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高二理科数学寒假讲义第3讲 黑板上排列组合你舍得解开吗? 教师版

1、 1 1分类加法计数原理:做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有 1 m种不同的方法,在第二类 办法中有 2 m种方法,在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 如图,从甲地到乙地有3条公路,2条铁路,某人要从甲地到乙地,共有多 少种不同的方法? 2分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成n个子步骤,做第一个步骤 有 1 m种不同的方法,做第二个步骤有 2 m种不同方法,做第n个步骤有 n m种不同的方法那 么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 如图,从甲地到乙地有3条道路,从乙地到丙地有2条道路,那么从甲

2、地经乙地到丙地共有多少种不同的方法? 【教师备案】 因为我们在必修3的时候讲过计数原理, 所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下 3.1 课前回顾 满分晋级 知识点睛 概率与统计 1 级 概率默统计泪 概率与统计概率与统计 2 2 级级 黑板上排列组合,你舍黑板上排列组合,你舍 得解开吗?得解开吗? 概率与统计 3 级 二项式定理 第 3 讲 黑板上排列组合, 你舍得解开吗? 丙 乙 甲 乙甲 铁路2 铁路1 公路3 公路2 公路1 2 加法和乘法原理,老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理,讲完 两个原理之后就可以让学生做例 1. 【例1】 两个原理 一个口袋里有 5

3、封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内容均不相同 从两个口袋中任取一封信,有多少种不同的取法? 从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? 把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮筒,有多少种不同的放法? 乘积abcdmnxyz 展开后共有多少项? 【解析】 任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事,因此是两类办法,用分类计 数原理,共有549种 各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能算完成了这件事,因此应分两个步骤完成,由 分步计数原理,共有5420种. 若以邮筒装信的可能性考虑,第一个邮筒有 10 种可能性,即可能装入 0,1,2,9 封信等不同情况 但再考虑第二个邮筒

4、时, 装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响, 非常麻烦;若以每封信投入邮筒的可能性考虑,第一封信投入邮筒有 4 种可能,第二封信 仍有 4 种可能第九封信还有 4 种可能由分类计数原理可知,共有 9 4种不同的放法 由分步计数原理得一共有42324 项 将三封不同的信投入五个信箱里,共有几种投信方法? 【解析】 125 种 【思路】第一封信可投入 5 个信箱中任一个,故有 5 种投法;第二、三封信也可随机地投入 5 个信箱 中的任一个,各有 5 种投法,依乘法原理,共有 3 5 5 55125 种投法 【错因分析】误区:分步,第一个信箱可以不放信,放 1 封,放 2 封,放 3 封,共有

5、4 种不同的放法, 所以共有 5 4种投信方法 错误原因是对完成一件事的过程认识模糊,且对象选定不准,若第一步三封信都在第一个信 箱里,则事件已完成,不需后续几步;若五步都没有放信,则五步全做完,事件还未完成 【备选】【备选】 5 名学生从 3 项体育项目中选择参赛,若每一名学生只能参加一项,则有多少种不同的参 赛方法? 若 5 名学生争夺 3 项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限) ,则冠军获得者有几种不同情 况(没有并列冠军)? 【解析】 每名学生都可从 3 项体育项目中选 1 项,有 3 种选法,故 5 名学生的参赛方法有 5 3种; 每个冠军皆有可能被 5 名学生中任 1 人获得,3 个

6、冠军依次被获得的不同情况有 3 5种 1排列:一般地,从n个不同的元素中任取()m mn个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列 (其中被取的对象叫做元素) 【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题,这些问题有什么共同特征呢? 问题问题1:3名同学排成一行照相,有多少种排法? 知识点睛 3.2 排列 经典精讲 3 方法方法1(枚举法)把3名同学用ABC, ,作为代号,于是有以下6种排法: ABCACBBCABACCABCBA, 方法方法2(分步计数)ABC, ,三人排成一行,可以看作将字母 ABC, ,顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置:从 AB

