1、 1 条件概率引入条件概率引入 条件概率实际指的是随着条件的变化，我们认为同一事件的概率也会跟着变化例如：足球比赛： 2012年欧洲杯决赛，西班牙队对阵意大利队，我们在开场前可能认为西班牙的胜率为P，意大利的胜 率为1P，随着比赛进程的发展，我们看到西班牙攻入一球，于是我们肯定会认为西班牙的胜率在增 大这就叫随着条件的变化，我们认为同一件事情的发生的概率出现了变化后来西班牙连入三球， 比分锁定4:0，这时我们基本认为西班牙胜率接近100%了，这可以认为是在4:0领先的条件下，西班 牙的胜率有了很大的提高 条件概率有时还会被用于“平衡”概率，再举个例子，比如一些足球彩票，我们只需判断比赛的胜 负
2、，猜对就有奖不过足球比赛的队伍之间有比较大的实力差距，比赛的结果会非常的明显，不用预 测所以彩票公司设置了“让球”制比如强队让弱队1球，如果这场比赛打平了，那么就算弱队赢；如 果强队1:0获胜，那么在彩票方面我们会认为是平局以此类推那么我们考虑彩票胜负的时候就需要 考虑在“强队让一球”的条件下仍然能获胜的概率如果差距太大，可能出现让2球，3球的情况，这样 比赛的结果就有悬念了这就是利用条件概率来人为的干涉事件的概率 条件概率也常出现在新闻中首先明确一点，我们看到的新闻很多是“小概率”事件，类似于车祸， 自然灾害，奇人奇事等等，以为小概率事件发生了，才会引起我们的关注比如：会踢球不算新闻， 但是
3、巴西有一个小孩，天生没有脚，踢足球特别厉害，这就成了大新闻原因就是：我们认为一个人 会踢球的概率比较大，但是如果考虑的是“在没有脚的条件下，一个人会踢球”，我们就会认为这个事 的概率极低那么这件我们认为不可能的事情发生了，就成为了新闻 仔细想一想，概率会随着条件发生变化的根本原因是：我们计算概率的环境不同了比如我们想 4.1 条件概率与事件的独立性 满分晋级 第 4 讲 离了散了变了 概率与统计 3 级 二项式定理 概率与统计概率与统计 4 4 级级 离了散了变了离了散了变了 概率与统计 5 级 101 次求婚， 有几 次能成功 2 算算在全世界的人里面随机选人，选到一个男人的概率，那么我们计
4、算方式就是用全世界男人的数量 除以全世界的人口如果我现在已经知道了我选择的人是一个中国人呢？那我们的计算方式就会随着 条件的变化而变化，变成中国的男人数量除以中国的总人口数如果我们作图解释就会更加直观，比 如我们设：A：选取的人是一个男人，B：选取的人是一个中国人，那么已知这个人是中国人的条件 下，选的人是一个男人的概率就是|P A B，从图形解释： 于是我们很容易得出概率公式： | P AB P A B P B 形式上看，我们加入的“中国人”这个条件相当于 在原来的范围内画了一个B圈，这个圈作为我们考虑的范围，把落入这个范围内的A作为研究对象 考点 1： 条件概率 1条件概率：对于任何两个事
5、件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 一 般地，我们有条件概率公式 () (|)( ( )0) ( ) P AB P B AP A P A 2求简单条件概率问题，有两个基本方法： 公式法：从条件概率的定义入手，如果 0P A ，则先在原样本空间计算P AB和 P A，再按 公式 P AB P B A P A 缩减样本空间法：在A发生的前提下，确定B的缩减样本空间，并在其中计算B发生的概率，从 而得到P B A 【教师备案】在做条件概率的问题时，大多数题公式法和缩减样本空间
6、法都能用，而对于很难写出样 本空间的条件概率问题，这时就只能用公式法了，如例 1；而对于我们能够很清楚的写出 样本空间的题，我们大多数采取缩减样本空间法，这有利于我们很快的解决问题，如例 2本讲的条件概率只讲公式法和缩减样本空间，对于全概公式我们留到同步再去讲解 【例1】 直接用公式 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比 例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： 在乙地为雨天的条件下，甲地也为雨天的概率是多少？ 在甲地为雨天的条件下，乙地也为雨天的概率是多少？ 【解析】 设A“甲地为雨天”，B “乙地为雨天”，则根据题意有 ( )0.
