1、 105 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1、 集合1, 2, 3, 4, 5, 6U ，1, 4, 5S ，2, 3, 4T ，则 U ST （ ） A1, 4, 5, 6 B1, 5 C 4 D1, 2, 3, 4, 5 【解析】 B 本小题考查集合的交并补运算 2、 命题p：0x ，都有sin1x，则（ ） Ap：0x ，使得sin1x Bp：0x ，都有sin1x Cp：0x ，使得sin1x Dp：0x ，都有sin1x 【解析】 A 3、 以下关于奇函数和偶函数的零点的说法，正确是（ ） A奇函数的零点一定为奇数个，偶函数
2、的零点一定为偶数个 B奇函数或者不存在零点，或者存在奇数个零点 C若偶函数的零点为奇数个，那么0x 一定是它的零点 D对奇函数而言，0x 一定是它的零点 【解析】 C 本小题考查函数的奇偶性与零点 4、 已知log2 a yax在0, 1是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A0, 1 B1, 2 C0, 2 D2, 【解析】 B 本小题考查基本初等函数及复合函数的单调性 5、 等差数列 n a满足 813 35aa，且 1 0a ， 12nn Saaa，则 n S中最大的是（ ） A 10 S B 11 S C 20 S D 21 S 【解析】 C 本小题考查等差数列的性质 6、 已知a、x
3、、b成等差数列，a、y、b成等比数列，则以下判断正确的是（ ） Axy B若ab，则xy Cxy D若ab，则xy 【解析】 D 本小题综合考查等差中项、等比中项、均值不等式 7、 已知直线 1 l、 2 l是双曲线 2 2 1 3 y x 的两条渐近线，P是双曲线上一点，过P作 1 l、 2 l的垂线， 垂足分别为A、B，则PA PB（ ） A 3 4 B 3 8 C 3 4 D 3 8 【解析】 B 第 10 讲 综合测试 106 本小题考查双曲线的基本量 8、 已知圆的方程为 22 680xyxy设该圆过点3, 5的最长弦和最短弦分别为AC、BD， 则四边形ABCD的面积是（ ） A10
4、 6 B20 6 C30 6 D40 6 【解析】 B 本小题考查直线与圆中弦长的计算 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9、 等比数列 n a的前n项之和为 n S，若 10 10S， 30 70S，则 40 S 【解析】 150 本小题考查等比数列的性质 10、 关于x的不等式 2 0xaxb的解集为1, 4，则2ab 【解析】 14 本小题考查解一元二次不等式 11、 直线 1 l、 2 l的斜率分别为 1 k、 2 k，则“ 12 kk”是“ 12 ll”的 条件； “ 12 1kk ” 是“ 12 ll”的 条件 【解析】 必要不充分，充要 12、 设函数 2 1,1 41
5、,1 xx f x xx ，则使得( )1f m 成立的m值所组成的集合中的元素个数为 _ 【解析】 3 13、 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，且2ABAD设DAB， 0 , 2 ，以A、 B为焦点且过点D的双曲线的离心率为 1 e，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为 2 e， 则 1 2 e e DC BA 【解析】 1 本小题考查圆锥曲线的基本量 14、 设 f x是定义在R上的奇函数，且当0x时， 2 f xx若对任意的,2xaa，不等 式 2f xaf x恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】 2 , 本小题综合考查函数的奇偶性与单调性 三、解答题 15、 （本小题共 12
6、 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 n Sn数列 n b为等比数列，且 1 1b ， 4 8b 求数列 n a， n b的通项公式； 若数列 n c满足 n nb ca，求数列 n c的前n项和 n T 107 【解析】 21 n an，(*)nN 1 2n n b (*)nN 1 22 n n Tn 16、 （本小题共 14 分） 已知mR，直线l： 2 14mxmym和圆C： 22 84160xyxy 求直线l斜率的取值范围； 求证：直线l恒过定点； 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧？为什么？ 【解析】 11 , 22 ； 直线l的方程可以整理为：
7、2 (4)0ymx my， 当0y 且4x 时，上面的不等式对所有的m恒成立，即直线l恒过点4, 0P 圆的标准方程为 22 424xy 法一： 如图，当直线l的斜率为 1 2 或 1 2 时，分圆所成两段弧长比值（劣弧比优弧）最大， 此时 1 tan 2 PCM（M为垂足） ，因此该直线分圆所成两段弧长比值小于 1 2 因此直线l不能将圆C分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧 法二： 若直线l将圆C分割成弧长的比值为 1 2 ，则圆心(42)，到直线l的距离为 2 r ，即 2 222 |42(1)4| 1 (1) mmm mm ，即 42 3530mm，此方程无解， 故直线l不能将圆C分
8、割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧 17、 （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( )2(00)f xaxbx ab， 若1ab，解不等式 2 log( )3f x ； 若(1)1f，求： 11 ab 的最小值 【解析】 42)(02， 32 2 18、 （本小题共 14 分）定义在R上的函数 f x满足： 108 当0x 时， 1f x ； 00f； 对任意实数,xy均有 f xyf xf y 当0x 时，求证： 01f x； 、 求证： f x是R上的减函数； 已知函数 2 42g xf xf xx在定义域D上的最小值为1，记D中元素的可能的最 大值和最小值分别为a和b，求ab 【解析
9、】 由，取yx ，则 0ff xfx， 再取0x ，就有 01f， 1 fx f x 由，可证得命题 4 分 当0y 时， 10f xyf xf xfy f x是R上的减函数 8 分 3ab 14 分 19、 （本小题共 14 分） 已知双曲线 2 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，点 11 P xy， 11 Q xy，是双曲线上 不同的两个动点 求双曲线的离心率； 求直线 1 A P与 2 A Q交点的轨迹E的方程； 若过点0 , h，0h 的两条直线 1 l和 2 l与轨迹E都只有一个交点，且 12 ll，则h有多少 种不同的取值？ 【解析】 6 2 e ； 2 2
10、1 2 x y（2x ） 由 1 l与 2 l与轨迹E都只有一个交点包含三种情况： 1 l、 2 l均与椭圆相切； 1 l、 2 l中一条过点 1 A或 2 A另外一条与椭圆相切，这两种图形对应的h相同； 1 l、 2 l中一条过点 1 A另外一条过点 2 A A2 A1 x y O A2 A1 x y O A1 A2x y O 20、 （本小题共 13 分） 设1, 2, 3, 100X ， 对X的任意非空子集M，M中的最大数与最小数的平均数称为M 109 的极均值，记为d M 求d M的最大值； 对X的非空子集M，记101|Mx xM ，求证：d Md M为定值； 求X的所有非空子集的极均值的平均数 【解析】 d M的最大值为100； 101d Md M为定值； 1101 101 22 n n