1、 1 1分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第二类 办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 如图，从甲地到乙地有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多 少种不同的方法？ 2分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤 有 1 m种不同的方法，做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那 么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲
2、地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？ 【教师备案】 因为我们在必修3的时候讲过计数原理， 所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下 3.1 课前回顾 满分晋级 知识点睛 概率与统计 1 级 概率默统计泪 概率与统计概率与统计 2 2 级级 黑板上排列组合，你舍黑板上排列组合，你舍 得解开吗？得解开吗？ 概率与统计 3 级 二项式定理 第 3 讲 黑板上排列组合， 你舍得解开吗？ 丙 乙 甲 乙甲 铁路2 铁路1 公路3 公路2 公路1 2 加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完 两个原理之后就可以让学生做例 1. 【例1】 两个原理 一个口袋里有 5
3、封信，另一个口袋里有 4 封信，各封信内容均不相同 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ 从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ 把这两个口袋里的 9 封信，分别投入 4 个邮筒，有多少种不同的放法？ 乘积abcdmnxyz 展开后共有多少项？ 【解析】 任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计 数原理，共有549种 各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由 分步计数原理，共有5420种. 若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有 10 种可能性，即可能装入 0，1，2，9 封信等不同情况 但再考虑第二个邮筒
4、时， 装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响， 非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有 4 种可能，第二封信 仍有 4 种可能第九封信还有 4 种可能由分类计数原理可知，共有 9 4种不同的放法 由分步计数原理得一共有42324 项 将三封不同的信投入五个信箱里，共有几种投信方法？ 【解析】 125 种 【思路】第一封信可投入 5 个信箱中任一个，故有 5 种投法；第二、三封信也可随机地投入 5 个信箱 中的任一个，各有 5 种投法，依乘法原理，共有 3 5 5 55125 种投法 【错因分析】误区：分步，第一个信箱可以不放信，放 1 封，放 2 封，放 3 封，共有
5、4 种不同的放法， 所以共有 5 4种投信方法 错误原因是对完成一件事的过程认识模糊，且对象选定不准，若第一步三封信都在第一个信 箱里，则事件已完成，不需后续几步；若五步都没有放信，则五步全做完，事件还未完成 【备选】【备选】 5 名学生从 3 项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参 赛方法？ 若 5 名学生争夺 3 项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限） ，则冠军获得者有几种不同情 况（没有并列冠军）? 【解析】 每名学生都可从 3 项体育项目中选 1 项，有 3 种选法，故 5 名学生的参赛方法有 5 3种； 每个冠军皆有可能被 5 名学生中任 1 人获得，3 个
6、冠军依次被获得的不同情况有 3 5种 1排列：一般地，从n个不同的元素中任取()m mn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？ 问题问题1：3名同学排成一行照相，有多少种排法？ 知识点睛 3.2 排列 经典精讲 3 方法方法1（枚举法）把3名同学用ABC， ，作为代号，于是有以下6种排法： ABCACBBCABACCABCBA， 方法方法2（分步计数）ABC， ，三人排成一行，可以看作将字母 ABC， ，顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置：从 AB
7、C， ，中任选1个人，有3种方法；其次排第二个位置：从 剩下的2个人中任选1人，有2种方法；最后排第三个位置：只 有1种方法.根据乘法原理，3名同学排成一行照相，共有32 16 种排法. 问题问题2：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 方法方法1（枚举法）列出每一个起点和终点情况，如图所示： 所以一共有12种机票. 方法方法2（分步计数）我们按照始点、终点站的顺序进行排列： 第一步：先确定起始站，起始站有4种选择方法；第二步：再确定终点站，对应 于起始站的每一种选择，终点站都有3种选择方法.根据乘法原理，共有4312 种机票. 问题问题3： 从4面不同颜色的旗子中， 选