7、20P A ， ( )0.18P B ， ()0.12P AB ，所以 知识点睛 经典精讲 BA AB，也就是同时，也就是同时 满足男人和中国两满足男人和中国两 个条件的人， 这是我个条件的人， 这是我 们计算的“分子”们计算的“分子” 3 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 ()0.122 (|) ( )0.183 P AB P A B P B 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 ()0.12 (|)0.60 ( )0.20 P AB P B A P A 【点评】此题我们不能写出样本空间，所以就只能用公式做题了 【例2】 缩减样本空间 一个家庭中有两个孩子假定生男、生女是等可能的，在这个家庭有一
8、个是女孩的前提下， 求另一个小孩是男孩的概率？ 【追问】如果现在这个家庭只有一个女孩，问下一个孩子是男孩的概率是多少？由此引出独 立事件 【解析】 缩减样本空间法： 一个家庭中有两个孩子，因为生男、生女是等可能的，所以基本事件空间有4种情况，又因 为已经知道有一个是女孩，所以把都是男孩的情况排除，那剩下的基本事件空间就只有3种 情况了，所以另一个是男孩的概率是 2 3 P 公式法：设基本事件空间为，A“有女孩”，B “有男孩”， 则 男，男 ，男，女 ，女，男 ，女，女， A男，女 ，女，男 ，女，女， B 男，男 ，男，女 ，女，男 ， AB 男，女 ，女，男，由上面分析可 知 3 4 P
9、A ， 2 4 P AB ，由条件概率公式可知： 2 2 4 3 3 4 P B A 【追问】 1 2 【点评】由此例题我们发现缩减样本空间比公式法简单很多，所以在能够写出样本空间的情况下，大 多数用缩减样本空间法 【挑战挑战五分钟五分钟】由例 2 我们可以看出缩减样本空间更简单，所以这时让学生多练习一下缩减样本空间 法 一个家庭中有四个孩子 假定生男、 生女是等可能的， 在这个家庭有两个是女孩的前提下， 求另两个小孩是男孩的概率？ 【解析】 缩减样本空间法：一个家庭中有四个孩子，因为生男、生女是等可能的，所以基本事件空间 有16种情况（4男一种情况，4女一种情况，2男2女六种情况，3男1女
10、四种情况，3女1男四种情况） ，又因为已经知道有两个是女孩，所以把都 是男孩和3男1女的情况排除，那剩下的基本事件空间就只有11种情况了， 所以另两个是男孩的概率是 6 11 P 考点 2： 事件的独立性 1设AB，为两个事件，如果 P ABP A P B，则称事件A与事件B相互独立事件A是否发生 对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把 这两个事件叫做相互独立事件 2如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 知识点睛 4 积，即 1212 ()()()() nn P AAAP
11、 AP AP A，并且上式中任意多个事件 i A换成其对立事件 后等式仍成立 3若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立 【教师备案】相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就 是若事件A与B相互独立，则 P B AP B且 P A BP A，因而有 P ABP A P B AP A P B “互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念， 它们之间没有直接关系， 前者表示不 可能同时发生的两个事件， 后者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有 影响，互斥事件可以看成不是相互独立的两个事件中，一个事件的发生对另一个事件 的发生不仅有影响而且
12、影响大到不可能同时发生在具体解题时，如果混淆这两个概 念极易发生错误，所以必须注意和重视 【教师备案】在讲必修 3 的时候讲过互斥事件与对立事件，所以，在讲独立事件时，建议老师提问“什 么是互斥事件”、“什么是对立事件”，让学生复习一下以前学的知识点在这里还要重点 给学生讲一下互斥事件与独立事件的区别例 3 是判断独立事件与互斥事件；例 4 是计 算独立事件的概率 【例3】 判断独立事件与互斥事件 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ 1000 张有奖销售的奖券中某 1 张中一等奖与该张奖券中二等奖； 工会的抽奖活动中“老王抽到的两张券，1 张中二等奖，另 1 张没中奖”与“老
13、王抽到的两张 奖券都中二等奖”； 一个布袋里有 3 个白球，2 个红球，“从中任意取 1 个球是白球”与“取出的球放回后，再任 取 2 个球是白球”； 一个布袋里有 3 个白球，2 个红球，“从中任意取 1 个球是白球”与“取出的球不放回，再从 中任意取 1 个球是红球” 【解析】 是互斥事件； 是互斥事件； 是相互独立事件； 既不是互斥事件，又不是相互独立事件 【点评】 这里容易错误地认为“如果两个事件不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件”如题中 的第题， 由于第 1 次取的球不放回， 就会对第 2 次取到的球的概率产生影响， 但不会造成“再 从中任意取 1 球是红球”的事件不发生，所以
14、这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事 件 【备选】【备选】 判断下列各对事件是否是相互独立事件 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1人是男生”与“从乙组中选出 1 人是女生” 容器内盛有 5个白乒乓球和 3 个黄乒乓球， “从 8个球中任意取出1个， 取出的是白球”与“从 剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球” 【解析】 “从甲组选出1人是男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1人是女生”这一事件发生的 概率没有影响，所以它们是相互独立事件 “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 5 8 ，若这一事件
