1、2018-2019 学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项是符合分下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项是符合 题目要求的）题目要求的） 1 （3 分）在，中，是分式的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （3 分）分式有意义的条件是（ ） Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 3 （3 分）下列分式中，最简分式是（ ） A B C D 4 （3 分）如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（ ） A扩大 4 倍 B扩大 2 倍 C不变 D缩小 2
2、倍 5 （3 分）若方程0 有增根，则增根是（ ） A0 或 2 B0 C2 D1 6 （3 分）如图，M 是平行四边形 ABCD 的一边 AD 上的任意一点，若CMB 的面积为 S， CDM 的面积为 S1，ABM 的面积为 S2，则下列大小关系正确的为（ ） ASS1+S2 BSS1+S2 CSS1+S2 D无法确定 7 （3 分）如图，已知矩形 ABCD，将BCD 沿对角线 BD 折叠，记点 C 的对应点为 C， 若ADC20，则BDC 的度数为（ ） 第 2 页（共 21 页） A55 B45 C60 D65 8 （3 分）如图，已知菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的长分别为 6c
3、m、8cm，AEBC 于点 E， 则 AE 的长是（ ） A5 B2 C D 9 （3 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的边 长为（ ） A10cm B13cm C15cm D24cm 10 （3 分）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90，得线段 PE，连接 BE，则CBE 等于（ ） A75 B60 C45 D30 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）当 x 时，分式的值为零 12 （3 分
4、） 第 3 页（共 21 页） 13 （3 分），的最简公分母为 14 （3 分） 15 （3 分）已知+3，求 16 （3 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点 E，PFCD 于 点 F，连接 EF，给出下列五个结论：APEF；APEF；APD 一定是等腰三 角形；PDEC，其中正确结论的序号是 三、解答题三、解答题 17 （20 分）计算： （1）（） （2） （3）1 （4） （） 18 （10 分）解下列分式方程 （1） （2）2 19 （6 分）先化简再求值： （+），其中 a2 20 （8 分）新定义：|a，b|为分式（a0，a，b 为实数）
5、的“关联数” ，若|m，m2|“关 联数”的分式的值为 0，解关于 x 的方程1 21 （9 分）在ABCD 中，过点 D 作对 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，CFAE，连结 AF，BF 第 4 页（共 21 页） （1）求证：四边形 BFDE 是矩形 （2）若 CF6，BF8，DF10，求证：AF 是DAB 的角平分线 22 （9 分） （1）问题发现 如图，ABCD 的对角线相交于点 O，DEAC，CEBD可知：四边形 OCED 是 （不需要证明） （2）类比探究 如图矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DEAC，CEBD四边形 OCED 是 ， 请说明理由 （3）拓展应用
6、 如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，ABC60，BC4，DEAC 交 BC 的延 长线于点 F，CEBD求四边形 ABFD 的周长 23 （10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，ADBC5cm，AB12cm，CD6cm， 点 P 从 A 开始沿 AB 边向 B 以每秒 3cm 的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停 止，设运动时间为 t 秒 （1）求证：当 t时，四边形 APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线 BD？若能，求出当 t 为何值
7、时 PQ 平分 BD；若不能，请 说明理由； （3）当 PDPQ 时，求 t 的值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年 级（下）第一次月考数学试卷级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项是符合分下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项是符合 题目要求的）题目要求的） 1 （3 分）在，中，是分式的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】判断分式
8、的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含 有字母则不是分式 【解答】解：，这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式 故选：B 【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知 数，注意 不是字母，故不是分式 2 （3 分）分式有意义的条件是（ ） Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 【分析】根据分母不等于 0 列式进行计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x10， 解得 x1 故选：B 【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零
