1、 1 【典例分析】 例 1 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 和抛物线交于点 A（-4，0） ，B（0，4） ，且点 B 是抛物线的顶 点 （1）求直线AB 和抛物线的解析式 （2）点 P 是直线上方抛物线上的一点，求当PAB 面积最大时点 P 的坐标 （3）M 是直线 AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点 N，使以 O、B、M、N 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 思路点拨 （1）设直线的解析式为 y=kx+b，将 A（-4，0） ，B（0，4）代入得到关于 k、b 的方程组，然后解得 k、b 的值即可；设抛物线的解析式为 y=ax2+4
2、，然后将点 A 的坐标代入求得 a 的值即可； （2）过点 P 作 PQx 轴，交 AB 于点 Q设点 P（a， -+4） ，Q（a，a+4） 则 PQ=-a，然后依据三 角形的面积公式列出ABP 的面积与 a 的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有 4 种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以 及特殊锐角三角函数值求解即可 满分解答 抛物线的解析式为 y=- x2+4 2 （2）如图 1 所示，过点 P 作 PQx 轴，交 AB 于点 Q （3）如图 2 所示：延长 MN 交 x 轴与点 C MNOB，OBOC， MNOC 来源:
3、Zxxk.Com OA=OB，AOB=90 ， BA0=45 ONAB， NOC=45 OC=ON=4=2，NC=ON=4=2 点 N 的坐标为（2，2） 如图 3 所示：过点 N 作 NCy 轴，垂足为 C 3 OA=OB，AOB=90 ， OBA=45 ONAB， NOC=45 OC=ON=4=2，NC=ON=4=2 点 N 的坐标为（-2，-2） 如图 4 所示：连接 MN 交 y 轴与点 C 四边形 BNOM 为菱形，OB=4， BC=OC=2，MC=CN，MNOB 点的纵坐标为 2 将 y=2 代入 y=x+4 得：x+4=2，解得：x=-2， 点 M 的坐标为（-2，2） 点 N
4、的坐标为（2，2） 如图 5 所示： 4 四边形 OBNM 为菱形， NBM=ABO=45 四边形 OBNM 为正方形 点 N 的坐标为（-4，4） 综上所述点 N 的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2） 考点：二次函数综合题 例 2 如图，抛物线的图象经过点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（2，4） ，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECD=ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C
5、， M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 思路点拨 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可 （2）分点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解 5 即可； （3）分CM 为菱形的边和CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算 满分解答 （3）CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点 P，过点 P作 PNy 轴，交 BC 于 N，过点 P作 PMBC，交 y 轴于 M，四边形 CMPN是平行四边形，四 边形 CMPN是菱形， PM=PN， 过点 P作 PQy 轴， 垂足为 Q， OC=OB， BOC=90 ， OCB=45 ，
6、 PMC=45，设点 P（m，） ，在 RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0） ，C （ 0 ， 4 ） ， 直 线 BC 的 解 析 式 为 y= x+4 ， PN y 轴 ， N （ m ， m+4 ） ， PN=，m=0（舍）或 m=，菱 形 CMPN的边长为= 6 CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 P，过点 P 作 PMBC，交 y 轴于点 M，连接 CP，过点 M 作 MNCP，交 BC 于 N，四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q，四边形 CPMN 是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45 ，NCQ=45 ，PCQ=4