8、出3面排成一行作为一种信号， 能组成多少种信号： 解决这个问题可以分三步进行： 第一步：先选第1面旗子，有4种选择方法；第二步：在剩下的3种颜色中，再选 第2面旗子，有3种选法；第三步：在剩下的2种颜色中，选最后一面旗子，有2 种选法.根据乘法原理，共有43224 种选法，而每种选法对应一种信号，故共 能组成24种信号 在上面讨论的问题中，问题 1 是从3个不同元素中取出3个元素的排列，问题 2 是从4个 不同元素中取出2个元素的排列问题，问题 3 是从4个不同元素中取出3个元素的排列问 题. 【挑战五分钟挑战五分钟】写出：从4个元素abcd， ， ，中任取2个元素的所有排列； 从5个元素ab
9、cde， ， ， ，中任取3个元素且包含e的所有排列. 【解析】 abacadbcbdcd，bacadacbdbdc， 从排列的直观意义可以看出是从中的每个排列加一个e就可以了，而e又可以随便放，所 以共有：abeaceadebcebdecde，baecaedaecbedbe dce， aebaecaedbecbedced，beaceadeacebdebdec， eabeaceadebcebdecd，ebaecaedaecbedbedc， 2排列数：从n个不同的元素中取出()m mn m n N ， ，个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am n 表示 3
10、排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn从形式上看排列数Am n 等 于从n开始的m个数相乘，比如： 3 9 A9 8 7 是从9开始的3个数相乘. 【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题，那么，对于一般的排列问题如何计算所有排列的个 数呢？ 我们把从n个不同的元素中任意取出m mn个元素的排列，看成从n个不同的球中选 出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们用乘法原理排列这些球 （如图） 盒子 1 2 3 m 北京 广州 南京 天津 北京 广州 南京 天津 北京 广州 南京 天津 天津 南京 广州 北京 4 放法数 n 1n 2n 1nm
11、 第1步：从全体n个球中选出一个放入第1个盒子，有n种选法； 第2步：从剩下的1n个球中选出一个放入第2个盒子，有1n种选法； 第3步：从剩下的2n 个球中选出一个放入第3个盒子，有2n 种选法； 第m步：从剩下的1nm个球中选出一个放入第m个盒子，有1nm种选法. 根据乘法原理，一共有121n nnnm 种放法. 4全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 A12 1! n n nnn ! A(1) (2 )(1) ! m n n n nnnm nm 【教师备案】我们可以对A(1)(2
12、)(1) m n n nnnm进行变形： A(1)(2)(1) m n n nnnm 12112 1! 12 1! nnnnmnmnmn nmnmnm 【教师备案】老师在讲排列时，建议先讲排列问题，什么是排列，让学生从直观上理解排列，多举几 个小例子，具体例子见上边排列问题中的教师备案，然后让学生写排列，这时就可以让 学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后，那排列数是多少呢？不可能每次做 题时都把所有的排列写出来，然后数一下，这时，我们就需要排列数的公式了，所以老 师就可以给学生讲解排列数公式，讲完排列数之后，要让学生熟练的运用排列数公式， 这时，就可以做例 2.学生理解排列并知道排列
13、数如何计算后，就要从直观理解排列，具 体见例 3.最后讲数字问题，在讲数字问题时，先以【铺垫】为例，给学生讲一个最简单 的排数字问题，然后再讲例 4，含有0的排数字问题. 【例2】 计算排列数 计算 3 10 A， 6 6 A， 42 88 A2A， 54 88 85 89 2A7A AA 求证： 1 1 AAA mmm nnn m 解方程 32 2 A100A xx 【解析】 3 10 A10 9 8720 ， 6 6 A6 5 4 3 2 1720 ， 42 88 A2A8 7 6 52 8 71568 ， 54 88 85 89 2A7A2 8 76 547 8 76 5 AA8 76
14、54 3 2 19 8 76 5 8 76 5 (87) 1 8 76 5 (249) . 解法一： 1 (1)! AA (1)!()! mm nn nn nmnm !1 1 ()!1 nn nmnm 1 ! A ()! (1)(1)! m n nmn mm nmnmnm ， 1 1 AAA mmm nnn m 解法二：可以从排列的直观意义解释， 1 Am n 表示从1n 个元素中取m个元素的排列个数， 其中不含某元素 1 a的有Am n 个， 故含 1 a的排列共有 1 AA mm nn 种； 含有 1 a的可这样进行排列： 先排 1 a，有m种排法，再从另外n个元素中取出1m个元素排在剩下
15、的1m个位置，有 1 Am n 种排法，故含 1 a的排法有 1 Am n m 种.所以 1 1 AAA mmm nnn m 原方程可化为2 (21)(22)100 (1)xxxx x 经典精讲 5 0x 且1x ，2125x 解得13x ，经检验13x 是原方程的根 【备选备选】学生刚接触排列，所以对排列数的计算还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面 的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题： 2 5 A _， 4 6 A _， 4 8 A _， 2 10 A_， 4 10 A_， 3 3 2A _， 5 5 A _， 5 6 A _， 8 8 A _， 43 99 AA_， 32
16、109 AA_， 32 54 5A4A_， 42 88 A4A_， 1234 4444 AAAA_， 11 48 A A _， 12 99 A A _， 8 12 7 12 A A _， 73 125 12 12 2A A A _， 37 107 A A 10! _， 54 1010 54 99 4AA AA _ 【解析】 2 5 A5 420 ； 4 6 A6 5 4 3360 ； 4 8 A8 7 6 51680 ； 2 10 A10 990 ； 4 10 A10 9 8 75040 ； 3 3 2A2 3 2 1 12 ； 5 5 A5 4 3 2 1 120 ； 5 6 A6 5 4
