1、 1 【类型综述】 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短” 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类 问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流” （如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出 两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值 就是第三边的长如图 3，
2、PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ 周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊来源:ZXXK 第一步，应用“两点之间，线段最短” 如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ 第二步，应用“垂线段最短” 如图 6，在点 Q
3、运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH 这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a；来源: （2）求证： AD AE 为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在
4、 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E， 且点 B 在点 C 的左侧来源:Zxxk.Com （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出
5、点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存 在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 3 图 1 例 3 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴来源:+网Z+X+X+K （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；来源: 图 1 例 4 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M， 以 B 为中心逆时针旋转点
6、N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB （1）求 x 的取值范围； （2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：ABC 的最大面积？ 图 1 例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 5 4 ，求
7、 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 4 图 1 备用图 【变式训练】 一、单选题 1如图，已知，以为圆心，长为半径作， 是上一个动点，直线交 轴于 点， 则面积的最大值是（ ） A B C D 2如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB=4，AOC=120，P 为O 上的动点，连 AP，取 AP 中 点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为（ ） A3 B1+ C1+3 D1+ 3如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，P 是边 CD 上一点
8、，将ADP 沿直线 AP 对折，得到APQ当射线 BQ 交线段 CD 于点 F 时，DF 的最大值是（ ） A3 B2 C47 D45 4如图，由两个长为 ，宽为 的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ） 5 A15 B16 C19 D20 5如图，在菱形 ABCD中，AB=6，A=135 ，点P是菱形内部一点，且满足，则 PC+PD 的最小值为（ ） A B C6 D 6如图，在 ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BEEF的最小值 是 A4 B4.8 C5 D5.4 7在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=4，BC=8，D，E 是
9、AB 和 BC 上的动点，连接 CD，DE 则 CD+DE 的最小值 为（ ） A8 B C D 二、解答题 8问题发现： （ ） 如图，中， 点 是边上任意一点， 则的最小值为_ （ ）如图，矩形中，点 、点 分别在、上，求的最小值 6 （ ）如图，矩形中，点 是边上一点，且，点 是边上的任意一点， 把沿翻折，点 的对应点为点 ，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求 这个最小值及此时的长度；若不存在，请说明理由 9问题提出：如图 1，在 RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、 BP，求 AP+ BP 的最小值 （1）尝试解决：
10、为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1， 则有，又PCD=BCP，PCDBCP，PD= BP，AP+ BP=AP+PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为 来源:Zxxk.Com （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是上一点，求 2PA+PB 的最小 值 10已知二次函数 y=x 2+2bx+c（b、c 为常数） （）当 b=1，c=3 时，求二次函数在2x2 上的最小值； （）当
11、c=3 时，求二次函数在 0x4 上的最小值； （）当 c=4b 2时，若在自变量 x 的值满足 2bx2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求 此时二次函数的解析式 11已知四边形 ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3 7 （1） 如图 1， 若 P 为 AB 边上一点以 PD， PC 为边作平行四边形 PCQD， 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？ 如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请问对角 线 PQ 的长是否
12、也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为直线 DC 上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE=AP，以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE， 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 12（本题满分12分） （1） 【问题】 如图1， 点A为线段BC外一动点， 且BCa， 6AB 当点A位于_时线段AC 的长取得最大值，且最大值为_（用含a、b的式子表示） （2） 【应用】点A为线段B除外一动点，且3BC ， 1AB 如图2所示，分别以AB、AC为边， 作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接
13、CD、BE 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由 直接写出线段BE长的最大值 （3） 【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段 AB外一动点， 且2PA ， PMPB， 90BPM请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的 坐标 8 13如图，已知中，边上的高，四边形为内接矩形 当矩形是正方形时，求正方形的边长 设，矩形的面积为 ，求 关于 的函数关系式，当 为何值时 有最大值，并求出最大值 14 如图， 抛物线与坐标轴相交于 、三点，是线段上一动点 （端点除外） ， 过 作， 交于点 ，连接 直接写出 、 、 的坐标；来源:Zxxk.Com 求抛
14、物线的对称轴和顶点坐标； 求面积的最大值， 并判断当的面积取最大值时， 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 15如图，抛物线过 O、A、B 三点，A（4,0）B（1，-3） ，P 为抛物线上一点，过点 P 的直线 y=x+m 与对称 轴交于点 Q. （1）直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式. （2）当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 C(2,2)的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D，求： PD+DQ 的最大值； PD.DQ 的最大值. 9 16问题提出 （1）如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，填空：当点 A 位于 时，线段 AC
15、的长取得最 大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示） 问题探究 （2）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=6，AB=3，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等 边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段 BE 长的最大值 问题解决： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ，点 P 为线段 AB 外一 动点，且 PA=2，PM=PB，BPM=90，求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 如图 4，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60
16、 ，BC=42，若对角线 BDCD 于点 D，请直接写出对角 线 AC 的最大值 17如图 14，AB是O的直径，,2ACBC AB，连接AC （1）求证： 0 45CAB； （2）若直线l为O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使,BDAB BD所在的直线与AC所在的 10 直线相交于点E，连接AD 试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论； EB CD 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 18.如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点AB、及AB的中点F重合）， 连接OM.过点M作MEAB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作
17、O的切线 交射线DC于点N，连接BM、BN. （1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时； 判断OEMMDN是否成立？请说明理由； 来源:Zxxk.Com 设 MENC k MN ，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请 说明理由； 设MBN，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时； 分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由） 19.已知抛物线3 2 bxxy（b是常数）经过点)0 , 1(A. （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对
18、称点为P. 当点P落在该抛物线上时，求m的值； 当点P落在第二象限内， 2 AP取得最小值时，求m的值. 20.如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 1 2 bxaxy 交y轴于点A， 交x轴正半轴于点 )0 , 4(B ， 与过A 点的直线相交于另一点 ) 2 5 , 3(D ，过点D作 xDC 轴，垂足为C. 11 （1）求抛物线的表达式； （2）点P在线段OC上（不与点O、C重合） ，过P作xPN 轴，交直线AD于M，交抛物线于点N， 连接CM，求PCM面积的最大值； （3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为，是否存在，使以点NDCM、为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.