1、 1 利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性的方法 如果函数( )yf x在x的某个开区间内，总有( )0fx，则( )f x在这个区间上是增函数； 如果函数( )yf x在x的某个开区间内，总有( )0fx，则( )f x在这个区间上是减函数 【教师备案】对于函数( )f x，若( )0( )0fxfx，则( )f x为增函数（减函数） ；反之，若( )f x为 增函数（减函数） ，则( )0( )0fxfx恒成立，且( )fx不恒等于零 考点 1：函数单调性与其导函数正负的关系 【教师备案】选修 2-2A 版教材引入方式 1.如下图，函数图象的切线的斜率（即导数）的正负可以
2、反映函数的单调性 导数 0 fx表示函数 f x在点 00 xf x，处的切线的斜率.在 0 xx处， 0 0fx， 切线是 “左下右上” 式的， 这时， 函数 f x在 0 x附近单调递增； 在 1 xx处， 1 0fx， 2.1利用导数分析函数的单调性 满分晋级 经典精讲 知识点睛 第 2 讲 你问问函数 同意不 导数 1 级 导数，我们在一起吧 导导数数 2 2 级级 你问问函数你问问函数 同意不同意不 导数 3 级 导数的运算与几 何意义 2 切线是“左上右下”式的，这时，函数 f x在 1 x附近单调递减. 2.已知导函数 fx的下列信息： 当14x时， 0fx； 当1x 或4x 时
3、， 0fx； 当1x 或4x 时， 0fx 试画出函数 f x的大致形状 【教师备案】选修 2-2B 版教材引入方式 函数( )yf x在区间xxx，上的平均变化率为 y x 依据函数单调性的定义： 若0 y x ，则函数在给定区间上为增函数；若0 y x ，则函数在给定区间上为减函数 从导数的角度看： 00 ()( ) limlim xx yf xxf x fx xx 若 0fx， 则函数在给定区间上为增函数； 若 0fx， 则函数在给定区间上为减函数 因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质 【铺铺垫垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系 求下列函数的导函数，并画出
4、导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系 【解析】 导函数的图象为： x y O x y OO y x (3)(2) (1) 3 从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零 时，原函数是单调递减的. 【例1】 根据导函数图象判断原函数图象 （2010 石景山一模文理 7） 已知函数 ( )f x的导函数( )fx 的图象如右图所示， 那么函数 ( )f x的图象最有可能的是 （ ） 【解析】 A 由( )fx的图象知( )yf x在(2)，与(0)，上单调递减，在( 2 0) ，上单调递增 考点 2：从导数角度解释函数增减的快慢 【教师备案】函数
5、图象如图 1、2 所示，由图 3、4 可知，当自变量x逐次增加一个单位增量x时， 函数 g x的相应增量 1 y， 2 y， 3 y， 越来越大； 函数 f x的相应增量 1 y， 2 y， 3 y， 越来越小 图 1 图 2 图 3 图 4 从导数的角度来看： 0g x， gx为增函数； 0fx， fx为减函数 图图象特点象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 快，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下） 如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大， 那么对应的函数图象就越来 越陡峭反之，就越来越平缓 【铺垫铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相
6、同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分 别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 4 【解析】 以容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高 度增加得越来越快.反映在图象上， （A）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况. B； A； D； C 【例2】 函数的增长速度 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路 程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过 3 分 钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H是漏斗中液面下落的距离，
7、则H与 下落时间t（分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ） 【解析】 A 曲线的切线的斜率( )s t表示汽车的速度， 由题意知， 速度先增加， 再保持不变， 最后减小， 故由曲线的斜率变化知选 A也可根据汽车匀加速行驶 2 1 1 2 sv tat0a ，匀速行驶 0 ssvt，减速行驶 2 2 1 2 sv tat0a ，结合函数图象得到 D 每当t增加一个单位增量t，H的变化开始增量H越来越小，经过中截面后越来越 大，故H关于t的函数图象是增加先变缓后变陡，因此选 D 考点 3：求函数的单调区间 【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法 第一步：确定函数 f x的定义域； 第
