1、 1 2019 版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 专题专题 15 新定义与创新型综合探究问题新定义与创新型综合探究问题 【类型综述】 阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过 程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问 题.对于这类题求解步骤是“阅读分析理解创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意， 一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和 知识的迁移能力. 【方法揭秘】 阅读理解问题在中考中的常考点有
2、新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考 中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。 解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有 分析法，比较法等 【典例分析】 例 1 定义：在ABC 中，C30 ，我们把A 的对边与C 的对边的比叫做A 的邻弦，记作 thi A， 即 thi A ABC CAB 的对边 的对边 请解答下列问题： 已知：在ABC 中，C30 （1）若A45 ，求 thi A 的值； （2）若 thi A3，则A ； （3）若A 是锐角，探究 thi A 与 sinA 的数量关系
3、思路点拨 (1) 根据已知找到 BC 和 AB 的关系，依据定义计算出答案即可； (2) 过点 B 向 AC 所在直线作垂线，根据 thi A ABC CAB 的对边 的对边 = 3，利用正弦首先表示出垂线段的 长度，再根据正弦分两种情况：当A 为锐角或钝角时，可得A=60 或 120 . (3) 根据题意，由 thiA BC AB , sinA BH AB , sinC BH BC 1 2 易得 BC2BH，进而可得答案 满分解答 2 （1）如图，作 BHAC，垂足为 H 在 RtBHC 中，sinC BH BC 1 2 ，即 BC2BH 在 RtBHA 中，sinA BH AB 2 2 ，
4、即 AB 2BH thiA BC AB 2 （2）60 或 120 （3）在 RtABC 中，thiA BC AB 在 RtBHA 中，sinA BH AB 在 RtBHC 中，sinC BH BC 1 2 ，即 BC2BH thiA2sinA 例 2 定义符号min, a b的含义为：当ab时, min, a bb；当ab时, min, a ba如： min 1, 22 ， min1,21 （1）求 2 min1, 2x ; （2）已知 2 min2, 33xxk , 求实数k的取值范围; （3）当23x 时， 22 min215,1215xxm xxx直接写出实数m的取值范围 思路点拨 （
5、1）比较 x2-1 与-2 的大小，得到答案； （2）把 x2-2x+k 化为（x-1）2+k-1 的形式，确定 k 的取值范围； （3）根据当-2x3 时，y=x2-2x-15 的值小于 y=m（x+1）的值，解答即可 满分解答 （1）x20，x211，x212minx21，2=2， （2）x22x+k=（x1）2+k1，（x1）2+k1k1 minx22x+k，3=3，k13k2， （3）对于 y=x22x15，当 x=2 时，y=7， 3 当 x=3 时，y=10， 由题意可知抛物线 y=x22x15 与直线 y=m（x+1）的 交点坐标为（2，7） ， （3，10） ，所以 m 的范围
6、是：3m7 例 3 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形 （1）如图1，四边形ABCD中， AC平分BAD， BD 求证：四边形ABCD为等邻边四边形 （2）如图2， Rt ABC中， 90ABC， 2AB ， 1BC ，将ABC沿ABC的平分线 BB 的 方向平移，得到A B C ，连接 AA 、 BC ，若平移后的四边形ABC A 是等邻边四边形，求平移的距离 （3）如图3，在等邻边四边形ABCD中， ABAD， 90BADBCD， AC和BD为四边形 对角线， BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系 思路点拨 （1）由已知条件通过证ABCADC
7、 可得结论； （2） 由已知易得： 平移距离BBAA ， 由2AB ， 1BC ， 90ABC， 易得5ACA C 再 分以下 四种情况讨论计算即可：5A CA A 时；2AAAB ；5BC C A 时； 2ABBC 时； （3）如图，把ABC 绕点逆时针转到ADC处，连接 CC，通过证ACCABD 及证CCD 是等腰直 角三角形即可求得 AC 与 AB 间的数量关系. 满分解答 （1）AC平分BAD， BACDAC ， BD ， ACAC， ABCADC， ABAD， BCDC， 4 ABCD是等邻边四边形 （2）由平移可知平移距离BBAA ， 由2AB ， 1BC ， 90ABC， 由勾股
