1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 10 二次函数背景下的与圆有关的问题二次函数背景下的与圆有关的问题 【方法综述】【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是圆和二次函数都是初中数学重点知识，是 压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景 的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内 容。解答要点是结合相
2、关知识，对于已知条件进行数形结合。容。解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x-5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连
3、接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 针对训练针对训练 1（江苏省无锡市锡山区） 已知二次函数 yax 22axc(a0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF：FB1：3 (1)求 A、B 两点的坐标； (2)若COB 的内心 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式； (3)在(2)的条件下，Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 M，与抛物线交于 点 N，连接
4、CN，将CMN 沿直线 CN 翻折，M 的对应点为 M，是否存在点 Q，使得 M恰好落在 y 轴上？ 2 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2 （2018-2019 学年北京市燕山区九年级（上)期末数学试卷）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出如下定义：点 P，Q 都在图形 G 上，且将点 P 的横坐标与纵坐标互换后得到点 Q，则称点 P，Q 是 图形 G 的一对“关联点”例如，点 P（1，2）和点 Q（2，1）是直线 yx+3 的一对关联点 （1）请写出反比例函数 y6 的图象上的一对关联点的坐标： ； （2）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线
5、x1，与 y 轴交于点 C（0，1） 点 A，B 是抛物线 yx2+bx+c 的一对关联点，直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0） 求 A，B 两点坐标 （3）T 的半径为 3，点 M，N 是T 的一对关联点，且点 M 的坐标为（1，m） （m1） ，请直接写出 m 的 取值范围 3（浙江省杭州市余杭区 2019 届九年级上学期期末考试） 如图， 已知点的坐标是(2,0)， 点的坐标是(8,0)， 以线段为直径作，交轴的正半轴于点，过、三点作抛物线 （1）求抛物线的解析式； （2）连结，点是延长线上一点，的角平分线交于点，连结，在直线上找 3 一点，使得的周长最小，并求出此时点的坐标； （
6、3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得 = ，若存在，请直接写出点的坐标；若 不存在，请说明理由 4 （2018 年广东省广州市中考数学试卷）已知抛物线 yx2+mx2m4（m0） （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C，A，B，C 三点都 在P 上 试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明 理由； 若点 C 关于直线 x= 2的对称点为点 E，点 D（0，1） ，连接 BE，BD，DE，BDE 的周长记为 l，P
7、 的半径记为 r，求 的值 5 （人教版数学 2018 年秋九年级上学期第 22 章二次函数解答题综合练习）如图，在平面直角坐标系 中，以点 M（2，0）为圆心的M 与 y 轴相切于原点 O，过点 B（2，0）作M 的切线，切点为 C，抛 物线 = 3 3 2+ + 经过点 B 和点 M （1）求这条抛物线解析式； （2）求点 C 的坐标，并判断点 C 是否在（1）中抛物线上； （3） 动点 P 从原点 O 出发， 沿 y 轴负半轴以每秒 1 个单位长的速度向下运动， 当运动 t 秒时到达点 Q 处 此 时BOQ 与MCB 全等，求 t 的值 4 6 （湖北省武汉市东西湖区 2019 届九年级
8、第一学期期中）已知抛物线 1：yax2 过点（2，2） (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图，ABC 的三个顶点都在抛物线1 上，且边 AC 所在的直线解析式为 yx+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求 2 的值； (3)如图，点 P 的坐标为（0，2） ，点 Q 为抛物线上1 上一动点，以 PQ 为直径作M，直线 yt 与 M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在， 请说明理由 7 （浙江省湖州市南浔区 2017-2018 学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原 点，如图 1，
9、直角三角板MON 中，OM=ON=3，OQ=1，直线 l 过点 N 和点 N，抛物线 y=ax2+23 3 x+c 过 点 Q 和点 N （1）求出该抛物线的解析式； （2）已知点 P 是抛物线 y=ax2+23 3 x+c 上的一个动点 初步尝试 若点 P 在 y 轴右侧的该抛物线上，如图 2，过点 P 作 PAy 轴于点 A，问：是否存在点 P，使得以 N、P、 A 为顶点的三角形与ONQ 相似若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； 深入探究 5 若点 P 在第一象限的该抛物线上，如图 3，连结 PQ，与直线 MN 交于点 G，以 QG 为直径的圆交 QN 于点 H，交 x 轴
