1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 09 二次函数背景下的动点问题探究二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】【方法综述】 动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动 点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度 动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化
2、和以动点驱动的图形运动。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1： （广东省深圳市）已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象分别与 x 轴交于点 A（3，0） ，C（-1，0） ，与 y 轴交于点 B点 D 为二次函数图象的顶点 （1）如图所示，求此二次函数的关系式： （2）如图所示，在 x 轴上取一动点 P（m，0） ，且 1m3，过点 P 作 x 轴的垂线分别交二次函数图象、 线段 AD，AB 于点 Q、F，E，求证：EF=EP； （3）在图中，若 R 为 y 轴上的一个动点，连接 AR，则 10 10 BR+AR 的最小值_（直接写出结果） 【答
3、案】 （1）y=-x2+2x+3； （2）见解析； （3）610 5 【解析】 解： （1）将 A（3，0） ，C（-1，0）代入 y=ax2+bx+3，得： 9 + 3 + 3 = 0 + 3 = 0 ，解得： = 1 = 2 ， 此二次函数的关系式为 y=-x2+2x+3 （2）证明：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 点 D 的坐标为（1，4） 设线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=kx+c（k0） ， 2 将 A（3，0） ，C（0，3）代入 y=kx+c，得： 3 + = 0 = 3 ，解得： = 1 = 3 ， 线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=-x+3 同理，可
4、得出：线段 AD 所在直线的函数关系式为 y=-2x+6 点 P 的坐标为（m，0） ， 点 E 的坐标为（m，-m+3） ，点 F 的坐标为（m，-2m+6） ， EP=-m+3，EF=-m+3， EF=EP （3）如图，连接 BC，过点 R 作 RQBC，垂足为 Q OC=1，OB=3， BC=10(勾股定理) CBO=CBO，BOC=BQR=90 ， BQRAOB， = ,即 10 = 1 , RQ= 10 10 BR， AR+ 10 10 BR=AR+RQ， 当 A，R，Q 共线且垂直 AB 时，即 AR+ 10 10 BR=AQ 时，其值最小 ACQ=BCO，BOC=AQC， CQA
5、COB， = ,即 3 = 4 10 AQ=610 5 ， 10 10 BR+CR 的最小值为610 5 3 故答案为：610 5 例例 2： （2019 年广西）如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴与抛物线 相交于点 M，与 x 轴相交于点 N，点 P 是线段 MN 上的一个动点，连接 CP，过点 P 作 PECP 交 x 轴于点 E （1）求抛物线的顶点 M 的坐标； （2）当点 E 与原点 O 的重合时，求点 P 的坐标； （3）求动点 E 到抛物线对称轴的最大距离是多少？ 【答案】 （1） （1，-4） （2）当点 E 与原点
6、O 的重合时，点 P 的坐标为（1，;3;5 2 ）或（1，5;3 2 ） （3）点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 【解析】 解： （1）y=x2-2x-3=（x-1）2-4， 抛物线的顶点 M 的坐标为（1，-4） （2）当 x=0 时，y=x2-2x-3=-3， 点 C 的坐标为（0，-3） 过点 C 作 CF直线 MN，垂足为点 F，如图 1 所示 4 PON+OPN=90 ，OPN+CPF=180 -CPO=90 ， PON=CPF 又PNO=CFP=90 ， PONCPF， = ，即 1 = 3; 1 ， PN=35 2 ， 当点 E 与原点 O 的重合时，点 P 的坐标为（1
7、，;3;5 2 ）或（1，5;3 2 ） （3）过点 C 作 CF直线 MN，垂足为点 F，设 PN=m，分三种情况考虑，如图 2 所示 当 0m3 时，由（2）可知：PENCPF， = ，即 3;=m， EN=-m2+3m=-（m-3 2）2+ 9 4 -10， 5 当 m=3 2时，EN 取得最大值，最大值为 9 4； 当 m=0 或 3 时，点 E 和点 N 重合，此时 EN=0； 当 3m4 时，PCF+CPF=90 ，CPF+EPN=90 ， PCF=EPN 又CFP=PNE=90 ， PCFEPN， = ，即 ;3= 1， EN=m2-3m 10， 当 3m4 时，EN 的值随 m