8、定理可得： 5ACA C 5A CA A 时， 5BBA A 2AAAB 时， 2BBAA 5BC C A 时，如图 1，延长 CB交 AB 于点 H，设 BH=x， 则在 RtBCH 中，有 2 2 2 15xx， 易得 1 1x ， 2 2x （舍） ， 22BBx 2ABBC时，如图 1， 则在 RtBCH 中，有 2 22 12xx， 易得 1 17 2 x ， 2 17 2 x （舍） ， 142 2 2 BBx ， 综上，平移距离可为5、2、 2、 142 2 ； （3） 2ACAB ，理由如下： 5 将ABC绕A旋转至ADC处，连接 CC， 则由旋转的性质和已知可得：CAC=DA
9、B，AC=AC，AD=AB，CD=BC=DC， 由此可得： ACCABD ， 123490 ，5=2，6=4， 1+5+3+6=90 ， ADC+ADC=180 +180 -90 =270 ， CDC=360-270 =90 . 又CD=BC=DC， CDC 是等腰直角三角形， 22CCCDBD ， ACC与ABD的相似比为 2 :1， 2 1 ACCC ABBD ， 2ACAB 例 4 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” （1） 概念理解： 如图 1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个 条件：
10、（2） 问题探究： 如图 2，小红画了一个ABCRt，其中90ABC，2AB ，1BC ，并将ABCRt沿B的平分线 BB 方向平移得到 CBA ，连结 AA 、 BC 小红要使平移后的四边形ABC A 是“等邻边四边形”，应 6 平移多少距离（即线段 BB的长）？ （3） 应用拓展： 如图 3，“等邻边四边形”ABCD中，AB AD，90BADBCD，AC、BD为对角线， 2ACAB 试探究BC、CD、BD的数量关系 思路点拨 （1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论； （2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论； 由平移的性质易得 BB=A
11、A，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC= 5，再利用“等邻边四边 形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论； （3）由旋转的性质可得ABFADC，由全等性质得ABF=ADC， BAF=DAC， AF=AC，FB=CD， 利用相似三角形判定得ACFABD，由相似的性质和四边形内角和得CBF=90 ，利用勾股定理，等量 代换得出结论 满分解答 解： （1）AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB（任写一个即可） ； （2）正确，理由为： 四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形， 四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等， 这个“等邻边四边形”是菱形
12、； ABC=90 ，AB=2，BC=1， AC= 5， 将 RtABC 平移得到ABC， BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC= 5， （I）如图 1，当 AA=AB 时，BB=AA=AB=2； 7 （II）如图 2，当 AA=AC时，BB=AA=AC= 5； （III）当 AC=BC= 5时， 如图 3，延长 CB交 AB 于点 D，则 CBAB， BB平分ABC， ABB= 1 2 ABC=45 ， BBD=ABB=45 BD=B， 设 BD=BD=x， 则 CD=x+1，BB= 2x， 在 RtBCD 中，BD2+（CD）2=（BC）2 x2+（x+1）2 =
13、（5）2 ， 解得：x1=1，x2=2（不合题意，舍去） ， 8 BB= 2x=2 （）当 BC=AB=2 时，如图 4，与（）方法一同理可得：BD2+（CD）2=（BC）2， 设 BD=BD=x， 则 x2+（x+1）2=22， 解得：x1= 17 2 ，x2= 17 2 （不合题意，舍去） ， BB= 2x= 142 2 ； （3）BC，CD，BD 的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图 5， AB=AD， 将ADC 绕点 A 旋转到ABF，连接 CF， ABFADC， ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD， BAD=CAF， AC AF = AD AB =1， A
