1、 1 【典例分析】 例 1 21 如图， 抛物线经过点， 与 轴负半轴交于点 ， 与 轴交于点 ， 且. （1）求抛物线的解析式； （2）点 在 轴上，且，求点 的坐标； （3） 点 在抛物线上， 点 在抛物线的对称轴上， 是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在。求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 例 2 如图，直线 AD 对应的函数关系式为 y=x1，与抛物线交于点 A（在 x 轴上） 、点 D，抛物线与 x 轴 另一交点为 B（3，0） ，抛物线与 y 轴交点 C（0，3） ， （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AD 上的一个动点，过 P
2、 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3）若点 F 是抛物线的顶点，点 G 是直线 AD 与抛物线对称轴的交点，在线段 AD 上是否存在一点 P，使 得四边形 GFEP 为平行四边形； （4）点 H 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使 A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，直接写出所有满足条件的 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由 例 3 在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点 、 的坐标分别是、，将此平行四边 形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形 2 如抛物线经过点 、 、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点 是第一
3、象限内抛物线上的一动点，问：当点 在何处时，的面积最大？最大面 积是多少？并求出此时 的坐标； 在的情况下，若 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点，点 坐标为，当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时，求点 的坐标 例 4 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，直线经过 ， 两点 求抛物线的解析式； 在上方的抛物线上有一动点 如图 ，当点 运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时 点 的坐标； 如图 ，过点 ， 的直线交于点 ，若，求 的值 例 5如图，抛物线经过A（01，） ，B（05，） ，C（5 . 20 ，）三点 （1）
4、求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PCPA的值最小，求点P的坐标； 3 （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得以NMCA、四点为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标 【变式训练】 1抛物线 y=x2+6x9的顶点为 A，与 y轴的交点为 B，如果在抛物线上取点 C，在 x轴上取点 D，使得 四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是（ ） A （6，0） B （6，0） C （9，0） D （9，0） 2如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于点 A、D，与 y轴交于点 C，四边形 ABCD是平行四边形，则点 B的 坐
5、标是（ ） A （-4，-3） B （-3，-3） C （-3，-4） D （-4，-4） 3如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径 作D下列结论：抛物线的对称轴是直线 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；直线 CM与D相切其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 4已知二次函数 y=x2+bx+c 图象的顶点坐标为（1，-4） ，与 y 轴交点为 A （1）求该二次函数的关系式及点 A 坐标； （2）将该二次函数的图象沿 x 轴翻折后对应的函数关系式是 ；
6、4 （3）若坐标分别为（m，n ） 、 （n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求 m+n 的值 （4）若该二次函数与 x 轴负半轴交于点 B，C 为函数图象上的一点，D 为 x 轴上一点，当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积 5如图，已知二次函数的图象交 轴于点和点 ，交 轴于点 求这个二次函数的表达式； 若点 在第二象限内的抛物线上，求面积的最大值和此时点 的坐标； 在平面直角坐标系内，是否存在点 ，使 ， ， ， 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 的坐 标；若不存在，说明理由 6如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2bxC
7、的图象与坐标轴交于 A、B、C三点，其中点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(4，0) (1)求该二次函数的表达式及点 C的坐标； (2 )点 D的坐标为(0，4)，点 F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 CD、CF，以 CD、CF为邻 边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF的面积为 S. 求 S 的最大值； 在点 F 的运动过程中，当点 E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S 的值 7 （本小题满分 12 分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0） ，直线 y = x+1 与二次函数的图象交 于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上 5 （1）二次函
8、数的解析式为 y = ； （2）证明点（m，2m1）不在（1）中所求的二次函数图象上； （3）若 C 为线段 AB 的中点，过点 C 做 CEx 轴于点 E，CE 与二次函数的图象交于 D y 轴上存在点 K，使 K、A、D、C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 K 的坐标是 二次函数的图象上是否存在点 P，使得三角形 S POE2S ABD？若存在，求出 P 坐标，若不存在，请说 明理由 8如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（其中 b，c为常数）的图象经过点 A（3，1） ，点 C（0，4） ，顶点为 点 M，过点 A作 ABx 轴，交 y轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC
