1、2018-2019 学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）1 的平方根是（ ） A1 B1 C0 D1 2 （3 分）与数轴上的点一一对应的数是（ ） A分数 B有理数 C无理数 D实数 3 （3 分）在下列运算中，计算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba8a2a4 C （a2）3a5 D （ab2）2a2b4 4 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ） A等边三角形的每个角都等于 60 度 B直角三角形的两个锐角互余 C全等三角形的对应角相等 D如果 x
2、2y2，那么 xy 5 （3 分）如图，ABCDEF，点 A 与 D，B 与 E 分别是对应顶点，且测得 BC5cm， BF7cm，则 EC 长为（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BD 和 CD 分别是 ABC 和 ACB 的平分线，EF 过 D 点，且 EFBC，图中等腰三角形共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 7 （3 分）给出下列长度的四组线段：1，；3，4，5；6，7，8；a1， a+1，4a（a1） 其中能构成直角三角形的有 （ ） A B C D 8 （3 分）如图，从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b
3、 的小正方形，然后将剩余部分 剪拼成一个长方形（如图） ，则上述操作所能验证的公式是（ ） A （a+b） （ab）a2b2 B （ab）2a22ab+b2 C （a+b）2a2+2ab+b2 Da2+aba（a+b） 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）2 的算术平方根是 10 （3 分）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 11 （3 分）写出命题“内错角相等”的逆命题 12 （3 分）已知数据：，4其中无理数出现的频率为 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D， 交 BC
4、 于点 E已知C40，则BAE 的度数为 14 （3 分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （12 分） （1）计算： （2）因式分解：a2（x22xy+y2） 16 （8 分）先化简再求值： （x5+3x3）x3（x+1）2，其中 17 （9 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点点 A 和点 B 是格点，位置如图 （1）在图 1 中确定格点 C 使ABC 为直角三角形，画出一个这样的ABC； （2）在图 2 中确定格点 D 使ABD 为等腰三角形，画出一个这样的ABD； （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 个 18
5、 （8 分）如图，在ADF 与CBE 中，点 A、E、F、C 在同一直线上，已知 ADBC， ADCB，BD求证：AFCE 19 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分CAB，CD1.5，BD2.5，求 AC 的长 20 （9 分）我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会 、 挑战不可能 、 最强大脑 、 超级演说家 、 地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了 部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目） ，并将获得的数据进行整理，绘 制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了 名学生 （2）补全条形统计
6、图 （3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是 度 21 （11 分）如图，已知 RtABC 中，C90，A60，AC3cm，AB6m，点 P 在线段 AC 上以 1cm/s 的速度由点 C 向点 A 运动， 同时， 点 Q 在线段 AB 上以 2cm/s 的速 度由点 A 向点 B 运动，设运动时间为 t（s） （1）当 t1 时，判断APQ 的形状，并说明理由； （2）当 t 为何值时，APQ 与CQP 全等？请写出证明过程 22 （12 分）尝试探究并解答： （1）为了求代数式 x2+2x+3 的值，我们必须知道 x 的值，若 x1，则这个代数式的值 为 ；若 x2
7、，则这个代数式的值为 ，可见，这个代数式的值因 x 的取值 不同而 （填“变化”或“不变” ） 尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式 的值的范围 （2）本学期我们学习了形如 a2+2ab+b2及 a22ab+b2的式子，我们把这样的多项式叫做 “完全平方式” ，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一 个完全平方式，同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最 小） 值问题， 例如： x2+2x+3 （x2+2x+1） +2 （x+1） 2+2， 因为 （x+1）20， 所以 （x+1） 2+22，所以这个代数式 x2+2x+3 有最小值是 2，这时
8、相应的 x 的值是 （3）猜想：4x212x+13 的最小值是 ； x22x+3 有 值（填“最大”或“最小” ） 2018-2019 学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）1 的平方根是（ ） A1 B1 C0 D1 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就 是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】解：（1）21， 1 的平方根是1 故选：D 【点评】本题考查了平方