14、CFABD， CF BD = AC AB = 2，2CF BD， BAD+ADC+BCD+ABC=360 ， 9 ABC+ADC360 （BAD+BCD）=360 90 =270 ， ABC+ABF=270 ， CBF=90 ， BC2+FB2=CF2 =（ 2BD） 2=2BD2， BC2+CD2=2BD2 考点：1阅读理解题；2平移，旋转的图形变换性质；3三角形全等、相似的判定与性质；4勾股定 理的运用 例 5 定义：如图 1，平面上两条直线 AB、CD 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M到直线 AB、CD 的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”根
15、据上述定义，“距离坐标”为（0,0） 点有 1 个，即点 O 来源:ZXXK （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个； （2） 如图2， 若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时， 点M的“距离坐标”为 （p， q） ， 且BOD=120 请 画出图形，并直接写出 p，q 的关系式； （3）如图 3，点 M 的“距离坐标”为（1， 3） ，且AOB=30 ，求 OM 的长 思路点拨 （1）由题意可知，“距离坐标”为（1，0）点在直线 CD 上，所以到直线 AB 的距离为 1 的在直线 CD 上的 点有 2 个； （2）如图 1，过 M 作 MNAB 于 N,由已知条件可知，MON=30 ，利
16、用直角三角形中 30 所对的直角边 等于斜边的一半，可直接写出 p，q 的关系式为 1 2 pq； （3）如图 2，分别作点 M 关于 OA、OB 的对称点 E、F，连接 EF、OE、OF、EM、FM，可得OEC OMC，OFDOMD，过 F 做 FGCM，交 CM 延长线于 G，由已知条件，可求出 FG 与 EG 的长，然 后根据勾股定理即可求出 EF 的长，即 OM 的长即可 10 满分解答 （1）2； （2）如图 1，过 M 作 MNAB 于 N, 直线 lCD 于 O，BOD=120 ， MON=30 ON=p，OM=q， 1 2 pq （3）如图 2，分别作点 M 关于 OA、OB
17、的对称点 E、F，连接 EF、OE、OF、EM、FM， OECOMC，OFDOMD AOM=AOE，BOM=BOF， OM=OE=OF EOF=60 OM=OE=OF=EF MD=1，MC= 3， MF=2，ME=2 3 AOB=30 ， CMD=150 过 F 做 FGCM，交 CM 延长线于 G， FMG=30 在 RtFMG 中，FG=1，MG= 3 在 RtEFG 中，FG=1，EG=3 3 EF2= 2 3 31， EF=2 7 OM=2 7 11 考点：一次函数综合题 【变式训练】 1定义新运算“”：ab= 1 a + 1 b （其中 a、b 都是有理数） ，例如：23= 1 2
18、+ 1 3 = 5 6 ，那么 3（4）的值 是（ ） A 7 12 B 1 12 C 1 12 D 7 12 【答案】C 【解析】试题解析：3（-4） = 11111 + 343412 . 故选 C 2定义新运算，若 a、b 是方程（ ）的两根，则的值为 （） A0 B1 C2 D与 m 有关 【答案】A 【解析】 根据题意可得， 又因为 a， b 是方程 的两根，所以，化简得，同理，代入上式可得 ，故选 A 3对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下： ；且规定 （为大于的整数），如 ,， ，则（ ） 12 A B C D 来源:Zxxk.Com 【答案】D 【解析】试题分析：根据变
19、换的计算法则可得：(1，-1)=(0，2)，(1，-1)= (2，-2)，(1，-1)= (0，4)， (1，-1)= (4，-4)，(1，-1)= (0，8)，(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出 =. 点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算 法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几 个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案. 4将 个数 、 、 、 排成 行、 列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就 叫做 阶行列式若，则的值为（ ） A