9、分子为零且分母不为零 3 （3 分）下列分式中，最简分式是（ ） A B 第 6 页（共 21 页） C D 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此逐一判断即可得 【解答】解：A，不符合题意； B不能约分，是最简分式，符合题意； C，不符合题意； Dxy，不符合题意； 故选：B 【点评】 考查了最简分式， 最简分式的标准是分子， 分母中不含有公因式， 不能再约分 判 断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以 通过符号变化化为相同的因式从而进行约分 4 （3 分）如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（ ） A扩大 4 倍
10、B扩大 2 倍 C不变 D缩小 2 倍 【分析】把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，分别用 2x 和 2y 去代换原分式中的 x 和 y， 利用分式的基本性质化简即可 【解答】解：把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍后得： 2， 即分式的值扩大 2 倍 故选：B 【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数， 都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项 5 （3 分）若方程0 有增根，则增根是（ ） A0 或 2 B0 C2 D1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，去分母整理得到方程的增 根 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：分式方程0
11、， 最简公分母 x（x2） ， 去分母得：4x20， 整理得：x24， 解得：x2， 把 x2 代入 x（x2）0， 则 x2 是原分式方程的增根，原分式方程的解为2 故选：C 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：根据最简公分母 确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的 值 6 （3 分）如图，M 是平行四边形 ABCD 的一边 AD 上的任意一点，若CMB 的面积为 S， CDM 的面积为 S1，ABM 的面积为 S2，则下列大小关系正确的为（ ） ASS1+S2 BSS1+S2 CSS1+S2 D无法确定 【分析】由平行四边形 ABC
12、D 的面积和CMB 的面积的计算，得出CMB 的面积S 平行四边形ABCD，即可得出结论 【解答】解：作 MNBC 于 N；如图所示： S平行四边形ABCDBCMN，CMB 的面积BCMN， CMB 的面积S平行四边形ABCD， CMB 的面积CDM 的面积+ABM 的面积， 即 SS1+S2； 故选：C 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积、三角形面积的计算；熟练 掌握平行四边形的性质，得出平行四边形和三角形之间的面积关系是解决问题的关键 7 （3 分）如图，已知矩形 ABCD，将BCD 沿对角线 BD 折叠，记点 C 的对应点为 C， 若ADC2
13、0，则BDC 的度数为（ ） A55 B45 C60 D65 【分析】 由折叠的性质可知BDCBDC， 故ADBBDCADCBDC 20，根据ADB+BDC90，列方程求BDC 【解答】解：由折叠的性质，得BDCBDC， 则ADBBDCADCBDC20， ADB+BDC90， BDC20+BDC90， 解得BDC55 故选：A 【点评】本题考查了折叠的性质关键是根据ADB+BDC90列方程求解 8 （3 分）如图，已知菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的长分别为 6cm、8cm，AEBC 于点 E， 则 AE 的长是（ ） A5 B2 C D 【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出 BC
14、 的长，再利用三角形面积求出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC6cm，BD8cm， 第 9 页（共 21 页） AOCO3cm，BODO4cm，BOC90， BC5（cm） ， AEBCBOAC 故 5AE24， 解得：AE 故选：C 【点评】 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理， 正确得利用三角形面积求出 AE 的长 是解题关键 9 （3 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的边 长为（ ） A10cm B13cm C15cm D24cm 【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可 【解答】解：因为正方形 A
15、ECF 的面积为 50cm2， 所以 ACcm， 因为菱形 ABCD 的面积为 120cm2， 所以 BDcm， 所以菱形的边长cm 故选：B 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答 10 （3 分）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90，得线段 PE，连接 BE，则CBE 等于（ ） 第 10 页（共 21 页） A75 B60 C45 D30 【分析】 过 E 作 AB 的延长线 AF 的垂线， 垂足为 F， 可得出F 为直角， 又四边形 ABCD 为正方形，可得出A 为直角，
16、进而得到一对角相等，由旋转可得DPE 为直角，根据 平角的定义得到一对角互余，在直角三角形 ADP 中，根据两锐角互余得到一对角互余， 根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由 PDPE，利用 AAS 可得出三角形 ADP 与 三角形 PEF 全等，根据确定三角形的对应边相等可得出 ADPF，APEF，再由正方形 的边长相等得到 ADAB， 由 AP+PBPB+BF， 得到 APBF， 等量代换可得出 EFBF， 即三角形 BEF 为等腰直角三角形，可得出EBF 为 45，再由CBF 为直角，即可求 出CBE 的度数 【解答】解：过点 E 作 EFAF，交 AB 的延长线于点 F，则F90，