17、3 2720 ； 8 8 A8 7 6 5 4 3 2 140320 ； 43 99 AA9 8 7 69 8 72520 ； 32 109 AA10 9 89 8648 ； 32 54 5A4A5 5 4 34 4 3348 ； 42 88 A4A8 7 6 54 8 71456 ； 1234 4444 AAAA44 34 3 24 3 2 164 ； 11 48 A A4 832 ； 12 99 A A9 9 8648 ； 8 12 7 12 A12 11 10 9 8 76 5 5 A12 11 10 9 8 76 ； 73 125 12 12 2A A2 12 11 10 9 8 76
18、 5 4 3 1 A12 11 10 9 8 76 5 4 3 2 1 ； 37 107 A A10 9 8 76 54 3 2 1 1 10!10 9 8 76 54 3 2 1 ； 54 1010 54 99 4AA4 10 9 8 7610 9 8 7115 AA9 8 76 59 8 7612 . 【铺垫铺垫】一家有四口人，每年照一张全家福，他们突然想到一件事情，想让每年这四个人的排列方 式都不完全相同.比如今年是ABCD，明年就可以是ABDC.那么这家人的 “全家福”计划最 多可以实行多少年呢？ 这家人掐指一算，发现很快就不能继续拍了，可能过了某年之后，无论怎么排列都会和往 年重复，
19、于是这家人决定要一个小孩，这样又可以多拍几年，那么假设有了一个孩子之后， “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ 【解析】 若一家有4口人，则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片，因为4个人全排有 4 4 A24种情况，也就是24年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实 行24年. 5个人全排有 5 5 A120种情况，所以“全家福”计划最多实行120年. 【例3】 从直观上理解排列 从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少 种不同的种植方法？ 6 在某乒乓球团体赛中，有一方派了4名运动员参赛，采取三局两胜制，前两局单打，最后 一局双
20、打，每个运动员只出场一次，则有几种出场顺序？ 【追问】在2012年的伦敦奥运会中，参加乒乓球团体赛的有3个人，每名运动员出场两次，按 照五局三胜制，一、二、四、五场单打，第三场双打，并且比赛顺序是：第一场：A； 第二场：B；第三场：CA或B；第四场：A或B；第五场：C；且如果参加了双 打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打 比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场，则有多少不同的方法排定他们的出场顺序？ 【解析】 将4种不同的蔬菜品种看作4个不同的元素，则本题即为从4个不同元素中任取3个元素 的排列问题，所以不同的种植方法共有 3 4 A4 3 224 种 因为
21、前两局是单打， 所以从参赛的4名运动员中取2名运动员去打单打比赛， 最后两个人打 双打比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有 2 4 A4 312 种 【追问】 由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛， 所以有 3 3 A6 种出场顺序；又因为第三场的双打有2种情况，它唯一决定了第四场的情况，所以，一共 有 3 3 2 A12种出场顺序. 提高班学案提高班学案 1 【拓拓 1】有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 【解析】 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法， 对应于从5个元素中取出3个元素 的一个排列，因此，不同送法的种
22、数是 3 5 A5 4 360 种 尖子尖子班学案班学案 1 【拓拓 2】在2012的韩国足球联赛中共有15支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次， 共要进行多少场比赛？ 【解析】 由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从15个不同元素中 任取2个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是 2 15 A15 14210 目标班学案目标班学案 1 【拓拓 3】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.（用数字作答） 【解析】 36 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有
23、 2 4 A12种方法.由分步乘法计数原理， 共有3 1236种选法. 【铺垫铺垫】用12345， ， ， ，这五个数字： 可以组成多少个数字允许重复的五位数？ 可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ 可以组成多少个数字不允许重复的三位数？ 【解析】 由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有 5 53125个； 由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有 5 5 A120个； 由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求 三位数共有 3 5 A60个. 【例4】 数字问题 用 0，1，2，3，4，5这六个数字