7、C, ,中任选1个人,有3种方法;其次排第二个位置:从 剩下的2个人中任选1人,有2种方法;最后排第三个位置:只 有1种方法.根据乘法原理,3名同学排成一行照相,共有32 16 种排法. 问题问题2:北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票? 方法方法1(枚举法)列出每一个起点和终点情况,如图所示: 所以一共有12种机票. 方法方法2(分步计数)我们按照始点、终点站的顺序进行排列: 第一步:先确定起始站,起始站有4种选择方法;第二步:再确定终点站,对应 于起始站的每一种选择,终点站都有3种选择方法.根据乘法原理,共有4312 种机票. 问题问题3: 从4面不同颜色的旗子中, 选

8、出3面排成一行作为一种信号, 能组成多少种信号: 解决这个问题可以分三步进行: 第一步:先选第1面旗子,有4种选择方法;第二步:在剩下的3种颜色中,再选 第2面旗子,有3种选法;第三步:在剩下的2种颜色中,选最后一面旗子,有2 种选法.根据乘法原理,共有43224 种选法,而每种选法对应一种信号,故共 能组成24种信号 在上面讨论的问题中,问题 1 是从3个不同元素中取出3个元素的排列,问题 2 是从4个 不同元素中取出2个元素的排列问题,问题 3 是从4个不同元素中取出3个元素的排列问 题. 【挑战五分钟挑战五分钟】写出:从4个元素abcd, , ,中任取2个元素的所有排列; 从5个元素ab

9、cde, , , ,中任取3个元素且包含e的所有排列. 【解析】 abacadbcbdcd,bacadacbdbdc, 从排列的直观意义可以看出是从中的每个排列加一个e就可以了,而e又可以随便放,所 以共有:abeaceadebcebdecde,baecaedaecbedbe dce, aebaecaedbecbedced,beaceadeacebdebdec, eabeaceadebcebdecd,ebaecaedaecbedbedc, 2排列数:从n个不同的元素中取出()m mn m n N , ,个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数,用符号Am n 表示 3

10、排列数公式:A(1)(2)(1) m n n nnnm,mn N,并且mn从形式上看排列数Am n 等 于从n开始的m个数相乘,比如: 3 9 A9 8 7 是从9开始的3个数相乘. 【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题,那么,对于一般的排列问题如何计算所有排列的个 数呢? 我们把从n个不同的元素中任意取出m mn个元素的排列,看成从n个不同的球中选 出m个球,放入排好的m个盒子中,每个盒子里放一个球,我们用乘法原理排列这些球 (如图) 盒子 1 2 3 m 北京 广州 南京 天津 北京 广州 南京 天津 北京 广州 南京 天津 天津 南京 广州 北京 4 放法数 n 1n 2n 1nm

11、 第1步:从全体n个球中选出一个放入第1个盒子,有n种选法; 第2步:从剩下的1n个球中选出一个放入第2个盒子,有1n种选法; 第3步:从剩下的2n 个球中选出一个放入第3个盒子,有2n 种选法; 第m步:从剩下的1nm个球中选出一个放入第m个盒子,有1nm种选法. 根据乘法原理,一共有121n nnnm 种放法. 4全排列:一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘:正整数由1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用!n表示规定:0!1 A12 1! n n nnn ! A(1) (2 )(1) ! m n n n nnnm nm 【教师备案】我们可以对A(1)(2

12、)(1) m n n nnnm进行变形: A(1)(2)(1) m n n nnnm 12112 1! 12 1! nnnnmnmnmn nmnmnm 【教师备案】老师在讲排列时,建议先讲排列问题,什么是排列,让学生从直观上理解排列,多举几 个小例子,具体例子见上边排列问题中的教师备案,然后让学生写排列,这时就可以让 学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后,那排列数是多少呢?不可能每次做 题时都把所有的排列写出来,然后数一下,这时,我们就需要排列数的公式了,所以老 师就可以给学生讲解排列数公式,讲完排列数之后,要让学生熟练的运用排列数公式, 这时,就可以做例 2.学生理解排列并知道排列

13、数如何计算后,就要从直观理解排列,具 体见例 3.最后讲数字问题,在讲数字问题时,先以【铺垫】为例,给学生讲一个最简单 的排数字问题,然后再讲例 4,含有0的排数字问题. 【例2】 计算排列数 计算 3 10 A, 6 6 A, 42 88 A2A, 54 88 85 89 2A7A AA 求证: 1 1 AAA mmm nnn m 解方程 32 2 A100A xx 【解析】 3 10 A10 9 8720 , 6 6 A6 5 4 3 2 1720 , 42 88 A2A8 7 6 52 8 71568 , 54 88 85 89 2A7A2 8 76 547 8 76 5 AA8 76