8、 值的增大而增大， 当 m=4 时，EN 取得最大值，最大值为 4 综上所述：点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 针对训练针对训练 1（山东省济南市历下区） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 = 1 2 2 + + ， 经过点(1,3)、 (0,1)， 过 点作轴的平行线交抛物线于另一点 (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)如图，点是第一象限中上方抛物线上的一个动点，过点作 于点，作 轴于点，交 于点，在点运动的过程中，的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请 说明理由； (3)如图，连接，在轴上取一点，使和相似，请求出符合要求的点坐标 【答案】 （1）抛物线
9、的解析式为 = 1 2 2 + 5 2 + 1，顶点坐标为( 5 2, 33 8 )； （2）最大值为65 5 + 2； （3）满足 条件的点有(0, 5 2)，(0, 13 3 ) 【解析】 6 （1）将(1,3)，(0,1)，代入 = 1 2 2 + + ， 解得 = 5 2， = 1 抛物线的解析式为 = 1 2 2 + 5 2 + 1 顶点坐标为(5 2, 33 8 ) （2）由(0,1)，(4,3)得直线解析式为： = 1 2 + 1 设 M(, 1 2 2 + 5 2 + 1)，则得(0, 1 2 + 1) 则 = 1 2 2 + 5 2 + 1 ( 1 2 + 1) = 1 2
10、2 + 2 1 2 0， 21 b25 12， 又由直线与 G1 交于 x 轴上方，b0， b 的范围为0 25 12. （2）当 0t2 时，S=3t；当 2t4 时，S=24 24 3t；当 t4 时，S=24 . 当 0t2 时，如图 1，由题意可知 CP=2t，S=SPCQ=1 2 2t 3=3t； 当 2t4 时，如图 2： 过 Q 作 QHCP 于 H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3, BMHQ， PBMPHQ， = . 即 3 = 2;4 ， BM=3(2;4) , AM=3- BM=12;3 ， = 矩形 OABC = 4 3 1 2 3 1 2 (4 ) 12 3
11、= 243t 24 (2 4 时，如图 3， CQ 与 AB 交于 M 点，过 Q 做 ， 则 , = 即 3 = 4 ，故有 = 12 . 面积为： = 1 2 = 1 2 4 12 = 24 （t 4） 2 （重庆一中 2019 届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx8 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 ykx+5 3（k0）经过点 A，与抛物线交于另一点 R，已知 OC 2OA，OB3OA （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是 x 轴下方抛物线上一点，过点 P 做 PHAR 于点 H，过点 P 做 P
12、Qx 轴交抛物线于 点 Q，过点 P 做 PHx 轴于点 H，K 为直线 PH上一点，且 PK23PQ，点 I 为第四象限内一点，且在直 线 PQ 上方，连接 IP、IQ、IK，记 l13 2 PH 1 4PQ，mIP+IQ+IK，当 l 取得最大值时，求出点 P 的坐标， 并求出此时 m 的最小值 （3）如图 2，将点 A 沿直线 AR 方向平移 13 个长度单位到点 M，过点 M 做 MNx 轴，交抛物线于点 N， 动点 D 为 x 轴上一点，连接 MD、DN，再将MDN 沿直线 MD 翻折为MDN（点 M、N、D、N在同一平 面内） ，连接 AN、AN、NN，当ANN为等腰三角形时，请直
13、接写出点 D 的坐标 23 【答案】 （1）y1 6x2 4 3x8，y 5 12x+ 5 3； （2）P（5， 21 2 ） ，m 的最小值为 219； （3）D1（31;513 2 ，0） ， D2（4，0） ，D3（34 3 ，0） ，D4（31:513 2 ，0） 【解析】解（1）yax2+bx8 与 y 轴的交点为 C，令 x0，y8， 点 C（0，8） ， OC8， OC2OA，OB3OA， OA4，OB12， A（4，0）B（12，0） ， 将点 A 代入直线解析式可得 04k+5 3， 解得 k 5 12， y 5 12x+ 5 3， 将点 A 和点 B 代入抛物线中， 0 =
14、 16 4 8 0 = 144 + 12 8 ， 解得 a1 6，b 4 3， y1 6x2 4 3x8； （2）设点 P 的坐标为（p，1 6p2 4 3p8） ， 2 4， 抛物线的对称轴为直线 x4， 点 Q（8p，1 6p2 4 3p8） ， PQ2p8， PK23PQ， PK43p163， 如图 1 所示，延长 PK 交直线 AR 于点 M，则 M（p， 5 12P+ 5 3） ， 24 PM 5 12P+ 5 3（ 1 6p2 4 3p8） 1 6p2 21 12p+ 29 3 ， PHMMHA，HMPAMH， HPMMAH， 直线解析式为 y 5 12x+ 5 3， ，令 x0，
