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备战2020年中考几何压轴题分类导练专题10 中考折叠类题目中的动点问题(教师版)

1、 1 专题专题 10:中考折叠类题目中的动点问题:中考折叠类题目中的动点问题 折叠问题是中考的热点也是难点问题,通常与动点问题结合起来,这类问题的题设通常是将某个图形 按一定的条件折叠,通过分析折叠前后图形的变换,借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似 三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖,充满着变化,要解决此类问题,除了能根据 轴对称图形的性质作出要求的图形外,还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。 类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例 1. 动手操作:在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5. 如图例 1-1 所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC

2、边上的 A处,折痕为 PQ,当点 A在 BC 边上移动时,折痕的端点 P、Q 也随之移动. 若限定点 P、Q 分别 在 AB、AD 边上移动,则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 . 图例 1-1 【答案】2. 【解析】此题根据题目要求准确判断出点 A的最左端和最右端位置.当点 Q 与点 D 重合时,A的位置处 于最左端,当点 P 与点 B 重合时,点 A的位置处于最右端. 根据分析结果,作出图形,利用折叠性质分别 求出两种情况下的 BA或 CA的长度,二者之差即为所求. 当点 Q 与点 D 重合时,A的位置处于最左端,如图例 1-2 所示. 确定点 A的位置方法:因为在折叠过程中,AQ=

3、AQ,所以以点 Q 为圆心,以 AQ 长为半径画弧,与 BC 的交点即为点 A. 再作出AQA 的角平分线,与 AB 的交点即为点 P. 图例 1-2 图例 1-3 由折叠性质可知,AD= AD=5,在 RtACD 中,由勾股定理得, 2222 534A CA DCD 当点 P 与点 B 重合时,点 A的位置处于最右端,如图例 1-3 所示. 确定点 A的位置方法:因为在折叠过程中,AP=AP,所以以点 P 为圆心,以 AP 长为半径画弧,与 BC 的交点即为点 A. 再作出APA 的角平分线,与 AD 的交点即为点 Q. 2 由折叠性质可知,AB= AB=3,所以四边形 AB AQ 为正方形

4、. 所以 AC=BCAB=53=2. 综上所述,点 A 移动的最大距离为 42=2. 故答案为:2. 【点睛】此类问题难度较大,主要考察学生的分析能力,作图能力。作图的依据是折叠前后线段长度 不变,据此先找到点 A 的落点 A,再根据对称轴(折痕)是对应点连线的垂直平分线,确定出折痕 PQ 的 位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度. 类型二、折叠问题中的类比问题 例 2. (1)操作发现 如图例 2-1, 矩形 ABCD 中, E 是 AD 的中点, 将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE, 且点 G 在矩形 ABCD 内部小明将 BG 延长交 DC 于点 F,认为

5、GF=DF,你同意吗?说明理由 (2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若 DC=2DF,求 AD AB 的值; (3)类比探求 保持(1)中条件不变,若 DC=nDF,求 AD AB 的值 图例 2-1 图例 2-2 【答案】见解析. 【解析】 (1)同意,理由如下: 如图例 2-2,连接 EF E 是 AD 的中点 AE=ED 由折叠及矩形性质得:AE=EG,EGF=D=90 所以,EG=DE 在 RtEFG 和 RtEFD 中, EF=EF EG=DE A E D B C F G 3 RtEFGRtEFD (HL) DF=FG (2)根据 DC=2DF,设 DF=FC=x,AE=ED=y

6、 由折叠性质及(1)知 BF=BG+GF=AB+GF=3x 在 RtBCF 中,由勾股定理得: BF2=BC2+CF2 (3x)2=(2y)2+x2 即:2yx 2 2 2 ADy ABx (3)设 AE=ED=y,DF=x,根据 DC=nDF,得 CD=nx,FC=(n1)x; 由折叠性质及矩形性质知:BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x 在 RtBCF 中,由勾股定理得: BF2=BC2+CF2 (n+1)x2=(2y)2+(n-1)x2 即:ynx 22ADyn ABnxn 【点睛】本题立意新颖,是河南中考首次采用此类型题目,给人一种耳目一新的感觉. “操作发现 问题解决类比探究”

7、所展现的是数学研究的核心,即“提出问题解决问题理论扩展及应用”. 学 生需要具备完善的知识体系及一定的观察、 计算能力才能完整解答此题. 本题的意义不仅在于考查学生对折 叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握,在很大程度上是检验学生的学习过 程和学习方式,从一个新的数学角度考查了学生的数学思维能力 类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题 例 3. 如图例 3-1,在 RtABC 中,ACB=90 ,B=30 ,BC=3,点 D 是 BC 边上一动点(不与点 B、 C 重合) ,过点 D 作 DEBC 交 AB 边于点 E,将B 沿直线 DE 翻折,点 B 落在射线 BC