14、54 3 2 19 8 76 5 8 76 5 (87) 1 8 76 5 (249) . 解法一: 1 (1)! AA (1)!()! mm nn nn nmnm !1 1 ()!1 nn nmnm 1 ! A ()! (1)(1)! m n nmn mm nmnmnm , 1 1 AAA mmm nnn m 解法二:可以从排列的直观意义解释, 1 Am n 表示从1n 个元素中取m个元素的排列个数, 其中不含某元素 1 a的有Am n 个, 故含 1 a的排列共有 1 AA mm nn 种; 含有 1 a的可这样进行排列: 先排 1 a,有m种排法,再从另外n个元素中取出1m个元素排在剩下

15、的1m个位置,有 1 Am n 种排法,故含 1 a的排法有 1 Am n m 种.所以 1 1 AAA mmm nnn m 原方程可化为2 (21)(22)100 (1)xxxx x 经典精讲 5 0x 且1x ,2125x 解得13x ,经检验13x 是原方程的根 【备选备选】学生刚接触排列,所以对排列数的计算还不是很熟悉,要求学生加强训练,老师可以从下面 的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题: 2 5 A _, 4 6 A _, 4 8 A _, 2 10 A_, 4 10 A_, 3 3 2A _, 5 5 A _, 5 6 A _, 8 8 A _, 43 99 AA_, 32

16、109 AA_, 32 54 5A4A_, 42 88 A4A_, 1234 4444 AAAA_, 11 48 A A _, 12 99 A A _, 8 12 7 12 A A _, 73 125 12 12 2A A A _, 37 107 A A 10! _, 54 1010 54 99 4AA AA _ 【解析】 2 5 A5 420 ; 4 6 A6 5 4 3360 ; 4 8 A8 7 6 51680 ; 2 10 A10 990 ; 4 10 A10 9 8 75040 ; 3 3 2A2 3 2 1 12 ; 5 5 A5 4 3 2 1 120 ; 5 6 A6 5 4

17、3 2720 ; 8 8 A8 7 6 5 4 3 2 140320 ; 43 99 AA9 8 7 69 8 72520 ; 32 109 AA10 9 89 8648 ; 32 54 5A4A5 5 4 34 4 3348 ; 42 88 A4A8 7 6 54 8 71456 ; 1234 4444 AAAA44 34 3 24 3 2 164 ; 11 48 A A4 832 ; 12 99 A A9 9 8648 ; 8 12 7 12 A12 11 10 9 8 76 5 5 A12 11 10 9 8 76 ; 73 125 12 12 2A A2 12 11 10 9 8 76

18、 5 4 3 1 A12 11 10 9 8 76 5 4 3 2 1 ; 37 107 A A10 9 8 76 54 3 2 1 1 10!10 9 8 76 54 3 2 1 ; 54 1010 54 99 4AA4 10 9 8 7610 9 8 7115 AA9 8 76 59 8 7612 . 【铺垫铺垫】一家有四口人,每年照一张全家福,他们突然想到一件事情,想让每年这四个人的排列方 式都不完全相同.比如今年是ABCD,明年就可以是ABDC.那么这家人的 “全家福”计划最 多可以实行多少年呢? 这家人掐指一算,发现很快就不能继续拍了,可能过了某年之后,无论怎么排列都会和往 年重复,

19、于是这家人决定要一个小孩,这样又可以多拍几年,那么假设有了一个孩子之后, “全家福”计划最多可以实行多少年呢? 【解析】 若一家有4口人,则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片,因为4个人全排有 4 4 A24种情况,也就是24年内可以不重复,以后就会出现重复,所以“全家福”计划最多实 行24年. 5个人全排有 5 5 A120种情况,所以“全家福”计划最多实行120年. 【例3】 从直观上理解排列 从4种不同的蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,有多少 种不同的种植方法? 6 在某乒乓球团体赛中,有一方派了4名运动员参赛,采取三局两胜制,前两局单打,最后 一局双

