1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定二次函数背景下的特殊三角形存在性判定 【方法综述】【方法综述】 特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题此类问题 分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。讨论。 直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并
2、 以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆 周角是直角的性质或其逆定理。周角是直角的性质或其逆定理。 等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段 为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分 别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程
3、解决问题。当讨论某别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某 一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂 直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 固定边的直角三角形判定固定边的直角三角形判定 例例 1：如图所示，已知抛物线的图像经过点 A(1,0),B(0,5), （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x
4、 轴的另一个交点为 C,求出点 C 的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点 E,使 BCE 是以 BC 为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点 E（不写画法，保留作图痕迹） ；若不 存在，说明理由； （3）点 P 是直线 BC 上的一个动点（P 点不与 B 点和 C 点重合） ，过点 P 做 x 轴的垂线，交抛物线于点 M, 点 Q 在直线 BC上，距离点 P 为个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，PMQ的面积为 S，求出 S 与 t之间 的函数关系式。 2 针对训练针对训练 1在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点 分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ，过顶点 C 作 CHx
5、轴于点 H. （1）直接填写：= ，b= ，顶点 C 的坐标为 ； （2）在轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存 在，说明理由； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，PQAC 于点 Q，当PCQ 与ACH 相似 时，求点 P 的坐标. 2抛物线的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴交于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M 落在对称轴上，求 P 点的坐标 3如图，已知直线 y
6、x+2 交 x轴、y轴分别于点 A、B，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x ，且抛物线经过 A、B两点，交 x 轴于另一点 C 3 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线 x轴上方一点，MBACBO，求点 M的坐标； （3）过点 A作 AB 的垂线交 y轴于点 D，平移直线 AD交抛物线于点 E、F两点，连结 EO、FO若EFO 为以 EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式 4如图，已知直线 yx+2 交 x 轴、y轴分别于点 A、B，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x ，且抛物线经过 A、B两点，交 x 轴于另一点 C （1）求抛物线的解
7、析式； （2）点 M 是抛物线 x轴上方一点，MBACBO，求点 M的坐标； （3）过点 A作 AB 的垂线交 y轴于点 D，平移直线 AD交抛物线于点 E、F两点，连结 EO、FO若EFO 为以 EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式 5如图，已知抛物线 yax2+bx+1 经过 A（1，0） ，B（1，1）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线 l1：yk1x+b1（k1，b1为常数，且 k10） ，直线 l2：yk2x+b2（k2，b2为常 数，且 k20） ，若 l1l2，则 k1k21 4 解决问题： 若直线 y2x1 与直线 ymx
8、+2 互相垂直，则 m的值是_； 抛物线上是否存在点 P，使得PAB是以 AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）M是抛物线上一动点，且在直线 AB 的上方（不与 A，B 重合） ，求点 M到直线 AB的距离的最大值 6如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点 A（x1，0） 、B（x2，0） ，我们把|x1x2|记为 d（A、 B） ， 抛物线的顶点到 x 轴的距离记为 d（x） ， 如果 d （A， B）=d（x） ， 那么把这样的抛物线叫做“正抛物线” （1）抛物线 y=2x22 是不是“正抛物线”； （回答“是”或
9、“不是”） （2）若抛物线 y=x2+bx（b0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式； （3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m0）与 x 轴相交于 A、B 两点，点 P 是抛物线的顶点，则抛物线上 是否存在点 C，使得PAC 是以 PA 为直角边的直角三角形？如果存在，请求出 C 的坐标；若不存在，请说明 理由 7已知，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0）和 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）设点 M 在抛物线的对称轴上，当MAC 是以 AC 为直角边的直角三角形时，求点 M 的坐标 类型二类型二 固定边的等腰三角形固定边的等腰三角形 例 2在平面直角坐标系中，二次
10、函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 5 明理由； （3）在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 SDBCSABC，若存在，求出点 D 的坐标；若不 存在，请说明理由 针对训练针对训练 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x+2与 x轴交于 A、B 两点，交 y轴于点 C，点 C关 于抛物线对称轴的对称点为点 D (1)求线段 AC的长度； (2)P 为线段 BC上
11、方抛物线上的任意一点，点 E 为（0，1） ，一动点 Q从点 P 出发运动到 y轴上的点 G， 再沿 y轴运动到点 E当四边形 ABPC的面积最大时，求 PG+GE的最小值； (3)将线段 AB沿 x 轴向右平移，设平移后的线段为 AB，直至 AP 平行于 y轴（点 P 为第 2小问中符合题意 的 P 点） ，连接直线 CB将AOC 绕着 O旋转，设旋转后 A、C 的对应点分别为 A、C，在旋转过程中直 线 AC与 y轴交于点 M， 与线段 CB交于点 N 当CMN 是以 MN为腰的等腰三角形时， 写出 CM 的长度 2如图 1，已知抛物线 y=x24x+5交 x轴于点 A、B 两点（点 A在