15、发生了，则“从剩下的 7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 4 7 ；若前一事件没有发生，则后一事件 发生的概率为 5 7 可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是 相互独立事件 经典精讲 5 提高班学案提高班学案 1 【铺1】 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是 1 2 ，事件B发生的概率是 2 3 ，事件 C发生的概率是 3 4 ，求下列事件的概率： 事件A，B，C均发生； 事件A，B，C均不发生； 事件A，B，C不都发生 【解析】 记“事件A，B，C均发生”为 1 A，则由于A，B，C互相独立，故 1 AABC，从而 1 1231 ()(
16、) ( ) ( ) 2344 P AP A P B P C故事件A，B，C均发生的概率为 1 4 记“事件A，B，C均不发生”为 2 A，则 2 AA B C，由于A，B，C相互独立，故A， B，C也独立，故 2 ()()( ) ( ) ( )P AP A B CP A P B P C 1231 111 23424 ， 事件A，B，C均不发生的概率为 1 24 记“事件A，B，C不都发生”为 3 A，则从正面考虑事件A，B，C中可以有 1 个不发生， 可以有 2 个不发生，也可以 3 个都不发生，情况较多，但从反面考虑， 3 A的反面为“事件 都发生”，故 31 AA，从而 331 3 ()1
17、()1() 4 P AP AP A ，事件A，B，C不都发生 的概率为 3 4 【例4】 计算独立事件的概率 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是 1 2 ，事件B发生的概率是 2 3 ，事件 C发生的概率是 3 4 ，求下列事件的概率： 事件A，B，C至少发生一个； 事件A，B，C只发生一个； 事件A，B，C只发生两个； 事件A，B，C至多发生两个 【解析】 记“事件A，B，C至少发生一个”为 4 A，其对立事件为 4 A：“事件A，B，C一个也不 发生”，即事件 2 A，故 42 AA，从而 442 ()1()1()P AP AP A 123 1 2424 ， 事件A，B，C
18、至少发生一个的概率为 23 24 记“事件A，B，C只发生一个”为 5 A，则事件 5 A包括三种情况，第一种是只发生A事件， 事件B，C不发生（即A B C事件发生） ；第二种只发生事件B，事件A，C不发生（即 事件A B C发生） ；第三种是只发生事件C，事件A，B不发生（即事件A B C发生） 而这三种情况是不可能同时发生的，即事件A B C，A B C，A B C彼此互斥，根据 互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式， 所求的概率为 5 1231 ()()()() 2424244 P AP A B CP A B CP A B C， 事件A，B，C只发生一个的概率为 1 4
19、6 记“事件A，B，C只发生两个”为 6 A，则事件 6 A包括三种彼此互斥的情况， A B C；A B C；A B C，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公 式，所求的概率为 6 23611 ()()()() 24242424 P AP A B CP A B CP A B C， 事件A，B，C只发生两个的概率为 11 24 记“事件A，B，C至多发生两个”为 7 A，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一 个也不发生，即 2 A；事件A，B，C只发生一个，即 5 A，事件A，B，C只发生两个， 即 6 A，故 7256 1611183 ()()()() 242424244
20、P AP AP AP A 事件A，B，C至多发生 2 个的概率为 3 4 （也可由 713 AAA立刻得到答案） 尖子班学案尖子班学案 1 【拓【拓2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被 淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 5 、 3 5 、 2 5 、 1 5 ，且 各问题能否正确回答互不影响 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； 求该选手至多进入第三轮考核的概率 【解析】 记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1 2 3 4) i A i ， ，则 1 4 () 5 P A ， 2 3 () 5 P A， 3
21、 2 () 5 P A， 4 1 () 5 P A 该选手进入第四轮才被淘汰的概率： 12341234 432496 ()() () () () 5555625 P A A A AP A P A P A P A 该选手至多进入第三轮考核的概率： 112123 ()P AA AA A A 142433101 555555125 目标班学案目标班学案 1 【拓【拓3】 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是abc， ， 且三门课程考