20、 B C D 【答案】A 【解析】 【分析】 根据定义列出方程得 x 的值即可. 【详解】 根据定义 =6 整理得：=2， 所以=3=6 故选 A. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义列出方程是解本题的关键 5定义x表示不超过实数 x 的最大整数，如1.8=1，1.4=2，3=3函数 y=x的图象如图所示， 则方程的解为（ ） A 或 B0 或 2 C1 或 D或 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当 1x2 时，则 x2=1；当 0x1 时，则 x2=0，当-2x-1 时，则 x2=-2，然后分别解关于 x 的一元二次方程即可 【详解】解：当 1
21、x2 时， x2=1，解得 x1=-，x2=； 当 x=0，时， x2=0，x=0； 当-1x0 时， x2=-1，方程没有实数解； 当-2x-1 时， x2=-2，方程没有实数解； 所以方程x= x2的解为 0 或 故正确选项为：A 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这 种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了实数的大小比较 6定义符号 mina，b的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a如：min1，-3=3， min4，2=4，则 minx2+2，x的最大值是（ ） A1 B2 C1 D
22、0 【答案】C 【解析】 【分析】 在同一坐标系 xOy 中， 画出二次函数 y=-x2+2 与正比例函数 y=-x 的图象， 设它们交于点 A、 B结合函数图象进行分析即可. 【详解】在同一坐标系 xOy 中，画出二次函数 y=-x2+2 与正比例函数 y=-x 的图象，如图所示设它们交于 点 A、B 令-x2+2=-x，即 x2-x-2=0，解得：x1=2,x2=-1， A（-1，1） ，B（2，-2） 观察图象可知： 当 x-1 时，min-x2+2，-x=-x2+2，函数值随 x 的增大而增大，其最大值为 1； 当-1x2 时，min-x2+2，-x=-x，函数值随 x 的增大而减小，
23、没有最大值； 当 x2 时，min-x2+2，-x=-x2+2，函数值随 x 的增大而减小，最大值为-2 综上所示，min-x2+2，-x的最大值是-1. 14 故选：C 【点睛】本题考核知识点：函数与不等式综合. 解题关键点：画图，数形结合进行分析. 7定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n 为偶数时，F（n）=（其中 k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则： 若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ） A1 B4 C2018 D42018 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出 n=13 时第
24、一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可 【详解】 若 n=13， 第 1 次结果为：3n+1=40， 第 2 次结果是：， 第 3 次结果为：3n+1=16， 第 4 次结果为：=1， 第 5 次结果为：4， 第 6 次结果为：1， 可以看出，从第四次开始，结果就只是 1，4 两个数轮流出现， 且当次数为偶数时，结果是 1；次数是奇数时，结果是 4， 15 而 2018 次是偶数，因此最后结果是 1， 故选 A 8对于实数 x，y，定义一种运算“”如下，x yaxby2，已知 2 310，4 (3)6，那么(2) ()2 _； 【答案】130 【解析】 【分析】已知等式利用
25、题中的新定义化简，求出 a 与 b 的值，即可确定出原式的值 【详解】根据题中的新定义得： 解得 , 所以， = =130 故答案为：130 【点睛】本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出 a,b 的值，再次应用规则，求出式子的值. 9 对于实数 ， 定义运算“”： 例如 ， 因为， 所以 若 ，是一元二次方程的两个根，则_ 【答案】 或 【解析】 【分析】 先解方程求出方程的两个根，再利用题目中规定的运算规则，分类代入求值即可 【详解】 x 1 ，x 2 是一元二次方程 x 2 -5x+6=0 的两个根， （x-3） （x-2）=0， 解得：x=