24、： 7 可以组成多少个数字允许重复的六位数？ 可以组成多少个数字不允许重复的六位数？ 可以组成多少个数字允许重复的五位数？ 可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ 【解析】 先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有 5 5 638880个. 先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它 位置的数字全排就可以了. 因此所求六位数共有 5 5 5A600个. 先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求五位数共有 4 5
25、 66480个. 先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它 位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了. 因此所求五位数共有 4 5 5A600个. 提高班学案提高班学案 2 【拓 1】用0 1234， ， ， ，五个数字： 可组成多少个无重复数字的五位数？ 可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 【解析】 方法一：考虑特殊位置“万位”，从1234， ， ，中任选一个填入万位，共有4种填法，其 余四个位置，4个数字全排列为 4 4 A，故共有 4 4 4 A96个. 方法二：考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有 1 4
26、 A 种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为 4 4 A种，故共有 14 44 AA96个； 考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从13，中选一个填入个位有 1 2 A种填法，然后从剩 余3个非0数中选一个填入万位，有 1 3 A种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上 全排列，排列数为 3 3 A，故共有 113 233 AAA36个. 尖子班学案尖子班学案 2 【拓2】 用 0，1，2，3，4，5这六个数字， 可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数？ 可以组成多少个数字不允许重复且能被5整除的五位数？ 【解析】 分两类：个位是0时，有5432120 个；个位是2或4时，由
27、于万位不能为0，所以 万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有 24432192 个，所以可组成的五位偶数有120192312个 分两类：个位是0时，有5432120 个；个位是5时，由于万位不能为0，所以 万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有 443296 个，所以组成能被5整除的五位数有12096216个 目标班学案目标班学案 2 【拓3】 用 0，1，2，3，4，5这六个数字， 组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？ 组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，21350是第多少个数？ 【解析】 由题意可知，
28、组成没有重复数字的五位数共有600个，又排成的五位数中十位大于百位 的和十位小于百位的数字一样多共有 1 600300 2 个 8 万位是1的五位数有 4 5 A120个；万位是2且千位为0的五位数有 3 4 A24个；万位是2且 千位为1百位为0的五位数有 2 3 A6个；万位是2且千位为1百位为3十位为0或4的五位 数有 1 2 2 A4个.因此，在21350的前面共有154个数，所以21350是第155个数 1组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m()mn个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m 个元素的一个组合 【教师备案】2000年8月，华研国际搭上电视大国民举办储备新人的“宇宙2
29、000实力美少女争 霸战”，上千名爱唱歌的小女生站上舞台，接着淘汰，最后脱颖而出了三位音域不一、 个性迥异的新秀任家萱 S、田馥甄 H和陈嘉桦 E.后来将这三个人组成了一 个组合叫SHE，在每场演唱会上，她们都会边唱边跳，但是无论她们在台上怎么站，这 个组合都叫做SHE，不会叫HES或者ESH.所以组合与顺序没有关系. 【挑战五分钟挑战五分钟】写出：从4个元素abcd， ， ，中任取2个元素的所有组合； 从5个元素abcde， ， ， ，中任取3个元素且包含e的所有组合. 【解析】 先画一个示意图 由此即可写出所有的组合：abacadbcbdcd， 从组合的直观意义可以看出是从中的每个组合加一
30、个e就可以了，所以共有： abeaceade bcebdecde， 2组合数：从n个不同元素中，任意取出m()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 3组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n n nnnmn mm nm ， * mnN，并且mn 【教师备案】组合与排列都是从n个不同元素中取出mmn个元素的计数问题，它们的差别是：排 列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数，下面，我 们看一看能否通过排列数计算组合数. 先看一个简单情况：从3个元素abc， ，中任取2个元素的组合有abacb
