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决胜2019中考数学之模型解题高分攻略专题03相似三角形模型解题(教师版)

1、 1 解题模型一解题模型一 A 字型字型 针对训练针对训练 1 (2015湘潭)如图,在 RtABC 中,C=90,ACD 沿 AD 折叠,使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处 (1)求证:BDEBAC; (2)已知 AC=6,BC=8,求线段 AD 的长度 【分析】 (1)根据折叠的性质得出C=AED=90,利用DEB=C,B=B 证明三角形相似即可; (2)由折叠的性质知 CD=DE,AC=AE根据题意在 RtBDE 中运用勾股定理求 DE,进而得出 AD 即可 【解答】证明: (1)C=90,ACD 沿 AD 折叠, 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,关键是根据 1、折

2、叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于 轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、勾 股定理求解 2 (2018黄石)在ABC 中,E、F 分别为线段 AB、AC 上的点(不与 A、B、C 重合) (1)如图 1,若 EFBC,求证: (2)如图 2,若 EF 不与 BC 平行, (1)中的结论是否仍然成立?请说明理由; (3)如图 3,若 EF 上一点 G 恰为ABC 的重心,求的值 【分析】 (1)由 EFBC 知AEFABC,据此得=,根据=()2即可得证; (2) 分别过点 F、 C 作 AB 的垂线, 垂足分别为 N、 H, 据此知AFN

3、ACH, 得=, 根据= 即可得证; (3) 连接AG并延长交BC于点M, 连接BG并延长交AC于点N, 连接MN, 由重心性质知SABM=SACM、=, 设=a,利用(2)中结论知=、=a,从而得 3 =+a, 结合=a 可关于 a 的方程, 解之求得 a 的值即可得出 答案 =. =. (3)如图 2,连接 AG 并延长交 BC 于点 M,连接 BG 并延长交 AC 于点 N,连接 MN,则 MN 分别是 BC、 AC 的中点, 4 【点睛】本题主要考查相似形的综合问题,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心 的定义及其性质等知识点 # 3 (2017衢州)如图,AB 为半

4、圆 O 的直径,C 为 BA 延长线上一点,CD 切半圆 O 于点 D,连接 OD作 BE CD 于点 E,交半圆 O 于点 F已知 CE=12,BE=9 (1)求证:CODCBE; (2)求半圆 O 的半径 r 的长 5 【分析】 (1)由切线的性质和垂直的定义得出E=90=CDO,再由C=C,得出CODCBE (2)由勾股定理求出 BC=15,由相似三角形的性质得出比例式,即可得出答案 【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理;熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解决问题的关键 4 (2017杭州)如图,在锐角三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,

5、AGBC 于点 G,AFDE 于点 F,EAF=GAC (1)求证:ADEABC; (2)若 AD=3,AB=5,求的值 6 【分析】 (1)由于 AGBC,AFDE,所以AFE=AGC=90,从而可证明AED=ACB,进而可证明ADE ABC; (2)ADEABC,又易证EAFCAG,所以,从而可知 来源:Z&xx&k.Com 【点睛】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的判定,本题属于中等题型来源:Z&X&X&K 7 解题模型二解题模型二 8 字型字型 针对训练针对训练 5 (2018江西)如图,在ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD 是ABC 的平

6、分线,BD 交 AC 于点 E,求 AE 的长 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD,求出 BC=CD=4,证AEBCED,得出比例 式,求出 AE=2CE,即可得出答案 =. =. 8 AE=2CE. AC=6=AE+CE, AE=4 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、 平行线的性质等知识点, 能求出 AE=2CE 和ABECDE 是解此题的关键 6 (2017来宾)如图,在正方形 ABCD 中,H 为 CD 的中点,延长 AH 至 F,使 AH=3FH,过 F 作 FGCD, 垂足为 G,过 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 E (1)

7、求证:ADHFGH; (2)求证:四边形 CEFG 是正方形 【分析】 (1)由正方形的性质以及 FGCD 得出ADH=FGH=90,结合对顶角AHD=FHG,即可判定 ADHFGH; # (2) 根据三角形相似的性质得出 GF=CG, 再根据已知条件 FGCD, DCBE, FEBE, 即可判定四边形 CEFG 是正方形 =3. GF=AD,DH=CH, CG=2GH. 9 CD=6GH. CG=CD. GF=CG. FGCD,DCBE,FEBE, 四边形 CEFG 是正方形 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键 解题模型三解题模型三 母

8、子型母子型 针对训练针对训练 7 (2018东营)如图,CD 是O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上 (1)求证:CAD=BDC; (2)若 BD=AD,AC=3,求 CD 的长 求出 CD 的长 【解答】 (1)证明:连接 OD,如图所示来源: 10 CD=2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质,解题的关键是: (1)利用等 角的余角相等证出CAD=BDC; (2)利用相似三角形的性质找出 # 解题模型四解题模型四 一线三等角型一线三等角型 11 针对训练针对训练 8 (2018杭州)如图,在ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,DEAB