10、于点 R，连结 HR，求线段 HR 的最小值 8 （人教版九年级数学上 24 章圆单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(8, 0)， B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C （1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与 P的关系，并说明理由 9 （2018-2019 学年度人教版九年级（上) 第 22 章 二次函数 综合检测试卷）已知抛物线 y=ax2+bx 过点 A （1，4） 、B（3，0） ，过点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，在 x 轴上有一点 D（4，0） ，连接 C
11、D （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点 Q，使得 CD 平分ACQ，请求出点 Q 的坐标； （3）在直线 CD 的下方的抛物线上取一点 N，过点 N 作 NGy 轴交 CD 于点 G，以 NG 为直径画圆在 直线 CD 上截得弦 GH，问弦 GH 的最大值是多少？ 6 （4） 一动点 P 从 C 点出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 C AD 运动， 在线段 CD 上还有一动点 M， 问是否存在某一时刻使 PM+AM=4？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 10 （山东省日照市实验二中） 如图， 在平面直角坐标系中， 点(10, 0)， 以为直径在第一象限内
12、作半圆， 为半圆上一点，连接并延长至，使 = ，过作 轴于点，交线段于点，已知 = 8， 抛物线经过、三点 (1) =_ (2)求抛物线的函数表达式 (3)若为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以、为顶点的四边形面积记作，则取何值时， 相应的点有且只有3个？ 类型二类型二 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 例例 2（山东省济宁市嘉祥）如图，已知点 A（2，0） ，以 A 为圆心作A 与 y 轴切于原点，与 x 轴的另一 个交点为 B，过 B 作A 的切线 l （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A，抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C，抛物线的顶点为点 E，如果 CO=2BE，求此抛物
13、线的解析式； （2）过点 C 作A 的切线 CD，D 为切点，求此切线长； （3）点 F 是切线 CD 上的一个动点，当BFC 与CAD 相似时，求出 BF 的长 7 针对训练针对训练 1 （海南省海口市美兰区）如图，抛物线 y=x24x1 顶点为 D，与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于 点 C （1）求这条抛物线的顶点 D 的坐标； （2）经过点（0，4）且与 x 轴平行的直线与抛物线 y=x24x1 相交于 M、N 两点（M 在 N 的左侧） ，以 MN 为直径作P，过点 D 作P 的切线，切点为 E，求点 DE 的长； （3）上下平移（2）中的直线 MN，以 MN 为直径的
14、P 能否与 x 轴相切？如果能够，求出P 的半径；如 果不能，请说明理由 2 （吉林省四平市第三中学 2019 届九年级上学期期末）如图，P 的圆心 P（m，n）在抛物线 y1 2 2上 （1）写出 m 与 n 之间的关系式； （2）当P 与两坐标轴都相切时，求出P 的半径； （3）若P 的半径是 8，且它在 x 轴上截得的弦 MN，满足 0MN215时，求出 m、n 的范围 8 3 （河北省沧州市盐山县 2018 届九年级上期期末）如图，抛物线 y=1 2（x3） 23 2与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点，顶点 D （1）求点 A、B、D 三点
15、的坐标； （2）连结 CD 交 x 轴于 G，过原点 O 作 OECD，垂足为 H，交抛物线对称轴于 E，求出 E 点的纵坐标； （3）以中点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P，过 P 作E 的切线，切点 为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标 4 （2018 年北京市顺义区中考数学一模试卷）如图 1，对于平面内的点 P 和两条曲线L1、L2给出如下定义： 若从点 P 任意引出一条射线分别与L1、 L2交于Q1、 Q2， 总有PQ1 PQ2是定值， 我们称曲线L1与L2“曲似”， 定值 PQ1 PQ2为 “曲似比”，点 P 为“曲心” 例如：如图 2，以点
16、为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点任意引出一条射 线分别与两圆交于点 M、N，因为总有 = 1 是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1 r2，“曲心”为 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，直线y = kx与抛物线y = x2、y = 1 2x 2分别交于点 A、B，如图 3 所示，试判 断两抛物线是否曲似，并说明理由； (2)在(1)的条件下， 以O为圆心， OA为半径作圆， 过点B作x轴的垂线， 垂足为C， 是否存在k值， 使 O与直线 BC 相切？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； (3)在(1)、(2)的条件下，若将“y = 1 2x
