1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究二次函数背景下的与线段有关的最值探究 【方法综述】【方法综述】 与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识 有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路 径问题、点到圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。径问题
2、、点到圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单线段的最值探究常规单线段的最值探究 例例 1：已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y = ax2 6ax 10交 x 轴于 A，B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，且AB = 4，抛物线l2与l1交于点 A 与C(4,m) (1)求抛物线l1，l2的函数表达式； (2)当 x 的取值范围是_时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； (3)直线PQ/y轴，分别交 x 轴，l1，l2于点D(n,0)，P，Q，当1 2 n 5时，
3、求线段 PQ 的最大值 例例 2：如图，ABCD 位于直角坐标系中，AB=2，点 D（0，1） ，以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A，B，CEx 轴于点 E （1）求点 A，B，C 的坐标 （2）将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，且这时新抛物线交 x 轴于点 M，N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ， 则 OQ 的最小值为 （直 接写出答案即可） 2 针对训练针对训练 1 二次函数y=( 1) 2+ 6 + 9的图象与x轴交于点A和点B， 以AB为边在x轴下方作正方形AB
4、CD， 点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标 （2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大 值； （3） 是否存在这样的点 P， 使PED 是等腰三角形？若存在， 请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由 2在如图的平面直角坐标系中，抛物线 yax22amx+am2+1（a0）与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，顶点是 D，且DAB45
5、 （1）填空：点 C 的纵坐标是 （用含 a、m 的式子表示） ； （2）求 a 的值； （3）点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C，当1 2m 5 2时，求 BC的长度范围 3已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B（3，0） ，且与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴 交于点 D (1)求抛物线的解析式； 3 (2)点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点，连结 DP，将线段 DP 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE，点 P 的 对应点 E 恰好落在抛物线上，求出此时点 P 的坐标； (3)点 M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接 MD，把 MD2
6、表示成自变量 n 的函数，并求出 MD2取得最 小值时点 M 的坐标 3如图， 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， C 在 x 轴的正半轴上， 已知 A （0， 8） 、C（10，0） ，作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 CD，过点 D 作 DECD 交 OA 于点 E （1）求点 D 的坐标； （2）求证：ADEBCD； （3）抛物线 y2 5x 224 5 x+8 经过点 A、C，连接 AC探索：若点 P 是 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 平行于 y 轴的直线交 AC 于点 M是否存在点 P，使线段 MP 的长度有最大值？若存在，求出
7、点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 4如图 1，已知抛物线 y=ax22ax3 与 x 轴交于 A、B 两点，其顶点为 C，过点 A 的直线交抛物线于另 一点 D（2，3） ，且 tanBAD=1 （1）求抛物线的解析式； （2）连结 CD，求证：ADCD； 4 （3）如图 2，P 是线段 AD 上的动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求线段 PE 长度的最大值； （4）点 Q 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A，D，F，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 5 如图， 抛物线 y=ax2+bx-3 与轴
8、交于， 两点 （点在点左侧） ， A(-1,0)， B(3,0)， 直线与抛物线交于， 两点， 其中点的横坐标为2。 （1）求抛物线的函数解析式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使，这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由。 6如图 1，抛物线 l1：y=x2+bx+3 交 x 轴于点 A、B， （点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于