7、5 ，CPQ= PCQ=45 ，PQ=CQ，设点 P（n，） ，CQ=n，OQ=n+2，n=0 （舍） ，此种情况不存在，菱形的边长为 考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3压轴题 例 3 如图，已知点 A (2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 ymx2mx n上. （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形， 7 求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C、D 为顶 点的三角形与ABC 相似. 思路点拨 （1）已
8、知了抛物线图象上 A、B 两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得 m、n 的值； （2） 根据A、 B的坐标， 易求得AB的长； 根据平移的性质知： 四边形A ABB 一定为平行四边形， 若四边形 A ABB 为菱形，那么必须满足 AB=BB，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛 物线解析式； （3）易求得直线 AB的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到 C 点的坐标，进而可求 出 AB、BC、AC、BC 的长，在（2）题中已经证得 AB=BB，那么BAC=BBC，即 A、B对应，若以 点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似，可分两种情况考虑：
9、BCD=ABC，此时BCDABC， BDC=ABC，此时BDCABC，根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求 得不同的 BD 长，进而可求得 D 点的坐标 满分解答 （3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4， A（2，4） ，B（6，0） ，直线 AB： 1 yx3 2 . 当 x=4 时，y=1，故 C（4，1）. AC=3 5，BC=5，BC=10. 由（2）知：AB=BB=5，即BAC=BBC. 若以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似，则： BCD=ABC，则BCDABC，可得： BCBD ABAC ，即 5BD 53 5 ，BD=3，此时 D（3，0）
10、 ； 8 BDC=ABC，则BDCABC，可得： BCB D ACAB 即 5B D 53 5 ， 5 BD 3 ，此时 D（ 5 3 ，0）. 综上所述，存在符合条件的 D 点，且坐标为：D（3，0）或（ 5 3 ，0） 考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5. 菱形的性质；6. 等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用 例 4 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 轴交于 O 点、A 点，B 为抛物线上一点， C 为 y 轴上一点，连接 BC，且 BC/OA，已知点 O（0，0） ，A（6，0） ，B（3，m） ，
11、AB=. （1）求 B 点坐标及抛物线的解析式.， （2）M 是 CB 上一点，过点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求 DE 的最大值； （3）坐标平面内是否存在一点 F，使得以 C、B、D、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的 点 F 坐标；若不存在，请说明理由. 思路点拨 （1）运用勾股定理求出 m 的值，根据题意得点 B 为抛物线的顶点，设设抛物线为，即可 求解； （2）可求，设 E，则 D（，故 DE，从而可得结果； （3）设 F，根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解. 9 满分解答 （1）如图，过点 B 作 BGOA 于 G， （2）可求，设 E，则 D
12、（， DE， 当 x= ，DE 最大= . （3）设 F， 当 CD 为菱形对角线时， 来源:Z。xx。k.Com FDBC， 10 解得（舍去） ，. 当 BD 为菱形对角线时， ，（舍去） 当 BC 为菱形对角线时，D、F 均在 BC 的垂直平分线上，且 FP=PD， 则，则 D（，则 PD=3，则，。 综上所述，满足条件的 F 点共 3 个：，。 例 5 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）连接 BD，F 为抛物线上一动点
13、，当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标； （3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ= MN 时，求菱形对角线 MN 的长 11 思路点拨 （1） 利用待定系数法，列方程求二次函数解析式 .(2)利用解析法，FAB=EDB， tanFAG=tanBDE，求出 F 点坐标. (3)分类讨论，当 MN 在 x 轴上方时，在 x 轴下方时分别计算 MN. 详解： 满分解答 (1)OB=OC=6， B(6，0)，C(0，-6). ， 解得， 抛物线的解析式为. =， 点 D 的坐标为(2，-8). 12 (3)点 P