8、二步：求 fx，令 0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实根； 第三步：把函数 f x在间断点（即 f x的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小 到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f x的定义区间分成若干个小区 间； 第四步：确定 fx在各个小区间的符号，根据 fx的符号判断函数 f x在每个相应 小区间的增减性. D.C.B.A. O t s O t ss t OOt s 5 【注意】函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可 用“， ”或“和”连接. 提高提高班学案班学案 1 【铺1】 确定函
9、数 3 3f xxx在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ 【解析】 2 33fxx， 令 2 33 0x ， 解此不等式， 得1x 或1x .因此， 已知函数在区间1， 和1，内是增函数；令 2 330x ，解此不等式，得11x .因此，已知函数在区间 1 1 ，内是减函数. 尖子尖子班学案班学案 1 【铺铺 2】已知函数 exf xx求函数 f x的单调区间 【解析】 函数 f x的定义域为R 1 exfxx 由 0fx，解得1x 由 0fx，解得1x f x的单调递增区间为1，单调递减区间为1， 【例3】 求单调区间 求下列函数的单调区间 32 ( )395f xxxx； 2 2ln
10、f xxx 【解析】 2 ( )3693(1)(3)fxxxxx， 令( )0fx得3x 或1x ，函数( )f x的单调递增区间为(1) ，和(3)， 令( )0fx，得13x ，函数( )f x的单调递减区间为( 13) ， 函数 f x的定义域为0， 又 2 2 21 211222 2 x xxx fxx xxxx ， 令 0fx得1x ， f x的单调递增区间为1， 令 0fx得01x， f x的单调递减区间为0 1，. 目标目标班学案班学案 1 【拓3】 已知函数 e 1 x f x x ，求函数 f x的定义域及单调区间 【解析】 函数 f x的定义域为1x x 22 e1e 1e
11、2 11 xxx xx fx xx 由 0fx，解得2x 由 0fx，解得2x 且1x f x的单调递增区间为2，单调递减区间为1，和12， 6 求函数 2lnf xxax aR的单调区间 【解析】 函数 yf x的定义域为0， 2lnf xxax， 2 fxa x 当0a时，因为0x ，所以 0fx，所以 yf x在0，上单调递增； 当0a 时，令 2 0fxa x ，解得 2 0x a ；令 2 0fxa x ，解得 2 x a 此时函数 yf x的单调递增区间是 2 0 a ，单调递减区间是 2 a ， 综上所述：当0a时， yf x的单调递增区间为0，； 当0a 时，函数 yf x的单
12、调递增区间是 2 0 a ，单调递减区间是 2 a ， 提高班学案提高班学案 2 【铺1】 若yax与 b y x 在0 ，上都是减函数，对函数 3 yaxbx的单调性描述正确的是 （ ） A在 ， 上是增函数 B在 0 ， 上是增函数 C在 ， 上是减函数 D在 0，上是增函数，在0 ， 上是减函数 【解析】 C 由题意知：0a ，0b ，于是 2 30yaxb 对任意xR成立，故选 C 【例4】 已知函数单调性，求参数范围 设函数 2 ( )lnf xxxax在其定义域内为增函数，求a的取值范围 【解析】 2 121 ( )2 xax fxxa xx ， ( )f x的定义域为0， 若(
13、)f x在其定义域内为增函数，所以 2 21 ( )0 xax fx x 对 0x，恒成立（） 方法一：分离参量法 （）可以转化为 2 210xax 对0x，恒成立， 即 1 2ax x ，对0x，恒成立 令 1 22 2x x ，0x，故 1 2x x 的最大值为2 2， 即2 2a 方法二：分类讨论 方程 2 210xax 的判别式 2 8a ， 当0，即2 22 2a 时， 2 210xax ， ( )0fx在0，内恒成立，此时( )f x为增函数 7 当0 ，即2 2a 或2 2a 时， 要使( )f x在定义域0，内为增函数， 只需在0，内有 2 210xax 即可， 设 2 ( )
14、21h xxax， 由 (0)10 0 22 h a ， 得0a ，所以2 2a 由可知，若( )f x在其定义域内为增函数，a的取值范围是 2 2 ， 尖子班学案尖子班学案 2 【拓2】 已知函数 2 1 ( )2(0 2f xaxx x ，若( )f x在(0 1x，上是增函数，则a的取值范围 为 【解析】 1a- 33 21 ( )22fxaa xx ， 若( )f x在(0 1x，上是增函数，只需在(0 1x，上，( )0fx恒成立，即 3 1 a x 恒成立 在(0 1x，上，有 3 1 1 x -，故只需1a 综上，1a时，函数 2 1 ( )2f xax x ，(0 1x，是增函
15、数 目标班学案目标班学案 2 【拓3】 已知函数 2 1 ( )ln20 2 f xxaxx a不存在单调递减区间，求 a 的取值范围 【追问】若改为存在单调递减区间，则 a 的取值范围是多少 【解析】 函数( )f x的定义域为0 ， 2 121 ( )2 axx fxax xx ，因为函数( )f x不存在单调递减区间，所以 0fx 在 0 ，上无解，从而 2 210axx 在0 ，上无解 当0a 时， 2 21yaxx为开口向上的抛物线， 2 210axx 总有正解，故存在单调 递减区间，0a 不符合题意； 当0a 时， 2 21yaxx为开口向下的抛物线， 21 0 2aa ，要使 2
