1、2019-2020 学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ） A0.1 B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a5 C （ab）3a3b3 Da6a2a3 3 （3 分）以下列各组数为一个三角形的三边长，能够成直角三角形的是（ ） A1，2，4 B1，2 C1，3，5 D1， 4 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，ED 是 AC 的垂直平分线，交
2、 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知C35，则BAE 的度数为（ ） A20 B30 C40 D50 5 （3 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOD60，AD1，则 AB 的 长是（ ） A1 B2 C D2 6 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，B110，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连接 EF， 则E+F（ ） 第 2 页（共 23 页） A110 B30 C50 D70 7 （3 分）矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC 分别交于点 E、F，则四边形 AFCE 是（ ） A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 8 （3 分）
3、“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定，OCCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BDE 75，则CDE 的度数是（ ） A60 B65 C75 D80 二、填空题二、填空题 9 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10 （3 分）已知 a、b 为两个连续整数，若 ab，则 a+b 11 （3 分）分解因式：ab29a 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆
4、心，适当长为半径画弧，分 别交 AC，AB 于点 M，N再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧 交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD5，AB18，则ABD 的面积是 13 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，BC5BCD 的平分线交 AD 于点 F， 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长为 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，则 第 3 页（共 23 页） BE 的长为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 道小题，
5、共道小题，共 78 分）分） 15 （8 分）计算： （1）； （2） 16 （8 分）计算： （1） （12x3y4x2）（2x）2； （2） （2x1）2（2x+3） （2x3） 17 （8 分）计算： （1）； （2） 18 （6 分）先化简：再从1，0，1 中选取一个数并代入求值 19 （6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： （1）画线段 ADBC 且使 ADBC，连接 CD； （2）线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ； （3）ACD 的形状为 ； （4）若 E 为 BC
6、的中点，则 AE 的长为 20 （6 分）如图，车高 4m（AC4m） ，货车卸货时后面支架 AB 弯折落在地面 A1处，经过 第 4 页（共 23 页） 测量 A1C2m，求弯折点 B 与地面的距离 21 （6 分）如图，ABCD，ABCD，BFAC 于点 F，DEAC 于点 E 求证：四边形 DEBF 是平行四边形 22 （8 分） 【猜想】如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，过点 O 的 直线分别交 ADBC 于点 EF若平行四边形 ABCD 的面积是 8，则四边形 CDEF 的面 积是 【探究】如图 2，在菱形 ABCD 中
7、，对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F，若 AC5，BD10，求四边形 ABFE 的面积 【应用】如图 3，在 RtABC 中，BAC90，延长 BC 到点 D，使 DCBC，连结 AD，若 AC3，AD2，则ABD 的面积是 23 （10 分）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的 式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 （1）化简： ； （2）填空：的倒数为 第 5 页（共 23 页） （3）化简： 24 （12 分）如图， 在ABC 中， BAC90，
8、B45， BC8 过点 A 作 ADBC 且 点 D 在点 A 的右侧点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时 点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方向以每秒 2 个单位的速度运动，在线段 QC 上取点 E，使 得 QE2，连结 PE，设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）直接写出线段 AP，CQ 的长 （用含 t 的代数式表示） （2）当 PEBC 时，求 t 的值 当 t 值取问结果时，判断四边形 APEQ 的形状，并说明理由 （3）是否存在 t 的值，使以 A、B、E、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （4）
9、若将点 Q 沿射线 CB 方向运动的速度改为每秒 a 个单位， 当四边形 APCE 为菱形时， 直接写出 a 的值 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年 级（级（上）期末数学试卷上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列几个数中，属于无理数的数是（ ） A0.1 B C D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有
10、理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此解答即可 【解答】解：A.0.1 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C 是无理数，故本选项符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a5 C （ab）3a3b3 Da6a2a3 【分析】直接利用同底数幂的乘除运
