1、 1 专题专题 10：中考折叠类题目中的动点问题：中考折叠类题目中的动点问题 折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形 按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似 三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据 轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。 类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例 1. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5. 如图例 1-1 所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC
2、边上的 A处，折痕为 PQ，当点 A在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动. 若限定点 P、Q 分别 在 AB、AD 边上移动，则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 . 图例 1-1 【答案】2. 【解析】此题根据题目要求准确判断出点 A的最左端和最右端位置.当点 Q 与点 D 重合时，A的位置处 于最左端，当点 P 与点 B 重合时，点 A的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别 求出两种情况下的 BA或 CA的长度，二者之差即为所求. 当点 Q 与点 D 重合时，A的位置处于最左端，如图例 1-2 所示. 确定点 A的位置方法：因为在折叠过程中，AQ=
3、AQ，所以以点 Q 为圆心，以 AQ 长为半径画弧，与 BC 的交点即为点 A. 再作出AQA 的角平分线，与 AB 的交点即为点 P. 图例 1-2 图例 1-3 由折叠性质可知，AD= AD=5，在 RtACD 中，由勾股定理得， 2222 534A CA DCD 当点 P 与点 B 重合时，点 A的位置处于最右端，如图例 1-3 所示. 确定点 A的位置方法：因为在折叠过程中，AP=AP，所以以点 P 为圆心，以 AP 长为半径画弧，与 BC 的交点即为点 A. 再作出APA 的角平分线，与 AD 的交点即为点 Q. 2 由折叠性质可知，AB= AB=3，所以四边形 AB AQ 为正方形
4、. 所以 AC=BCAB=53=2. 综上所述，点 A 移动的最大距离为 42=2. 故答案为：2. 【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。作图的依据是折叠前后线段长度 不变，据此先找到点 A 的落点 A，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕 PQ 的 位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度. 类型二、折叠问题中的类比问题 例 2. （1）操作发现 如图例 2-1， 矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， 将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE， 且点 G 在矩形 ABCD 内部小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为
5、GF=DF，你同意吗？说明理由 （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若 DC=2DF，求 AD AB 的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若 DC=nDF，求 AD AB 的值 图例 2-1 图例 2-2 【答案】见解析. 【解析】 （1）同意，理由如下： 如图例 2-2，连接 EF E 是 AD 的中点 AE=ED 由折叠及矩形性质得：AE=EG，EGF=D=90 所以，EG=DE 在 RtEFG 和 RtEFD 中， EF=EF EG=DE A E D B C F G 3 RtEFGRtEFD （HL） DF=FG （2）根据 DC=2DF，设 DF=FC=x，AE=ED=y
6、 由折叠性质及（1）知 BF=BG+GF=AB+GF=3x 在 RtBCF 中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 (3x)2=(2y)2+x2 即：2yx 2 2 2 ADy ABx （3）设 AE=ED=y，DF=x，根据 DC=nDF，得 CD=nx，FC=(n1)x； 由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x 在 RtBCF 中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 (n+1)x2=(2y)2+(n-1)x2 即：ynx 22ADyn ABnxn 【点睛】本题立意新颖，是河南中考首次采用此类型题目，给人一种耳目一新的感觉. “操作发现 问题解决类比探究”