16、 210axx 在0 ，上无解，则440a ，解得1a 综上所述，a的取值范围为1 ， 【追问】函数( )f x的定义域为0 ， 2 121 ( )2 axx fxax xx ，因为函数( )f x存在单调递减区间，所以 0fx 在 0 ，上有解，从而 2 210axx 有正解 当0a 时， 2 21yaxx为开口向上的抛物线， 2 210axx 总有正解； 当0a 时， 2 21yaxx为开口向下的抛物线， 且 21 0 2aa ，要使 2 210axx 总有正解，只需440a ，解得10a 综上所述，a的取值范围为( 1 0)(0)， 8 1.利用导数研究函数的极值：利用导数研究函数的极值
17、： 已知函数( )yf x，设 0 x是定义域内任一点，如果对 0 x附近的所有点x，都有 0 ( )()f xf x，则称函 数( )f x在点 0 x处取极大值，记作 0 ()yf x 极大 并把 0 x称为函数( )f x的一个极大值点 如果在 0 x附近都有 0 ( )()f xf x，则称函数( )f x在点 0 x处取极小值，记作 0 ()yf x 极小 并把 0 x称为 函数( )f x的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点 【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老师 再来总结极值，并总结极值中应注意的
18、方面. 我们可以从以下几个方面理解概念： 极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的 连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.即极大 值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小. 函数的极值点的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说，若 fc 存在， 0fc 是 f x在x c处取得极值的必要条件，但不是充分条件.比如 3 f xx在0x 处， 00 f 但0x 不是函数的极值点，所以一定要注意点的左 右变化趋势 若 f x在区间ab，内有极
19、值，那么 f x在ab，内一定不是单调函数，即在区间 上单调的函数没有极值. 如果函数 f x在ab，上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大 值点之间必有一个极小值点， 同样， 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地， 当函数 f x在ab，上连续且有有限个极值点时，函数 f x在ab，内的极大值 点、极小值点是交替出现的. 2.求函数求函数 yf x 的极值的方法的极值的方法 确定函数定义域 求导数 fx； 求方程 0fx的根； 检查 fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f x在这个根处取得极大值；如果左 负右正，那么 f x在这个根处取得极小值 【教师备案
20、】 使 fx无意义的点也要讨论.即可先求出 0fx 的根和使 fx无意义的点， 这些点 都称为可疑点，再用定义去判断. 极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近 曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过 渡点的函数值. 3.求函数求函数( )yf x在在ab，上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数( )yf x在ab，内的极值； 将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值 f a， f b比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值 2.2 利用导数分析函数的极值与最值 知识点睛 9 【
21、教师备案】老师在讲最值时，也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需 要注意的几点. 在理解函数最值时，需要注意以下几点： 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最 大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值 是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值 只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值； 极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说， 某位同学在班里的成绩
22、最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的， 即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以 此为例讲解极小值不一定是最小值. 【铺垫铺垫】如图所示，函数 yf x在abcdefgh， ， ， ， ， ， ，等点的函数值与这些点附近的函数值有 什么大小关系？ yf x在这些点的导数值是多少？在这些点附近， yf x的导数的符号 有什么规律？ 【解析】 以ab，两点为例，我们可以发现，函数 yf x在 点xa的函数值 f a比它在点xa附近其他点 的函数值都小， 0fa；而且在点xa附近的左 侧 0fx， 右侧 0fx.类似地， 函数 yf x 在点xb的函