22、试是否及格相互 之间没有影响 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小 （说明理由） 【解析】 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为ABC， ， 则( )( )( )P AaP BbP Cc， 应聘者用方案一考试通过的概率 1 pP A B CP A B CP A B CP A B C 1112a bcab cabcabcabbccaabc 应聘者用方案二考试通过的概率 2 11111 33333 pP A BP B CP A Ca bb ccaabbcca 12 12 23 33 ppabbccaabcabbccaabbcc
23、aabc 7 2 1110 3 abcbcaacb 12 pp 考点 3： 离散型随机变量的分布列及其性质 1离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而 变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写英文字母,X Y或小写希腊 字母， ，表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 【教师备案】随机变量是一个映射：随机变量是把随机试验的结果映射为实数因此我们把随机变 量的取值范围叫做随机变量 随机变量与函数的关系： a联系：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射， 函
24、数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域我们把随机变量的取值范围叫做 随机变量的值域 b区别：函数 f x的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量 是试验结果（即样本点） 对随机变量的理解： a随机变量是将随机试验的结果数量化数量化 b随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件如：“掷一枚骰子”这一随机试验 中所得点数是一随机变量，随机变量“2”，即对应随机事件：“掷一枚骰子，出 现2点”；而“3或4”，即对应随机事件：“掷一枚骰子出现3点或4点” 并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，如电灯泡的寿命X的可能取值是任何
25、一 个非负实数，我们是无法一一列出的一般地，如果随机变量可以取某一个区间内的 任意一个值，则称这样的随机变量为连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别： 对于离散型随机变量而言，它所有可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它 的可取值按一定次序一一列举出来而连续型随机变量可取某一区间的任意值，我们 无法对其中的值一一列举 连续型随机变量可转化为离散型随机变量如X为电灯泡寿命（单位：小时） ，则 01000 11000 X Y X 为离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列 要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道： X所有可能取的值 12n xxx，； X取每一个值 i
26、x(1, 2,)in的概率 12n ppp， ， 这就是说，需要列出下表： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 4.2 离散型随机变量 知识点睛 8 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布列，或称为离散型随机变量X的分布列由分布列能 一一目了然地看出随机变量X的取值范围及取这些值的概率 【教师备案】离散型随机变量X的分布列指的就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表， 它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律性 3离散型随机变量的分布列有下面两条性质： 0 i p ，123in ， ， ， ，； 12 1 n ppp
27、【教师备案】要熟练地掌握离散型随机变量分布列的性质，理解每个性质的含义，并能运用它们解 决实际问题 离散型随机变量分布列的两个性质01 i p和 12 1 in pppp12in ， ， ，是检验一个分布列的正确与否的重要依 据，重要的一条就是它们的概率之和等于1 【例5】 分布列的性质 设随机变量的分布列如表所示，则x _ 设随机变量分布列为 1 123 3 i Piai ， ，则a的值为（ ） A1 B 9 13 C 11 13 D 27 13 【解析】 1 8 由分布列性质可知： 111 1 248 x， 1 8 x D 1 1 3 Pa， 2 1 2 3 Pa ， 3 1 3 3 Pa
28、 ， 由1231PPP，知 23 111 1 333 aaa ， 27 13 a 【例6】 写分布列 （2012 山东 19 改编） 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为 3 4 ，命中得1分，没有命中得0分； 向乙靶射击两次，每次命中的概率为 2 3 ，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次 射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击求该射手的总得分X的分布列 【追问】如果每次射击都可以自由选择靶子，为了得到更高的预期总得分，该射手应该如何 完成这三次射击？ 【解析】 记：“该射手射击甲靶命中”为事件A，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件B，“该射手第二 次射击乙靶命中