15、y 5 3， OE5 3， OA4， 根据勾股定理得AE13 3 ， cosEAO 12 13, cosHPM 1 6 221 12p: 29 3 12 13， PH 2 13p2+ 21 13p+ 116 13 ， I13 2 PH 1 4PQ， I13 2 （ 2 13p2+ 21 13p+ 116 13 ）1 4（2p8）（p5）2+85， 当 p5 时，I 取最大值此时点 P（5，21 2 ） ， PQ2，PK43， 如图 2 所示，连接 QK，以 PQ 为边向下做等边三角形 PQD，连接 KD，在 KD 取 I， 使PID60 ，以 PI 为边做等边三角形 IPF，连接 IQ， 25
16、 IPPF，PQPD，IPQFPD， IPQFPD（SAS） ， DFIQ， IP+IQ+IKIF+FD+IKDK，此时 m 最小， 过点 D 作 DN 垂直于 KP， KPDKPQ+QPD150 ， PDN30 ， DPPQ2， DN1，根据勾股定理得 PN3， 在KDN 中，KN53，DN1，根据勾股定理得 KD219， m 的最小值为 219； （3）设 NM 与 x 轴交于点 J， AM13，cosMAJ12 13， AJ12，根据勾股定理得 MJ5， OA4， OJ8， M（8，5） ， 当 x8 时，代入抛物线中，可得 y8， N（8，8） ，MN13， 在AJN 中，根据勾股定理
17、得 AN413， 点 D 为 x 轴上的动点， 根据翻折， MN13， 所以点 N在以 M 为圆心， 13 个单位长度为半径的圆上运动， 26 如图 3 所示， 当 N落在 AN 的垂直平分线上时， tanMNA12 8 3 2， tanMGJ3 2， MJ5， JG10 3 ，根据勾股定理得 MG513 3 ， MD1 为GMJ 的角平分线， = ， D1J51315 2 ， D1（31;513 2 ，0） ， MD4 也为角平分线， D1MD490 ， 根据射影定理得 MJ2JD1JD4， JD4513:15 2 ， D4（31:513 2 ，0） ； 当 ANAN时， 27 D2 与点
18、A 重合， D2（4，0） ， MD3 为角平分线， = 3 3， JD310 3 ， D3（34 3 ，0） ， 综上所述 D1（31;513 2 ，0） ，D2（4，0） ，D3（34 3 ，0） ，D4（31:513 2 ，0） 3 （江苏省扬州市宝应县 2019 届九年级上学期期末）已知，如图 1，二次函数 yax2+2ax3a（a0）图象 的顶点为 C 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，点 C、B 关于过点 A 的直线 l：ykx+3对称 （1）求 A、B 两点坐标及直线 l 的解 析式； （2）求二次函数解析式； （3）如图 2，过点 B 作直线 BDAC
19、交直线 l 于 D 点，M、N 分别为直线 AC 和直线 l 上的两个动点，连接 CN，MM、MD，求 CN+NM+MD 的最小值 【答案】(1) 点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （1，0） ，直线 l 的表达式为：y 3 3 x+3;(2) 二次函数解析 式为：y 3 2 x23x+33 2 ；(3)8. 【解析】 解： （1）yax2+2ax3a，令 y0，则 x1 或 3， 即点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （1，0） ， 点 A 坐标代入 ykx+3得：03k+3，解得： = 3 3 , 即直线 l 的表达式为： = 3 3 + 3.， 28 同理可得直线 AC 的表达
20、式为： = 3 + 33. 直线 BD 的表达式为： = 3 3.， 联立并解得：x3，在点 D 的坐标为（3，23） ； （2）设点 C 的坐标为（1，m） ，点 C、B 关于过点 A 的直线 l：ykx+3对称得 AC2AB2， 即： （3+1）2+m216，解得： = 23（舍去负值） ，点 C（1，23） ， 将点 C 的坐标代入二次函数并解得： = 3 2 . 故二次函数解析式为： = 3 2 2 3 + 33 2 ； （3）连接 BC，则 CN+MN 的最小值为 MB（即：M、N、B 三点共线） ， 作 D 点关于直线 AC 的对称点 Q 交 y 轴于点 E，则 MB+MD 的最小
21、值为 BQ（即：B、M、Q 三点共线） ， 则 CN+MN+MD 的最小值MB+MD 的最小值BQ， DQAC，ACBD，QDB90 ， 作 DFx 轴交于点 F， DFADsinDAF= 43 1 2 = 23, B、C 关于直线 l 对称，即直线 l 是EAF 的平分线， EDFD23， 则 QD43，BD4， BQ=(43) 2 + 42= 8. 即 CN+NM+MD 的最小值为 8 4 （江苏省句容市第二中学）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y 1 3x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，