7、所展现的是数学研究的核心，即“提出问题解决问题理论扩展及应用”. 学 生需要具备完善的知识体系及一定的观察、 计算能力才能完整解答此题. 本题的意义不仅在于考查学生对折 叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习过 程和学习方式，从一个新的数学角度考查了学生的数学思维能力 类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题 例 3. 如图例 3-1，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合） ，过点 D 作 DEBC 交 AB 边于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC
8、 上的点 F 处，当 AEF 为直角三角形时，BD 的长为 4 图例 3-1 图例 3-2 图例 3-3 【答案】2 或 1. 【解析】 从题目所给的“当AEF 为直角三角形时”条件出发， 以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过 观察及分析可知BED=DEF=60 ，所以AEF=180120 =60 . 即点 E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑： 当EAF=90 时，如图例 3-2 所示. B=30 ，BC=3 3 303= 3 3 ACtanBC，2=2 3ABAC EAF=90 AFC=60 ，CAF=30 在 Rt ACF 中，有： 3 cos= 3=2 2 AFACCAF，24BF
9、AF 由折叠性质可得：B=DFE=30 ， 1 2 2 BDDFBF 当AFE=90 时，如图例 3-3 所示. 由折叠性质得：B=DFE=30 ， 1 2 2 BDDFBF AFC=60 ，FAC=30 3 tan31 3 CFFACAC 所以，BF=2， 1 1 2 BDDFBF 综上所述，BD 的长为 2 或 1. 【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运 用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点 在于直角顶点的位置；解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾
10、 股定理或相似三角形、三角函数性质解题. 5 例 4. 如图例 4-1，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把B 沿 AE 折叠， 使点 B 落在点 B处当CEB为直角三角形时，BE 的长为 图例 4-1 图例 4-2 图例 4-3 【答案】3 或 1.5. 【解析】 此题以“当CEB为直角三角形时”为突破口， 分析可能是直角顶点的点， 得出存在两种情况， 即点 B及点 E 分别为直角顶点.分两种情况考虑： 当CEB=90时，如图例 4-2 所示. 由折叠性质得：AB=AB，四边形 ABE B是矩形. 所以四边形 ABE B是正方形. 此时，BE=A
11、B=3. 当CBE=90 时，如图例 4-3 所示. 由折叠性质知，ABC=90 ，所以ABC+CBE=180 . 点 A、B、C 共线 在 RtABC 中，由勾股定理得 AC=5 由折叠得：AB= AB=3 所以 BC=2 设 BE=x，则 BE=x，EC=4x 在 RtABC 中，由勾股定理得：EC2=BE2+BC2 即： （4-x）2=x2+22 解得：x=1.5. 综上所述，BE 的值为 3 或 1.5. 【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由， 折叠的性质及勾股定理的应用. 例 5. 如图例 5-1， 在Rt ABC中，90A，ABAC
12、，21BC ， 点M，N分别是边BC， AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点 B始终落在边AC上.若MBC为直角三角 6 形，则BM的长为 图例 5-1 图例 5-2 图例 5-3 【答案】 21 2 或 1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. 当CM B=90时，如图例 5-2 所示. 由折叠知：BMN=BMB=45 ，又因为B=45 ，所以BNM=90 ，MNB=90 即BNM+MN B=180，所以 B、N、B三点共线，此时 B与点 A 重合. 所以， 121 22 BMBC 当CBM=90 时，如图例 5-3 所示. 由折叠知B=B=
13、45，因为C=45 ，可得BMC=45 ，所以BMC 是等腰直角三角形 设 BM= BM=x，BC=x，则 MC= 2x 因为 BC=2+1 所以 x+2x=2+1 解得：x=1，即 BM=1. 综上所述，BM 的值为 21 2 或 1. 【点睛】根据题意判断出 C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系 求解. 例 6. 如图例 6-1，在MAN=90 ，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称. D、E 分别为 AC、BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F，连 接 A