9、根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 2 （3 分）与数轴上的点一一对应的数是（ ） A分数 B有理数 C无理数 D实数 【分析】根据实数与数轴的关系，可得答案 【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了实数与数轴，实数与数轴上的点一一对应 3 （3 分）在下列运算中，计算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba8a2a4 C （a2）3a5 D （ab2）2a2b4 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数的幂相除，底数不变指数相减； 幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方
10、，再把所得 的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、a3a2a5a6，故本选项错误； B、a8a2a6a4，故本选项错误； C、 （a2）3a6a5，故本选项错误； D、 （ab2）2a2b4，正确 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的乘法与除法及幂的乘方，积的乘方的性质，熟练掌握运 算性质是解题的关键 4 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ） A等边三角形的每个角都等于 60 度 B直角三角形的两个锐角互余 C全等三角形的对应角相等 D如果 x2y2，那么 xy 【分析】分别利用平方根的定义、直角的定义、全等三角形的判定和等边三角形的判定 方法对四个命题进行判断 【
11、解答】解：A、等边三角形的每个角都等于 60 度，是真命题； B、直角三角形的两个锐角互余，是真命题； C、全等三角形的对应角相等，是真命题； D、如果 x2y2，那么 xy 或 xy，是假命题； 故选：D 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题 设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以 写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定 理 5 （3 分）如图，ABCDEF，点 A 与 D，B 与 E 分别是对应顶点，且测得 BC5cm， BF7cm，则 EC 长为（ ） A1cm B2cm C3cm
12、 D4cm 【分析】根据全等三角形性质求出 EFBC5cm，求出 CF，代入 EFCF 即可求出答 案 【解答】解：ABCDEF， EFBC5cm， BF7cm，BC5cm， CF7cm5cm2cm， ECEFCF3cm， 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的性质得应用，关键是求出 BC 和 CF 的长，注意：全等 三角形的对应边相等 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BD 和 CD 分别是 ABC 和 ACB 的平分线，EF 过 D 点，且 EFBC，图中等腰三角形共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据等腰三角形的判定定理，判定定理：如果一个三角形有两
13、个角相等，那么 这两个角所对的边也相等【等边对等角】可以计算出图中ABC，AEF，DBC， EBD，FDC 为等腰三角形从而可以得出答案 【解答】解：ABAC，可知ABC 为等腰三角形； FFBC，BD 和 CD 分别是ABC 和ACB 的平分线 EDBDBC，EBDDBC EDBEBD，可知EBD 为等腰三角形； 同理可知DFC 为等腰三角形， ABAC，ABCACB，又 BD 和 CD 分别是ABC 和ACB 的平分线 DBCDCB，可知DBC 为等腰三角形， 可知EBD 与DFC 全等，所以 BECF AEAF，故AEF 为等腰三角形 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、
14、角的平分线的性质；进行角的等量代换 是正确解答本题的关键，找等腰三角形时要由易到难，不重不漏 7 （3 分）给出下列长度的四组线段：1，；3，4，5；6，7，8；a1， a+1，4a（a1） 其中能构成直角三角形的有 （ ） A B C D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 【解答】解：12+ 22，故能构成直角三角形； 42+3252，故能构成直角三角形； 62+7282，故不能构成直角三角形； （a1）2+（a+1）2（4a）2，故不能构成直角三角形 能构成直角三角形的是 故选：C 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知
15、三角 形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 8 （3 分）如图，从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分 剪拼成一个长方形（如图） ，则上述操作所能验证的公式是（ ） A （a+b） （ab）a2b2 B （ab）2a22ab+b2 C （a+b）2a2+2ab+b2 Da2+aba（a+b） 【分析】 由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积， 进而可以证明平方差公式 【解答】解：大正方形的面积小正方形的面积a2b2， 矩形的面积（a+b） （ab） ， 故 a2b2（a+b） （ab） 故选：A 【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法