22、BC动点 P 从点 A 出 发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 29 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动 时间为 t 秒连接 PQ （1）填空：b ，c ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点 M 在抛物线上，且AOM 的面积与AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标。 【答案】 （1）1 3，4； （2）不可能是直角三角形，见解析； （3）M(1,4)或 M( 1:97 2 ,-4）或 M(1;97 2
23、 ,-4） 【解析】 解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x4） 将 a1 3代入得：y 1 3x2+ 1 3x+4， b1 3，c4 （2）在点 P、Q 运动过程中，APQ 不可能是直角三角形 理由如下：在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角， 当APQ 是直角三角形时，则APQ90 将 x0 代入抛物线的解析式得：y4， C（0，4） 点 A 的坐标为（3，0） ， 在 RtAOC 中，依据勾股定理得：AC5， APOQt，AQ=3+t， OACPAQ，APQAOC AOCAPQ AP:AO=AQ:AC 3= 3:t 5 t=4.5 由题意可知：0t4， t4.
24、5 不合题意，即APQ 不可能是直角三角形 30 (3 )设点 M 的坐标为（m，1 3m2+ 1 3m+4） AOM 的面积与AOC 的面积相等，且底都为 AO，C（0，4） 1 3m2+ 1 3m+4=4 当1 3m2+ 1 3m+4=-4 时，解得：m= 1:97 2 或1-97 2 , 当1 3m2+ 1 3m+4=4 时，解得：m=1 或 0 当 m=0 时，与 C 重合，m=1:97 2 或1-97 2 或 1 M(1,4)或 M(1:97 2 ,-4）或 M(1-97 2 ,-4） 类型三类型三 以动点驱动的图形运动以动点驱动的图形运动 例例 4：（浙江省金衢十二校 2019 届
25、九年级下学期 3 月联合模拟）如图， 抛物线1= 4 3 2 4 3 + 2与轴 交于点，（点在点的左侧） ，过轴上的点(0,4)，直线2= + 3交轴，轴于点，且 = . 图（1） 图（2） （1）求出与的值. （2）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上方的对称轴上找一点，使与相似，求出的长. （3）如图，过抛物线上动点作 轴于点，交直线2= + 3于点，若点是点关于直线的 对称点，是否存在点（不与点重合） ，使点落在轴上，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在， 请说明理由. 【答案】 （1） = 2， = 3 4； （2） 1 2或 8； （3） 1;13 4 ；1:13 4 ；19:553
26、16 ；19;553 16 . 【解析】 （1）将点 C（0，4）代入抛物线 y1= -4 3 2 4 3tx-t+2， 得，-t+2=4， t=-2， 抛物线 y1= -4 3 2 + 8 3 + 4， 31 C（0，4） ，ON=OC， N（-4，0） ， 将 N（-4，0）代入直线 y2=kx+3， 得，-4k+3=0， k=3 4， 直线 y2=3 4x+3， t 的值为-2，k 的值为3 4； （2）如图 1，连接 BE， 在 y1= -4 3 2 + 8 3 + 44 中， 当 y=0 时， x1=-1，x2=3， A（-1.0） ，B（3，0） ， 对称轴为 x= - 2=1，
27、D（1，0） ， AO=1，CO=4，BD=2， AOC=EDB=90 ， 当AOCBDE 时， = ， 1 2 = 4 ， DE=8， 当AOCEDB 时， = ， 1 = 4 2， DE=1 2， 综上所述，DE 的长为 8 或1 2； 32 （3）如图 2-1，点 Q是点 Q 关于直线 MG 的对称点，且点 Q在 y 轴上时， 由轴对称的性质知，QM=QM，QG=QG，QMG=QMG， QGx 轴， QGy 轴， QMG=QGM， QMG=QGM， QM=QG， QM=QM=QG=QG， 四边形 QMQG 为菱形， 设 G（a，- 4 3 2 + 8 3 + 4） ，则 Q（a， 3 4