29、”为事件C由题意知 32 ( ), ( )( ), 43 P AP BP C 根据题意知X的所有可能取值为0 12345， ， ， ， ， 1 2 3 4 P 1 2 1 4 1 8 x 经典精讲 9 根据事件的独立性和互斥性得 (0)()1( )1( )1( )P XP ABCP AP BP C= 3221 111 43336 ， (1)()( ) ( ) ( )P XP ABCP A P B P C= 3221 11 43312 ， (2)()()()P XP ABCABCP ABCP ABC 3223221 1111 4334339 (3)()()()P XP ABCABCP ABCP
30、ABC 3223221 11, 4334333 3221 (4)()1, 4339 P XP ABC 3221 (5)() 4333 P XP ABC 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 【追问】在真实比赛中，运动员除了要考虑得分外，还应该考虑获取该分数的可能性比如在 此例中，射击乙靶，如果命中，虽然能得到 2 分，但其概率只有 2 3 ，相当于他射击一 次得到的平均分数是 4 3 ；射击甲靶，如果命中，只能得到一分，但其概率为 3 4 ，相当 于他射击一次得到的平均分数是 3 4 所以射击一次乙靶比甲靶得到的平均分高，而且 三次
31、射击是独立事件，因此三次都选择乙靶可以得到更高的预期分数 教师据此例可引出期望的概念 【备选】【备选】 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B CD， ， ，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一 名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列及 (1.5)P 【解析】 随机变量可能取的值为1 2，事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务 同时有两人参加A岗位服务的方案数有 23 53 C种，总方案数有 24 54 C， 23 53 24 54 C1 (2) C4 P 事实上由对称性，有两人参加A岗位服务的方案数应该与有两人参加D、B或C岗位服务的 方案数一样，直接就有 1
32、(2) 4 P 于是 123 543 24 54 C C A3 (1) C A4 P（也可求(1)1(2)PP 得到） ， 的分布列是 1 2 P 3 4 1 4 3 (1.5)(1) 4 PP 考点 4： 离散型随机变量的期望与方差 10 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 () nn E Xx px px p，叫做这个离散型随机变量X的均值或数 学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 【教师备案】随机变量的数学期
33、望反映的是离散型随机变量的平均取值水平即：假若随机试验进 行了n次， 根据X的分布列， 在n次试验中， 有 1 p n次出现了 1 x， 2 p n次出现了 2 x， n p n次出现了 n x，在n次试验中，X出现的总次数为 1122nn p nxp nxp nx因此n 次试验中，X出现的平均值等于 1122nn p nxp nxp nx E X n ， 即 1 122nn E Xp xp xp x 如何去理解离散型随机变量的数学期望值呢？例如： 在一次商业活动中， 某人获利300 元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，求此人在这样的一次商业活动中获利的数 学期望由定义可得300 0
34、.61000.4140E X 这表明此人有希望获利140 元，但要注意，对于这样一次商业活动，此人不是赚300元，就是亏100元但如果他 重复从事这类商业活动，那么从平均意义上说，每次可获利的数学期望为140元 随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖 于样本的抽取；而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简 单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值 2离散型随机变量的方差 一般地， 设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x，2x， ，nx， 这些值对应的概率是 1 p， 2 p， ， n p，则 222 1122
35、 ( )( )( )( ) nn D XxE XpxE XpxE Xp叫做这个离散型随机变量X的方 差 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） ()D X的算术平方根()D X叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动 大小的量 【教师备案】随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程 度D X越小，稳定性越高，波动越小 随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数， 不随抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的对于 简单随机样本，随着样本容量的
36、增加，样本方差越来越接近于总体方差 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 【教师备案】上述公式证明如下： 如果YaXb，其中a，b为常数，那么Y也是随机变量 因此()() ii P YaxbP Xx，1i ，2，3，n，所以Y的分布列为 Y 1 axb 2 axb n axb P 1 p 2 p n p 有 1122 ()()() nn E aXbaxb paxb paxb p 112212 ()() nnn a x px px pb pppaE Xb， 即()E aXbaE Xb 222 1122 ()()()() nn D