11、算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、a2a3a5，故此选项错误； B、 （a2）3a6，故此选项错误； C、 （ab）3a3b3，故此选项正确； D、a6a2a4，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则 是解题关键 第 7 页（共 23 页） 3 （3 分）以下列各组数为一个三角形的三边长，能够成直角三角形的是（ ） A1，2，4 B1，2 C1，3，5 D1， 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 【解答】解：A、12+2242，故不能够成直角三角形； B、12+（）222
12、，故能够成直角三角形； C、12+3252，故不能够成直角三角形； D、12+（）2（）2，故不能够成直角三角形 故选：B 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角 形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 4 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知C35，则BAE 的度数为（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】由 ED 是 AC 的垂直平分线，可得 AECE，继而求得BAEC35，然 后由在 RtABC 中，B90，即可求得BAC 的度数，继而求得答案 【解答】解
13、：ED 是 AC 的垂直平分线， AECE， EACC35， 在 RtABC 中，B90， BAC90C55， BAEBACEAC20 故选：A 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性 质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 5 （3 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOD60，AD1，则 AB 的 长是（ ） 第 8 页（共 23 页） A1 B2 C D2 【分析】 根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OAOBOD， 然后判断出AOD 是等 边三角形，再根据等边三角形的性质求出 ODAD，然后求出 BD，再利用勾股定理列式
14、 计算即可得解 【解答】解：在矩形 ABCD 中，OAOBOD， AOD60， AOD 是等边三角形， ODAD1， BD1+12， 由勾股定理得，AB 故选：C 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性 质并判断出AOD 是等边三角形是解题的关键 6 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，B110，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连接 EF， 则E+F（ ） A110 B30 C50 D70 【分析】要求E+F，只需求ADE，而ADEA 与B 互补，所以可以求出A， 进而求解问题 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AADE180B70
15、E+FADE E+F70 故选：D 第 9 页（共 23 页） 【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题平行四边形基本性质： 平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的 两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 7 （3 分）矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC 分别交于点 E、F，则四边形 AFCE 是（ ） A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 【分析】根据 ABCD 为矩形，根据矩形的对边平行得到 AE 与 CF 平行，由两直线平行得 到一对内错角相等，又 EF 垂直平分 AC，根据垂直平分线的定义得到 AOCO，且
16、AC 与 EF 垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形 AOE 与三角形 COF 全等， 根据全等三角形的对应边相等得到 AEFC， 由一组对边平行且相等的四边形为平行四边 形得到 AFCE 为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证 【解答】解：作图如右，设 AC 与 EF 的交点为 O， 四边形 ABCD 是矩形， AEFC， EAOFCO， EF 垂直平分 AC， AOCO，FEAC， 又AOECOF， AOECOF， EOFO， 四边形 AFCE 为平行四边形， 又FEAC， 平行四边形 AFCE 为菱形 故选：B 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与
17、性质，以及勾股定理其中矩形的性质 有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相 第 10 页（共 23 页） 等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条 边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形 为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键 8 （3 分） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定，OCCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BD
18、E 75，则CDE 的度数是（ ） A60 B65 C75 D80 【分析】根据 OCCDDE，可得OODC，DCEDEC，根据三角形的外角 性质可知DCEO+ODC2ODC， 进一步根据三角形的外角性质可知BDE3 ODC75，即可求出ODC 的度数，进而求出CDE 的度数 【解答】解：OCCDDE， OODC，DCEDEC， DCEO+ODC2ODC， O+OED3ODCBDE75， ODC25， CDE+ODC180BDE105， CDE105ODC80 故选：D 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的 关系是解答本题的关键 二、填空题二、填空题 9
19、 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可求解 【解答】解：根据题意得 x30， 解得 x3 第 11 页（共 23 页） 故答案为：x3 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数 10 （3 分）已知 a、b 为两个连续整数，若 ab，则 a+b 5 【分析】先估算出的取值范围，得出 a，b 的值，进而可得出结论 【解答】解：479， 23 a、b 为两个连续整数， a2，b3， a+b2+35 故答案为：5 【点评】 本题考查的是估算无理数的大小， 先根据题意求出 a， b