8、 上的点 F 处,当 AEF 为直角三角形时,BD 的长为 4 图例 3-1 图例 3-2 图例 3-3 【答案】2 或 1. 【解析】 从题目所给的“当AEF 为直角三角形时”条件出发, 以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过 观察及分析可知BED=DEF=60 ,所以AEF=180120 =60 . 即点 E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑: 当EAF=90 时,如图例 3-2 所示. B=30 ,BC=3 3 303= 3 3 ACtanBC,2=2 3ABAC EAF=90 AFC=60 ,CAF=30 在 Rt ACF 中,有: 3 cos= 3=2 2 AFACCAF,24BF

9、AF 由折叠性质可得:B=DFE=30 , 1 2 2 BDDFBF 当AFE=90 时,如图例 3-3 所示. 由折叠性质得:B=DFE=30 , 1 2 2 BDDFBF AFC=60 ,FAC=30 3 tan31 3 CFFACAC 所以,BF=2, 1 1 2 BDDFBF 综上所述,BD 的长为 2 或 1. 【点睛】本题难度适中,要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力,另外还需要熟练运 用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题,可总结出:遇到直角三角形存在性问题时,分类讨论的出发点 在于直角顶点的位置;解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合,先作出符合题意的图形,再用勾

10、 股定理或相似三角形、三角函数性质解题. 5 例 4. 如图例 4-1,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE,把B 沿 AE 折叠, 使点 B 落在点 B处当CEB为直角三角形时,BE 的长为 图例 4-1 图例 4-2 图例 4-3 【答案】3 或 1.5. 【解析】 此题以“当CEB为直角三角形时”为突破口, 分析可能是直角顶点的点, 得出存在两种情况, 即点 B及点 E 分别为直角顶点.分两种情况考虑: 当CEB=90时,如图例 4-2 所示. 由折叠性质得:AB=AB,四边形 ABE B是矩形. 所以四边形 ABE B是正方形. 此时,BE=A

11、B=3. 当CBE=90 时,如图例 4-3 所示. 由折叠性质知,ABC=90 ,所以ABC+CBE=180 . 点 A、B、C 共线 在 RtABC 中,由勾股定理得 AC=5 由折叠得:AB= AB=3 所以 BC=2 设 BE=x,则 BE=x,EC=4x 在 RtABC 中,由勾股定理得:EC2=BE2+BC2 即: (4-x)2=x2+22 解得:x=1.5. 综上所述,BE 的值为 3 或 1.5. 【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形,要求学生掌握三点共线的理由, 折叠的性质及勾股定理的应用. 例 5. 如图例 5-1, 在Rt ABC中,90A,ABAC

12、,21BC , 点M,N分别是边BC, AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点 B始终落在边AC上.若MBC为直角三角 6 形,则BM的长为 图例 5-1 图例 5-2 图例 5-3 【答案】 21 2 或 1. 【解析】通过观察及分析可知,C 点不可能为直角顶点,分两种情况讨论. 当CM B=90时,如图例 5-2 所示. 由折叠知:BMN=BMB=45 ,又因为B=45 ,所以BNM=90 ,MNB=90 即BNM+MN B=180,所以 B、N、B三点共线,此时 B与点 A 重合. 所以, 121 22 BMBC 当CBM=90 时,如图例 5-3 所示. 由折叠知B=B=

13、45,因为C=45 ,可得BMC=45 ,所以BMC 是等腰直角三角形 设 BM= BM=x,BC=x,则 MC= 2x 因为 BC=2+1 所以 x+2x=2+1 解得:x=1,即 BM=1. 综上所述,BM 的值为 21 2 或 1. 【点睛】根据题意判断出 C 点不可能为直角顶点,分两种情况讨论,利用等腰直角三角形的三边关系 求解. 例 6. 如图例 6-1,在MAN=90 ,点 C 在边 AM 上,AC=4,点 B 为边 AN 上一动点,连接 BC,ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称. D、E 分别为 AC、BC 的中点,连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F,连 接 A

14、E. 当AEF 为直角三角形时,AB 的长为 . 7 图例 6-1 图例 6-2 图例 6-3 【答案】4 或4 3 【解析】分两种情况讨论. 当AFE=90 时,如图例 6-2 所示. D、E 分别为 AC、BC 的中点 DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DEBA ABA=90 四边形 AB AC 为矩形 由折叠得 AC=AC 四边形 AB AC 为正方形 即 AB=AC=4. 当AEF=90 时,如图例 6-3 所示. AEF=CDE=90 AECD DCE=CEA 由折叠知:DCE=ACE CEA=ACE AC=AE=4 又E 是 BC 中点 即 AE 是 RtABC 的中线 BC=

