1、课前准备,同学们，课本、练习本、笔，你准备好了吗？,第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（1）,1. 反比例函数的定义：,3. 反比例函数的确定：,4.它的三种常见的表示形式：,2. 反比例函数的特征：,k 0, x 0. x的指数是-1,待定系数法.,xy = k（k 0）,y=kx-1（k0）,复习回顾,引入新课,、下列函数，哪些是y关于x的反比例函数？ ,y = 3x-1,y = 2x2,2、已知ABC的面积为12，则ABC的高h与它的底边a的函数关系式为,3、已知y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:,(1)求出这个反比例函数的表达式;,思考:表中能否增加x=0或
2、y=0的值,为什么?,(2)根据函数表达式完成上表.,-,函数图象的画法,列 表,描 点,连 线,描点法,反比例函数的图象又会是什么样子呢?,你还记得作函数图象的一般步骤吗?,用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).,回忆：函数关系有哪些表示方法？ 一次函数的图象是什么样子呢?,（表达式法、列表法、图象法）,合作交流,探究新知,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-
3、5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,O,-6,-5,5,6,x,y,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,6,1,6,-1,-6,-2,-3,-3,-1.5,-2,-4,-5,-1.2,-6,-1,-6,6,3,-3,2,-2,1.5,-1.5,1.2,-1.2,1,-1,反比例函数图象的画法步骤：,列 表,描 点,连 线,描点法,注意：列 x与y的对应值表时，x的值不能为0，但仍可以在0的左右均匀、对称地取值。,注意：描点时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。,注意： 两个分支合起来才是反比例函数图象。,讨 论,反比例函数的性质,1.当k0时,图象的两个分支分 别
4、在第一、三象限内；,2.当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。,3.图象的两个分支关于直角 坐标系的原点成中心对称。,x,O,如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？,4.双曲线无限接近于x轴、y轴, 但永远不会与坐标轴相交,练习 1,二,四,m 2,三,例2 已知反比例函数 的图象的一 支如图. (1)判断k是正数还是负数; (2)求这个反比例函数的表达式; (3)补画这个反比例函数图象的 另一支.,A .,想一想:从反比例函数图象的一个分支分到另一个分支,可以看作是怎样的图形变换?,B(-4,2) .,D .,C .,D,C,任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k,长方形
5、的面积为,面积不变性,三角形的面积为,m n k,课内练习：,3.如图,P是反比例函数 图象上的一点,PDx轴于D. 则POD的面积为 .,4.如图,P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线, 若阴影部分的面积为3,则这个反比 例函数的关系式是 .,2,拓展:,（1）m=4,（2） SABC=8,1、在直角坐标系中，直线y=x+m-1与双曲线 在第一象限交于点A，与x轴交于点C，ABx轴，垂足为B，且SAOB=2。求： （1）m的值； （2）ABC的面积。,B,梳理概括,形成结构,请大家围绕以下三个问题小结本节课 什么是反比例函数? 反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象,
6、 反比例函数的性质是什么?,形状 位置 变化趋势 对称性 面积不变性,你能总结一下反比例函数的图象性质特征吗?,图象是双曲线,当k0时,双曲线分别位于第一、三象限内 当k0时, 双曲线分别位于第二、四象限内,双曲线是中心对称图形,形状,位置,变化趋势,对称性,双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与 坐标轴相交,为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所提供信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关
7、于x的函数 关系式为 ，自变量 x的取值范围 ， 药物燃烧后y关于x的函数关系式 为 ；,适度拓展,探究思考,（2）研究表明，每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经 过 min，学生才能回教室。,30,（3）研究表明，每立方米的 含药量不低于3mg且持续时间 不低于10min时，才能有效杀 灭空气中的病菌，那么此次消 毒是否有效？为什么？,已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时y = 7，求 y与 x 的函数关系式。,已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。,例 3,根据图形写出函数的表达
8、式。,第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（2）,双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.,反比例函数的性质,复习题：,1反比例函数 的图象经过点（-1，2）， 那么这个反比例函数的表达式为 ，图象在 第 象限， 它的图象关于 成中心对称 2反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点A（1，m），则m ，反比例函数 的表达式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ,二、四,坐标原点,2,(-1,-2),它与 关于 成轴对称。,坐标轴,合作完成,两个分支 关于原点 成中心 对称,两个分支 关于原点 成中心 对称,在第一、 三象限内,在第二、 四象限内,?,?,
9、第三象限,第一象限,x的值从小到大,x的值从小到大,y的值从大到小,y的值从大到小,1.当k0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小,第二象限,第四象限,2.当k0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。,y的值从小到大,y的值从小到大,x的值从小到大,x的值从小到大,当 时，在 内， 随 的增大而 ,观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:,A,B,C,D,A,B,C,D,减少,每个象限,当 时，在 内， 随 的增大而 ,增大,每个象限,正、反比例函数的图象与性质的比较：,直线,双曲线,k0，一、三象限；,k0，二、四象限,k0，y随x的增大而增大；,k0，一、三象