16、表示阴影部分的面积是解题 的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）2 的算术平方根是 【分析】根据算术平方根的定义直接解答即可 【解答】解：2 的平方根是， 2 的算术平方根是 故答案为： 【点评】 本题考查的是算术平方根的定义， 即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根 10 （3 分）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 【分析】 先利用估算法找到与表示的点两边的两个最近整数点， 再比较这两个点与 的大小即可解决问题 【解答】解：， 又3 距 4 比距 1 近， 表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 故答案为：2 【点评
17、】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，解题应看这个无理数的被开方数在哪 两个能开得尽方的数的被开方数之间，比较无理数的被开方数和这两个能开得尽方的数 的被开方数的距离，进而求解 11（3 分） 写出命题 “内错角相等” 的逆命题 如果两个角相等， 那么这两个角是内错角 【分析】将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题了 【解答】解：其逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角 【点评】此题主要考查学生对逆命题的理解及运用能力 12 （3 分）已知数据：，4其中无理数出现的频率为 【分析】找出无理数，求出出现的频率即可 【解答】解：无理数有，共 2 个， 则无理数出现的频率为， 故答案为： 【
18、点评】此题考查了频数与频率，算术平方根，以及无理数，熟练掌握各自的性质是解 本题的关键 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D， 交 BC 于点 E已知C40，则BAE 的度数为 10 【分析】由 ED 是 AC 的垂直平分线，可得 AECE，继而求得BAEC40，然 后由在 RtABC 中，B90，即可求得BAC 的度数，继而求得答案 【解答】解：ED 是 AC 的垂直平分线， AECE， EACC40， 在 RtABC 中，B90， BAC90C50， BAEBACEAC10 故答案为：10 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质
19、、等腰三角形的性质以及直角三角形的性 质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 14 （3 分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 两直线平行，同位角 不相等 【分析】首先确定命题的结论，进而从反面假设得出答案 【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设：两直线平行，同 位角不相等 故答案为：两直线平行，同位角不相等 【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命 题的结论正确 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （12 分） （1）计
20、算： （2）因式分解：a2（x22xy+y2） 【分析】 （1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式以及结合平方差公式分解因式得出答案 【解答】解： （1） 5+2 7； （2）a2（x22xy+y2） a2（xy）2 （a+xy） （ax+y） 【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 16 （8 分）先化简再求值： （x5+3x3）x3（x+1）2，其中 【分析】本题应对代数式去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把 x 的 值代入即可 【解答】解：原式（x2+3）（x2+2x+1） x2+3x22x1 2
21、x+2， 当时， 原式 【点评】本题考查了整式的化简整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这 是各地中考的常考点 17 （9 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点点 A 和点 B 是格点，位置如图 （1）在图 1 中确定格点 C 使ABC 为直角三角形，画出一个这样的ABC； （2）在图 2 中确定格点 D 使ABD 为等腰三角形，画出一个这样的ABD； （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 4 个 【分析】 （1）A 所在的水平线与 B 所在的竖直线的交点就是满足条件的点； （2）根据勾股定理可求得 AB5，则到 A 的距离是 5 的点就是所求； （3） 到 A 点的距离是 5
22、 的格点有 2 个， 同理到 B 距离是 5 的格点有 2 个， 据此即可求解 【解答】解： （1） （2）如图所示： （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 4 个 故答案是：4 【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键 18 （8 分）如图，在ADF 与CBE 中，点 A、E、F、C 在同一直线上，已知 ADBC， ADCB，BD求证：AFCE 【分析】由 ADBC 得AC，再由已知条件可证明ADFCBE（ASA） ，AF CE 【解答】证明：ADBC AC 在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA） AFCE 【点评】本题考查了全等三角形的判