23、数值 f b比它在点xb附近其他点 的函数值都大， 0fb；而且在点xb附近的左侧 0fx，右侧 0fx. 其它的点老师可以自由发挥，随便问学生. 考点 4：与极值相关的图象问题 【例5】 与极值相关的图象问题 函数( )f x的导函数图象如图所示，则函数( )f x在图示区间上 （ ） A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点，两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 （2010 朝阳二模 6） 函数 32 1 ( ) 2 f xxx的图象大致是（ ） 经典精讲 O y x 10 D. Ox y C. Ox y B. Ox y A. O y x 【解析
24、】 C 因为导函数的图象与x轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情况 知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右） ， 故选 C A 由 2 ( )32fxxx，于是( )f x在 2 0 3 x ，点取得极值A，B，C，D 中仅 A 符合另外此 题也可以根据单调性和极值点来分析 考点 5：求函数的极值与最值 【铺垫铺垫】用导数法求函数 2 ( )f xx x 的极值 【解析】 函数定义域为 22 21 0( )1(2)(2)x xfxxx xx ， 令( )0fx，得2x 或2x 函数( )f x的单调递增区间为(2) ，和( 2)，； 令
25、( )0fx，得22x且0x ， 函数( )f x的单调递减区间是(2 0)，和(02)， fx， f x的变化情况如下表： x 2， 2 20， 02， 2 2 ， fx 0 0 f x 极大值 极小值 ( )f x在2x 时取得极大值2 2，在2x 时，取得极小值2 2 【例6】 求函数的极值与最值 已知函数 32 231f xxxxR 求 f x的极值； 求函数 f x在闭区间12 ， 上的最值 【解析】 2 66fxxx 令 2 660fxxx，解得 12 01xx， x 0， 0 01， 1 1， fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以 f x的极小值为 10f；极大值为 01f
26、 由知 f x在区间12 ，上的极小值为 10f；极大值为 01f 11 计算得： 1425ff， 所以函数 f x在闭区间12 ，上的最小值为4，最大值为5 提高提高班学案班学案 3 【拓拓 1】已知函数 32 2 221 3 f xxxa x，其中0a 求 f x在区间23，上的最小值 【解析】 2 2 24221fxxxaxa， 7 22 3 fa， 373fa， 令 0fx解得 2 1 2 a x ，则 2 11 2 a ， 2 11 2 a ， 当 2 12 2 a ，即02a时， f x在区间23，上单调递增， 最小值为 7 22 3 fa； 当 2 13 2 a ，即8a时， f
27、 x在区间23，上单调递减， 最小值为 373fa； 当 2 213 2 a ，即28a时， f x在区间 2 21 2 a ，上单调递减，在区间 2 13 2 a ，上单调递增， 最小值为 252 1 233 aaa fa ， 综上所述， 当02a时， f x在区间23，上的最小值是 7 2 3 a； 当28a时， f x在区间23，上的最小值是 52 33 aa a； 当8a时， f x在区间23，上的最小值是73a 尖子尖子班学案班学案 3 【拓拓 2】已知函数 32 2 221 3 f xxxa x，其中aR求 f x在区间23，上的最大值和最 小值 【解析】 2 2 24221fxx
28、xaxa， 7 22 3 fa， 373fa， 当0a时， f x在R上单调递增， f x在区间23，上的最大值为 373fa，最小值为 7 2 3 a； 当0a 时，令 0fx解得 2 1 2 a x ，则 2 11 2 a ， 2 11 2 a ， a 当 2 12 2 a ，即02a时， f x在区间23，上单调递增， 12 最大值为 373fa，最小值为 7 22 3 fa； b 当 2 13 2 a ，即8a时， f x在区间23，上单调递减， 最大值为 7 22 3 fa，最小值为 373fa； c 当 2 213 2 a ，即28a时， f x在区间 2 21 2 a ，上单调递
29、减，在区间 2 13 2 a ，上单调递增， 最小值为 252 1 233 aaa fa ，最大值为 max23ff， 而 14 23 3 ffa， 当 14 2 3 a时， 最大值为 373fa， 当148 3 a时， 最大值为 7 22 3 fa； 综上所述， 当2a时， f x在区间23，上的最小值是 7 2 3 a，最大值是73a； 当 14 2 3 a时， f x在区间23，上的最小值是 52 33 aa a，最大值是73a； 当 14 8 3 a时， f x在区间23，上的最小值是 52 33 aa a，最大值是 7 2 3 a； 当8a时， f x在区间23，上的最小值是73a，
30、最大值是 7 2 3 a 【铺垫铺垫】设函数 3 ( )32f xaxx有极值，求a的取值范围 【解析】 2 33fxax 当0a时， 0fx，( )f x为实数集上的增函数，( )f x没有极值 当0a 时， 0fx有两个不相等的实根， ( )f x有极值 所以a的取值范围为0a 【例7】 已知函数存在极值，求参数范围 设函数 f x的导函数为 fx，若 32 1 1 2 f f xaxaxxa R， 用a表示 1 f ； 若函数 f x在R上存在极值，求a的范围 【追问】若函数在R上不存在极值，则a的取值范围是多少？ 【解析】 2 1 321 2 f fxaxax ，把1x 代入上式，得