20、打,每个运动员只出场一次,则有几种出场顺序? 【追问】在2012年的伦敦奥运会中,参加乒乓球团体赛的有3个人,每名运动员出场两次,按 照五局三胜制,一、二、四、五场单打,第三场双打,并且比赛顺序是:第一场:A; 第二场:B;第三场:CA或B;第四场:A或B;第五场:C;且如果参加了双 打比赛,就不能参加后面的单打比赛;不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打 比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场,则有多少不同的方法排定他们的出场顺序? 【解析】 将4种不同的蔬菜品种看作4个不同的元素,则本题即为从4个不同元素中任取3个元素 的排列问题,所以不同的种植方法共有 3 4 A4 3 224 种 因为

21、前两局是单打, 所以从参赛的4名运动员中取2名运动员去打单打比赛, 最后两个人打 双打比赛就可以了,所以不同的出场顺序共有 2 4 A4 312 种 【追问】 由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛, 所以有 3 3 A6 种出场顺序;又因为第三场的双打有2种情况,它唯一决定了第四场的情况,所以,一共 有 3 3 2 A12种出场顺序. 提高班学案提高班学案 1 【拓拓 1】有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 【解析】 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法, 对应于从5个元素中取出3个元素 的一个排列,因此,不同送法的种

22、数是 3 5 A5 4 360 种 尖子尖子班学案班学案 1 【拓拓 2】在2012的韩国足球联赛中共有15支球队参加,每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次, 共要进行多少场比赛? 【解析】 由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛,所以一场比赛相当于从15个不同元素中 任取2个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是 2 15 A15 14210 目标班学案目标班学案 1 【拓拓 3】从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、 乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答) 【解析】 36 文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有

23、 2 4 A12种方法.由分步乘法计数原理, 共有3 1236种选法. 【铺垫铺垫】用12345, , , ,这五个数字: 可以组成多少个数字允许重复的五位数? 可以组成多少个数字不允许重复的五位数? 可以组成多少个数字不允许重复的三位数? 【解析】 由于数字允许重复,故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有 5 53125个; 由于数字不允许重复,故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有 5 5 A120个; 由于数字不允许重复,故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求 三位数共有 3 5 A60个. 【例4】 数字问题 用 0,1,2,3,4,5这六个数字

24、: 7 可以组成多少个数字允许重复的六位数? 可以组成多少个数字不允许重复的六位数? 可以组成多少个数字允许重复的五位数? 可以组成多少个数字不允许重复的五位数? 【解析】 先选首位数字,由于0不能作首位数字,因此有5种选法;由于数字允许重复,故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有 5 5 638880个. 先选首位数字,由于0不能作首位数字,因此有5种选法;由于数字不允许重复,故其它 位置的数字全排就可以了. 因此所求六位数共有 5 5 5A600个. 先选首位数字,由于0不能作首位数字,因此有5种选法;由于数字允许重复,故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求五位数共有 4 5

25、 66480个. 先选首位数字,由于0不能作首位数字,因此有5种选法;由于数字不允许重复,故其它 位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了. 因此所求五位数共有 4 5 5A600个. 提高班学案提高班学案 2 【拓 1】用0 1234, , , ,五个数字: 可组成多少个无重复数字的五位数? 可组成多少个无重复数字的五位奇数? 【解析】 方法一:考虑特殊位置“万位”,从1234, , ,中任选一个填入万位,共有4种填法,其 余四个位置,4个数字全排列为 4 4 A,故共有 4 4 4 A96个. 方法二:考虑特殊元素“0”,先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入,有 1 4

26、 A 种填法,然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为 4 4 A种,故共有 14 44 AA96个; 考虑特殊位置个位和万位,先填个位,从13,中选一个填入个位有 1 2 A种填法,然后从剩 余3个非0数中选一个填入万位,有 1 3 A种填法,包含0在内还有3个数在中间三个位置上 全排列,排列数为 3 3 A,故共有 113 233 AAA36个. 尖子班学案尖子班学案 2 【拓2】 用 0,1,2,3,4,5这六个数字, 可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数? 可以组成多少个数字不允许重复且能被5整除的五位数? 【解析】 分两类:个位是0时,有5432120 个;个位是2或4时,由