10、限；,k0，二、四象限,k0，y随x的增大而减小,k0，在每个象限内y随x的增大而减小；,k0，在每个象限内y随x的增大而增大,图象,位置,请大家解决这个问题,-2,-3,1用“”或“”填空： （1）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值若 ，则 （2）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值若 ，则 ,2已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）,3已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ,C,（1）当x5时，0 y 1。 （2）当x5时，则y 1或y
11、。 （3）当y5时，求x的取值范围。,0,0 x 1,4已知反比例函数 ,探索思考,解不等式,A,B,当-1x0 或 x3时, y1y2 。,1,C,A(3,1),B(-1,-3),探索思考,即不等式 的解为-1x0 或 x3。,当-1x0 或 x3时, 一次函数的值大于反比例函数的值 。,从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。,例2：, 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；,解:（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米, 所以所求的函数表达式为 。,自变量t的取值范围是,v随t的增大
12、而减小，由v160得,解：因为自变量t的取值范围是 ，即在题设条件下， 火车到B市的最短时间为45分钟，所以火车不可能在40分钟 内到达B市。在50分钟内到达是有可能的，此时由 t 可得 144v160。,（2）从A市开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达B市可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？ 如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？,例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）。,（1）求此反比例函数的表达式； 画出图像； 并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。,（2） 根据图像，得若y1,则x的取值范围是 ； 若x 1，则y的取值范围是 。,（3） 若点（x1，y1
13、), （x2，y2), （x3，y3)均在此函数图像上，且x1 0 x2 x3，请比较y1，y2，y3的大小。,（ 4 ）若过点A作APx轴于点P，求三角形AOP的面积。,（5）若D，E，F是此反比例函数在第三象限的图象上的三个点，过D，E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，连结OD，OE，OF，设ODM，OEN，OFK的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论成立的是 ( ),A. S1S2 S3 B .S1S2 S3 C. S1S3 S2 D.S1=S2=S3,（7）连结OA,OB,设点C是直线AB与y轴的交点, 求SAOB;,y,（8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;,
14、(6) 求经过点A，B的一次函数的表达式;,o,A(1,4),（-4,-1）,（9）在x轴上找一点P，使PAPC最短，求点P的坐标.,C,2.若自变量x的取值范围为2x9，作出该函数的图象，并给出函数值y的取值范围。,1.作反比例函数y= 的图象。,记面积为18cm的平行四边形的一条边长为x（cm）， 这条边上的高为y（cm）。 求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围。 在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的图象。 求当边长满足0 x 15时，这条边上的高y的取值范围。,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,O,2,4,6,8,10,12,1
15、4,16,x,y,18,20,22,1.2,15,P(m,n),x,S=,P1(3,2),P2(1,6),m n k,SABC=k,S四边形ABCD=2k,B,D,x,1.如图，已知双曲线 (x0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k的值是_。,变式,2.如图，在反比例函数 （x0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3， 则S1S2S3_,y,x,P1,P2,P3,P4,S1,O,1,2,3,4,拓展:,（1）m=4,（2）SABC
16、=8,1、在直角坐标系中，直线y=x+m-1与双曲线 在第一象限交于点A，与x轴交于点C，ABx轴，垂足为B，且SAOB=2。 （1）求m的值； （2）求ABC的面积。,B,4. 如图，直线l和双曲线ykx(k0)交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与点A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连结OA，OB，0P，设AOC的面积为S1 ，BOD的面积为S2 ，POE的面积为S3，则（ ）,5.如图，已知A（-4，2），B（n,-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象的两个交点。 （）求此反比例函数和一次函数的表达式； （）根据图象写出使一次函数的
17、值小于反比例函数的值的x的取值范围。,6.下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为t 时，平均速度为v千米/时，且平均速度限定为不超过160 千米/时。, 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；, 画出所求函数的图象；, 从杭州开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达余姚可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？,O,25,50,75,100,125,150,175,y,x,0.75,1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,7.在函数 （a为常数）的图象上有三点 ，函数值 的大小关系是（ ） （A）y2y3y1 （B）y3y2y1 （C）y1y3y2 （D）y3y1y2,D,P3,P1,P2,