMC SSS 11 22 OA OCEMOA 2 1133 434 2282 mm 23 29 4 m 所以，当 m=2 时，四边形 OCMA 的面积最大. 【点睛】利用待定系数法求函数解析式；平面直角坐标系中两点 A(x,y1)、B(x,y2)，则 AB=|y1y2|；利用 配方法求函数最值
7、. 类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题 例 3. 如图例 3-1，直线 y2x6 与反比例函数 k y x (k0)的图象交于点 A(1，m)，与 x 轴交于点 B， 平行于 x 轴的直线 yn(0n6)交反比例函数的图象于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM. (1)求 m 的值和反比例函数的表达式； (2)直线 yn 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时， BMN 的面积最大？ 图例 3-1 【答案】见解析 【解析】 （1）将 A(1，m)代入 y2x6，得 m=8. 将(1，8)代入 k y x 得：k=8. 5 即反比例函数解析式为： 8 y x . （2）由题意可知：N、M
8、 点纵坐标为 n，将 y=n 分别代入 y2x6 和 8 y x 得： 6 2 n Nn ， 8 Mn n ， 可得 MN= 86 2 n n . 186 22 BMN n Sn n 2125 3 44 n 因为08n，所以当 n=3 时， BMN 的面积最大. 【点睛】利用待定系数法求函数解析式；熟练利用函数解析式用纵坐标表示横坐标；平面直角坐标系 中两点 A(x1,y)、B(x2,y)，则 AB=|x1x2|. 类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题 例 4. 如图例 4-1，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，边 OA 的长度为 8，对角线 AC10，抛物线 y4 9x 2b
9、xc 经过点 A、C，与 AB 交于点 D. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合)，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接 PQ，设 CPm， CPQ 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数表达式并求出 S 最大时的 m 值. 图例 4-1 图例 4-2 【答案】见解析 【解析】 （1）在矩形 AOCB 中，AOC90 ， 由勾股定理可得，OC AC2OA2 102826. 所以 C(6，0). 将 A(0，8)、C(6，0)分别代入抛物线解析式 y4 9x 2bxc， 6 得 c8 4 9366bc0 ，解得 b4 3 c8 ， 所
10、以抛物线的解析式为 y4 9x 24 3x8. (2) 由题意得：AQ=PC=m，QC=10m. 如图例 4-2，过点 Q 作 QEBC 于 E 点. 在 RtQEC 和 RtABC 中，由三角函数可得： 3 sinACB= 5 QEAB QCAC . QE 10m 3 5，即 QE 3 5(10m)， S1 2CPQE 1 2m 3 5(10m) 3 10m 23 m， 3 10(m5) 215 2 ， 当 m5 时，S 取最大值. 【点睛】矩形的性质；用三角函数表示线段间的比例关系；配方法求二次函数最值. 类型五、由动点问题引出的面积存在性问题 例 5. 如图例 5-1，在平面直角坐标系中
11、，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，A（1，0） ，B（0，2） ， C（3，1）抛物线 2 1 2 2 yxbx的图象过 C 点，交 y 轴于点 D （1）在后面的横线上直接写出点 D 的坐标及 b 的值： ，b= ； （2） 平移该抛物线的对称轴所在直线 l， 设 l 与 x 轴交于点 G （x， 0） ， 当 OG 等于多少时， 恰好将ABC 的面积分为相等的两部分？ AO x y B C G F H E 7 图例 5-1 图例 5-2 【答案】见解析 【解析】 （1）D(0，2). 将 C（3，1）代入抛物线 2 1 2 2 yxbx，得 b= 1 2 . 二次函数解析式为：
12、2 11 2 22 yxx （2）在 RtAOB 中，由勾股定理得： 22 5ABOAOB ，所以 2 15 22 ABC SAB . 设直线 BC、直线 AC 的解析式为 111222 yk xbyk xb， 将 A（1，0） ，B（0，2） ，C（3，1）代入得： 122 1122 20 3131 bkb kbkb ， 解得： 12 1 2 1 2 2 1 1 - 3 2 bk k b ，即 12 111 2 322 yxyx ，. 如图例 5-2 所示. 设直线 l 交直线 BC、直线 AC 于点 F、G. 过 C 作 CHl 于点 H. 因为 G(x，0)，所以 111 ,2 223
13、E xxF xx ，所以 EF= 55 62 x，CH=3x 由 15 24 CFGABC SS ，得 15 24 EFCH 即： 1555 3 2624 xx ，解得： 12 3333xx舍 ，. 所以 OG 等于3 3 时，恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分. 【点睛】待定系数法求解函数解析式；第（2）问需画出图形，转化为我们所熟知的三角形CFG 的面 积求解. 类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题 例 6. 如图例 6-1，在平面直角坐标系中，抛物线 2 4 5 yaxxc与直线 22 55 yx 交于 A、B 两 点，已知点 B 的横坐标是 4，直线 22 55 yx
14、与 x、y 轴的交点分别为 A、C，点 P 是抛物线上一个动点. （1）求抛物线的解析式； 8 （2）若点 P 在直线 22 55 yx 上方，求PAC 的最大面积. O x y P A C B G E H 图例 6-1 图例 6-2 【答案】见解析 【解析】 （1）因为点 B 的横坐标是 4，所以4, 2B，1,0A ， 2 0, 5 C . 将1,0A 、4, 2B代入 2 4 5 yaxxc得： 4 1642 5 4 10 5 ac ac ，解得： 2 5 6 5 a c 即抛物线的解析式为： 2 246 555 yxx . （2）如图例 6-2，过点 B 作 BHx 轴于点 H. 过
15、P 作 PGx 轴于点 G，交 AB 于点 E，连接 PB. 由勾股定理得： 2 222 229 1 55 ACOAOC 2222 5229ABAHBH 所以，:1:5 PACPAB SSAC AB 即： 111 = 552 PACPAB SSAHPE . 设 P 点横坐标为 m，则 2 246 , 555 P mmm ， 22 , 55 E mm ， 2 268 555 PEmm ，AH=5 2 1268 5 10555 PAC Smm 9 2 135 524 m 当 3 2 m 时，PAC 的面积有最大值，最大值为 5 4 . 【点睛】待定系数法求解函数解析式；利用两三角形的高相等，则面积比等于底的比，将题目中的三 角形转化为我们熟知的三顶点都在抛物线上的三角形，利用铅垂高、水平宽求解.