27、于万位不能为0,所以 万位有4种选法;千位有4种选法;百位有3种选法;十位有2种选法,故共有 24432192 个,所以可组成的五位偶数有120192312个 分两类:个位是0时,有5432120 个;个位是5时,由于万位不能为0,所以 万位有4种选法;千位有4种选法;百位有3种选法;十位有2种选法,故共有 443296 个,所以组成能被5整除的五位数有12096216个 目标班学案目标班学案 2 【拓3】 用 0,1,2,3,4,5这六个数字, 组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个? 组成没有重复数字的五位数,由小到大排列,21350是第多少个数? 【解析】 由题意可知,

28、组成没有重复数字的五位数共有600个,又排成的五位数中十位大于百位 的和十位小于百位的数字一样多共有 1 600300 2 个 8 万位是1的五位数有 4 5 A120个;万位是2且千位为0的五位数有 3 4 A24个;万位是2且 千位为1百位为0的五位数有 2 3 A6个;万位是2且千位为1百位为3十位为0或4的五位 数有 1 2 2 A4个.因此,在21350的前面共有154个数,所以21350是第155个数 1组合:一般地,从n个不同元素中,任意取出m()mn个元素并成一组,叫做从n个元素中任取m 个元素的一个组合 【教师备案】2000年8月,华研国际搭上电视大国民举办储备新人的“宇宙2

29、000实力美少女争 霸战”,上千名爱唱歌的小女生站上舞台,接着淘汰,最后脱颖而出了三位音域不一、 个性迥异的新秀任家萱 S、田馥甄 H和陈嘉桦 E.后来将这三个人组成了一 个组合叫SHE,在每场演唱会上,她们都会边唱边跳,但是无论她们在台上怎么站,这 个组合都叫做SHE,不会叫HES或者ESH.所以组合与顺序没有关系. 【挑战五分钟挑战五分钟】写出:从4个元素abcd, , ,中任取2个元素的所有组合; 从5个元素abcde, , , ,中任取3个元素且包含e的所有组合. 【解析】 先画一个示意图 由此即可写出所有的组合:abacadbcbdcd, 从组合的直观意义可以看出是从中的每个组合加一

30、个e就可以了,所以共有: abeaceade bcebdecde, 2组合数:从n个不同元素中,任意取出m()mn个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素 中,任意取出m个元素的组合数,用符号Cm n 表示 3组合数公式: (1)(2)(1)! C !()! m n n nnnmn mm nm , * mnN,并且mn 【教师备案】组合与排列都是从n个不同元素中取出mmn个元素的计数问题,它们的差别是:排 列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数,下面,我 们看一看能否通过排列数计算组合数. 先看一个简单情况:从3个元素abc, ,中任取2个元素的组合有abacb

31、c,3种情况, 再对每一种组合的2个元素进行排列,这样,就可以得到从3个元素中取2个元素的所有 排列(如图). 从上面的分析可以看出,“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”这件事,可以分两 步进行: 第一步:从3个不同元素中取出2个元素,一共有 2 3 C种取法; 第二步:把取出的2个元素进行排列,一共有 2 2 A种排法.根据乘法原理,我们得到“从3个 不同的元素中选出2个元素进行排列”一共有 22 32 CA种排法,即 222 332 ACA.由此我们可 组合 排列 ab ab ba ac ac ca bc bc cb 知识点睛 3.3 组合 dcba b c d cd 9 以得出:

32、2 23 3 2 2 A3 2 C A2! . 一般地, 考虑Cm n 与Am n 的关系: 把“从n个不同的元素中选出mmn个元素进行排列” 这件事,分两步进行: 第一步:从n个不同元素中取出m个元素,一共有Cm n 种取法; 第二步:把取出的m个元素进行排列,一共有Am m种排法. 根据乘法原理,我们得到“从n个不同的元素中选出mmn个元素进行排列”一共有 CA mm nm 种排法,即A=CA mmm nnm ,由此我们可以得出: 121A C = A! m mn n m m n nnnm m ,因为 ! A ! m n n nm ,所以上面的组合数公式还可 以写成: ! C ! m n