23、定和性质，若判定两个三角形全等，先根据已知条 件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去 证什么条件，是基础知识要熟练掌握 19 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分CAB，CD1.5，BD2.5，求 AC 的长 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 CD DE，再利用勾股定理列式求出 BE，然后设 ACAEx，根据勾股定理列式计算即可得 解 【解答】解：如图，过 D 作 DEAB 于 E， C90，AD 平分CAB，CD1.5， DECD1.5， 在 RtDEB 中，由勾股定理得： BE2， AD
24、AD，CDDE，CAED， RtACDRtAED， ACAE， 设 ACAEx，则 ABx+2， 由勾股定理得：AB2AC2+CB2， 即（x+2）2x2+42， 解得 x3， AC3 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与 性质，熟记性质并运用勾股定理列方程求解是解题的关键 20 （9 分）我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会 、 挑战不可能 、 最强大脑 、 超级演说家 、 地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了 部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目） ，并将获得的数据进行整理，绘 制出以下两幅不完整的统计图，请根据两
25、幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了 200 名学生 （2）补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是 36 度 【分析】 （1）用“中国诗词大会”的人数处于其所占百分比可得总人数； （2）根据各节目的人数之和等于总人数求得“挑战不可能”的人数，据此补全条形图即 可； （3）用 360乘以地理中国的人数所占比例即可得 【解答】解： （1）本次调查的学生总人数为 3015%200（名） ， 故答案为：200； （2） “挑战不可能”的人数为 200（20+60+40+30）50（人） ， 补全条形图如下： （3） 在扇形统计图中， 喜爱
26、地理中国 节目的人数所在的扇形的圆心角是 360 36， 故答案为：36 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件，利用数形结合的思想解答 21 （11 分）如图，已知 RtABC 中，C90，A60，AC3cm，AB6m，点 P 在线段 AC 上以 1cm/s 的速度由点 C 向点 A 运动， 同时， 点 Q 在线段 AB 上以 2cm/s 的速 度由点 A 向点 B 运动，设运动时间为 t（s） （1）当 t1 时，判断APQ 的形状，并说明理由； （2）当 t 为何值时，APQ 与CQP 全等？请写出证明过程 【分析】 （1）分别求出 A
27、P、AQ 的长，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等的条件和已知分别求出 AP、CP、AQ、CQ 的长，根据全等三角形的判定 推出即可； 【解答】解： （1）APQ 是等边三角形， 理由是：t1， AP3112，AQ212， APAQ， A60， APQ 是等边三角形； （2）存在 t，使APQ 和CPQ 全等当 t1.5s 时，APQ 和CPQ 全等 理由如下：在 RtACB 中，AB6，AC3， B30，A60， 当 t1.5，此时 APPC 时， t1.5s， APCP1.5cm， AQ3cm， AQAC 又A60， ACQ 是等边三角形， AQCQ， 在APQ 和CPQ 中，
28、 ， APQCPQ（SSS） ； 即存在时间 t，使APQ 和CPQ 全等，时间 t1.5； 【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 22 （12 分）尝试探究并解答： （1）为了求代数式 x2+2x+3 的值，我们必须知道 x 的值，若 x1，则这个代数式的值为 6 ； 若 x2， 则这个代数式的值为 11 ， 可见， 这个代数式的值因 x 的取值不同而 变 化 （填“变化”或“不变” ） 尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范 围 （2）本学期我们学习了形如 a2+2ab+b2及 a22ab+b2的式子，我们把这
29、样的多项式叫做 “完全平方式” ，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一 个完全平方式，同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最 小） 值问题， 例如： x2+2x+3 （x2+2x+1） +2 （x+1） 2+2， 因为 （x+1）20， 所以 （x+1） 2+22，所以这个代数式 x2+2x+3 有最小值是 2，这时相应的 x 的值是 1 （3）猜想：4x212x+13 的最小值是 4 ； x22x+3 有 最大 值（填“最大”或“最小” ） 【分析】 （1）把 x 的值代入计算即可 （2）根据非负数的性质即可解决问题 （3）利用配方法即可解决问题 【解答】解： （1）当 x1 时，x2+2x+31+2+36 当 x2 时，x2+2x+34+4+311， 这个代数式的值因 x 的取值不同而变化 故答案为：6，11，变化 （2）x2+2x+3（x2+2x+1）+2（x+1）2+2， 当 x1 时，这个代数式的值的最小值为 2， 故答案分别为：1 （3）4x212x+134（x）2+4， x时，代数式的最小值为 4， x22x+3（x+1）2+4， x1 时，代数式的最大值为 4 故答案为：4，最大 【点评】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用 配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型