1、课前准备,同学们，课本、练习本、笔，你准备好了吗？,第5章 特殊平行四边形 5.1 矩形（1）,合作学习,用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）.,（1）能摆成多少个不同的平行四边形？ 它们有什么共同特点？说出你的理由.,（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平 行四边形？说出你的理由.,（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？,a,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,（）矩形的定义：,（）实质上：矩形是特殊的平行四边形.,（）矩形的表示：矩形ABCD.,一个角是直角,想一想： 你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形？,矩形的性质的研究,我们已经知道矩
2、形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗?,五、矩形的两条对角线互相平分,三、矩形的两组对角分别相等,二、矩形的两组对边分别相等,一、矩形的两组对边分别平行,四、矩形的邻角互补,六、矩形是一个中心对称图形,四个角都是直角.,对角线相等.,如图，四边形ABCD是矩形。,O,探索矩形的特殊性质：,(1)矩形的四个角的度数分别为多少？,(2)对角线AC与BD间有什么关系？,由动手操作时猜想“矩形的四个角都是直角”, 请你结合图形,说明一下理由.(不必写出过程),性质定理1： 矩形的四个角都是直角.,符号语言：, 四边形ABCD是矩形，, A=
3、B=C=D=90.,矩形特有的性质,由动手操作时猜想“矩形的对角线相等”.请你写出证明过程：,性质定理2： 矩形的对角线相等,符号语言：,四边形ABCD是矩形，,AC=BD.,已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线,求证：AC=BD.,证明：,在矩形ABCD中,AB=CD(平行四边形的对边相等),ABC=DCB=90(矩形的四个角都是直角),BC=CB,ABCDCB,AC=BD.,探究一：,在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.,OA,OB,OC,OD这四条线段有什么数量关系？,OA=OB=OC=OD.,想一想: 如上图,矩形的两条对角线把矩形分成了几个等腰三角形? 图中一共有几个直角
4、三角形？有几对全等三角形？请把他们写出来.,又OA=OC= AC,OB=OD= BD, AC=BD,OA=OB=OC=OD.,解：,(平行四边形的对角线互相平分),四边形ABCD是矩形,(矩形的对角线相等).,在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.,探究二：,（1）若AOD=120，试判断ABO的形状；,（2）若AOD=120, AB=4cm, 你能求出哪些线段的长度？,你能求出这个矩形的周长和面积吗？,方法归纳: 这个例题说明很多矩形的问题可以转化为 什么图形来解决？,4,ABO为等边三角形,矩形 问题,直角三角形和等腰三角形问题,例 已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点0, A
5、OD=120, AB = 4 cm, 求：（1）判断AOB的形状； （2）矩形对角线的长.,A,B,C,D,120,O,4,1.在矩形ABCD中,AEBD于E， 若BE=OE=1，则AC=_, AB_,AOB=_.,2.在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点. 求证：四边形AEFD是矩形.,练一练,第2题图,2,4,60,A,B,C,D,O,探索矩形的对称性:,矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形,想一想,矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条?,是中心对称图形吗？,练一练,在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知AB=6，BC=8， (1)求AC= ，BD= 。 (2)矩形ABC
6、D的周长是 ，面积是 。,10,10,28,48,6,8,已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE/BD，交AB的延长线于E。 求证：CAE=CEA。,相信你,一定行,如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点E处，BE交CD于点F。已知ABD=30. （1）求CDE的度数。 （2）求证：EF=FC。,F,E,我能行,请你当设计师,某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形地成轴对称图形，请在矩形中画出你的设计方案。,矩形的四个角都是直角., 矩形的性质定理1,矩形的对角线相等., 矩形的性质定理
7、2, 矩形的对称性,矩形是中心对称图形, 又是轴对称图形.,这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？,跳一跳,够得着!,已知:如图,在矩形ABCD中,M为BC的中点. 求证:,（2）若要使AMD是直角，应添加什么条件？,（1）AM=DM.,1.一个定义：,2.两个定理:,3.两个结论:,(1)矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形划分成四个等腰三角形,有八对全等三角形。,(2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。,这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？,如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， 求证：四边形AEFD是矩形。,D,F,C,A,E,B,做一做,已知:如图,过矩形ABCD