33、n m nm 4组合数的两个性质:性质 1:CC mn m nn ;性质 2: 1 1 CCC mmm nnn (规定 0 C1 n ) 【教师备案】在讲组合数的两个性质的时候我们可以利用组合数公式,来验证这两个性质;我们也可 以从下面的2个小题进行讲解: 性质1:计算“从 10 个人中选出6人参加比赛”与“从 10 个人中选出4人不参加比赛”的方 法数. 【解析】每次选出6人相当于剩下4人,所以,选出6人参加比赛和选出4人不参加比赛 的方法数是一样的.即 64 1010 CC 性质2:从10名战士和1名班长这11人中选出5人参加比武,一共有多少种方案? 【解析】一方面,从11人中选出5人参加

34、比武,一共有 5 11 C种方案. 另一方面,选出的5人可以分为两类: 第一类:含有班长,一共有 4 10 C种方案; 第二类:不含班长,一共有 5 10 C种方案. 依据加法原理,一共有 45 1010 C +C种方案. 由此,我们得到 545 111010 CC +C. 【教师备案】老师在讲组合时,建议先讲组合问题,什么是组合,让学生从直观上理解组合,多举几 个小例子,具体例子见上边组合问题中的教师备案,然后让学生写组合,这时就可以让 学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后,那组合数又是多少呢?同样也不可 能每次做题时都把所有的组合写出来,然后数一下,这时,我们就需要组合数的公式了

35、, 所以老师就可以给学生讲解组合数公式,讲完组合数之后,要让学生熟练的运用组合数 公式,这时,就可以做例 5.学生理解组合并知道组合数如何计算后,就要从直观理解组 合,具体见例 6. 【例5】 计算组合数 计算: 43 107 CC,; 23 9999 CC 解方程: 32 1 11C24C xx . 【解析】 4 10 109 87 C210 432 1 , 3 7 765 C35 32 1 , 233 9999100 1009998 CCC161700 32 1 原方程可化为 !(1)! 1124 3!(3)!2!(1)! xx xx 整理得 2 11105500xx 经典精讲 10 解得

36、10x 或 5 11 x (不合题意舍去) 经检验10x 是原方程的根(应强调解组合数方程要验根) 【备选备选】学生刚接触组合,所以对组合数的计算也还不是很熟悉,要求学生加强训练,老师可以从下 面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题: 2 5 C _, 4 7 C _, 5 8 C _, 2 9 C _, 5 10 C_, 3 15 C_, 2 35 C_, 48 50 C_, 98 100 C_, 43 99 CC_, 32 109 CC_, 32 54 5C4C_, 42 88 C2C_, 1234 4444 CCCC_, 11 48 C C _, 12 99 C C _, 8 12

37、7 12 C C _, 73 125 12 12 2C C C _, 37 107 C C 10! _, 54 1010 53 99 4CC CC _ 【解析】 2 5 C10; 4 7 C35; 5 8 C56; 2 9 C36; 5 10 C252; 3 15 C455; 2 35 C595; 48 50 C1225; 98 100 C4950; 43 99 CC42; 32 109 CC84; 32 54 5C4C74; 42 88 C2C14; 1234 4444 CCCC15; 11 48 C C32; 12 99 C C324; 8 12 7 12 C5 C8 ; 73 125 1

38、2 12 2C C 15840 C ; 37 107 C C1 10!30240 ; 54 1010 53 99 4CC 19 CC 【铺垫铺垫】李代沫在中国好声音的文化测试中,需从5个试题中任意选答3题,问: 有几种不同的选题方法? 若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法? 【解析】 所求不同的选题方法数,就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数,即 3 5 C10种 因为已有一道题必选,所以只要在另外4道题中选2道,不同的选题方法有 2 4 C6种 【例6】 从直观上理解组合 现有10名学而思高中数学教师,其中男教师6名,女教师4 名 现要从中选2名去参加非诚勿扰,有多少种不同的选法?