9、点 D（0，5） （1）求抛物线 l2的函数表达式； （2）P 为直线 x=1 上一动点，连接 PA、PC，当 PA=PC 时，求点 P 的坐标； （3）M 为抛物线 l2上一动点，过点 M 作直线 MNy 轴（如图 2 所示） ，交抛物线 l1于点 N，求点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值 5 8如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2+ + 过，三点，点的坐标是(3, 0)，点的 坐标是(0, 3)，动点在抛物线上 (1) =_， =_，点的坐标为_； （直接填写结果） (2)是否存在点，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标
10、；若 不存在，说明理由； (3)过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线垂足为，连接，当线段的 长度最短时，求出点的坐标 9函数 y=x2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC点 D 在函数图像上，CD/x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点 （1）求 b、c 的值； （2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3） 如图， 动点 P 在线段 OB 上， 过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M， 与抛物线交于点 N 试问： 抛物线
11、上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由 6 图 图 10如图，对称轴为直线 = 1的抛物线 = ( )2 4( 0)与轴交于、两点，与轴交于点， 其中点的坐标为(3, 0) (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且= 4，求点的坐标； (3)设点是线段上的动点，作 轴交抛物线于点，求线段长度的最大值 类型二类型二 最短路径模型的应用最短路径模型的应用 例例 3已知二次函数 y=x2+4x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A
12、（6，0） ，与 y 轴交于点 B，点 p 是二次函数对称轴上的一个动点，当 PB+PA 的值最小时，求 p 的坐标 （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 7 针对训练针对训练 1.如图，抛物线 y=1 2 x +bx+c 与直线 y= 1 2x+3 交于 A，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C、 D 两点，已知 C（-3，0）. （1）求抛物线的解析式 （2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB 一 MD|的值最大。请求出点 M 的坐标及这个最大值. 2 如图， 直线 = 2与抛物线分别交于点 A、点 B， 且点 A 在 y 轴上， 抛
13、物线的顶点 C 的坐标为(3 ， 1) (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是线段 AB 上一动点，射线 轴并与直线 BC 和抛物线分别交于点 M、N，过点 P 作 轴于 点 E，当 PE 与 PM 的乘积最大时，在 y 轴上找一点 Q，使| |的值最大，求| |的最大值和此 时 Q 的坐标； (3)在抛物线上找一点 D，使ABD 为直角三角形，求 D 点的坐标 3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 1 4 2 + + 3交轴于,两点，交轴于点，顶点为，抛物 线对称轴与轴交点为. （1）求直线的解析式. （2）点(,0)，( + 2,0)为轴上两点，其中2 4，,分别垂直于轴交抛物线于,
14、， 8 交直线于点,.试求：当为何值时， + 的值最大. 4在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax22x（a0）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） （1）当 a=1 时，求 A，B 两点的坐标； （2）过点 P（3，0）作垂直于 x 轴的直线 l，交抛物线于点 C 当 a=2 时，求 PB+PC 的值； 若点 B 在直线 l 左侧，且 PB+PC14，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围 5 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴正半轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于 点 C. (1)利用直尺和圆规,作出抛物线
15、 y=x2+mx+n 的对称轴(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)若OBC 是等腰直角三角形,且其腰长为 3,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,点 P 为抛物线对称轴上的一点,则 PA+PC 的最小值为 . 类型三类型三 图形周长的最值探究图形周长的最值探究 例例 4：（1）如图 1，若点 A 坐标为（x1，y1） ，点 B 坐标为（x2，y2） ，作 ADx 轴于点 D，BEy 轴于点 E， AD 与 BE 相交于点 C，则有 AC|y1y2|，BC|x1x2|，所以，A、B 两点间的距离为 AB (1 2)2+ (1 2)2 根据结论，若 M、N 两点坐标分别为（1，4
16、） 、 （5，1） ，则 MN （直接写出结果） （2）如图 2，直线 ykx+1 与 y 轴相交于点 D，与抛物线 y1 4x 2相交于 A，B 两点，A 点坐标为（4，a） ， 9 过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 C，E 是 AC 中点，点 P 是第一象限内直线 AB 下方抛物线上一动点，连接 PE、PD、ED； a ，k ，AD （直接写出结果） 若DEP 是以 DE 为底的等腰三角形，求点 P 的横坐标； 求四边形 CDPE 的周长的最小值 针对训练针对训练 1如图所示，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，且点 A 的坐标为（1，0） ，与 y 轴交