31、1 11 2 f fa ， 122fa 2 322fxaxaxa 当0a 时， 20fx ，无极值，不满足假设 当0a 时，要满足存在极值，则 0fx必须有两个相异实根， 13 故0 ，即 2 44 320aa a，得03a 【追问】 03， ， 目标目标班学案班学案 3 【拓3】 （2010 北京卷 18）设函数 32 0 3 a f xxbxcxd a，且方程 90fxx的两个根分 别为1，4 当3a 且曲线 yf x过原点时，求 f x的解析式； 若 f x在 内无极值点，求a的取值范围 【解析】 由 32 3 a f xxbxcxd得 2 2fxaxbxc 因为 2 9290fxxax
32、bxcx 的两个根分别为1，4， 所以 290 168360 abc abc 当3a 时，由式得 260 8120. bc bc 解得3b ，12c 又因为曲线 yf x过原点，所以0d 故 32 312f xxxx 由于0a ，所以“ 32 3 a f xxbxcxd在 内无极值点”等价于 “ 2 20fxaxbxc 在 内恒成立” 由式得295ba，4ca 又 2 24919bacaa 解 0 9190 a aa 得1 9a， 即a的取值范围是1 9 右图是导函数 yfx的图象，试找出函数 yf x 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 【解析】 根据导函数的正负，我们可以判断
33、原函数的单调性，由 此，我们可以得到，函数在 2 xx处取得极大值，即 2 x 为极大值点；函数在 4 xx处取得极小值，即 4 x为极小 值点. 【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为 1 x和 3 x分别为极值点，但是我们要审清题意， 这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象； 另一方面，学生也会误认为 6 x为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在 5 x，一直是单调递增的， 所以 6 x不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正 负有关，与导函数的单调性无关. 14 【演练1】 已知函数 f x的导函数 fx的图象如
34、右图所示，那么函数 f x的图象最有可能的 是（ ） 【解析】 A 由( )fx的图象知( )yf x在(0) ，与(2)，上单调递增，在(0 2)，上单调递减 【演练2】 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如左图 所示，那么水瓶的形状是（ ） 【解析】 B 因为容器中总的水量（即注水量）V关于h的函数图象是增加越来越缓的，即每当h增加一 个单位增量h，V的相应增量V越来越小这说明容器的上升的液面越来越小，故选 B 【演练3】 设( )fx是函数( )f x的导函数，将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不 可能正确的是（ ） y xO
35、y xO y xO DCBA Ox y 【解析】 D 【演练4】 函数 2 1 4yx x 的单调增区间为（ ） A(0)， B 1 2 ， C(1) ， D 1 2 ， 【解析】 B 令 3 22 181 80 x yx xx ，得 1 2 x 实战演练 15 【演练5】 已知0a，函数 2 ( )(2)exf xxax设( )f x在1 1 ，上是单调函数，求a的取值范围 【解析】 对函数( )f x求导数，得 22 ( )(2)e(22 )e2(1)2 e . xxx fxxaxxaxa xa 令( )0fx，得 2 2(1)2 e0 x xa xa， 从而 2 2(1)20xa xa，
36、 解得 2 1 11xaa ， 2 2 11xaa ，其中 12 xx 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x 1 x， 1 x 12 ()xx， 2 x 2 x， ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 当( )f x在 1 xx处取到极大值，在 2 xx处取到极小值 解法 1： 因为0a，所以 12 1xx ，所以( )f x在 11，上为单调函数的充要条件是 2 1x ， 即 2 111aa ，解得 3 4 a 综上，( )f x在 1 1 ，上为单调函数的充要条件 3 4 a 即a的取值范围是 3 4 ， 解法 2： 因为0a时，所以 1 1x ，且( )
37、f x在 1 xx处取到极大值， 而 2 1x ，且( )f x在 2 xx处取到极小值， 因此，若( )f x在1 1 ，上是单调函数，则( )f x在1 1 ，上是单调减函数 ( )f x在1 1 ，上是单调减函数，等价于 0fx在区间1 1 ，上恒成立， 等价于 2 2 120xa xa在区间1 1 ，上恒成立 即 12220 12220 aa aa ， 解得 3 4 a 函数212yxx的最值为（ ） A min 5 4 y ， max 5 4 y B无最小值， max 5 4 y C min 5 4 y ，无最大值 D既无最大值也无最小值 【解析】 B 解法一： 函数的定义域为 1 2 ，对原函数求导得 1 2 12 y x ，令0y得 3 8 x ；于是 3 8 x 时 0y， 31 82 x时0y；故原函数在 3 8 ，上单调递增，在 31 82 ，上单调递减； 所以当 3 8 x 时，有 max 5 4 y； 又由于x趋向于时y同样趋向于，故原函数无最小值 大千世界 16 解法二： 换元12xt，则 2 21xt ，原函数变成 2 1ytt ，其中0t，； 而二次函数 2 2 51 1 42 yttt ，其在0，上显然有最大值 5 4 而无最小值