17、 2”改为“y = 1 mx 2”，其他条件不变，当存在 O与直线 BC 相切时，直 接写出 m 的取值范围及 k 与 m 之间的关系式 9 5 （浙教数学九年级上第一学期期末测试）如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交 y 轴于点 A，交 x 轴于 B，C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，已知 C 点坐标为(6，0) (1)求此抛物线的解析式； (2)连结 AB，过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与抛物线的对称轴 l 相切， 先补全图形，再判断直线 BD 与C 的位置关系并加以证明； (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C
18、 两点之间问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的面积 最大？求出PAC 的最大面积 6 （辽宁省沈阳市 2018 年中考数学试卷）如图，在平面角坐标系中，抛物线 C1：y=ax2+bx1 经过点 A（ 2，1）和点 B（1，1） ，抛物线 C2：y=2x2+x+1，动直线 x=t 与抛物线 C1交于点 N，与抛物线 C2交于点 M （1）求抛物线 C1的表达式； （2）直接用含 t 的代数式表示线段 MN 的长； （3）当AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，求 t 的值； （4）在（3）的条件下，设抛物线 C1与 y 轴交于点 P，点 M 在 y 轴右侧的抛物线 C2上，连接
19、AM 交 y 轴 于点 k，连接 KN，在平面内有一点 Q，连接 KQ 和 QN，当 KQ=1 且KNQ=BNP 时，请直接写出点 Q 的坐标 10 7 （内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（5，4） ，M 与 y 轴相切于 点 C，与 x 轴相交于 A，B 两点 （1）请直接写出 A，B，C 三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式； （2）设（1）中抛物线解析式的顶点为 E， 求证：直线 EA 与M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使PBC 是等腰三角形？ 如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由
20、8 （北师大版九年级下册期末综合练习题）如图，已知以 E(3，0)为圆心，5 为半径的E 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A，B，C 三点，顶点为 F. (1)求 A，B，C 三点的坐标； (2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标； (3)已知 M 为抛物线上的一动点(不与 C 点重合)，试探究：若以 A，B，M 为顶点的三角形面积与ABC 的面积相等，求所有符合条件的点 M 的坐标； 若探究中的 M 点位于第四象限，连接 M 点与抛物线顶点 F，试判断直线 MF 与E 的位置关系，并说 明理由. 11 9 （昆明市校际合作学校
21、2018 年初三统一考试）如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B,C 两点(点 B 在点 C 的左侧),已知 A 点坐标为(0,3). （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的 面积最大?并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积； （3）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的 对称轴与 有怎样的位置关系，并给出证明. 10 （山东省淄博市淄川区 2018 届九年级第一次模拟）如图
22、，二次函数 y=1 4x 2+mx+n 的图象经过点 A（2， 3） ，与 x 轴的正半轴交于点 G（1+13，0） ；一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，且交 x 轴于点 P，交抛物 线于另一点 B，又知点 A，B 位于点 P 的同侧 （1）求这个二次函数的解析式； （2）若 PA=3PB，求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当 k0 时，抛物线的对称轴上是否存在点 C，使C 同时与 x 轴和直线 AP 都相 切？如果存在，请求出点 C 的坐标；如果不存在，请说明理由 12 类型三类型三 构造圆与隐形圆构造圆与隐形圆 例例 3： （四川省成都）已知：如图 1，抛物线 = 2+
23、 + 与 x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，与 y 轴交于 点 C，点 D 为顶点 (1)求抛物线解析式及点 D 的坐标； (2)若直线 l 过点 D，P 为直线 l 上的动点，当以 A、B、P 为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直 线 l 的解析式； (3)如图 2，E 为 OB 的中点，将线段 OE 绕点 O 顺时针旋转得到，旋转角为(0 90)，连接、 ，当 + 1 2取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标 针对训练针对训练 1 （江苏省常熟市 2019 届九年级第一学期期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 经过点 A（1，0） ，B（0，3