26、3 或 2， 当 x 1 =3，x 2 =2 时，x 1 x2 =3 2 -3 2=3； 16 当 x 1 =2，x 2 =3 时，x 1 x 2 =3 2-3 2 =-3 故答案为：3 或-3 10定义：对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为， 即：当 为非负整数时，如果，则 如：， 试解决下列问题： 来源:Zxxk.Com _；_； _ 【答案】 2 3 【解析】1、； 2、根据题意，先推导出等于什么， （1）， ， （2）再比较与的大小关系， 当 n=0 时，； 当 为正整数时， ， ， ， 综合（1） 、 （2）可得：， ， 17 3、 ， 故答案为（1）2； （2）3； （3）. 1
27、1定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 12 =1，1 的差倒 数是 1 11 = 1 2 已知 a1= 1 2 ，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数， ，以此类推，则 a2016=_ 【答案】3 【解析】a1=- 1 2 ， a2= 1 1 1 2 = 2 3 ，a3= 1 2 1 3 =3， a4= 1 1 3 = 1 2 ，a5= 1 1 1 2 = 2 3 ，a6= 1 2 1 3 =3， 2016 3=672，a2016=a3=3. 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过计算，从一些特殊的数字
28、变化中发现不变的因素或按规 律变化的因素，本题通过计算发现结果有规律可循，三个一循环，由此可得. 12已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且|a+2|+（b1） 2=0，A、B 之间的距离记作|AB|， 定义：|AB|=|ab| 线段 AB 的长|AB|=3； 18 设点 P 在数轴上对应的数为 x，当|PA|PB|=2 时，x=0.5； 若点 P 在 A 的左侧，M、N 分别是 PA、PB 的中点，当 P 在 A 的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变； 在的条件下，|PN|PM|的值不变 以上结论中正确的是_（填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】
29、（1）根据非负数的和为 0，各项都为 0； （2）应考虑到 A、B、P 三点之间的位置关系的多种可能解题； （3）(4)利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出 【详解】 （1）|a+2|+（b-1）2=0， a=-2，b=1， AB=|a-b|=3，即线段 AB 的长度为 3 （2）当 P 在点 A 左侧时， |PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-32 当 P 在点 B 右侧时， |PA|-|PB|=|AB|=32 上述两种情况的点 P 不存在 当 P 在 A、B 之间时，-2x1， |PA|=|x+2|=x+2，|PB|=|x-1|=1-x， 由|PA|-|PB|=2，
30、得 x+2-（1-x）=2 解得：x=0.5； （3）由已知可得出：PM= PA，PN= PB， |PM|+|PN|= （PA+PB）= PA+ AB 所以，|PM|+|PN|的值随 P 的位置变化而变化. (4) 在（3）条件下，|PN|PM|= PB- PA= （PB-PA）= AB= 19 综合上述，说法正确. 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解 决类似的问题时，要防止漏解 利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利 于解题的简洁性同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转
31、化线段之间的数量关系也是十分关键的一点 13阅读材料： 直线 l 外一点 P 到直线 l 的垂线段的长度，叫做点 P 到直线 l 的距离，记作 d（P，l） ； 两条平行线 ， ，直线 上任意一点到直线 的距离，叫做这两条平行线 ， 之间的距离，记作 d（ ， ） ； 若直线 ， 相交，则定义 d（ ， ）=0； 若直线 ， 重合，我们定义 d（ ， ）=0， 对于两点，和两条直线 ， ，定义两点，的“ ， 相关距离”如下： d（， | ， ）=d（， ）+d（ ， ）+d（， ） 设（4，0） ，（0，3） ， ：y=x， ：y=， ：y=kx，解决以下问题： （1）d（，| ， ）= ；