20、 的值是解答此题的关键 11 （3 分）分解因式：ab29a a（b+3） （b3） 【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案 【解答】解：原式a（b29） a（b+3） （b3） ， 故答案为：a（b+3） （b3） 【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分 别交 AC，AB 于点 M，N再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧 交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD5，AB18，则ABD 的面积是 45 【分析】根据角平分线的性质得到
21、 DEDC5，根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：作 DEAB 于 E， 由基本尺规作图可知，AD 是ABC 的角平分线， C90，DEAB， DEDC5， ABD 的面积ABDE51845， 第 12 页（共 23 页） 故答案为 45 【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边 的距离相等是解题的关键 13 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，BC5BCD 的平分线交 AD 于点 F， 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长为 3 【分析】根据题意可以求得 CD 和 DF 的长，从而可以得到 AF 的长，再根据平行线的性 质可以得
22、到AEF 和DCF 的关系， 从而可以得到 AE 和 AF 的关系， 进而得到 AE 的长， 本题得以解决 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AB2，BC5， CDAB2，ADBC5，ADBC， DFCFCB， CE 平分DCB， DCFBCF， DFCDCF， DCDF2， AF3， ABCD， EDCF， 又EFADFC，DFCDCF， AEFEFA， AEAF3， 故答案为：3 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条 件，利用数形结合的思想解答 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 在对角线
23、 BD 上，且BAE22.5，则 BE 的长为 2 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得ABDADB45，再求出DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求AED，从而得到DAEAED，再根据等角对 等边的性质得到 ADDE，然后求出正方形的对角线 BD，再求出 BE 【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABDADB45， BAE22.5， DAE90BAE9022.567.5， 在ADE 中，AED1804567.567.5， DAEAED， ADDE4， 正方形的边长为 2， BD， BEBDDE2， 故答案为 2 【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等
24、角对 等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 道小题，共道小题，共 78 分）分） 15 （8 分）计算： 第 14 页（共 23 页） （1）； （2） 【分析】 （1）原式利用立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求 出值； （2）原式利用二次根式乘除法则计算，合并即可得到结果 【解答】解： （1）原式21+1； （2）原式26+246+244 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16 （8 分）计算： （1） （12x3y4x2）（2x）2； （2） （2x1）2（2
25、x+3） （2x3） 【分析】 （1）原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即 可求出值； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果 【解答】解： （1）原式（12x3y4x2）4x23xy1； （2）原式4x24x+14x2+94x+10 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （8 分）计算： （1）； （2） 【分析】 （1）直接利用分式的加减运算法则化简得出答案； （2）直接利用分式的混合运算法则化简得出答案 【解答】解： （1）原式 ； 第 15 页（共 23 页） （2）原式b（ab） 【点评】此
26、题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键 18 （6 分）先化简：再从1，0，1 中选取一个数并代入求值 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 ， 当 a1，1 时，无意义， 故 a0， 则原式1 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键 19 （6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： （1）画线段 ADBC 且使 ADBC，连接 CD； （2）线段 AC 的长为 2 ，CD 的长为 ； （3）ACD 的形状为 直角三角形 ； （4）若
27、E 为 BC 的中点，则 AE 的长为 【分析】 （1）根据画图要求，结合网格进行画图即可； （2）根据勾股定理来求 AC、CD 的长度； （3）利用勾股定理的逆定理证得ACD 是直角三角形； 第 16 页（共 23 页） （4）由（1）推知四边形 ABCD 是平行四边形，则ABC 是直角三角形，所以根据“直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来求 AE 的长度 【解答】解： （1）如图： ； （2）如上图，AC2，CD； 故填：2； （3）AD5，AC2，CD， AD2AC2+CD2， ACD90， ACD 是直角三角形； 故填：直角三角形； （4）连接 AE ADBC 且使 ADBC，
28、四边形 ABCD 是平行四边形， 又由（3）知，ACD90， BACACD90， 点 E 是 BC 的中点， 第 17 页（共 23 页） AEBCAD 故填： 【点评】此题主要考查了作图，平行四边形的判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理， 关键是正确画出图形，熟练掌握平行四边形的判定方法 20 （6 分）如图，车高 4m（AC4m） ，货车卸货时后面支架 AB 弯折落在地面 A1处，经过 测量 A1C2m，求弯折点 B 与地面的距离 【分析】设 BCxm，则 ABA1B（4x）m，在 RtA1BC 中利用勾股定理列出方程 22+x2（4x）2即可求解 【解答】解：由题意得，ABA1B，BCA9