9、 （1）求该二次函数的解析式及点 M的坐标 （2）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的 内部（不包括ABC的边界） ，求 m的取值范围 （3）沿直线 AC 方向平移该二次函数图象，使得 CM 与平移前的 CB 相等，求平移后点 M的坐标 （4）点 P 是直线 AC 上的动点，过点 P 作直线 AC的垂线 PQ，记点 M 关于直线 PQ 的对称点为 M当以 点 P、A、M、M为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 P 的坐标 来源:Zxxk.Com 9如图，二次函数 y=+bx+c的图象经过 A（2，0） ，B（0，6）两点 (1)求这个二
10、次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与 x轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC 的面积； 6 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得以 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 10如图，二次函数cbxaxy 2 的图像交x轴于( 1,0), (2,0)AB，交y轴于(0, 2)C，过,A C画直 线。 （1）求二次函数的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 xy 上的动点，请判断是否存在以 P、Q、O、C 为顶点的 四边形为平行四边形，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
11、（3）在y轴右侧的点M在二次函数图像上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H。且CHM AOC（点C与点A对应） ，求点M的坐标。 11如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 mxy 与该二次函数的图象交于 A、B 两点， 其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y上. (1)、求m的值及这个二次函数的关系式； (2)、P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为h，点 P 的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 来源:ZXXK (3)、D 为直线
12、 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是 平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 7 12 如图， 平行四边形 ABCD 中， 4AB ， 点D的坐标是0 8 ， 以点C为顶点的抛物线 2 yaxbxc 经过x轴上的点AB，. （1）求点ABC， ，的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式. 13如图，对称轴为直线 x= 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形 OEAF 是
13、以 OA 为对角线的平行四边形， 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式； （3）当（2）中的平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 14如图 1，抛物线cbxaxy 2 经过平行四边形ABCD的顶点)30( ，A、)01(，B、)32( ，D，抛物线 与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另 8 一点P.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t. （1）求抛物线的解析式； （2）当t何值时，PFE的面积最大?并求最大值的立方根； 来源:Z.xx.k.Com （3）
14、是否存在点P使PAE为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由. 来源:Zxxk.Com 15如图，抛物线经过点 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， 10 3 ）三点，设点 E（x，y）是抛物线上一动点， 且在 x 轴下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 E（x，y）运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最 大值？ （3）是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形？若存在，求 E 点，F 点的坐标；若不存在，请 说明理由 16如图，已知抛物线 y=ax bx
15、c 经过 A（3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，求： （1）抛物线解 析式 （2）若抛物线的顶点为 P，求PAC 的正切值 （3）若以点 A、C、P、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标 9 17如图，抛物线 2 3yaxbx与x轴相交于点A（1，0） 、B（3，0） ，与y轴相交于点C，点P为 线段OB上的动点（不与O、B重合） ，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F， 点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标； （3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面
16、积相等的两部分，求这条直线的解析式 （不必 说明平分平行四边形面积的理由） 18如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示放置，点 A 在 x轴上，点 B 的坐标为（n，1） （n 0） ，将此矩形绕 O点逆时针旋转 90 得到矩形 OABC，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A、A、C三点 来 源:Z*xx*k.Com （1）求此抛物线的解析式（a、b、c 可用含 n 的式子表示） ； （2）若抛物线对称轴是 x1的一条直线，直线 ykx+2（k0）与抛物线相交于两点 D（x1，y1） 、E（x2、 y2） （x1x2） ，当|x1x2|最小时，求抛物线与直线的交点 D 和
17、 E 的坐标； （3）若抛物线对称轴是 x1的一条直线，如图 2，点 M是抛物线的顶点，点 P 是 y轴上一动点，点 Q是 坐标平面内一点，四边形 APQM 是以 PM 为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q 关于直线 CM 对称，连接 10 MQ、 PQ， 当PMQ与平行四边形 APQM 重合部分的面积是平行四边形的面积的 时， 求平行四边形 APQM 的面积 19在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，直线经过 ， 两点 求抛物线的解析式； 在上方的抛物线上有一动点 如图 ，当点 运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时 点 的坐标； 如图 ，过点 ， 的直线交于点 ，若，求 的值 20如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y轴相交于（0， ） ，顶点为 P （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线是否存在点 E，使ABP 的面积等于ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条 件的点 F的坐标，并求出平行四边形的面积 11