1、 1 专题专题 7：旋转的应用：旋转的应用 【典例引领】【典例引领】 例题：在ABC 和ADE 中，BA=BC，DA=DE，且ABC=ADE= ，点 E 在ABC 的内部，连接 EC， EB 和 BD，并且ACE+ABE=90 . （1）如图 1，当 =60 时，线段 BD 与 CE 的数量关系为 ，线段 EA，EB，EC 的数量关系 为 ； （2）如图 2 当 =90 时，请写出线段 EA，EB，EC 的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点 E 在线段 CD 上时，若 BC= ，请直接写出BDE 的面积. 【答案】【答案】（1） ;（2） ;（3）2 【分析】（1）由DABE
2、AC（SAS），可得 BD=EC，ABD=ACE，由ACE+ABE=90 ，推出 ABD+ABE=90 ， 可得DBE=90 ， 由此即可解决问题； （2） 结论： EA2=EC2+2BE2 由题意ABC， ADE 都是等腰直角三角形，想办法证明DABEAC，推出 = ，ACE=ABD，可得DBE=90 ， 推出 DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明 AD=DE=EC，设 AD=DE=EC=x，在 RtADC 中，利 用勾股定理即可解决问题； 【解答】 （1）如图中， BA=BC，DA=DE且ABC=ADE=60 ， ABC，ADE 都是等边三角形， AD=AE，AB=AC，D
3、AE=BAC=60 ， DAB=EAC， DABEAC（SAS）， BD=EC，ABD=ACE， ACE+ABE=90 ， ABD+ABE=90 ， 2 DBE=90 ， DE2=BD2+BE2， EA=DE，BD=EC， EA2=BE2+EC2 故答案为 BD=EC，EA2=EB2+EC2 （2）结论：EA2=EC2+2BE2 理由：如图中， BA=BC，DA=DE且ABC=ADE=90 ， ABC，ADE 都是等腰直角三角形， DAE=BAC=45 ， DAB=EAC， = ， = ， ， DABEAC， = ，ACE=ABD， ACE+ABE=90 ， ABD+ABE=90 ， DBE=
4、90 ， DE2=BD2+BE2， EA= DE，BD= EC， EA 2= EC 2+BE2， EA2=EC2+2BE2 （3）如图中， 3 AED=45 ，D，E，C 共线， AEC=135 ， ADBAEC， ADB=AEC=135 ， ADE=DBE=90 ， BDE=BED=45 ， BD=BE， DE= BD， EC= BD， AD=DE=EC，设 AD=DE=EC=x， 在 RtABC 中，AB=BC=2 ， AC=2 ， 在 RtADC 中，AD2+DC2=AC2， x2+4x2=40， x=2 （负根已经舍弃）， AD=DE=2 ， BD=BE=2， S BDE = 2 2=
5、2 【强化训练】【强化训练】 1请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： 探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， ， ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得 到线段 BD，连接 求证： 的面积为 提示：过点 D 作 BC 边上的高 DE，可证 4 探究 2：如图 2，在一般的 中， ， ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD，连接 请用含 a 的式子表示 的面积，并说明理由 探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中， ， ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD，连接 试探究用含 a 的式子表示 的面积，要有探究过程 【答案】【答案】（1）详见解
6、析；（2） 的面积为 ，理由详见解析；（3） 的面积为 【分析】 如图1， 过点D作BC的垂线， 与BC的延长线交于点E， 由垂直的性质就可以得出 ， 就有 进而由三角形的面积公式得出结论； 如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质就可以得出 ，就 有 进而由三角形的面积公式得出结论； 如图3， 过点A作 与F， 过点D作 的延长线于点E， 由等腰三角形的性质可以得出 ， 由条件可以得出 就可以得出 ，由三角形的面积公式就可以得出结论 【解答】 如图 1，过点 D 作 交 CB 的延长线于 E， ， 由旋转知， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ，
7、， ； 的面积为 ， 理由：如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E， 5 ， 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BE， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ； 如图 3，过点 A 作 与 F，过点 D 作 的延长线于点 E， ， ， ， ， ， ， 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的， ， 在 和 中， 6 ， ， ， ， 的面积为 2 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4， 将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 角， 得到矩形 ABCD， BC 与 AD 交于点 E，AD 的延长线与 AD交于点 F （1）如图，
8、当 =60时，连接 DD，求 DD和 AF 的长； （2）如图，当矩形 ABCD的顶点 A落在 CD 的延长线上时，求 EF 的长； （3）如图，当 AE=EF 时，连接 AC，CF，求 ACCF 的值 【答案】【答案】（1）DD=3，AF= 4；（2）；（3） 【分分析】析】试题分析：（1）如图中，矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 角，得到矩形 ABCD， 只要证明CDD是等边三角形即可解决问题； 如图中，连接 CF，在 RtCDF 中，求出 FD即可解决问题； （2）由ADFADC，可推出 DF 的长，同理可得CDECBA，可求出 DE 的长，即可解决问题； （3）如图中，作 F
9、GCB于 G，由 S ACF = 1 2 ACCF= 1 2 AFCD，把问题转化为求 AFCD，只要证明 ACF=90 ，证明CADFAC，即可解决问题； 【解答】（1）如图中， 7 矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 角， 得到矩形 ABCD， AD=AD=BC=BC=4， CD=CD=AB=AB=3 ADC=ADC=90 =60，DCD=60，CDD是等边三角形，DD=CD=3 如图中，连接 CFCD=CD，CF=CF，CDF=CDF=90 ，CDFCDF，DCF=DCF= 1 2 DCD=30在 RtCDF 中，tanDCF= D F CD ，DF=3，AF=ADDF=43 （