28、a+3） ， 过点 G 作 GHy 轴于点 H， GQQN， GQH=NMO， 在 RtNMO 中， NM=2+ 2=5， sinNMO= = 4 5， sinGQH= = 4 5， 当点 G 在直线 MN 下方时， QG=QG=4 3 2 23 12 1， 4 3 2;23 12;1 = 4 5， 33 解得，a1=19:553 16 ，a2=19;553 16 ； 如图 2-2，当点 G 在直线 MN 上方时， QG=QG= -（4 3 2 23 12 1） ;（4 3 2;23 12;1） = 4 5 ， 解得，a1=1:13 4 ，a2=1;13 4 ， 综上所述，点 G 的横坐标为1
29、9:553 16 , 19;553 16 , 1:13 4 , 1;13 4 针对训练针对训练 1 （湖北省鄂州市梁子湖区 2019 届九年级下学期期中）如图，抛物线 = 1 3 2 + + 经过ABC 的三个 顶点，其中点 A(0，-1)，点 B(9，-10)，ACx 轴，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 E，F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； 34 (3)当点 P 为抛物线的顶点时， 在直线 AC 上是否存在点 Q， 使得以 C， P， Q 为顶点的三角形与A
30、BC 相似？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) = 1 3 2 + 2 1；(2)P(9 2， 5 4)；(3)存在这样的点 Q，其坐标是(4，1)或(3，1) 【解析】 (1) = 1 3 2 + 2 1 (2)ACx 轴，A(0，1)， 1 3 2 + 2 1 = 1 解得 x16，x20 点 C 的坐标为(6，1) 点 A(0，1)，B(9，10)， 直线 AB 的解析式为 yx1 设点（, 1 3 2 + 2 1）， E(m，m1) = ( 1 3 2 + 2 1) ( 1) = 1 3 2 + 3 ACEP，AC6， 四边形+ 1 2 + 1 2 1
31、2 ( + ) 1 2 1 2 6 ( 1 3 2 + 3) 2+ 9 ( 9 2) 2 + 81 4 0 6， 35 当 m9 2时，四边形 AECP 的面积的最大值是 81 4 此时点(9 2, 5 4) (3) = 1 3 2 + 2 1 = 1 3( 3) 2 + 2，P(3，2) PF2(1)3，CF633 PFCF PCF45 同理可得EAF45 PCFEAF 分两种情况： = 时，CPQABC = 92+ (10 + 1)2= 92，AC6， = 32， 6 = 32 92 解得 CQ2 Q(4，1) 当 = 时，CQPABC即 92 = 32 6 解得 CQ9 Q(3，1) 综
32、合得，存在这样的点 Q，其坐标是(4，1)或(3，1) 2 （广东省广州市天河区 2019 届九年级（上)期末）如图，直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C， 经过 B、C 两点的抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P (1)求 3m+n 的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符 36 合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 (3)将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴 下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若
33、直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值 【答案】(1)9；(2)点 Q 的坐标为(2，125)或(2，1+25)或(2，3 2)或(2，7)；(3)b3 或 13 4 【解析】 解：(1)直线 yx3，令 y0，则 x3，令 x0，则 y3， 故点 B、C 的坐标分别为(3，0)、(0，3)， 将点 B、C 的坐标分别代入抛物线表达式得： = 3 0 = 9 + 3 + ，解得： = 4 = 3 ， 则抛物线的表达式为：yx2+4x3，则点 A 坐标为(1，0)，顶点 P 的坐标为(2，1)， 3m+n1239； (2) 当 CPCQ 时， C 点纵坐标为 PQ
34、 中点的纵坐标相同为3， 故此时 Q 点坐标为(2，7)； 当 CPPQ 时， PC=42+ 22=25， 点 Q 的坐标为(2，125)或(2，1+25)； 当 CQPQ 时， 过该中点与 CP 垂直的直线方程为：y1 2x 1 2， 当 x2 时，y3 2，即点 Q 的坐标为(2， 3 2)； 故：点 Q 的坐标为(2，125)或(2，1+25)或(2，3 2)或(2，7)； 37 (3)图象翻折后的点 P 对应点 P的坐标为(2，1)， 在如图所示的位置时，直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时 C、P、B 三点共线，b3； 当直线 yx+b 与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x24x+3x+b，524(3b)0，解得：b13 4 即：b3 或13 4