1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 07 二次函数背景下的三角形相似（全等）二次函数背景下的三角形相似（全等） 【方法综述】【方法综述】 三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用 全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“”与全等表述、与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和和相似表述的区别。全等和 相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系
2、。解答时，对于确定的对应边角可以相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以 直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分对应边的分 类讨论。类讨论。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 确定的全等三角形条件的判定应用确定的全等三角形条件的判定应用 例例 1 1： （陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两 点，其中点 A 的坐标为，抛物线的顶点为 P 求 b 的值，并求出点
3、P、B 的坐标； 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，使？如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不 存在，试说明理由 针对训练针对训练 1 （2018 年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax 2 bx8 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物 线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8) (1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理 由 2 2 （河南省濮
4、阳市 2018 届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B 两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线BA运动， 点Q从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒 求此抛物线的表达式； 求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值； 点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在 一点T，使得？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由 类型二类型二 全等三角形的存在性探究全等三角形的存在性探究 例 2 （四川省眉山市洪雅县 2018 届九年级中考适应性考）如
5、图，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点分别为 A （6，0）和点 B（4，0） ，与 y 轴的交点为 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合） ，过 P 作平行于 y 轴的直线与 AC 交于点 Q，点 D、M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 上 是否同时存在点 D 和点 P，使得APQ 和CDO 全等，若存在，求点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； 若DCB=CDB，CD 是 MN 的垂直平分线，求点 M 的坐标 3 针对训练针对训练 1如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B
6、（2，0）作 M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M （1）求这条抛物线解析式； （2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上； （3） 动点P从原点O出发， 沿y轴负半轴以每秒 1 个单位长的速度向下运动， 当运动t秒时到达点Q处 此 时BOQ与MCB全等，求t的值 2 （广西田阳县实验中学 2019 届九年级中考一）如图所示，抛物线（m0）的顶点为 A， 直线与 轴的交点为点 B. （1）求出抛物线的对称轴及顶点 A 的坐标（用含 的代数式表示） ； （2）证明点 A 在直线 上，并求OAB 的度数； （3）动点 Q 在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点 P，使以点 P、Q、
7、A 为顶点的三角形与OAB 全 等？若存在，求出 的值，并写出所有符合上述条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 3如图 1，抛物线 y1=ax 2 x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0， ） ，抛物线 y 1的顶 点为 G，GMx 轴于点 M将抛物线 y1平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的抛物线 y2 4 （1）求抛物线 y2的解析式； （2）如图 2，在直线 l 上是否存在点 T，使TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）点 P 为抛物线 y1上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物
8、线 y2于点 Q，点 Q 关于直线 l 的对称点为 R， 若以 P，Q，R 为顶点的三角形与AMG 全等，求直线 PR 的解析式 类型三类型三 确定的相似三角形条件的判定应用确定的相似三角形条件的判定应用 例 3： （重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点 A（1，0） ，B（4， 0） ，C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过 点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点 P 在线段 AB 上运动的过
9、程中，是否存在点 Q，使得BODQBM？若存在，求出点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 （3）已知点 F（0， ） ，点 P 在 x 轴上运动，试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平行四边 形 针对训练针对训练 1 （湖南省长沙一中 2018 届九年级（下)段考）如图 1，一次函数 yx+3 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴 于点 D，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的顶点为 C，其图象过 A、D 两点，并与 x 轴交于另一个点 B（B 点在 A 点左侧） ，若； 5 （1）求此抛物线的解析式； （2）连结 AC、BD，问在 x 轴上是否存在一个动点 Q，使 A
10、、C、Q 三点构成的三角形与ABD 相似如果存 在，求出 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若点 P 是抛物线上一动点，且在直线 AD 下方， （点 P 不与点 A、点 D 重合） ，过点 P 作 y 轴的 平行线 l 与直线 AD 交于点 M，点 N 在直线 AD 上，且满足MPNABD，求MPN 面积的最大值 2 （浙江省嘉兴市海宁新仓中学 2019 届九年级上学期数学第一次月考） 如图， 抛物线 y=ax 2+bx+c 过原点 O、 点 A （2，4） 、点 B （3，3） ，与 x 轴交于点 C，直线 AB 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 E （1）求抛物线的函数