17、四边形 ABCD 为正方形， ADAB，AABC90， ADP+APD90， 由旋转可得：PDPE，DPE90， APD+EPF90， ADPEPF， 在APD 和FEP 中， ， APDFEP（AAS） ， APEF，ADPF， 又ADAB， PFAB，即 AP+PBPB+BF， APBF， BFEF，又F90， 第 11 页（共 21 页） BEF 为等腰直角三角形， EBF45，又CBF90， 则CBE45 故选：C 【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰 直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小
18、题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）当 x 3 时，分式的值为零 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子0； （2）分母0两个条件需同时具备， 缺一不可 【解答】解：分式的值为零，即 x290， x3， x3 故当 x3 时，分式的值为零 故答案为 3 【点评】由于该类型的题易忽略分母不为 0 这个条件，所以常以这个知识点来命题 12 （3 分） 【分析】分子、分母同时约去 4xy3即可 【解答】解： 故答案是： 【点评】考查了约分确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定 第 12 页（共 21 页） 13 （3 分），的最简公分母为 6x2y2 【分析】确定
19、最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母 【解答】解：，的分母分别是 2xy、3x2、6xy2，故最简公分母为 6x2y2 故答案为 6x2y2 【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中 分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握 14 （3 分） 4 【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案 【解答】解：原式4 故答案为：4 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础 题型 15 （
20、3 分）已知+3，求 【分析】由+3 知3，即 a+b3ab，整体代入到原式，计算可 得 【解答】解：+3， 3， 则 a+b3ab， 所以原式 第 13 页（共 21 页） ， 故答案为： 【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则及 整体代入思想的运用 16 （3 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点 E，PFCD 于 点 F，连接 EF，给出下列五个结论：APEF；APEF；APD 一定是等腰三 角形；PDEC，其中正确结论的序号是 【分析】可以证明ANPFPE，即可证得是正确的，根据三角形的内角和定理即 可判断正确
21、；根据 P 的任意性可以判断的正确性 【解答】解：延长 FP 交 AB 于点 N，延长 AP 交 EF 于点 M 四边形 ABCD 是正方形 ABPCBD 又NPAB，PEBC， 四边形 BNPE 是正方形，ANPEPF， NPEP， ANPF 在ANP 与FPE 中， ， ANPFPE（SAS） ， APEF， （故正确） ； APN 与FPM 中，APNFPM，NAPPFM PMFANP90 APEF， （故正确） ； 点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，ADP45 度， 第 14 页（共 21 页） 当PAD45 度或 67.5 度或 90 度时，APD 是等腰三角形
22、， 除此之外，APD 不是等腰三角形，故错误 GFBC， DPFDBC， 又DPFDBC45， PDFDPF45， PFEC， 在 RtDPF 中，DP2DF2+PF2EC2+EC22EC2， DPEC 故正确的是： 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角 形的性质，勾股定理的运用本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题 三、解答题三、解答题 17 （20 分）计算： （1）（） （2） （3）1 （4） （） 【分析】 （1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值； （3）原式先计
23、算除法运算，再计算减法运算即可求出值； （4）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 第 15 页（共 21 页） 约分即可得到结果 【解答】解： （1）原式； （2）原式； （3）原式11； （4）原式2x+4 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （10 分）解下列分式方程 （1） （2）2 【分析】 （1）先去分母，再移项合并同类项，最后检验即可； （2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，最后检验即可 【解答】解： （1）去分母得，2（x+1）3（x1）x+3， 移项合并同类项得，x1， 经检验：x1 是原方程的增根，
24、原方程无解； （2）去分母得，2x34x+4， 移项合并同类项得，x， 经检验：x是原方程的解 【点评】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键，注意要 检验 19 （6 分）先化简再求值： （+），其中 a2 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式， 当 a2 时，原式2 第 16 页（共 21 页） 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （8 分）新定义：|a，b|为分式（a0，a，b 为实数）的“关联数” ，若|m，m2|“关