39、现要从中选出男、女教师各2名去参加,有多少种不同的选法? 【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师,台上 24 个女士(其中包括学而思派出 去的两个女老师) ,那么学而思的两位男老师去相亲,最终都成功且相亲对象不是学 而思女老师的情况有多少种 甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的 选修方案共有种.(用数字作答) 【解析】 从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的 组合数,即 2 10 C45种 从6名男教师中选2名的选法有 2 6 C种,从4名女教师中选2名的选法有 2 4 C,根据分步乘 法计数原理,因

40、此共有不同的选法 22 64 C C90种 【追问】2221462 96 甲选2门有 2 4 C6种选法,乙、丙各有 3 4 C4种选法,由分步乘法计数原理可知,共有 64496 种选法. 11 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排 列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排 列,然后再给那“一捆元素”内部排列 插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空 【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法,其它的方

41、法我们放到同步再去 讲解,所以老师可以先以【铺垫】为例,讲解捆绑和插空,然后让学生做例 7,例 7 是直接就可以看出捆绑和插空的, 例 7从表面上看不出来是捆绑还是插空, 但是仔细 分析一下题就知道是插空. 【铺垫铺垫】2名女生、4名男生排成一排,问: 2名女生相邻的不同排法共有多少种? 2名女生不相邻的不同排法共有多少种? 【解析】 因为2名女生必须相邻,所以可以将2名女生看成1个元素,与4名男生共5个元素排成一 排,不同的排法有 5 5 A种.又因为2名相邻的女生有 2 2 A种排法,因此不同的排法种数是 52 52 A A120 2240 2名女生不相邻的排列可分2步完成: 第一步:将4

42、名男生排成一排,有 4 4 A种排法; 第二步:排2名女生,由于2名女生不相邻,于是可以在每2名男生之间及两端共5个位 置中选出2个排2名女生,有 2 5 A种排法.根据分步计数原理,不同的排法种数是 42 45 A A24 20480 【例7】 捆绑、插空 求不同的排法种数: 6 男 2 女排成一排,2 女相邻; 6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻; 4 男 4 女排成一排,同性別者相邻; 4 男 4 女排成一排,同性別者不能相邻 一排有九个座位,将六个人依次坐好,若每个空位两边都坐有人,共有多少种不同的坐法? 【解析】 是“相邻”问题,用捆绑法解决: 27 27 A A10080 是

43、“不相邻”问题,可以用插空法直接求解6 男先排,再在 7 个空位中排 2 女,即用插 空法解决: 62 67 A A30240. 是“相邻”问题,应先捆绑后排位: 442 442 A A A1152. 是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解: 441 442 A A A1152. 【点评】对于很多学生会写成 44 45 A A,但是这种写法是错误的,因为当排完男生(或女生) 之后,从5个空选4个空的时候有可能两个端点都选,这样中间就会有男生(或女生)相邻了 九个座位六个人坐,空了三个坐位,每个空位两边都有人,等价于三个空位互不相邻,可 3.4 排列组合的一些典型题型 经典精讲 知识点睛 12

44、 以看做将六个人先依次坐好有 6 6 A种不同的坐法,再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之 间的五个“间隙”(不包括两端)之中的三个不同的位置上有 3 5 C中不同的“插入”方法.根据乘 法原理共有 63 65 A C7200种不同的坐法. 提高班学案提高班学案 3 【拓 1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数 6 人排成一排,甲、乙必须相邻; 6 人排成一排,甲、乙不相邻. 【解析】 将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他 4 人一起作全排列共有 25 25 A A240种排法 甲乙不相邻,第一步除甲乙外的其余 4 人先排好;第二步,甲、乙选择已排好的 4 人的左、 右及之间的空挡插位,共有 42 45 A A480 尖子班学案尖子班学案 3 【拓 2】4男3女排成一排,在下列条件下分别有多少种不同的排法 甲、乙、丙三人一定相邻 甲、乙、丙三人不能相邻 【解析】 把甲、乙、丙看成一个整体,有 3 3 A种排法;把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全 排,有 5 5 A种排法,共有 35 35 A A720种排法 把除去甲、乙、丙的四个人全排,有 4 4 A种排法;因为甲、乙、丙不相邻,所以采用插空 法,有 3 5 A种排法,共有 43 45 A A1440种排法 目标目标班学案班学案 3 【拓