15、2AE=8 在 RtABC 中,由勾股定理得,AB=4 3 8 由折叠性质得:AB= AB=4 3. 综上所述,AB 的长为 4 或4 3. 【点睛】利用中位线性质(三角形的中位线平行于第三边)及正方形判定,用勾股定理求解. 类型四、折叠问题中的等腰三角形存在性问题 例 7. 如图例 7-1,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3,点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点,把EBF 沿 EF 折叠,点 B 落在 B处,若CDB恰为等腰三角形,则 DB的长 为 . 图例 7-1 【答案】16 或4 5. 【解析】 根据CDB为等腰三角形, 以CD为腰或底分

16、三种情况讨论, DB=DC; CB=CD; CB=DB. 对于DB=DC,作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧,以 D 为圆心 CD 长为半径作弧,两弧交点即为 B. 对于CB=CD,作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧,以 C 为圆心 CD 长为半径作弧,两弧交点即为 B. 对于CB=DB,作图方法以 E 为圆心 BE 长为半径作弧,弧与 CD 垂直平分线的交点为 B. 图例 7-2 图例 7-3 图例 7-4 详解:DB=DC, 如图例 7-2 所示. 易知:DB=DC=16. CB=CD,如图例 7-3 所示. 由折叠性质可知:BF= BF=CD=16,此时 F 点与 C 点

17、重合,不符题意. CB=DB,如图例 7-4 所示. 由题意得,DN=CN=8,因为 AE=3,所以 EM=5. BE=BE=13. 9 在 RtEBM 中,由勾股定理得,BM=12. 所以 BN=4. 在 RtDBN 中,由勾股定理得,BD=54. 综上所述,BD 的长为 16 或54. 【点睛】以 CD 为腰或底分三种情况讨论,排除其中一种,利用勾股定理求解. 类型五、折叠问题中的落点“固定”问题 例 8. 如图例 8-1,矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7,点 E 为 DC 上一个动点,把ADE 沿 AE 折叠,当 点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上时,DE 的长为 图例

18、8-1 图例 8-2 图例 8-3 【答案】 5 2 或 5 3. 【解析】如图例 8-2. 发现有两个不同的 D点,对不同的位置分别求解. 如图例 8-3 所示. 因为 BD是ABC 的平分线 所以DBN=45 ,DN=NB 由折叠知 AD=AD=5. 设 DN=NB=x,则 AN=7x 在 RtADN 中,由勾股定理得,AD2=DN2+AN2 52=x2+(7-x)2,解得 x=3 或 4. 10 当 x=3 时,DM=2,AN=4. 设 DE=y,则 DE=y,EM=4-y 在 RtEDM 中,由勾股定理得,ED2=DM2+EM2 即 y2=22+(4-y)2,解得 y= 5 2 . 当

19、 x=4 时,DM=1,AN=3. 设 DE=y,则 DE=y,EM=3-y 在 RtEDM 中,由勾股定理得,ED2=DM2+EM2 y2=12+(3-y)2,解得 y= 5 3 . 综上所述,DE 的长为 5 2 或 5 3 . 【点睛】D落在ABC 的角平分线上,作出ABC 的角平分线,再以 A 为圆心以 AD 长半径画弧,弧 与ABC 的角平分线的交点即为 D点. 根据折叠中,折痕是对应点连线的垂直平分线作出折痕. 例 9. 如图例 9-1,已知 ADBC,ABBC,AB=3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 B处,过点 B作 AD

20、 的垂线,分别交 AD、BC 于点 M、N,当点 B为线段 MN 的 三等分点时,BE 的长为 . 图例 9-1 【答案】 3 5 5 或 3 2 2 【解析】取线段 AB 的三等分点 P、G,过点 P、G 作 PQAD,GHAD 以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧,该弧与 PQ、GH 的交点即为 B. 如图例 9-2. 图例 9-2 图例 9-3 图例 9-4 取弧 BB与 GH 的交点,如图例 9-3 所示 因为 BG= BN=1,BM=AG=2,由折叠得 AB=AB=3. 11 在 RtAGB中,由勾股定理得:BG=5,所以 AM=5. 因为MAB=EBN 所以 cosMAB=co