8、的顶点作CE/BD，交AB的延长线于点E。 求证：CAE=CEA。,相信你,一定行,第5章 特殊平行四边形 5.1 矩形（2）,回顾：矩形有哪些性质？,(1)AB/CD且AB=CD，AD/BC且 AD=BC,(2)ABC=BCD=ADC=BAD=90O,(3) OA=OB=OC=OD （矩形的对角线相等且互相平分）,木工师傅 (1)测量两组对边,发现两组对边分别相等; (2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角. 由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗?,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,你知道吗？,矩形的定义：,2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？,A,B,C,D
9、,矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.,几何语言：,A=B=C=90， 四边形ABCD是矩形,1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？,合作学习,请大家自己进行证明,逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。,真命题,（1）测量两组对边,发现两组对边分别相等; （2）测量对角线，发现两条对角线相等.,由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗?（用所学的知识去证明）,A,B,C,D,已知：,如图，在ABCD中，AC=BD,求证：,ABCD是矩形,想一想,你觉得矩形还有其他判定方法吗？,证法一,A,B,C,D,证明：,在ABCD中，AB=CD,又AC=BD，BC=CB,ABCDC
10、B,ABC=DCB,又ABC+DCB=180,ABC=DCB=90,ABCD是矩形,已知：,如图，在ABCD中，AC=BD,求证：,ABCD是矩形,A,B,C,D,O,在ABCD中，AO=OC，BO=DO，,证明：,又AC=BD,AO=BO=CO,OAB=OBA，OBC=OCB,OAB+OBA+OBC+OCB=180,OBA+OBC=90即ABC=90,ABCD是矩形,证法二,已知：,如图，在ABCD中，AC=BD,求证：,ABCD是矩形,A,B,C,D,矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。,几何语言：,AC=BD,ABCD是矩形,矩形有几种判定方法？,有一个角是直角的平行四边形叫
11、做矩形（定义） 有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1） 对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）,矩形,有一个角是直角,对角线相等,有三个角是直角,方法总结：,1、判断下列命题是否正确，并说明理由。,（1）对角互补的平行四边形是矩形。,（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。,（3）对角线相等的四边形是矩形。,（4）内角都相等的四边形是矩形。,练一练,2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH. 求证：四边形EFGH是矩形.,证明：,在矩形ABCD中， AC=BD ， AO=CO=BO=DO,AE=CG=BF=DH, OE=OG=OF=OH,四边形E
12、FGH是平行四边形.,四边形EFGH是矩形.,又 EG=FH,例 已知:如图,在 ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O,12. 求证：四边形ABCD是矩形.,证明: 在ABCD中,OAOC,OBOD (平行四边形的对角线互相平分). 又12, OAOB. OAOBOCOD,即ACBD. 四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).,变式练习 已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD且1=2 . 求证：四边形ABCD是矩形.,问题一张四边形纸板ABCD的形状如图， （）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？,四边形
13、ABCD满足什么情况下中点四边形EFGH为矩形？并说明理由,解：分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，可剪得中点四边形EFGH为平行四边形,两条对角线互相垂直，ACBD,例2 一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？,理由如下：,GH是ACD的中位线,GHAC,ACBD,90,（三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半）,2190,EH是ABD的中位线,EHBD,3290.,（三角形的中位线平行于第三边）,同理可得：490， 590,四边形EFGH是矩形,
14、（有三个角是直角的四边形是矩形）,做一做,1.已知：如图，RtABCRtCDA，且AD的对应边是CB，B=D=90。 求证：四边形ABCD是矩形。,A,D,C,B,2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形MNPQ是矩形。,做一做,3.在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c）， C（-a，-b），D（-a，-c）（a0，bc）。若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由。,做一做,谈谈你的收获、感受！,判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形,判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的判定方法：,矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形,