32、（2）若 k0，则当 d（，| ，）最大时，k= ； 若 k0，试确定 k 的值，使得 d（，| ， ）最大，请说明理由 【答案】(1)；(2) ；. 【解析】 试题分析： （1）首先分别求出 d（， ） 、d（ ， ） 、d（， ）的值各是多少，再把它们求和，求出 d （，| ， ）的值是多少；然后分别求出 d（， ） 、d（ ， ） 、d（， ）的值各是多少，再把它 们求和，求出 d（，| ， ）的值是多少即可 20 （2）首先作A 于点 A，B 于点 B，连接 交 于点 C，然后根据A+B ，可得当 时，A+B 的值最大，据此求出 k 的值是多少即可 首先作A 于点 A，B 于点 B，、
33、关于原点对称，C 于点 C， 交 于点 D，然后 根据B+C ，可得当 时，B+C 取到最大值，据此求出 k 的值是多少即可 试题解析： （1）（4，0） ，（0，3） ， ：y=x， ：y=， d（，| ， ）=d（， ）+d（ ， ）+d（， ）=； d（，| ， ）= d（， ）+d（ ， ）+d（， ）=. 故答案为：； （2）如图 1，作A 于点 A，B 于点 B，连接 交 于点 C， d（， | ， ）=d（， ）+d（ ， ）+d（， ）= A+B， AC，BC， A+B ， 当 时， A+B 的最大值是：=5， 此时 k=tanO = ， 若 k0，当 d（，| ， ）最大时，
34、k= 故答案为： ； 21 如图 2，作A 于点 A，B 于点 B，、关于原点对称，C 于点 C， 交 于点 D， 、关于原点对称， A=C， d（，| ， ）=d（， ）+d（ ， ）+d（， ）=A+B=B+C， BD，CD， B+C ， 当 时， B+C 的最大值是：=5， 此时 k=tanO =， 若 k0，当 d（，| ， ）最大时，k= 考点：一次函数综合题 14我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)如图，在ABC 中，ABAC，底角B 的邻对记作 canB，这时 canB.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上 述角的邻对的定义，解下列问题：
35、 (1)can30 _； (2)如图，已知在ABC 中，ABAC，canB ，SABC24，求ABC 的周长 22 【答案】 （1）； （2）18. 【解析】 试题分析： （1）过点 A 作 ADBC 于点 D，根据B=30 ，可得出 BD=AB，结合等腰三角形的性质可得 出 BC=AB，继而得出 canB； （2）过点 A 作 AEBC 于点 E，根据 canB= ，设 BC=8x，AB=5x，再由 SABC=24，可得出 x 的值，继而求 出周长 试题解析：解： （1）过点 A 作 ADBC 于点 D，B=30 ，cosB=，BD=AB，ABC 是 等腰三角形，BC=2BD=AB，故 ca
36、n30 =； （2）过点 A 作 AEBC 于点 E，canB= ，则可设 BC=8x，AB=5x，AE=3x，SABC=24， BC AE=12x2=24，解得：x=，故 AB=AC= ，BC=，从而可得ABC 的周长为 点睛：本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，表示 出各个边的长度 15我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算 定义：如果 b aN （a0，a1，N0） ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaNb 例如：因为 3 5125 ，所以 5 log 1253；因为 2 11121 ，所以 11 l
37、og 1212 根据“对数”运算的定义，回答下列问题： （1）填空： 6 log 6 ， 3 log 81 23 （2）如果 2 log23m，求 m 的值 （3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logloglog aaa MNMN（a0，a1，M0，N0）”，他的 说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正 【答案】 （1）1，4； （2）m=10 ； （3）不正确，改正见解析. 【解析】试题分析： （1）根据新定义由 61=6、34=81 可得 log66=1，log381=4； （2）根据定义知 m2=23，解之可得； （3）设 ax=M，ay=N，则 l
38、ogaM=x、logaN=y，根据 axay=ax+y知 ax+y=MN，继而得 logaMN=x+y，据此即可得 证 试题解析：解： （1）61=6，34=81，log66=1，log381=4故答案为：1，4； （2）log2（m2）=3，m2=23，解得：m=10； （3） 不正确， 设 ax=M， ay=N， 则 logaM=x， logaN=y （a0， a1， M、 N 均为正数） axay= x y a ， x y a =MN， logaMN=x+y，即 logaMN=logaM+logaN 点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题