25、 联数”的分式的值为 0，解关于 x 的方程1 【分析】利用题中的新定义求出 m 的值，代入分式方程即可求出解 【解答】解：根据题中的新定义得：|m，m2|0， 解得：m2， 分式方程为： 去分母得：x12， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转 化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 21 （9 分）在ABCD 中，过点 D 作对 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，CFAE，连结 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形 （2）若 CF6，BF8，DF10，求证：AF 是DAB 的角平
26、分线 【分析】 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出 BEDF，证明四边形 BFDE 为平行 四边形，再由 DEAB，即可得出结论； （2）由矩形的性质和勾股定理求出 BC，得出 ADBCDF，证出DAFDFA，再 由平行线的性质即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， CFAE， BEDF 四边形 BFDE 为平行四边形 第 17 页（共 21 页） DEAB， DEB90 四边形 BFDE 是矩形 （2）证明：由（1）得，四边形 BFDE 是矩形， BFD90 BFC90， 在 RtBFC 中，由勾股定理得：BC10 ADBC10 DF1
27、0， ADDF DAFDFA ABCD， DFAFAB DAFFAB AF 平分DAB 即 AF 是DAB 的平分线 【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的 判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形 BFDE 是矩形是解决问题的关键 22 （9 分） （1）问题发现 如图，ABCD 的对角线相交于点 O，DEAC，CEBD可知：四边形 OCED 是 平 行四边形 （不需要证明） （2）类比探究 如图矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， DEAC， CEBD 四边形 OCED 是 菱形 ， 请说明理由 （3）拓展应用 如图，菱形 ABCD 的对角线相交于
28、点 O，ABC60，BC4，DEAC 交 BC 的延 长线于点 F，CEBD求四边形 ABFD 的周长 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （1）利用两组对边平行的四边形是平行四边形； （2）先判断出四边形 OCED 是平行四边形，再用矩形的性质即可得出结论； （3）先判断出三角形 CDF 是等边三角形，即可得出结论 【解答】解： （1）DEAC，CEBD 四边形 OCED 是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）四边形 OCED 是菱形， 证明：DEAC，CEBD， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OCOD， OCED 是菱形， 故答案为：菱形 （3）
29、ADBC，DEAC， 四边形 ACFD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形，ABC60，BC4， ADBCABDC4，DCF60， DCF 是等边三角形， CFDFCD4， 四边形 ABFD 的周长为 AB+BC+CF+DF+AD4520 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性 质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出四边形 OCED 是平行四边形 是解本题的关键 23 （10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，ADBC5cm，AB12cm，CD6cm， 第 19 页（共 21 页） 点 P 从 A 开始沿 AB 边向 B 以
30、每秒 3cm 的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停 止，设运动时间为 t 秒 （1）求证：当 t时，四边形 APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线 BD？若能，求出当 t 为何值时 PQ 平分 BD；若不能，请 说明理由； （3）当 PDPQ 时，求 t 的值 【分析】 （1）由题意可得当 t4 秒时，两点停止运动，在运动过程中 AP3t，CQt， 即可得 BP123t，DQ6t，由 t，即可求得 APDQ，又由 APDQ，即可判 定四边形 APQD 是平行四边
31、形； （2）首先连接 BD 交 PQ 于点 E，若 PQ 平分对角线 BD，则 DEBE，易证得DEQ BEP，继而可得四边形 DPBQ 为平行四边形，则可得 6t123t，解此方程即可求 得答案 （3）过点 C、D 作 CNAB，DMAB，交 AB 于点 M、N，得出 RtDAMRtCBN， 再利用垂直平分线的性质以及矩形性质得出 DMNP，从而求出 t 【解答】解： （1）证明：如图 1， ， 当 t4 秒时，两点停止运动，在运动过程中 AP3t，CQt， BP123t，DQ6t， 当 t时，DQ6，AP3， APDQ， 第 20 页（共 21 页） 又四边形 ABCD 为等腰梯形， AP
32、DQ， 四边形 APQD 为平行四边形； （2）能，当 t3 秒时，PQ 平分对角线 BD 如图 1，连接 BD 交 PQ 于点 E，若 PQ 平分对角线 BD，则 DEBE， CDAB， 12，34， 在DEQ 和BEP 中， ， DEQBEP（AAS） ， DQBP， 即四边形 DPBQ 为平行四边形， 6t123t， 解得 t3，符合题意， 当 t3 秒时，PQ 平分对角线 BD （3）如图 2，分别过点 C、D 作 CNAB，DMAB，交 AB 于点 M、N， 可得：四边形 DMNC 是矩形， AMDCNB90，ADBC，DMCN， 在 RtDAM 和 RtCBN 中 ， RtDAMRtCBN（HL） ， 第 21 页（共 21 页） AM3 点 P 在 DQ 的垂直平分线 EP 上 PDPQ，DEDQ，四边形 DEPM 是矩形 DEPM，即3t3， 解得：t 【点评】此题是四边形的综合问题，主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质 和全等三角形的判定等知识，题目综合性较强，考查知识比较全面，证明线段相等经常 运用证明三角形全等解决