1、课前准备,同学们，课本、练习本、笔，你准备好了吗？,第4章 平行四边形 4.1 多边形（1）,想一想,比一比,你能根据三角形的定义类比出多边形的定义吗？,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫三角形,在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形，叫做多边形组成多边形的各条线段叫做多边形的边.,边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形.类似地，边数为5的多边形叫五边形边数为n的多边形叫n边形.,以四边形为例，了解构成多边形的元素,顶点,内角,边,对角线,外角,构成四边形的元素,不能记作：四边形ACBD,记法：从任一顶点开始按顺时
2、针或逆时针顺序记。如四边形ABCD或四边形ADCB等。,A和C是对角,B和D是对角,凸四边形,凹四边形,注：本套教科书所说的多边形，都指凸多边形，即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧,四边形的各条边都在任意 一条边所在直线的同一侧,四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧,拿起你手中的四边形剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？,猜：四边形的四个内角和是多少？,四边形的内角和等于360 ,探索：四边形的内角和等于360 ,已知：四边形ABCD（如图）。 求证：A+B+ C+ D=360 。,证
3、明：连结AC。, B+BAC+ BCA =180 ， D+DCA+ CAD =180 (三角形三个内角的和等于180 )，, B+BAC+ BCA+ D+DCA+ CAD =180+ 180= 360，,即BAD+B+BCD+D=360 。,你还有其他添辅助线方法求四边形的内角和吗？,探索： 四边形的内角和等于360 ,证明思路： 四边形的内角和=3个三角形的内角和-1个平角 =3180180 =360,O,证明思路： 四边形的内角和=4个三角形的内角和-1个周角 =4180360 =360,探索： 四边形的内角和等于360 ,探索： 四边形的内角和等于360 ,证明思路： 四边形的内角和=3
4、个三角形的内角和-1个三角形的内角和=3180180=360,探索： 四边形的内角和等于360 ,证明思路： 四边形的内角和=2个三角形的内角和+1对同旁内角的和-2个直角 =2180+ 180 180=360,探索： 四边形的内角和等于360 ,E,过点D作DEBC,证明思路： 四边形的内角和=1个三角形的内角和+2对同旁内角的和 -1个平角 =180+2 180 180 =360,证明思路： 四边形的内角和=2个平角+1个三角形的内角和-1个三 角形的内角和=2180+ 180 180 =360,探索： 四边形的内角和等于360 ,证明思路： 四边形的内角和=4个三角形的内角和-1个周角
5、=4180-360 =360,O。,探索： 四边形的内角和等于360 ,E,证明思路： 四边形的内角和=1个周角=360,探索： 四边形的内角和等于360 ,E,F,证明思路： 四边形的内角和=2个三角形的内角和=2180=360,探索： 四边形的内角和等于360 ,探索： 四边形的内角和等于360 ,四边形问题通常要转化为 来解决，而连接 是其常用辅助线之一,三角形,对角线,例1 如图，四边形风筝的四个内角A，B，C，D的度数之比为110.61，求它的四个内角的度数,解：设A为x.由题意可得,B，C，D分别为x，0.6x，x.,A+B+C+D=360,（四边形的内角和为3600）,x+x+0
6、.6x+x=360,解得 x=100,A=B=D=100，C=60,2、在四边形ABCD中，A与C互补，B80， 求D的度数。,1、如图，在四边形ABCD中，A=85,D110, 1的外角是71，则1_，2_。,109 ,56,做一做,100 ,变式：在四边形ABCD中，A与C互补，B比D大15，求D的度数。,82.5,1四边形最多有_个直角，最多有_个钝角。,4,3,练一练,2在四边形ABCD中,A90,B:C:D =1:2:3，求B 的度数。,45,3.如图，在四边形ABCD中， A=B，D= C，求证:DC/AB。,练一练,4如图，在四边形ABCD中,AC，B=D。 （1）找出互相平行的
7、边； （2）若A与B的度数之比是2:1，求各内角的度数。,AD/BC,AB/CD,A=C=120，B=D=60,A,1,D,E,C,F,B,2,在四边形ABCD中, A=C= 90,BE平分ABC,交CD于点E,DF平分ADC,交AB于点F.求证:BEDF.,证明： A=C= 90， ABC+ ADC=360- A-C=180., BE平分ABC ,DF平分ADC, 2= ABC, 1= ADC., 2 + 1= ABC + ADC =90., A=90, AFD+1=90., 2 =AFD, BEDF.,提高题,如图，有一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是半径为1米的扇形花坛，则花坛的总面