29、0， 设 BCxm，则 ABA1B（4x）m， 在 RtA1BC 中，A1C2+BC2A1B2， 即：22+x2（4x）2， 解得：x， 答：弯折点 B 与地面的距离为米 【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键 21 （6 分）如图，ABCD，ABCD，BFAC 于点 F，DEAC 于点 E 求证：四边形 DEBF 是平行四边形 【分析】由 AAS 证明ABFCDE 得出 BFDE由 BFDE，即可得出四边形 DEBF 是平行四边形 【解答】证明：ABCD， AC 第 18 页（共 23 页） BFAC，DEAC， BFADEC90，BFDE 在ABF 和CD
30、E 中， ABFCDE（AAS） ， BFDE 又BFDE， 四边形 DEBF 是平行四边形 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性 质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键 22 （8 分） 【猜想】如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，过点 O 的 直线分别交 ADBC 于点 EF若平行四边形 ABCD 的面积是 8，则四边形 CDEF 的面 积是 4 【探究】如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F，若 AC5，BD10，求四边形 ABFE 的
31、面积 【应用】如图 3，在 RtABC 中，BAC90，延长 BC 到点 D，使 DCBC，连结 AD，若 AC3，AD2，则ABD 的面积是 6 【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得 ADBC，OAOC根据平行线的性质 可得EAOFCO，AEOCFO，进而可根据 AAS 定理证明AEOCFO，再 根据全等三角形的性质可得结论； 探究：根据菱形的性质得到 ADBC，AOCOAC2.5，BOBD5，根据全等 三角形的判定定理得到AOECOF，由于 ACBD，于是得到结果； 应用：延长 AC 到 E 使 CEAC3，根据全等三角形的判定定理得到ABCCDE， 由全等三角形的性质得到EBAC9
32、0，根据勾股定理得到 DE，即 第 19 页（共 23 页） 可得到结论 【解答】解：猜想：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，OAOC EAOFCO，AEOCFO， 在AOE 与COF 中， ， AEOCFO（AAS） ， 四边形 CDEF 的面积SACDABCD 的面积4； 故答案为：4； 探究：四边形 ABCD 是菱形， ADBC，AOCOAC2.5，BOBD5，AOD90， AB，OAEOCF，OEAOFC， 在AOE 与COF 中， ， AOECOF（AAS） ， ACBD， S四边形ABFESABCACBO55 应用：延长 AC 到 E 使 CEAC3， 在ABC 与CDE
33、 中， ， ABCCDE（SAS） ， EBAC90， DE， 第 20 页（共 23 页） SABDSADEAEDE626 故答案为：6 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，图形 面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 23 （10 分）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的 式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 （1）化简： ； （2）填空：的倒数为 （3）化简： 【分析】 （1）利用分母有理化得到化简的结果； （2）把分母有理化即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算
34、【解答】解： （1）； （2）， 即的倒数为； 故答案为，； （3）原式+） （+1） （1） （+1） （2n+11） n 第 21 页（共 23 页） 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 24 （12 分）如图， 在ABC 中， BAC90，B45， BC8 过点 A 作 ADBC 且 点 D 在点 A 的右侧点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时 点 Q 从点 C 出发沿射线 C
35、B 方向以每秒 2 个单位的速度运动，在线段 QC 上取点 E，使 得 QE2，连结 PE，设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）直接写出线段 AP，CQ 的长 （用含 t 的代数式表示） （2）当 PEBC 时，求 t 的值 当 t 值取问结果时，判断四边形 APEQ 的形状，并说明理由 （3）是否存在 t 的值，使以 A、B、E、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （4） 若将点 Q 沿射线 CB 方向运动的速度改为每秒 a 个单位， 当四边形 APCE 为菱形时， 直接写出 a 的值 【分析】 （1）根据路程、速度、时间的关系即可解决问题 （2）
36、作 AMBC 于 M，根据 APEM，构建方程求出 x 即可解决问题 证明点 Q 与 M 重合即可判断 （3）分两种情况，由平行四边形的判定得出 APBE，得出方程，解方程即可 （4）证明四边形 APCE 是正方形，推出点 E 与 M 重合，此时 CQ4+26AP4，推 出 t4，可得点 Q 的运动速度为单位长度/秒 【解答】解： （1）由题意：APt，CQ2t （2）作 AMBC 于 M，如图所示， BAC90，B45， C45B， ABAC， 第 22 页（共 23 页） BMCM4， ADBC， PACC45， PEBC， AMPE， 四边形 AMEP 是平行四边形， APEM， 4（2
37、t2）t， t2 t2， PA2， EQ2， 点 Q 与点 M 重合， 四边形 AQEP 是矩形 （3）存在理由如下： （）当点 Q、E 在线段 BC 上时， 若以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形， 则 APBE， t82t+2， 解得：t， （）当点 Q、E 在线段 CB 的延长线上时， 若以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形 则 APBE， t2t28 解得：t10 存在 t 的值，使以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形，t或 10 秒 第 23 页（共 23 页） （4）四边形 APCE 是菱形，AC 是对角线，ACEACP45， PCE90， 四边形 APCE 是正方形， 点 E 与 M 重合，此时 CQ4+26AP4， t4， 点 Q 的运动速度为单位长度/秒 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正 方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的 关键