17、于 点 C，对称轴直线 x2 与 x 轴相交于点 D，点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒 1 个单位长度的速 度从抛物线的顶点 E 向下运动，设点 P 运动的时间为 t（s） （1）点 B 的坐标为 ，抛物线的解析式是 ； （2）求当 t 为何值时，PAC 的周长最小？ （3）当 t 为何值时，PAC 是以 AC 为腰的等腰三角形？ 2如图,在直角坐标系中,抛物线经过点 A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与 x 轴相交于点 M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使PAB 的周长最小?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说
18、明理 由; 10 3如图，已知二次函数 = 2 (2 3 4) + 3的图象经过点 A(4,0)，与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动 点 C(m,0)(0m0)，并与直线 OA 交于点 C. (1)求 A、B 两点的坐标； (2)当点 P 在线段 OA 上方时，过 P 作 x 轴的平行线与线段 OA 相交于点 E，求PCE 周长的最大值及此时 P 点的坐标； (3)当 PCCO 时，求 P 点坐标 6如图，抛物线 = 2 2 + 3的图象与轴交于两点（点在点的左边） ，与轴交于点，点为 抛物线的顶点 （1）求，的坐标； （2）判断以点，为顶点的三角形的形状，并说明理由； （3）点( , 0
19、)(3 0)与 x 轴从左至右交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 c 12 （1）若抛物线过点 T(1，-5 4)，求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与ABC 相似？若存 在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 （3）如图 2，在(1)的条件下， 点 P 的坐标为(-1，1)， 点 Q(6，t)是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有 M、 N 两点，且 MN=2,问 MN 在 x 轴上移动到何处时，四边形 PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点 M 的坐标 8在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+2 的图象
20、与 x 轴交于 A（4，0） ，B （1，0）两点，与 y 轴 交于点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）连接 AC、BC，判断ABC 的形状，并证明； （3）若点 P 为二次函数对称轴上点，求出使PBC 周长最小时，点 P 的坐标 9已知，在以 O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，4） ，且经过点 B（2，3） ，与 x 轴交于 C、 13 D 两点 （1）求直线 OB 的函数表达式和该抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作直线 PFx 轴于点 F，交直线 OB 于点 E若 PE=3EF，求出 P 点的横坐标； （3）
21、如图 2，点 M 是抛物上的一个动点，且在直线 OB 的上方，过点 M 作 x 轴的平行线与直线 OB 交于点 N，T 是抛物线对称轴上一点，当 MN 最大且MDT 周长最小时，直接写出 T 的坐标 10抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上求一点 P，使 SPAB=SABC，写出 P 点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QBC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在， 请说明理由 类型四类型四 线段倍半的和差最值探究线段倍半的和差最值探究 例例 5. 如图
22、1，抛物线 y=ax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一 动点 E（m，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若1 2 = 6 5，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 （0 90 ） ，连接 AE、BE，求 AE+2 3BE的最小值 14 针对训练针对训练 1.如图，在平面直角坐
23、标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（0，3） ，C（2，0） ， 其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求1 2PB+PD 的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个； 连接 MA，MB，若AMB 不小于 60 ，求 t 的取值范围 2已知二次函数 = 2 2 + 2 1 （1）该抛物线与轴交于点 (0, 3 4)，顶点为，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，轴是否存在一点
24、，使得 + 最短？若点存在，求出点的坐标；若点不存 在，请说明理由. 3如图，抛物线 = 2+ + 与轴交于(3，0)，两点（点在点的左侧） ，与轴交于点，且 = 3 = 3，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下 方抛物线上的一个动点，过点作 轴，垂足为，交直线于点 （1）求抛物线的解析式； 15 （2）设点的横坐标为，当 = 时，求的值； （3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，1 2为半径作 ，点为 上的一个动点，求 1 4 + 的最小值 4如图，顶点为 C 的抛物线 y=ax2+bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，连接 OC、OA、AB，已 知 OA=OB=2，AOB=120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点 C 作 CEOB，垂足为 E，点 P 为 y 轴上的动点，若以 O、C、P 为顶点的三角形与AOE 相似， 求点 P 的坐标； （3） 若将 （2） 的线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 （0 120 ） ， 连接 EA、 EB， 求 EA+1 2EB 的最小值