8、积是 ( ) A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2,C,你能用全等的任意四边形纸片既不重复、又不留空隙地组成一幅镶嵌图吗？为什么？,镶嵌的秘密,理由：四边形的内角和为3600,（）小彤每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？,（）她每跑完一圈， 身体转过的角度之和 是多少？,1，2，3，4,1+2+3+4 = ？,小彤拿着风筝沿着一个四边形公园周围的小路，按逆时针方向跑了一圈,5,四边形的外角和等于360,已知：如图， , , ,是四边形的四个外角。 求：+ + =？,解: 1+ =2+ = 3+ 4+= 180， 1+ +2+ 3+ 4+ =4 180= 720， 即(
9、 1+2 + 3 + 4)+ ( + + +) = 720. + + +=360(四边形的内角和是360), + + + = 720 360= 360.,推论: 四边形的外角和等于360.,第4章 平行四边形 4.1 多边形（2）,合作学习,仔细思考，并请填写下表：,2,3,3,4,3180,4180,n-3,n-2,（n2）180,连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.,3180o-1180o=360o,4180o-2180o=360o,5180o-3180o=360o,6180o-4180o=360o,n180o-(n-2)180o=360o,多边形的外角和是360,n边形的内
10、角和为 。,n边形从一个顶点出发的对角线有 条。,n边形共有对角线 条。,(n3)(n3),(n3),(n2)180(n3),归纳小结,任何多边形的外角和等于 。,360,1、求十边形的内角和与外角和。 2、已知一个多边形的内角和为900，这个多边形是几边形？ 3、已知一个多边形的每一个外角都是72，求这个多边形的边数。,1440 360,七边形,五边形,练一练,4、一个内角和为1620的多边形有多少条对角线?,44条,变式：已知一个多边形的每一个内角都是108，则这个多边形的边数为_.,5,6、已知六边形的各内角相等，问：各内角、外角分别是多少度？,5、在五边形ABCDE中，若A=D=90o
11、,且 B:C:E=3:2:4,则C的度数为_.,80o,7、已知多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形？,四边形,120o,60o,8、一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为1980o，那么原多边形是几边形？,十二边形,练一练,9、如图，点E，F，G，H在长方形ABCD的四条边上，已知1=2=30，3=20。求五边形FGCHE各个内角的度数。,EFG=100o,FGC=110o,C=90o,CHE=150o,HEF=90o,例1、一个六边形如图，已知ABDE，BCEF，CDAF，求ACE的度数。,ABDE， CDAF（已知）,13，24 （两直线平行，内错角相等）,1
12、+23+4， 即FABCDE，同理BE，CF.,FABCE= 720=360.,思考：有没有其他的解法？,FAB+ABC+BCD+CDEDEFAFE=（6-2）180=720,如图：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成PQR。, DEAB， 1=R,同理2=R， 12，,CDE=FAB，,同理AFEBCD， ABC=DEF.,FABBCDDEF= 720=360.,解法二：,变式：六边形ABCDEF的每个内角的度数是120,且AF=AB=3,BC=CD=2. 求DE，EF的长度,DE=4,3,3,2,2,EF=1,1.王大意在计算某多边形的内角和时，得到的答案是2070，老师发现他
13、把其中一个外角也加了进去。你知道王大意计算的是几边形的内角和吗？那个加进去的外角是多少度？,拓展提升,十一边形,加进去的外角是90,2.如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形的面积之和是 （结果保留）. 第1个 第2个 第3个 ,拓展提升,3.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则=（ ）,A、30,B、40,C、80,D、不存在,B,拓展提升,四边形的内角和是多少度?怎样得到的？,四边形的外角和是多少度?,四边形的内角和是360，通过画对角线把四边形问题化归为三角形问题来解决。,温故知新,三角形,六边形,四边形,八边形,五边形,是解决多边形问题的常用辅助线,对角线,多边形问题 三角形问题,转化,（未知）,（已知）,