12、点 B 的左侧） ，交 y轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，连接 AD （1）求直线 AD 的解析式 （2）点 E（m，0） 、F（m+1，0）为 x轴上两点，其中（5m3.5）EE、FF分别平行于 y轴，交抛 6 物线于点 E和 F，交 AD于点 M、N，当 ME+NF的值最大时，在 y轴上找一点 R，使得|RERF|值最大， 请求出点 R的坐标及|RERF|的最大值 （3）如图 2，在抛物线上是否存在点 P，使得PAC是以 AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点 P 的坐 标及PAC 的面积，若不存在，请说明理由。 3抛物线的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴
13、交于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M 落在对称轴上，求 P 点的坐标 4已知：二次函数 y=- x2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(-3，0)、B（1，0） ，顶点为 C. (1)求该二次函数的解析式和顶点 C 的坐标； (2)如图，过 B、C 两点作直线，并将线段 BC 沿该直线向下平移，点 B、C 分别平移到点 D、E 处若点 F 在 这个二次函数的图象上，且DEF 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； (3)试确定实数 p，q 的值，使得当 pxq 时，Py 7
14、 类型三类型三 直角三角形的分类讨论直角三角形的分类讨论来源来源:Z,xx,k.Com 例 3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x+1)(x3)(a0)与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C.抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，过点 C 作 x 轴的平行线，与抛物线交于点 D，连接 DE，延长 DE 交 y 轴于点 F，连接 AD、AF （1）点 A的坐标为_，点 B 的坐标为_ ； （2）判断四边形 ACDE的形状，并给出证明； （3）当 a为何值时，ADF是直角三角形? 针对训练针对训练 1如图，动直线 ykx+2（k0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y 相交于 A，B
15、两点，过点 A， B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断CDF 的形状，并说明理由 2如图，已知直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 yax2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 是线段 AB上一动点，过点 P 作 PCx轴于点 C，交抛物线于点 D 8 （1）若抛物线的解析式为 y x2+x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB于点 N 求点 M、N的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 2时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若 存 在，求出
16、满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 3如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，点 A的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 2） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q，交直线 BD于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若 m3，试证明BQM是直角三角形； （3）已知点 F（0， ） ，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平行四边形？ 4已知抛物线 y x2 x+2 与 x 轴交于点 A，B 两点，交 y 轴
17、于 C 点，抛物线的对称轴与 x 轴交于 H 点， 分别以 OC、OA 为边作矩形 AECO （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 2，P 为直线 AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点 M，当四边形 AOCP 面积最大时， 求|PMOM|的最大值 9 （3）如图 3，将AOC 沿直线 AC 翻折得ACD，再将ACD 沿着直线 AC 平移得ACD使得点 A、C 在直线 AC 上，是否存在这样的点 D，使得AED为直角三角形？若存在，请求出点 D的坐标；若不 存在，请说明理由 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+4与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左
18、侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 D，且 3OC4OB，对称轴为直线 x，点 E，连接 CE 交对称轴于 点 F，连接 AF 交抛物线于点 G （1）求抛物线的解析式和直线 CE 的解析式； （2）如图，过 E 作 EPx 轴交抛物线于点 P，点 Q 是线段 BC 上一动点，当 QG+ QB 最小时，线段 MN 在线段 CE 上移动，点 M 在点 N 上方，且 MN，请求出四边形 PQMN 周长最小时点 N 的横坐标； （3） 如图， BC 与对称轴交于点 R， 连接 BD， 点 S 是线段 BD 上一动点， 将DRS 沿直线 RS 折叠至DRS， 是否存在点 S 使得DRS 与
19、BRS 重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出 BS 的长，若不存在，请 说明理由 （参考数据：tanDBC） 6已知：如图，一次函数 y= x+1的图象与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B；二次函数 y= x2+bx+c的图象 与一次函数 y= x+1的图象交于 B、C两点，与 x轴交于 D、E两点且 D点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形 BDEC的面积 S； 10 （3）在 x 轴上有一动点 P，从 O点出发以每秒 1个单位的速度沿 x 轴向右运动，是否存在点 P 使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 P 运动的时间 t的值，若不
20、存在，请说明理由 （4）若动点 P 在 x轴上，动点 Q在射线 AC 上，同时从 A 点出发，点 P 沿 x轴正方向以每秒 2个单位的速 度运动，点 Q 以每秒 a个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似， 若存在，求 a的值，若不存在，说明理由 7抛物线 yx2bxc与 x轴交于 A、B(3，0)两点，与 y轴交于点 C(0，3)，点 D为顶点，连结 BC、 BD、CD. (1)求抛物线的表达式； (2)试判断BCD的形状，并说明理由 9如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x3与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B左边） ， 与 y轴交