14、E. 当AEF 为直角三角形时，AB 的长为 . 7 图例 6-1 图例 6-2 图例 6-3 【答案】4 或4 3 【解析】分两种情况讨论. 当AFE=90 时，如图例 6-2 所示. D、E 分别为 AC、BC 的中点 DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DEBA ABA=90 四边形 AB AC 为矩形 由折叠得 AC=AC 四边形 AB AC 为正方形 即 AB=AC=4. 当AEF=90 时，如图例 6-3 所示. AEF=CDE=90 AECD DCE=CEA 由折叠知：DCE=ACE CEA=ACE AC=AE=4 又E 是 BC 中点 即 AE 是 RtABC 的中线 BC=
15、2AE=8 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB=4 3 8 由折叠性质得：AB= AB=4 3. 综上所述，AB 的长为 4 或4 3. 【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解. 类型四、折叠问题中的等腰三角形存在性问题 例 7. 如图例 7-1，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处，若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长 为 . 图例 7-1 【答案】16 或4 5. 【解析】 根据CDB为等腰三角形， 以CD为腰或底分
16、三种情况讨论， DB=DC； CB=CD； CB=DB. 对于DB=DC，作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧，以 D 为圆心 CD 长为半径作弧，两弧交点即为 B. 对于CB=CD，作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧，以 C 为圆心 CD 长为半径作弧，两弧交点即为 B. 对于CB=DB，作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧，弧与 CD 垂直平分线的交点为 B. 图例 7-2 图例 7-3 图例 7-4 详解：DB=DC， 如图例 7-2 所示. 易知：DB=DC=16. CB=CD，如图例 7-3 所示. 由折叠性质可知：BF= BF=CD=16，此时 F 点与 C 点
17、重合，不符题意. CB=DB，如图例 7-4 所示. 由题意得，DN=CN=8，因为 AE=3，所以 EM=5. BE=BE=13. 9 在 RtEBM 中，由勾股定理得，BM=12. 所以 BN=4. 在 RtDBN 中，由勾股定理得，BD=54. 综上所述，BD 的长为 16 或54. 【点睛】以 CD 为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解. 类型五、折叠问题中的落点“固定”问题 例 8. 如图例 8-1，矩形 ABCD 中，AD=5，AB=7，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠，当 点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上时，DE 的长为 图例
18、8-1 图例 8-2 图例 8-3 【答案】 5 2 或 5 3. 【解析】如图例 8-2. 发现有两个不同的 D点，对不同的位置分别求解. 如图例 8-3 所示. 因为 BD是ABC 的平分线 所以DBN=45 ，DN=NB 由折叠知 AD=AD=5. 设 DN=NB=x，则 AN=7x 在 RtADN 中，由勾股定理得，AD2=DN2+AN2 52=x2+(7-x)2，解得 x=3 或 4. 10 当 x=3 时，DM=2，AN=4. 设 DE=y，则 DE=y，EM=4-y 在 RtEDM 中，由勾股定理得，ED2=DM2+EM2 即 y2=22+(4-y)2，解得 y= 5 2 . 当
19、 x=4 时，DM=1，AN=3. 设 DE=y，则 DE=y，EM=3-y 在 RtEDM 中，由勾股定理得，ED2=DM2+EM2 y2=12+(3-y)2，解得 y= 5 3 . 综上所述，DE 的长为 5 2 或 5 3 . 【点睛】D落在ABC 的角平分线上，作出ABC 的角平分线，再以 A 为圆心以 AD 长半径画弧，弧 与ABC 的角平分线的交点即为 D点. 根据折叠中，折痕是对应点连线的垂直平分线作出折痕. 例 9. 如图例 9-1，已知 ADBC，ABBC，AB=3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD
20、 的垂线，分别交 AD、BC 于点 M、N，当点 B为线段 MN 的 三等分点时，BE 的长为 . 图例 9-1 【答案】 3 5 5 或 3 2 2 【解析】取线段 AB 的三等分点 P、G，过点 P、G 作 PQAD，GHAD 以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，该弧与 PQ、GH 的交点即为 B. 如图例 9-2. 图例 9-2 图例 9-3 图例 9-4 取弧 BB与 GH 的交点，如图例 9-3 所示 因为 BG= BN=1，BM=AG=2，由折叠得 AB=AB=3. 11 在 RtAGB中，由勾股定理得：BG=5，所以 AM=5. 因为MAB=EBN 所以 cosMAB=co