14、在 x 轴上， 根据菱形的对称性可知点 P 的坐标为(2，0). 如图，当 MN 在 x 轴上方时，设 T 为菱形对角线的交点. PQ= MN， MT=2PT. 设 TP=n，则 MT=2n. M(2+2n，n). 点 M 在抛物线上， ，即. 解得，(舍去). MN=2MT=4n=. 当 MN 在 x 轴下方时，设 TP=n，得 M(2+2n，-n). 13 点 M 在抛物线上， ， 即. 解得，(舍去). MN=2MT=4n=. 综上所述，菱形对角线 MN 的长为或. 点睛： 1.求二次函数的解析式 （1）已知二次函数过三个点，利用一般式，yax2bxc（）.列方程组求二次函数解析式. (
15、2)已知二次函数与 x 轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解 析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,. 2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母 表示） ，写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往 往是解决问题的钥匙. 例 6 如图(1)， 已知菱形的边长为， 点在 轴负半轴上， 点 在坐标原点， 点的坐标为 （， ） ，抛物线顶点在边上，并经过边的中点 （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）点关于直线的对称点是，求点到点的最短距离； （3）如图（2）将菱形以每秒 个单位长度的速
16、度沿轴正方向匀速平移，过点 作于点 ， 交抛物线于点 ，连接、设菱形平移的时间为 秒（） ，问是否存在这样的 ，使与 相似？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 14 思路点拨 (1)分别求出 AB 中点的坐标，抛物线的顶点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； (2)；判断点 C在以 M 为圆心，长为半径的圆上； (3)DEF90 ，DAF90 ，所以分两种情况讨论，利用相似三角形的对应比成比例列方程求解. 满分解答 (1)由题意得AB的中点坐标为(， 0)， 抛物线的顶点坐标为(0， 3)， 分别代入yax2b， 得， 解得. 来源:+网 这条抛物线的函数解析式为. (3)如图 2 所
17、示，在 RtBCE 中，BEC90 ，BE3，BC， ， C60 ，CBE30 。EC BC，DE. 又ADBC，ADCC180 得ADC180 60 120 ， 要使ADF 与DEF 相似，则ADF 中必有一个角为直角，而DAF60 ， ADF90 或AFD90 . 15 点睛： 理解点 C 关于直线 ykx3 的对称点 C时， 根据中心对称的性质可知直线 ykx3 与 y 轴的交点(0， 3)是 CC的中点，即点 C在以(0，3)为圆心，为半径的圆上，且当点 A，C，M 在一条直线上时，AC最小， 最小值为 AMMC. 【变式训练】 1 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （， 0） 是
18、 轴上一点， 以 OA 为对角线作菱形 OBAC， 使得60 ， 现将抛物线沿直线 OC 平移到，则当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时，则 m 的取 值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 由题意可得： 16 故选 D。 2直线 1 2 2 yx与y轴交于点 A，与直线 1 2 yx 交于点 B，以 AB 为边向右作菱形 ABCD，点 C 恰与 原点 O 重合，抛物线 2 yxhk的顶点在直线 1 2 yx 上移动，若抛物线与菱形的边 AB、BC 都有 公共点，则h的取值范围是（ ） A 1 2 2 h B21h C 3 1 2 h D 1 1 2 h 【答案】A 将 C(0,
19、0)代入 y=(xh) 1 2 h 得：h 1 2 h=0,解得： 1 h=0(舍去), 2 h= 1 2 . 如图 2 所示：当抛物线经过点 B 时。 17 将 B(2,1)代入 y=(xh) 1 2 h 得：(2h) 1 2 h=1,整理得：2h +7h+6=0,解得： 1 h=2, 2 h= 3 2 (舍去). 综上所述,h 的范围是2h 1 2 . 故选 A. 3如图 1，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=2BD，点 P 是 AO 上一个动点，过点 P 作 AC 的垂线交菱 形的边于 M，N 两点设 APx，OMN 的面积为 y，表示 y 与 x 的函数关系大致如图 2 所示的