11、表达式和顶点坐标； （2）直线 AFx 轴，垂足为点 F，AF 上取一点 G，使GBAAOD，求此时点 G 的坐标； （3）过直线 AF 左侧的抛物线上点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为点 N，若BMN=OAF，求直线 BM 的函数表 达式 3 （江西省景德镇市 2018 届九年级第二次质检）如果一条抛物线yax 2bxc（a0）与 x轴有两个交 点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， a，b，c 称为“抛物线系数” （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是_（填“真”或“假”）命题； 6 （2）若一条抛物线系数为1，0，2 ，则其“抛物线三角形”的
12、面积为_； （3）若一条抛物线系数为1，2b，0 ，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； （4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P 作PQx轴于点Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由 类型四类型四 相似三角形存在性探究相似三角形存在性探究 例 4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线 经过点. (1)求抛物线的解析式， (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点 作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过 作轴于点 ，交抛物线于两点(
13、点位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 针对训练针对训练 1 （贵州黔东南州锦屏县敦寨中学 2018-2019 学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系 中，直线 y- x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A、B点 P 是 x 轴上一个动 点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线分别交抛物线和直线 AB 于点 E 和点 F设点 P 的横坐标为 m （1）点 A 的坐标为 （2）求这条抛物线所对应的函数表达式 （3）点 P 在线段 OA 上时，若以 B、E、F 为顶点
14、的三角形与FPA 相似，求 m 的值 （4）若 E、F、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，称 E、F、P 三点为“共 谐点”直接写出 E、F、P 三点成为“共谐点”时 m 的值 7 2 （广东省汕头市龙湖区 2019 届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过 A(4，0)，B(1，0)，C(0， 2)三点 (1)求出抛物线的解析式； (2)P 是抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 3（2018 年四川省绵阳市中考数
15、学试卷） 如图， 已知抛物线过点 A(,-3) 和 B(3,0)， 过点 A 作直线 AC/x 轴，交 y 轴与点 C. （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D，连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三角形 与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 Q，使得?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 8 4 （湖南省衡阳市 2019 届中考数学试卷）如图，已知直线分别交 轴、 轴于点 A、B，抛物线 过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC 轴于点 C，交抛物线于点 D
16、（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？若 存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 5 （湖北省襄州区 2018 届九年级上学期） 如图， 已知抛物线 yax 2+ x+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴 交于 C 点，且 A（2，0） 、C（0，4） ，直线 l：yx4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 yax 2+ x+c 上的一动点，过
17、点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F （1）试求该抛物线表达式； （2）如图 1，若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标； （3）如图 2，过点 P 作 PHy 轴，垂足为 H，连接 AC 求证：ACD 是直角三角形； 试问是否存在这样的点 P，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 9 6 （江西省南昌市 2018 届九年级中考三模数学）如图，一次函数yx2 的图象与二次函数yax 2+bx 4 的图象交于x轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C已知二次函数ya
18、x 2+bx4 的图象 与y轴交于点D，对称轴为直线xn（n0） ，n是方程 2x 23x20 的一个根，连接 AD （1）求二次函数的解析式 （2）当SACB3SADB 时，求点C的坐标 （3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与ADB 相似？若存在，试求 出点C的坐标；若不存在，请说明理由 7 （人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是直线 BC 下方抛物 线上的任意一点 （1）求这个二次函
19、数 y=x 2+bx+c 的解析式 （2）连接 PO，PC，并将POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POPC，如果四边形 POPC 为菱形,求点 P 的坐标 （3）如果点 P 在运动过程中，能使得以 P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，请求出此时点 P 的坐标 10 8 （江苏省东台市第二联盟 2019 届九年级 12 月月考）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ， 且与直线 y=x2 交于 B，C 两点 求抛物线的解析式及点 C 的坐标； 求证：ABC 是直角三角形； 若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N
20、 为顶点的三角 形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 9 （江苏省东台市第二联盟 2019 届九年级 12 月月考）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ， 且与直线 y=x2 交于 B，C 两点 求抛物线的解析式及点 C 的坐标； 求证：ABC 是直角三角形； 若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角 形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 10 （段考模拟君之 2018-2019 学年九年级数学上学期期末原创卷 A 卷）如图，二次函数 y= x 2+bx+c 的图象 过点 B（0，1）和 C（4，3）两点，与 x 轴交于点 D、点 E，过点 B 和点 C 的直线与 x 轴交于点 A (1)求二次函数的解析式； (2)在 x 轴上有一动点 P，随着点 P 的移动，存在点 P 使PBC 是直角三角形，请你求出点 P 的坐标； (3)若动点 P 从 A 点出发，在 x 轴上沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时动点 Q 也从 A 点出发， 以每秒 a 个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABD 相似？若存在，直接 11 写出 a 的值；若不存在，说明理由