31、c，3种情况， 再对每一种组合的2个元素进行排列，这样，就可以得到从3个元素中取2个元素的所有 排列（如图）. 从上面的分析可以看出，“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”这件事，可以分两 步进行： 第一步：从3个不同元素中取出2个元素，一共有 2 3 C种取法； 第二步：把取出的2个元素进行排列，一共有 2 2 A种排法.根据乘法原理，我们得到“从3个 不同的元素中选出2个元素进行排列”一共有 22 32 CA种排法，即 222 332 ACA.由此我们可 组合 排列 ab ab ba ac ac ca bc bc cb 知识点睛 3.3 组合 dcba b c d cd 9 以得出：
32、2 23 3 2 2 A3 2 C A2! . 一般地， 考虑Cm n 与Am n 的关系： 把“从n个不同的元素中选出mmn个元素进行排列” 这件事，分两步进行： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有Cm n 种取法； 第二步：把取出的m个元素进行排列，一共有Am m种排法. 根据乘法原理，我们得到“从n个不同的元素中选出mmn个元素进行排列”一共有 CA mm nm 种排法，即A=CA mmm nnm ，由此我们可以得出： 121A C = A! m mn n m m n nnnm m ，因为 ! A ! m n n nm ，所以上面的组合数公式还可 以写成： ! C ! m n
33、n m nm 4组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 【教师备案】在讲组合数的两个性质的时候我们可以利用组合数公式，来验证这两个性质；我们也可 以从下面的2个小题进行讲解： 性质1：计算“从 10 个人中选出6人参加比赛”与“从 10 个人中选出4人不参加比赛”的方 法数. 【解析】每次选出6人相当于剩下4人，所以，选出6人参加比赛和选出4人不参加比赛 的方法数是一样的.即 64 1010 CC 性质2：从10名战士和1名班长这11人中选出5人参加比武，一共有多少种方案？ 【解析】一方面，从11人中选出5人参加
34、比武，一共有 5 11 C种方案. 另一方面，选出的5人可以分为两类： 第一类：含有班长，一共有 4 10 C种方案； 第二类：不含班长，一共有 5 10 C种方案. 依据加法原理，一共有 45 1010 C +C种方案. 由此，我们得到 545 111010 CC +C. 【教师备案】老师在讲组合时，建议先讲组合问题，什么是组合，让学生从直观上理解组合，多举几 个小例子，具体例子见上边组合问题中的教师备案，然后让学生写组合，这时就可以让 学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后，那组合数又是多少呢？同样也不可 能每次做题时都把所有的组合写出来，然后数一下，这时，我们就需要组合数的公式了
35、， 所以老师就可以给学生讲解组合数公式，讲完组合数之后，要让学生熟练的运用组合数 公式，这时，就可以做例 5.学生理解组合并知道组合数如何计算后，就要从直观理解组 合，具体见例 6. 【例5】 计算组合数 计算： 43 107 CC，； 23 9999 CC 解方程： 32 1 11C24C xx . 【解析】 4 10 109 87 C210 432 1 ， 3 7 765 C35 32 1 ， 233 9999100 1009998 CCC161700 32 1 原方程可化为 !(1)! 1124 3!(3)!2!(1)! xx xx 整理得 2 11105500xx 经典精讲 10 解得
36、10x 或 5 11 x （不合题意舍去） 经检验10x 是原方程的根（应强调解组合数方程要验根） 【备选备选】学生刚接触组合，所以对组合数的计算也还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下 面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题： 2 5 C _， 4 7 C _， 5 8 C _， 2 9 C _， 5 10 C_， 3 15 C_， 2 35 C_， 48 50 C_， 98 100 C_， 43 99 CC_， 32 109 CC_， 32 54 5C4C_， 42 88 C2C_， 1234 4444 CCCC_， 11 48 C C _， 12 99 C C _， 8 12
37、7 12 C C _， 73 125 12 12 2C C C _， 37 107 C C 10! _， 54 1010 53 99 4CC CC _ 【解析】 2 5 C10； 4 7 C35； 5 8 C56； 2 9 C36； 5 10 C252； 3 15 C455； 2 35 C595； 48 50 C1225； 98 100 C4950； 43 99 CC42； 32 109 CC84； 32 54 5C4C74； 42 88 C2C14； 1234 4444 CCCC15； 11 48 C C32； 12 99 C C324； 8 12 7 12 C5 C8 ； 73 125 1
38、2 12 2C C 15840 C ； 37 107 C C1 10!30240 ； 54 1010 53 99 4CC 19 CC 【铺垫铺垫】李代沫在中国好声音的文化测试中，需从5个试题中任意选答3题，问： 有几种不同的选题方法？ 若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？ 【解析】 所求不同的选题方法数，就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数，即 3 5 C10种 因为已有一道题必选，所以只要在另外4道题中选2道，不同的选题方法有 2 4 C6种 【例6】 从直观上理解组合 现有10名学而思高中数学教师，其中男教师6名，女教师4 名 现要从中选2名去参加非诚勿扰，有多少种不同的选法？