21、于点 C，连接 AC、BC，点 D(0，2)在 y轴上，连接 BD （1）请求出直线 AC、BD的解析式； （2）如图 1，点 P 为第三象限内抛物线上一动点，过点 P 作 PEy 轴交直线 AC 于点 E，连接 OE当 AOE=BDO时，点 M为直线 x轴上一点，点 N为 y轴上一点，连接 EM、NP，当四边形 MNPE 周长最 小时，请求出点 N 的坐标并直接写出此时四边形 MNEP 的周长；来源:ZXXK （3）如图 2，在（2）的结论下，连接 OP，将OEP 绕点 O旋转，点 E旋转后对应点为 E1，点 P 旋转后对 应点为 P1，直线 E1P1与 y轴交于点 F，与直线 BD交于点
22、Q在旋转过程中，DQF能否为直角三角形，若 能，请求出 DF的长度；若不能，请说明理由 11 10 如图， 直线与抛物线分别交于点 A、点 B， 且点 A 在 y 轴上， 抛物线的顶点 C 的坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是线段 AB 上一动点，射线轴并与直线 BC 和抛物线分别交于点 M、N，过点 P 作轴于点 E，当 PE 与 PM 的乘积最大时，在 y 轴上找一点 Q，使的值最大，求的最大值和此时 Q 的坐标；来源:Zxxk.Com (3)在抛物线上找一点 D，使ABD 为直角三角形，求 D 点的坐标 类型四类型四 等腰三角形的分类讨论等腰三角形的分类讨论 例 4.如图
23、，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx3 交 x 轴于点 A（3，0） 、B（1，0） ，在 y 轴上有 一点 E（0，1） ，连接 AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D为抛物线在 x轴负半轴下方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标；若不 存在，请说明理由 12 针对训练针对训练 1如图，已知二次函数 yax2+bx3a经过点 A（1，0） ，C（0，3） ，与 x轴交于另一点 B，抛物线的顶 点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直
24、角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由 2如图，二次函数yax 2+bx+4 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧） ，与y轴交于点C，点A 的坐标为（2，0） ，它的对称轴是直线x1 （1）直接写出点 B，点 C 的坐标. （2）求这个二次函数的解析式 （3） 若点P在x轴上， 且PBC为等腰三角形， 请求出线段 BC 的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标 13 3如图，在中，点 为边上一点，且 AD=3cm，动点 从点 出发 沿线段向终点 运动作，与边相交于点 找出图中的一对相
25、似三角形，并说明理由； 当为等腰三角形时，求的长； 求动点 从点 出发沿线段向终点 运动的过程中点 的运动路线长 4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx-8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D的坐标 分别为（-2，0） ， （6，-8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B和点 E的坐标； （2）若点 P 是 y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB与直线 l交于点 Q，试探究：当 m 为何值时，OPQ是等腰三角形 5已知抛物
26、线的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移 2 个单位，分别交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则平移后的解析式为 （2）判断ABC 的形状，并说明理由 （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 14 6如图，已知：二次函数 yx2+bx+c的图象与 x轴交于 A，B两点，其中 A点坐标为（3，0） ，与 y轴 交于点 C，点 D（2，3）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值；来源:Z_X_X_K （3）若抛物线上有一动点
27、M，使ABM的面积等于ABC的面积，求 M 点坐标 （4） 抛物线的对称轴上是否存在动点 Q， 使得BCQ为等腰三角形？若存在， 求出点 Q 的坐标； 若不存在， 说明理由 7在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，直线 经过点 ，与抛物线交于另一点 .已知，. （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图 1，若点 是 轴下方抛物线上一点，过点 作于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ， 过点 作轴于点， 为直线上一点，且.点 为第四象限内一点，且在直线上方， 连接、.记，.当 取得最大值时，求出点 的坐标，并求出此时的 最小值. 15 （3）如图 2，将点 沿直线方
28、向平移 13 个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点 .动点 为 轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、 、在同一平面内） ，连 接、，当为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标. 8如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点点 D 从 C 出发，沿 线段 CO 以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，过点 D 作 OC 的垂线交 BC 于点 E，作 EFOC，交抛物线于点 F （1）求此抛物线的解析式； （2）小明在探究点 D 运动时发现，当点 D 与点 C 重合时，EF 长度可看作 O；当点 D 与点 O 重合时， EF 长度也可以
29、看作 O，于是他猜想：设点 D 运动到 OC 中点位置时，当线段 EF 最长，你认为他猜想是否正 确，为什么？ （3）连接 CF、DF，请直接写出CDF 为等腰三角形时所有 t 的值 9如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C （0，3） （1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标； （2）若 P 是第一象限内这个二次函数的图象上任意一 点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC设点 P 的横坐标为 t 求线段 PM 的最大值； 16 S PBM ：SMHB1：2 时，求 t 值； 当PCM 是等腰三角形时，直接写点 P 的坐标 来源: 10如图，抛物线 yax2+3x+c 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 在第一象限的抛物线上，且点 P 的横坐标为 t，过点 P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值； （3）在 x 轴上是否存在点 E，使以点 B，C，E 为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出 E 点坐 标；如果不存在，请说明理由