20、抛物线 （1）图 2 所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ； （2）菱形 ABCD 的周长为 【答案】 （ 1 2 ， 1 8 ） ；2 5 【解析】 试题分析： 根据二次函数图形得出抛物线的顶点坐标； 根据函数图形可得 AO=1， 根据 AC=2BD 可得 DO= 1 2 ， 则根据 RtAOD 的勾股定理可得 AD= 5 2 ，则菱形的周长为：4 5 2 =2 5 考点：二次函数的应用 4二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为 60 度、120 度的菱形（其中两个顶点 在抛物线上另两个顶点在 y 轴上，相邻的菱形在 y 轴上有一个公共点） ，则第 2017 个菱
21、形的周长 =_ 18 【答案】8068 【解析】试题解析：设第一个菱形边长为 b， 则第一个菱形在 x 轴正向与函数 2 2 3 yx交点为 3 , 22 b b (因为其边长与 x 轴夹角为30) 代入 2 2 3 yx 得 b=1； 设第二个菱形边长为 c,则其边长与函数交点为 31 ,1 22 cc 代入函数表达式得 c=2， 同理得第三个菱形边长为 3，第 n 个菱形边长为 n，故第 2017 个菱形边长为 2017， 其周长为： 2017 48068. 故答案为： 8068. 5如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的三个顶点 A，B，D 均在抛物线 y=ax24ax+3（a0）
22、上若 点 A 是抛物线的顶点，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，则点 D 的坐标为_ 【答案】 （4，3） 【解析】分析：本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可. 解析：因为菱形 ABCD 的对角线互相垂直平分，A 是抛物线的顶点，所以点 B 与点 D 关于对称轴对称，因 为点 B 是抛物线与 y 轴的交点，所以 B（0，3）,因为对称轴为直线 x=2.所以点 D 的坐标为（4，3）. 故答案为（4，3）. 6如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A（3，4） ，C 在 x 轴的负半轴，抛物 线 y= （x2）2+k 过点 A 19 （1）求 k 的值； （2）
23、若把抛物线 y= （x2）2+k 沿 x 轴向左平移 m 个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形 OABC 的顶点 C试判断点 B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由 【答案】 （1）（2）当 m=5 时，点 B 在平移后的抛物线上；当 m=9 时，点 B 不在平移后的抛物线上 【解析】 试题分析： （1）将点 A 的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出结 论； （2）设 AB 与 y 轴交于点 D，结合勾股定理以及菱形的性质找出点 B、C 的坐标，根据二次函数的解析式 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过 C 点的二次函数的解析
24、式，代入 B 点的 坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论 试题解析： （1）经过点 A（3，4） ， ，解得：； （2）如图所示，设 AB 与 y 轴交于点 D，则 ADy 轴，AD=3，OD=4， 20 【考点】二次函数图象与几何变换；菱形的性质 7如图,已知点 A (-2,4) 和点 B (1,0)都在抛物线 y=mx2+2mx+n 上 （1）求 m、n 值； （2） 向右平移上述抛物线,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B,若四边形AA B B 为菱形,求平移 后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA B B 的对称中心点 M 的坐标 【答案】 （1） 4
25、, 3 4; m n （2） 4162 4 33 yx （3） （2，2） B A O 1 1 x y 21 【解析】解： （1）根据题意，得： 444, 20; mmn mmn 2 分 解之 4 , 3 4; m n 3 分 （2）四边形AA B B 为菱形， 则 A A=BB= AB=5； 4 分 48 2 4 33 yxx = 2 416 1 33 x； 5 分 向右平移 5 个单位的抛物线解析式为 4162 4 33 yx ； 7 分来源: （1）本题需先根据题意把 A （-2，4）和点 B （1，0）代入抛物线 y=mx2+2mx+n 中，解出 m、n 的值即 可 （2）本题需先根据
26、四边形 AABB 为菱形得出 y 的解析式，再把解析式向右平移 5 个单位即可得到平移后 抛物线的表达式 （3）本题需根据平移与菱形的性质，得到 A、B的坐标，再过点 A作 AHx 轴，得出 BH 和 AH 的值， 再设菱形 AABB 的中心点 M，作 MGx 轴，根据中位线性质得到 MG、BG 的值，最后求出点 M 的坐标 8如图 1，抛物线 2 21yaxax，其中(0)a ，点 A（-2，m）在该抛物线上，过点 A 作直线 lx 轴，与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C. 22 （1）求 m 的值. （2）当 a=2 时，求点 B 的坐标. （3）如图 2，以 OB 为对角线作菱