9、 于点 E (1)求证:BDECAD (2)若 AB=13,BC=10,求线段 DE 的长 【分析】 (1)想办法证明B=C,DEB=ADC=90即可解决问题; (2)利用面积法:ADBD=ABDE 求解即可; 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识, 12 学会利用面积法确定线段的长 9 (2018盐城节选)如图,已知等边ABC,将直角三角板的 60角顶点 D 任意放在 BC 边上(点 D 不与点 B、C 重合) ,使两边分别交线段 AB、AC 于点 E、F (1)若 AB=6,AE=4,BD=2,则 CF= ; (2)求证:EBDDCF

10、 【分析】 (1)先求出 BE 的长度后发现 BE=BD 的,又B=60,可知BDE 是等边三角形,可得BDE=60, 另外DEF=60,可证得CDF 是等边三角形,从而 CF=CD=BCBD; % (2)证明EBDDCF,这个模型可称为“一线三等角相似模型”,根据“AA”判定相似. CDF+BDE=120,BED+BDE=120. BED=CDF 13 又B=C=60, EBDDCF. 10 (2017东营)如图,在等腰三角形 ABC 中,BAC=120,AB=AC=2,点 D 是 BC 边上的一个动点(不与 B、C 重合) ,在 AC 上取一点 E,使ADE=3 0 (1)求证:ABDDC

11、E; (2)设 BD=x,AE=y,求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围; (3)当ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长 【解答】证明: (1)ABC 是等腰三角形,且BAC=120, ABD=ACB=30. ABD=ADE=30. ADC=ADE+EDC=ABD+DAB, EDC=DAB. ABDDCE. (2)如图 1,AB=AC=2,BAC=120, 14 (3)当 AD=DE 时,如图 2, 由(1)可知:此时ABDDCE, # 则 AB=CD,即 2=2x, x=22,代入 y=x+2, 解得 y=42,即 AE=42. 当 AE=ED 时,如图 3, EAD

12、=EDA=30,AED=120, DEC=60,EDC=90, 则 ED=EC,即 y=(2y). 解得 y=,即 AE=. 当 AD=AE 时, AED=EDA=30,EAD=120, 此时点 D 与点 B 重合,不符合题意,此情况不存在, 15 当ADE 是等腰三角形时,AE=42或 【点睛】本题是相似形的综合题,考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形 30角 的性质,本题的几个问题全部围绕ABDDCE,解决问题;难度适中 解题模型五解题模型五 一线三垂直型一线三垂直型 针对训练针对训练 11 (2018梧州)如图,AB 是M 的直径,BC 是M 的切线,切点为 B,C

13、 是 BC 上(除 B 点外)的任意 一点,连接 CM 交M 于点 G,过点 C 作 DCBC 交 BG 的延长线于点 D,连接 AG 并延长交 BC 于点 E (1)求证:ABEBCD; (2)若 MB=BE=1,求 CD 的长度 【分析】 (1)根据直径所对圆周角和切线性质,证明三角形相似; (2)利用勾股定理和面积法得到 AG、GE,根据三角形相似求得 GH,得到 MB、GH 和 CD 的数量关系,求 得 CD 【解答】 (1)证明:BC 为M 切线,来源:ZXXK ABC=90. DCBC, BCD=90. ABC=BCD. 16 AB 是M 的直径, AGB=90,即 BGAE. C

14、BD=A. ABEBCD. (2)解:过点 G 作 GHBC 于点 H. GH= . 又GHAB, & 17 【点睛】本题是几何综合题,综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时,注意根据条件构 造相似三角形 12 (2018武汉)在ABC 中,ABC=90 (1)如图 1,分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线,垂足分别为 M、N,求证:ABMBCN; (2)如图 2,P 是边 BC 上一点,BAP=C,tanPAC=,求 tanC 的值; (3)如图 3,D 是边 CA 延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,直接写出 tanCEB 的 值 【分析】 (1)利

15、用同角的余角相等判断出BAM=CBN,即可得出结论; (2) 先判断出 MP=MC, 进而得出=, 设 MN=2m, PN=m, 根据勾股定理得, PM=3m=CM, 即可得出结论; (3)先判断出=,再同(2)的方法,即可得出结论 【解答】解: (1)AMMN,CNMN, AMB=BNC=90. BAM+ABM=90. ABC=90, 18 (3)在 RtABC 中,sinBAC=, 如图 3,过点 A 作 AGBE 于 G,过点 C 作 CHBE 交 EB 的延长线于点 H. DEB=90, CHAGDE. % = . 同(1)的方法得,ABGBCH, .来源:ZXXK 设 BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n, AB=AE,AGBE, EG=BG=4m. 19 【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了同角的余角相等,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数, 平行线分线段成比例定理,构造图 1 是解本题的关键