24、） ，C（2，0） ，其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求1 2PB+PD 的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个； 13 连接 MA，MB，若AMB 不小于 60 ，求 t 的取值范围 2 （广东省实验中学 2018-2019 学年九年级上学期期中）如图，抛物线 y1 2x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B（A 左 B 右） ，与 y 轴交于 C，直线 yx+5 经过点 B、C （1）求抛物线的解析
25、式； （2）点 P 为第二象限抛物线上一点，设点 P 横坐标为 m，点 P 到直线 BC 的距离为 d，求 d 与 m 的函数解 析式； （3）在（2）的条件下，若PCB+POB180 ，求 d 的值 3 （2018 年天津市西青区初中毕业生学生考试（二模)）抛物线 y=3x2+bx+c（b，c 均是常数）经过点 O （0，0） ，A（4，43） ，与 x 轴的另一交点为点 B，且抛物线对称轴与线段 OA 交于点 P （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）过点 P 作 x 轴的平行线 l，若点 Q 是直线上的动点，连接 QB 若点 O 关于直线 QB 的对称点为点 C，当点 C 恰好在直
26、线 l 上时，求点 Q 的坐标； 若点 O 关于直线 QB 的对称点为点 D，当线段 AD 的长最短时，求点 Q 的坐标（直接写出答案即可） 14 4 （江西省南昌市南昌育新学校 2018-2019 学年度九年级（上)期中）如图，已知直角坐标平面上的 ， = ， = 90，且(1, 0)，(, )，(3, 0)若抛物线 = 2+ 3经过、两点 (1)求、的值； (2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式； (3)设(2)中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，当 与轴和 直线都相切时，联结、，求四边形的面积 5 （江苏省徐州市 201
27、8 年中考数学模拟）如图，在直角坐标系中，直线 y=1 3x1 与 x 轴，y 轴的交点分 别为 A、 B， 以 x=1 为对称轴的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、 C， 直线 x=1 与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）在线段 AB 上是否存在一点 P，使以 A，D，P 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出点 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由； （3）若点 Q 在第三象限内，且 tanAQD=2，线段 CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果 不存在，请说明理由 15 6 （湖北省咸宁市 2018 年中考数学试卷）如图，直线 y=3
28、 4x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线 y=3 8x 2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q设点 P 的横坐标为 m，PQ 与 OQ 的比值 为 y，求 y 与 m 的关系式，并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值； （3）点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD，设ODC 外接圆的圆心为 M，当 sinODC 的值最 大时，求点 M 的坐标 7（湖南省邵阳市双清区 2018 年初中毕业班中考） 如图， 直线 y= 3 3 x+3与 x 轴
29、交于点 A， 与 y 轴交于点 C， 以 AC 为直径作M，点 D 是劣弧 AO 上一动点（D 点与 A，C 不重合） 抛物线 y= 3 3 x +bx+c 经过点 A、 C，与 x 轴交于另一点 B， （1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标； 16 （2） 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P， 是PAPC的值最大； 若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由。 （3）连 CD 交 AO 于点 F，延长 CD 至 G，使 FG=2，试探究当点 D 运动到何处时，直线 GA 与M 相切， 并请说明理由 8 （山东省滨州市 2018 年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P
30、（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于点 B （1）当 x=2 时，求P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合） ，给（2）中所得函数图象进 行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合 （4）当P 的半径为 1 时，若P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图，求 cosAPD 的大小 9（广东省深圳市龙岗区 2018 届九年级中考数学一模） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 = 2 3 4的图象经过点(0,2)，交 x 轴于点 A、(点在 B 点左侧)，顶点为 D (1)求抛物线的解析式及点 A、B 的坐标； (2)将 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为，试求的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P， 使 = ？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 17