27、形 OPBQ，顶点 P 在直线 l 上，顶点 Q 在 x 轴上. 若 PB=2AP，求 a 的值. 菱形 OPBQ 的面积的最小值是 . 【答案】 （1）当 x=-2 时，y=4a-4（a-1）=4（2）点 B 的坐标为（1,4） （3） 3 2 a 菱形的最小面积=16 【解析】 （1）把 x=-2 代入抛物线 2 21yaxax即可得到 y 的值； （2）先求出抛物线表达式，然后求 出 x 的解； （3）利用抛物线的对称轴即可求出点 B 的坐标和 a 的值以及菱形 OPBQ 的面积的最小值. 解： （1）当 x=-2 时， （2）当 a=2 时，抛物线表达式为 当 y=4 时， 解得 把-
28、2 舍去，点 B 的坐标为（1,4） （3）当点 P 在线段 AB 上时，设 CP=x，则 AP=2+x,BP=OP=4+2x 在 RtOCP 中， 23 解得 CP=0，CB=PB=4，点 B 的坐标是（4,4） “点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点 A 与点 B 关于 对称轴对称求出 a 的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型 9如图，抛物线 C1：y= 4 9 （x+3）2与 x，y 轴分别相交于点 A，B，将抛物线 C1沿对称轴向上平移，记 平移后的抛物线为 C2，抛物线 C2的顶点是 D，与 y 轴交于点 C，射线 DC 与 x
29、 轴相交于点 E， （1）求 A，B 点的坐标； （2）当 CE：CD=1：2 时，求此时抛物线 C2的顶点坐标； （3）若四边形 ABCD 是菱形 此时抛物线 C2的解析式； 点 F 在抛物线 C2的对称轴上，且点 F 在第三象限，点 M 在抛物线 C2上，点 P 是坐标平面内一点，是否 存在以 A，F，P，M 为顶点的四边形与菱形 ABCD 相似，并且这个菱形以 A 为顶点的角是钝角，若存在求 出点 F 的坐标，若不存在请说明理由 24 【答案】 （1）A（3，0） ，B（0，4） ； （2） （3，2） （3，6） （3） 2 4 (3)5 9 yx 1 55 6 (3,) 2 F ，
30、2 25 (3,) 4 F， 3 5 (3,) 2 F 【解析】 试题分析： （1）利用坐标轴上点的特点，确定出点 A，B 的坐标； （2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可； （3）由点的移动情况判断出抛物线的移动情况； 设出点的坐标，M（3+3a，4a） ，表示出 F（3，5a） 根据点在抛物线上，求出 a，从而得到 F 的坐标 （2）由（1）得：OA=3，OB=4， tanOBA= 3 4 OA OB 来源: 由题意得 ABCD，EDA=OBA， 3 4 AEOA ADOB 当点 C 在 y 轴负半轴时， 由 CE：CD=1：2， 25 OE=EA=1.5，AD
31、=2， D（3，2） ； 当点 C 在 y 轴正半轴时， 由 CE：CD=1：2， OE：OA=1：2， AE=4.5， AD=6， D（3，6） 当 AF=AP 时， 设 M（3+3a，a） ，F（3，5a） 把 M 点坐标代入 2 4 (3)5 9 yx ， 可得 a1=1 （舍去） ， 2 5 4 a ， 2 25 (3,) 4 F 26 以 AF 为边在对称轴左侧作菱形时，点 F 坐标不变 II：以 AF 为对角线作菱形时， 由菱形的对角线性质可知， 在 AF 右侧作FAP=FAM， PAF=GAF=BAD， 菱形的轴对称性可得 P 点也在抛物线 C2 上 设 M（3+3a，a） ，F
32、（3，2a） ， 2 5 4 a ， 3 5 (3,) 2 F 当点 M 在 AF 左侧时，F 点坐标不变 当点 M 在 AF 左侧时，F 点坐标不变 综上所述： 1 55 6 (3,) 2 F ， 2 25 (3,) 4 F， 3 5 (3,) 2 F 考点：1、抛物线的性质，2、菱形的性质，3、锐角三角函数 10如图，抛物线4 2 1 2 xxy与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外） ， 过P作ACPD/，交BC于点D，连接CP （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）求抛物线4 2 1 2 xxy的对称轴和顶点坐标； （3）求PCD面积的最大值，并判断当PCD的面
33、积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否 为菱形 【答案】)0 , 4(A、)0 , 2(B、)4 , 0(C；直线 x=1； （1，- 9 2 ） ；不是菱形. 【解析】 试题分析：根据二次函数得出点的坐标；根据抛物线对称轴和顶点坐标的求法得出答案；设 P(x，0)，根据 27 PDAC 得出 PD 的长度，从而得到PCD 的面积，根据二次函数性质求出面积的最大值，根据最大值得出 PA、PD 的长度，从而判定 PA 是否等于 PD. 试题解析： （1）)0 , 4(A、)0 , 2(B、)4 , 0(C （2）抛物线的对称轴是直线1x 顶点坐标是（1，- 9 2 ） （3）设)0 ,