10、2）如图中， 在 RtACD中， D=90， AC2=AD2+CD2， AC=5， AD=2 DAF=CAD， ADF=D=90， ADFADC， A DDF A DCD ， 2 43 DF ， DF= 3 2 同理可得CDECBA， CDED CBA B ， 3 43 ED ，ED= 9 4 ，EF=ED+DF=15 4 （3）如图中，作 FGCB于 G 四边形 ABCD是矩形，GF=CD=CD=3S CEF = 1 2 EFDC= 1 2 CEFG，CE=EF，AE=EF， AE=EF=CE，ACF=90 ADC=ACF，CAD=FAC，CADFAC， ACAD AFAC ， AC2=AD
11、AF，AF= 25 4 S ACF = 1 2 ACCF= 1 2 AFCD，ACCF=AFCD= 75 4 3在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且. （1）若四边形为正方形. 如图 1，请直接写出与的数量关系_； 8 将绕点逆时针旋转到图 2 所示的位置， 连接， 猜想与的数量关系并说明理 由； （2）如图 3，若四边形为矩形，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转 得到，连接，请在图 3 中画出草图，并直接写出与的数 量关系. 【答案】（1）DF=AE，DF=AE，理由见解析；（2）DF=AE. 【分分析】析】 试题分析：（1）利用正方形的性质得ABD 为等腰直角三角形，则 BF=
12、AB，再证明BEF 为等腰直 角三角形得到 BF=BE，所以 BDBF=ABBE，从而得到 DF=AE； 利用旋转的性质得ABE=DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到ABE DBF，所以=； （2）先画出图形得到图 3，利用勾股定理得到 BD=AB，再证明BEFBAD 得到， 则=，接着利用旋转的性质得ABE=DBF，BE=BE，BF=BF，所以= ，然后根据相似三角形的判定方法得到ABEDBF，再利用相似的性质可得= 【解答】（1）四边形 ABCD 为正方形，ABD 为等腰直角三角形， BF=AB， EFAB，BEF 为等腰直角三角形，BF=BE， 9 BDBF=ABBE，即 DF=
13、AE； 故答案为 DF=AE； DF=AE理由如下： EBF 绕点 B 逆时针旋转到图 2 所示的位置，ABE=DBF， =，=， ABEDBF，=， 即 DF=AE； （2）如图 3，四边形 ABCD 为矩形， AD=BC=mAB，BD=AB， EFAB，EFAD，BEFBAD， ，=， EBF 绕点 B 顺时针旋转 （0 90 ）得到EBF， ABE=DBF，BE=BE，BF=BF， =， ABEDBF， =， 即 DF=AE 4如图 1，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上（不与点 A，B 重合），点 F 在 BC 边上（不与 点 B，C 重合） 第一次操作：将线段
14、 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G； 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H； 依次操作下去 （1）图 2 中的EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段 EF 的长； 10 （2）若经过三次操作可得到四边形 EFGH 请判断四边形 EFGH 的形状为 ，此时 AE 与 BF 的数量关系是 ； 以中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取 值范围； （3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？
15、如果是， 请直接写出其边长；如果不是，请说明理由 【答案】（1）DEF 为等边三角形，EF 的长为 4642 （2）四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE=BF y=2x28x+16（0x4），y 的取值范围为：8y16 （3） 经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形， 其最大边数是 8， 它可能为正多边形， 边长为 424 【分分析】析】（1）根据旋转的性质，易知EFD 是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理即求出 EF 的长； （2）四边形 EFGH 的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明 AE=BF； 求出面积 y 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最
16、值及 y 的取值范围 （3）如答图 2 所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为 8，边长 为 424 【解答】（1）如题图 2，由旋转性质可知 EF=DF=DE，则DEF 为等边三角形 在 RtADE 与 RtCDF 中， DFDE CDAD RtADERtCDF（HL） AE=CF 设 AE=CF=x，则 BE=BF=4x BEF 为等腰直角三角形 EF=2BF=2（4x） 11 DE=DF=EF=2（4x） 在 RtADE 中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=2（4x2， 解得：x1=843，x2=8+43（舍去） EF=2（4x）=4
17、642 DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为 4642 （2）四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE=BF理由如下： 依题意画出图形，如答图 1 所示： 由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，四边形 EFGH 的形状为正方形 1+2=90 ，2+3=90 ， 1=3 3+4=90 ，2+3=90 ， 2=4 EF=EH AEHBFE（ASA） AE=BF 利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG 均为全等三角形， BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4x y=S正方形ABCD4SAEH=4 442 1 x（4x）=2x28x+16 y=2x28x+16（0x4） y=2x28x+16=2（x2）2+8， 当 x=2 时，y 取得最小值 8；当 x=0 时，y=16， y 的取值范围为：8y16 （3） 经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形， 其最大边数是 8， 它可能为正多边形， 边长为 424 如答图 2 所示，粗线部分是由线段 EF 经过 7 次操作所形成的正八边形 12 设边长 EF=FG=x，则 BF=CG= 2 2 x， BC=BF+FG+CG= 2 2 x+x+ 2 2 x=4，解得：x=424