21、sEBN 即: AMB N ABB E 设 BE= BE=x，则 51 3x 解得：x= 3 5 5 ，即 BE= 3 5 5 取弧 BB与 PQ 的交点，如图例 9-4 所示 因为 BP= BN=2，BM=AP=1，由折叠得 AB=AB=3. 在 RtAPB中，由勾股定理得：BP=2 2，所以 AM=2 2. 因为MAB=EBN 所以 cosMAB=cosEBN 即: AMB N ABB E 设 BE= BE=x，则 2 22 3x 解得：x= 3 2 2 ，即 BE= 3 2 2 . 综上所述，BE 的长为 3 5 5 或 3 2 2 . 【点睛】根据题意画出图形后，利用一线三直角的线段比
22、例相等求解. 刻意练习刻意练习 第 1 题 第 2 题 第 3 题 12 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 M 在 BC 上，点 N 是 AB 上的动点，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，设点 B 的对应点是点 E，若点 E 在对角线 AC 上，则 AE 的取值范围是 2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB10，AD5，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的 E 处，折痕 交 DC 边于点 M，点 F 在 DM 上运动，当AEF 是腰长为 5 的等腰三角形时，EF 的长为 3. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=5，AD=2，点 P 在线段 AB 上运
23、动，设 AP=x，现将纸片折叠，使 点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点） ，再将纸片还原，则四边形 EPFD 为菱形 时，x 的取值范围是 第 4 题 第 5 题 4. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为射线 BC 上的一个动点，连接 AE，以 AE 为对称轴折叠 AEB，得到 AEB，点 B 的对称点为点 B，若 AB=5，BC=3，当点 B落在射线 CD 上时，线段 BE 的长为 5. 如图，在 Rt ABC 中，A=90 ，B=30 ，BC=3+1，点 E、F 分别是 BC、AC 边上的动点，沿 E、F 所在直线折叠C，使点 C 的落对应点 C始终落
24、在边 AB 上，若 BEC是直角三角形时，则 BC的长为 刻意练习答案及解析 1.【答案】1AE3 【解析】 在 Rt ABC 中，AC =5， 如图 1，M 点在 C 点处，沿ACB 的对角线折叠，则 CE=CB=4，所以 AE=ACBC=1； 如图 2，N 点在 A 点处，沿CAB 的对角线折叠，则 AE=AB=3. AE 的取值范围为 1AE3 故答案为 1AE3 2. 【答案】5 或 52 . 13 【解析】四边形 ABCD 为矩形， CD=AB=10，BC=AD=5， 矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的 E 处，折痕交 DC 边于点 M， MEB=C=90 ，BC=B
25、E=5， 四边形 BCME 为正方形， ME=5， AE=AB-BE=5， 点 F 在 DM 上运动，且 AEF 是腰长为 5 的等腰三角形， 点 F 只能在点 D 或点 M 处， 点 F 运动到点 D 时，EF=5 当点 F 运动到点 M 时，EF=5 故答案为 5 或 52 . 3. 【答案】2x5 【解析】要使四边形 EPFD 为菱形，则需 DE=EP=FP=DF， 如图 1：当点 E 与点 A 重合时，AP=AD=2，此时 AP 最小； 如图 2：当点 P 与 B 重合时，AP=AB=5，此时 AP 最大； 四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围是：2x5 故答案为：2x5 4.
26、【答案】 5 3 或 15 【解析】 14 如图 1，将 ABE 沿 AE 折叠，得到 ABE， AB=AB=5，BE=BE， CE=3BE， AD=3， DB=4， BC=1， BE2=CE2+BC2， BE2=（3BE）2+12， BE= 5 3 ， 如图 2，将 ABE 沿 AE 折叠，得到 ABE， AB=AB=5， CDAB， 1=3， 1=2， 2=3， AE 垂直平分 BB， AB=BF=5， CF=4， CFAB， CEFABE， CFCE ABBE ， 即 4 53 CE CE ， 15 CE=12，BE=15 综上所述：BE 的长为： 5 3 或 15， 5. 【答案】 33 3 或 2. 【解析】如图 1，当BEC=90 时， 图 1 图 2 B=30 ， BE=3CE， 又CE=CE，BC=3+1， BE=3，CE=1， Rt BEC中，BC=2； 如图 2，当BCE=90 时， B=30 ， BE=2CE=2CE， 又BC=3+1， BE= 2 13 3 ，CE= 1 13 3 ， BC= 33 3 ； 综上所述，BC的长为 33 3 或 2