34、 (xP（42x） ， 因为ACPD/，所以 AB BP AC PD ，解得 )2( 3 22 xPD C到PD的距离（即P到AC的距离）)4( 2 2 45sin 0 xPAd PCD的面积 3 8 3 2 3 1 )4)(2( 3 1 2 1 2 xxxxdPDS 3) 1( 3 1 2 xS，PCD面积的最大值为3 PCD的面积取最大值时，1x，34xPA，22)2( 3 22 xPD 因为PDPA ，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形 考点：二次函数的性质. 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2
35、， 以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上， 点 D 在 y 轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆 A 与线段 AB 的交点为 E，试判断直线 DE 与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； 28 （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）DE 与圆 A 相切； （3） 1 3 2 a 【解析】 试题分析： （1）由题意可知（4，0） ，由抛物线经过点 O 可求得 c=0，将 c=0，x=4，y=0 代入抛物线的解析 式可证得：
36、4a+b=0； （2） 如图 1 所示： 由菱形的性质可知： DN=NB， DNAN， 由 OM=AD=AB， 可证明 AD=AB=DB， 由 AE=2 可知 AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知 AEDE，从而可证明 DE 与圆 A 相切； （3）如图 2 所示设点 P 的坐标为（2，m） 由题意可知点 E 的坐标为（2，2） ，设抛物线的解析式为 y=ax（x4） ，将 x=2 代入得 y=4a 即 m=4a由OPM 为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知4a 2、4a4 3，从而可求得 a 的取值范围 （2）DE 与圆 A 相切 理由：如图 1 所示： 四边形 ABCD 为菱形， D
37、N=NB，DNAN AOD=AON=DNA=90 ， 四边形 OAND 为矩形 29 OA=DN=2 DB=OM=4 OM=AD=AB， AD=AB=DB AE 为圆 A 的半径， AE=EB=2 AD=DB，AE=EB AEDE DE 与圆 A 相切 （3）如图 2 所示 设点 P 的坐标为（2，m） OM 为圆 A 的直径， OEM=90 AE=2，OA=2， 点 E 的坐标为（2，2） 设抛物线的解析式为 y=ax（x4） ，将 x=2 代入得 y=4a m=4a OPM 为锐角， 点 P 在点 E 的下方 4a2 解得：a 1 2 在 RtAOD 中，OD= 22 ADOA =2 3
38、AC=4 3 30 点 P 在菱形的内部， 点 P 在点 C 的上方 4a4 3 解得：a 3 a 的取值范围是 1 3 2 a 考点：二次函数综合题 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，3） ，B（1，0）两点，顶点为 M （1）求 b、c 的值； （2）若只沿 y 轴上下平移该抛物线后与 y 轴的交点为 A1，顶点为 M1，且四边形 AMM1A1是菱形，写出平 移后抛物线的表达式 【答案】 （1）b=4，c=3； （2）y=x24x+3+2或 y=x24x+32 【解析】 【分析】 （1）已知了抛物线图象上 A、B 两点的坐标，将它们代入抛
39、物线的解析式中，即可求得 m、n 的值； （2） 把解析式化成顶点式，求得顶点 M 的坐标，根据 A、M 的坐标，易求得 AM 的长；根据平移的性质知：若 四边形 A ABB 为菱形，那么必须满足 AA1=AM，由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即 可求得平移后的抛物线解析式 【详解】 31 【点睛】 本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质，注意第（2）问有上移和下移两 种情况 13如图，已知抛物线 2 yxbxc与 x 轴交于点 A，B，AB=2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）设 P 为对称轴上一动点，
40、求APC 周长的最小值； （3）设 D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的 坐标为 【答案】解： （1）AB=2，对称轴为直线 x=2， 点 A 的坐标是（1，0） ，点 B 的坐标是（3，0） 。 设抛物线的函数表达式为 2 yx2h， 32 将 A（1，0）代入得： 2 01 2h，解得h1。 抛物线的函数表达式为 2 yx21，即 2 yx4x3。 （2）如图 1，连接 AC、BC，BC 交对称轴于点 P，连接 PA 由（1）抛物线解析式为 2 yx4x3，A（1，0） ，B（3，0） ， C（0，3） 。 2222 BC333