39、 16定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形 （1）三等角四边形 ABCD 中，A=B=C，求A 的取值范围； （2）如图，折叠平行四边形纸片 DEBF，使顶点 E，F 分别落在边 BE，BF 上的点 A，C 处，折痕分别为 DG，DH求证：四边形 ABCD 是三等角四边形 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 （1）A=B=C， 3A+ADC=360 ， ADC=360 3A 0ADC180 ， 0 360 3A180 ， 60 A120 ； 24 （2）证明：四边形 DEBF 为平行四边形， E=F，且E+EBF=180 DE=DA，DF=DC， E=DAE=F=
40、DCF， DAE+DAB=180 ，DCF+DCB=180 ，E+EBF=180 ， DAB=DCB=ABC， 四边形 ABCD 是三等角四边形 17在平面坐标坐标系中，点 的坐标为，点 的变换点 的坐标定义如下：当 时，点 的坐 标为；当时，点 的坐标为 已知点，点，点 （ ）点 的变换点 的坐标是_ 点的变换点为，连接，则_ （ ）点 的变换点为 ，随着 的变化，点 会运动起来，请在备用图（ ）中画出点 的运动路径 （ ）若是等腰三角形，请直接写出此时 的值：_ 【答案】 （ ）； （ ）点 的运动路径见解析 （ ）见解析 【解析】 试题分析： （1）按照变换点的定义写出 A的坐标即可；按
41、照变换点的定义根据点 B 的坐标写出点 B的坐标，如 图，过点 B 作 BDx 轴于点 D，过点 B作 BEx 轴于点 E，则由已知易证BDOOEB，从而可证得 25 BOD=OBE，结合OBE+EOB=90，即可证得BOB=90； （2）由变换点的定义可得，当 n2 时，点 C（2，n）的变换点的坐标是（-2，n） ；当时，点 C（2， n）的变换点的坐标是（-n，2） ，由此即可画出点 C 的运动路线； （3）由题意可知：，连接，以 为圆心，长度为半径作圆，交点 的运动路径于 点；以 为圆心，长为半径作圆，交点 的运动路径于点，；作线段的垂直平分线，交点 的 运动路径于点，；如图所示，均为
42、所求点 的位置，再根据已知条件计算出对 应的 n 的值即可. 试题解析： （ ）， ， ， ， （ ）点 的运动路径如图所示： （ ）如图：，连接， 26 以 为圆心，长度为半径作圆，交点 的运动路径于点， 以 为圆心，长为半径作圆，交点 的运动路径于点， 作线段的垂直平分线，交点 的运动路径于点， 如图所示，均为所求点 的位置， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述， 的值是 ， ， ， 点睛：解本题第 3 小题时，关键是分 AB 是等腰ABC的腰和底两种情况通过画图找到所有符合条件的 C 点，然后再根据已知条件求出对应的 n 的值即可. 27 18对于一
43、个三角形，设其三个内角的度数分别为x、y和z，若x、y、z满足 222 xyz，我们定 义这个三角形为美好三角形 （1）ABC中，若50A ， 70B，则ABC （填“是”或“不是” ）美好三角形； 来源: （2） 如图， 锐角ABC是O 的内接三角形， 60C ， 4AC ， O 的直径是4 2， 求证： ABC 是美好三角形; （3）当ABC 是美好三角形，且30A ，则C 为 . 【答案】 （1）不是； （2）证明见解析； （3）C=78 或 72 . 【解析】 （1）不是 （2）连接 OA、OC 来源:Z.xx.k.Com AC=4,OA=OC= 2 OAC 是直角三角形，即AOC=9
44、0 B=45 C=60 A=75 即三个内角满足 752=452+ 602 关系 ABC 是美好三角形 (3)C=78 或 72 19.平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、a+2，二次函数 y=x2+（m2）x+2m 的图象经 过点 A、B，且 a、m 满足 2am=d（d 为常数） 28 （1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点 当 a=1、d=1 时，求 k 的值； 若 y1随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围； （2）当 d=4 且 a2、a4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C、D，线段 CD 的 长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由 【答案】 （1）-3；d4； （2）ABx 轴，理由见解析； （3）线段 C