21、sEBN 即: AMB N ABB E 设 BE= BE=x,则 51 3x 解得:x= 3 5 5 ,即 BE= 3 5 5 取弧 BB与 PQ 的交点,如图例 9-4 所示 因为 BP= BN=2,BM=AP=1,由折叠得 AB=AB=3. 在 RtAPB中,由勾股定理得:BP=2 2,所以 AM=2 2. 因为MAB=EBN 所以 cosMAB=cosEBN 即: AMB N ABB E 设 BE= BE=x,则 2 22 3x 解得:x= 3 2 2 ,即 BE= 3 2 2 . 综上所述,BE 的长为 3 5 5 或 3 2 2 . 【点睛】根据题意画出图形后,利用一线三直角的线段比

22、例相等求解. 刻意练习刻意练习 第 1 题 第 2 题 第 3 题 12 1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 M 在 BC 上,点 N 是 AB 上的动点,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠,设点 B 的对应点是点 E,若点 E 在对角线 AC 上,则 AE 的取值范围是 2. 如图,在矩形 ABCD 中,AB10,AD5,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在边 AB 上的 E 处,折痕 交 DC 边于点 M,点 F 在 DM 上运动,当AEF 是腰长为 5 的等腰三角形时,EF 的长为 3. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5,AD=2,点 P 在线段 AB 上运

23、动,设 AP=x,现将纸片折叠,使 点 D 与点 P 重合,得折痕 EF(点 E、F 为折痕与矩形边的交点) ,再将纸片还原,则四边形 EPFD 为菱形 时,x 的取值范围是 第 4 题 第 5 题 4. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为射线 BC 上的一个动点,连接 AE,以 AE 为对称轴折叠 AEB,得到 AEB,点 B 的对称点为点 B,若 AB=5,BC=3,当点 B落在射线 CD 上时,线段 BE 的长为 5. 如图,在 Rt ABC 中,A=90 ,B=30 ,BC=3+1,点 E、F 分别是 BC、AC 边上的动点,沿 E、F 所在直线折叠C,使点 C 的落对应点 C始终落

24、在边 AB 上,若 BEC是直角三角形时,则 BC的长为 刻意练习答案及解析 1.【答案】1AE3 【解析】 在 Rt ABC 中,AC =5, 如图 1,M 点在 C 点处,沿ACB 的对角线折叠,则 CE=CB=4,所以 AE=ACBC=1; 如图 2,N 点在 A 点处,沿CAB 的对角线折叠,则 AE=AB=3. AE 的取值范围为 1AE3 故答案为 1AE3 2. 【答案】5 或 52 . 13 【解析】四边形 ABCD 为矩形, CD=AB=10,BC=AD=5, 矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在边 AB 上的 E 处,折痕交 DC 边于点 M, MEB=C=90 ,BC=B

25、E=5, 四边形 BCME 为正方形, ME=5, AE=AB-BE=5, 点 F 在 DM 上运动,且 AEF 是腰长为 5 的等腰三角形, 点 F 只能在点 D 或点 M 处, 点 F 运动到点 D 时,EF=5 当点 F 运动到点 M 时,EF=5 故答案为 5 或 52 . 3. 【答案】2x5 【解析】要使四边形 EPFD 为菱形,则需 DE=EP=FP=DF, 如图 1:当点 E 与点 A 重合时,AP=AD=2,此时 AP 最小; 如图 2:当点 P 与 B 重合时,AP=AB=5,此时 AP 最大; 四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围是:2x5 故答案为:2x5 4.

26、【答案】 5 3 或 15 【解析】 14 如图 1,将 ABE 沿 AE 折叠,得到 ABE, AB=AB=5,BE=BE, CE=3BE, AD=3, DB=4, BC=1, BE2=CE2+BC2, BE2=(3BE)2+12, BE= 5 3 , 如图 2,将 ABE 沿 AE 折叠,得到 ABE, AB=AB=5, CDAB, 1=3, 1=2, 2=3, AE 垂直平分 BB, AB=BF=5, CF=4, CFAB, CEFABE, CFCE ABBE , 即 4 53 CE CE , 15 CE=12,BE=15 综上所述:BE 的长为: 5 3 或 15, 5. 【答案】 33 3 或 2. 【解析】如图 1,当BEC=90 时, 图 1 图 2 B=30 , BE=3CE, 又CE=CE,BC=3+1, BE=3,CE=1, Rt BEC中,BC=2; 如图 2,当BCE=90 时, B=30 , BE=2CE=2CE, 又BC=3+1, BE= 2 13 3 ,CE= 1 13 3 , BC= 33 3 ; 综上所述,BC的长为 33 3 或 2