39、现要从中选出男、女教师各2名去参加，有多少种不同的选法？ 【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上 24 个女士（其中包括学而思派出 去的两个女老师） ，那么学而思的两位男老师去相亲，最终都成功且相亲对象不是学 而思女老师的情况有多少种 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的 选修方案共有种.（用数字作答） 【解析】 从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的 组合数，即 2 10 C45种 从6名男教师中选2名的选法有 2 6 C种，从4名女教师中选2名的选法有 2 4 C，根据分步乘 法计数原理，因
40、此共有不同的选法 22 64 C C90种 【追问】2221462 96 甲选2门有 2 4 C6种选法，乙、丙各有 3 4 C4种选法，由分步乘法计数原理可知，共有 64496 种选法. 11 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排 列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排 列，然后再给那“一捆元素”内部排列 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法，其它的方
41、法我们放到同步再去 讲解，所以老师可以先以【铺垫】为例，讲解捆绑和插空，然后让学生做例 7，例 7 是直接就可以看出捆绑和插空的， 例 7从表面上看不出来是捆绑还是插空， 但是仔细 分析一下题就知道是插空. 【铺垫铺垫】2名女生、4名男生排成一排，问： 2名女生相邻的不同排法共有多少种？ 2名女生不相邻的不同排法共有多少种？ 【解析】 因为2名女生必须相邻，所以可以将2名女生看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一 排，不同的排法有 5 5 A种.又因为2名相邻的女生有 2 2 A种排法，因此不同的排法种数是 52 52 A A120 2240 2名女生不相邻的排列可分2步完成： 第一步：将4
42、名男生排成一排，有 4 4 A种排法； 第二步：排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在每2名男生之间及两端共5个位 置中选出2个排2名女生，有 2 5 A种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是 42 45 A A24 20480 【例7】 捆绑、插空 求不同的排法种数： 6 男 2 女排成一排，2 女相邻； 6 男 2 女排成一排，2 女不能相邻； 4 男 4 女排成一排，同性別者相邻； 4 男 4 女排成一排，同性別者不能相邻 一排有九个座位，将六个人依次坐好，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？ 【解析】 是“相邻”问题，用捆绑法解决： 27 27 A A10080 是
43、“不相邻”问题，可以用插空法直接求解6 男先排，再在 7 个空位中排 2 女，即用插 空法解决： 62 67 A A30240. 是“相邻”问题，应先捆绑后排位： 442 442 A A A1152. 是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： 441 442 A A A1152. 【点评】对于很多学生会写成 44 45 A A，但是这种写法是错误的，因为当排完男生（或女生） 之后，从5个空选4个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）相邻了 九个座位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可 3.4 排列组合的一些典型题型 经典精讲 知识点睛 12
44、 以看做将六个人先依次坐好有 6 6 A种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之 间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有 3 5 C中不同的“插入”方法.根据乘 法原理共有 63 65 A C7200种不同的坐法. 提高班学案提高班学案 3 【拓 1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数 6 人排成一排，甲、乙必须相邻； 6 人排成一排，甲、乙不相邻. 【解析】 将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他 4 人一起作全排列共有 25 25 A A240种排法 甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4 人的左、 右及之间的空挡插位，共有 42 45 A A480 尖子班学案尖子班学案 3 【拓 2】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法 甲、乙、丙三人一定相邻 甲、乙、丙三人不能相邻 【解析】 把甲、乙、丙看成一个整体，有 3 3 A种排法；把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全 排，有 5 5 A种排法，共有 35 35 A A720种排法 把除去甲、乙、丙的四个人全排，有 4 4 A种排法；因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空 法，有 3 5 A种排法，共有 43 45 A A1440种排法 目标目标班学案班学案 3 【拓