1、 1 解题模型一解题模型一 针对训练针对训练 1.（2016枣庄）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与ACE 的平分线相 交于点 D，则D 的度数为（ ） A15 B17.5 C20 D22.5 【答案】A 【点睛】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到A、D 的数量关系. 2.（2018巴中）如图，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB若BOC=110，则A= （1）如图 1，若点 P 是ABC 和ACB 的角平分线的交点，则P=90+A； （2）如图 2，若点 P 是外角CBF 和BCE 的角平分线的交点，则P=90A；
2、（3）如图 3，若点 P 是ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则P=A 图 1 图 2 图 3 2 【答案】40 【分析】由解题模型一中的（1）可知，BOC=90+A，把BOC=110代入计算可得到A 的度数 【详解】BOC=90+A，BOC=110， 90+A=110. A=40 ￥来源: 【点睛】本题若不套用模型，则需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到BOC、A 的数量关 系. 3.（2018深圳）在 RtABC 中，C=90，AD 平分CAB，BE 平分ABC，AD、BE 相交于点 F，且 AF=4， EF=，则 AC= 【答案】 AD 平分CAB，BE 平分ABC， C
3、F 是ACB 的平分线. 3 ACF=45=AFE. CAF=FAE，AEFAFC. . AC=， 故答案为 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出 AE 是解本题的关键 4.（2018济南历城区模拟）如图，BA1和 CA1分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD 的角 平分线，CA2是A1CD 的角平分线，BA3是A2BD 的角平分线，CA3是A2CD 的角平分线，若A1=， 则A2018= 【答案】 【详解】A1B 是ABC 的平分线，A1C 是ACD 的平分线， A1BC=ABC，A1CD=ACD， 又ACD=A+ABC，A1CD=A1
4、BC+A1， 4 【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义， 熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键 ￥ 解题模型二解题模型二 针对训练针对训练 5. （2018长春） 如图， 在ABC 中， CD 平分ACB 交 AB 于点 D， 过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E 若A=54， B=48，则CDE 的大小为（ ） 1 1角平分线平行线等腰三角形 如图 1，BD 是ABC 的平分线，点 O 是 BD 上一点，OEBC 交 AB 于点 E，则BOE 是等腰三角形 2 2与角平分线有关的辅助线 （1）过角平分线上的点作角两
5、边的垂线 如图 2，BO 是ABC 的平分线，过点 O 作 OEAB 于点 E，过点 O 作 OFBC 于点 F，则 OEOF， BEOBFO. 图 1 图 2 图 3 图 4 （2）角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形 如图 3，BO 是ABC 的平分线，在 BA，BC 上取线段 BEBF，则BEOBFO. （3）过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形 如图 4，BD 是ABC 的平分线，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 BD 的垂线，则BGH 是等腰三角形且 BD 垂直平分 GH. 5 A44 B40 C39 D38 【答案】C 【点睛】此题考查三角形
6、内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质详解 6.（2016湖州）如图，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直若 AD=8， 则点 P 到 BC 的距离是（ ） A8 B6 C4 D2 【答案】C 【分析】过点 P 作 PEBC 于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE，PD=PE，那么 PE=PA=PD，又 AD=8，进而求出 PE=4 【详解】过点 P 作 PEBC 于点 E. ABCD，PAAB， PDCD. BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB， PA=PE，PD=PE. 6 PE=PA=P
7、D. PA+PD=AD=8， PA=PD=4. PE=4 故选：C 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键 7.（2018常德）如图，已知 BD 是ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，BAC=90，AD=3，则 CE 的长为（ ） A6 B5 C4 D3 来源:Z#X#X#K 【答案】D 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三 角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等是解题的关键 8.（2018淄博）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于
8、点 N，且 7 MN 平分AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ） A4 B6 C D8 【答案】B 【分析】根据题意，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长，从而可以求得 BC 的长 【点睛】本题考查 30角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，详解本题的关键是明确 题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想详解 9.（2018大庆）如图，B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC，且ADC=110，则MAB=（ ） A30 B35 C45 D60 【答案】B 【分析】作 MNAD 于 N，根据平行线的性质求出DAB，根据角平分线
9、的判定定理得到MAB=DAB， 8 计算即可 【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两个端点的距离相等. 10.（2018河北）如图，点 I 为ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为（ ） A4.5 B4 C3 D2 【答案】B 【分析】连接 AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以 AI 是CAB 的平分线，由平行的性质和 等角对等边可得：AD=DI，同理 BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边 AB 的长 9 【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟
10、练掌握三角形的内心是 角平分线的交点是关键 11.（2018枣庄）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E， 交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ） A B C D 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等 得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【详解】过点 F 作 FGAB 于点 G，如图所示. 10 BC=4. =. FC=FG， = . 解得 FC=， 即 CE 的长为 故选：A 【点睛】本
11、题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的 判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE 12.（2017滨州）如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在 绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论： （1）PM=PN 恒成立； （2） OM+ON 的值不变； （3）四边形 PMON 的面积不变； （4）MN 的长不变，其中正确的个数为（ ） 11 A4 B3 C2 D1 【答案】B 来源:ZXXK 在POE 和POF 中， ， POEPOF（HL）.OE=OF. 在PE
12、M 和PFN 中， ， PEMPFN（ASA）. EM=NF，PM=PN，故（1）正确. SPEM=SPNF. 12 S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确. OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正确， MN 的长度是变化的，故（4）错误. 故选：B 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 13.（2018德州）如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 3 【答案】3 【点睛】此题主要考查了角平分
13、线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等 14.（2018广安）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB 于 C，若 EC=1，则 OF= 2 13 【答案】2 【分析】作 EHOA 于点 H，根据角平分线的性质求出 EH，根据直角三角形的性质求出 EF，根据等腰三角 形的性质详解 【详解】作 EHOA 于点 H，如图所示. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌 握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是 解题的关键 15.（2018桂林）如图，在ABC 中，A=36，AB=AC，BD 平分ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 【答案】3 【分析】首先根据已
14、知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角 对等边详解，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏 & 14 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数是正 确详解本题的关键 16.（2016长春）感知：如图 1，AD 平分BACB+C=180，B=90，易知：DB=DC 探究：如图 2，AD 平分BAC，ABD+ACD=180，ABD90，求证：DB=DC来源:ZXXK 应用：如图 3，四边形 ABCD 中，B=45，C=135，DB=DC=a，则 ABAC= （用含 a 的代数式表示） 【答案】KD：全等三
15、角形的判定与性质 【分析】探究：欲证明 DB=DC，只要证明DFCDEB 即可 应用：先证明DFCDEB，再证明ADFADE，结合 BD=EB 即可解决问题 【详解】探究： 证明：如图中，DEAB 于 E，DFAC 于 F，来源:Z+X+X+K DA 平分BAC，DEAB，DFAC， DE=DF. B+ACD=180，ACD+FCD=180， B=FCD. 在DFC 和DEB 中， ， DFCDEB（AAS）. 15 DC=DB ABAC=a 故答案为a 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型