37、aXbaxbaE XbpaxbaE XbpaxbaE Xbp 22222 1122 ()()() nn axE XpxE XpxE Xpa D X 知识点睛 11 4利用公式 22 ()()D XE XE X求方差 【教师备案】公式 22 ()()D XE XE X的证明如下： 222 1122 ()()() nn D XxE XpxE XpxE Xp 2222 1122112212 ()2()() () nnnnn x px px pEXx px px pEXppp 22222 2()()()E XE XE XE XE X 利用公式 22 ()()D XE XE X可以简化求方差的过程 提高
38、班学案提高班学案 2 【铺1】 已知随机变量X的分布列 X 2 1 3 P 0.16 0.44 0.40 求E X，D X，25EX ； 已知某随机变量的概率分布列如下表： 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 且 1.5E，求a、b 【解析】 2 0.16 1 0.443 0.401.32E X 又 2 22 20.16 1 0.4430.404.68E X ， 2 2 4.68 1.74242.9376D XE XE X 25257.64EXE X 0.10.1 1Pab， 0 0.1 123 0.1 1.5Eab ， 0.8ab，21.2ab 解得0.4ab 【例7】 计算期望与方
39、差 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求 E、 D、23E、23D 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E X、D X X 1 0 1 P 1 2 1 2q 2 q 【解析】 1 0.1 2 0.23 0.44 0.25 0.13E 22222 130.1230.2330.4430.2530.1D1.2 23232 3 33EE ， 2 2324 1.24.8DD 由离散型随机变量的分布列的性质， 经典精讲 12 得 2 2 1 121 2 0121 1 qq q q ，解得 2 1 2 q 故X的分布列为 X 1 0 1 P 1
40、 2 21 3 2 2 1313 102112212 2222 E X 2 22 13 10211222 22 E X 2 2 2 221221D XE XE X 尖子班学案尖子班学案 2 【拓【拓2】 已知随机变量X的分布列为： X 2 1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 试求E X；若23YX，求 E Y 【解析】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值定义求解对 于，可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求EY 由随机变量分布列的性质，得 1111 1 43520 m，所以 1 6 m ， 1111117 21012 43562030
41、E X 方法一：由公式E aXbaE Xb，得 1762 232323 3015 E YEXE X 方法二：由于23YX，所以Y的分布列如下 Y 7 5 3 1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 1111162 75311 43562015 E Y 【点评】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解 对于aXb型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aXb的分布列， 再用定义求解 目标班学案目标班学案 2 【拓【拓3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（1 2 3 4n ， ，） 现 从袋中任
42、取一球，表示所取球的标号 求的分布列、期望和方差； 若ab， 1E， 11D，试求a b，的值 【解析】 的分布列为： 13 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 11131 012341.5. 22010205 E 22222 11131 (01.5)(1 1.5)(21.5)(3 1.5)(41.5)2.75. 22010205 D 由 Da D 2 ，得 2 2.7511a ，即2a 又 EaEb，所以 当2a 时，由2 1.51b，得2b ；当2a 时，由2 1.51b ，得4b 2 2 a b 或 2 4 a b 即为所求 【教师备案】均值仅体现了随机
43、变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够如果两个随 机变量的均值相等均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差取值如何在均值周围变化，即计算方差方差大 说明随机变量取值较分散取值较分散，方差小说明取值分分散性小或者取值比较集中、稳定散性小或者取值比较集中、稳定因此， 利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，也就是当我们希望实际的平均水平比平均水平比 较理想时较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应还应 看它们相对于均值的偏离程度看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定， （即计算方差的大小） ，稳定 者就更好如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当接近即 可 【例8】 方差的实际应用 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、， 和的分布列如下： 0 1 2 0 1 2