41、 2AC3110， 。 点 A、B 关于对称轴 x=2 对称，PA=PB。PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。 点 P 在对称轴上运动时， （PA+PB）的最小值等于 BC。 APC 的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3 2 10。 （3） （2，1） 。 【解析】 试题分析： （1）根据抛物线对称轴的定义易求 A（1，0） ，B（3，0） ，所以设抛物线的顶点式 2 yx2h， 将点 A 的坐标代入即可求得 h，得到抛物线的函数表达式。 （2）如图 1，连接 AC、BC，BC 交对称轴于点 P，连接 PA根据抛物线的对称性质得到 PA=PB，则APC 的周长的最小值=
42、AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。 （3） 如图 2， 根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分， 抛物线的对称性”得到点 D 是抛物线 2 yx21 的顶点坐标，即（2，1） 。 33 14如图，的顶点坐标分别为 ，把沿直线翻折，点 的对应点为 ， 抛物线经过点 ，顶点 在直线上 证明四边形是菱形，并求点 的坐标； 求抛物线的对称轴和函数表达式； 在抛物线上是否存在点 ，使得与的面积相等？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】 （1）证明见解析，点的坐标是； （2）对称轴为直线，抛物线的函数表达式为 ；存在理由见解析
43、. 【解析】 【分析】 （1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得，根据菱形的判定和性质可 得点 的坐标； （2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设 的坐标为，直线的解析式为，根据待定系 数法可求 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式； （3）分点 在的上面和点 在的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点 的坐标. 【详解】 证明：， ， ， 34 由翻折可得， ， 四边形是菱形， ， ， 点 的坐标是； 存在 理由如下：由题意可知， 在抛物线上，且到，所在直线距离相等，所以 在二次函数 与、所在的直线的夹角平分线的交点上，而、所在的直线的夹角平分线有两条：一
44、条是所在 的直线，解析式为，另外一条是过 且与平行的直线，解析式为， 联立， 35 解得：（舍）或， 联立， 解得：（舍）或 所以当与的面积相等，点 的坐标为， 【点睛】 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和 性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用. 15如图 1，已知菱形 ABCD 的边长为2 3，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B在坐标原点点 D 的坐标为（- 3，3） ，抛物线 y=ax 2+b（a0）经过 AB、CD 两边的中点 （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）将菱形 ABCD 以每秒
45、 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移（如图 2） ，过点 B 作 BECD 于点 E，交抛物线于点 F，连接 DF、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（0t 3 ） 是否存在这样的 t，使ADF 与DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； 连接 FC，以点 F 为旋转中心，将FEC 按顺时针方向旋转 180 ，得FEC，当FEC落在 x 轴与抛物线 在 x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求 t 的取值范围 （写出答案即可） 【答案】 （1）y=x23（2）存在，t=1 6 6 3t 2 【解析】解： （1）由题意得 AB 的中点坐标为（3 ，0） ，CD 的中点坐标为（0，3） ， 36 分别代入 y=ax2+b，得 2 3a+b=0 b3 ，解得， a=1 b3 。 这条抛物线的函数解析式为 y=x23。 （2）存在。如图 2 所示，在 RtBCE 中，BEC=90 ，BE=3，BC=2 3 ， BE33 sinC= BC22 3 。C=60 ，CBE=30 。EC= 1 2 BC= 3，DE=3。 又ADBC，ADC+C=180 。ADC=180 -60 =120 要使ADF 与DEF 相似，则ADF 中必有一个角为直角。 （I