1、文科数学第 1页（共 5页） 江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷 文科数学 （满分：150 分考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的） 1已知i为虚数单位，则复数 53i 32i A 919 i 1313 B 919 i 1313 C 919 i 1313 D 919 i 1313 2已知集合U R， 4 |log (1)Ax yx， |23,By yxxA，则() U AB A(1,5)B(1,5 C(5,) D(1,) 3双曲线 22 :1 1648 xy C的右
2、焦点到一条渐近线的距离为 A2 3B2C4 3D4 4 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题： 三三今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ 三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步问为田几何？ 翻译为：三三现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步问这块田面积是多少？ 三四又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是 A问题三三中扇形的面积为240平方步B问题三四中扇形的面积为 5049 4 平方步 C问题三三中扇形的面积为60平方步D问题三四中扇形的面积为 5049 2 平方步 5运行如图所示的程序框图，若输入的 a
3、 的值为 2 时，输出的 S 的值为20，则判断框中可以填 文科数学第 2页（共 5页） Ak3？Bk4？Ck5？Dk6？ 6若(, ) 2 ， 7 cos2 25 ，则 sin 3 sin() 2 A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 7在三棱柱 111 ABCA BC中，已知ABAC， 1 AA 平面 111 ABC，则下列选项中，能使异面直线 1 BC与 1 AC 相互垂直的条件为 A 1 45ACAB45ABC C四边形 11 ABB A为正方形D四边形 11 BCC B为正方形 8已知非零实数m，n满足 22 |mmnn，则下列结论错误的是 Aln | ln | mn B
4、11 |mn C| |sin | |sin |mmnn D 22 mn 9在ABC中，已知60ACB，BM MC ，| 3AM ，则ABC的面积的最大值为 A 9 3 4 B 9 3 2 C 3 D2 3 10已知函数( )3sin3cos3,0, f xxxm x有3个零点，则实数m的取值范围为 A( 1,1) B( 1,1 C1,2D 1,1) 11已知函数 (4) ( )e 1 x x x f x x ， 0,)x，现有如下四个结论： 函数 ( )f x的极大值为 13 2e ；函数 ( )f x的最小值为0； 函数 ( )f x在0, 3 1)上单调递减；函数 ( )f x在( 3 1
5、,)上单调递减 文科数学第 3页（共 5页） 则上述结论正确的是 ABCD 12已知四面体ABCD的外接球的球心为O，点O在四面体ABCD内部， 3 2 BCOA，ABACAD过 点A作平面截球O得到圆面O，若圆O的面积的最大值为16，且BCD为等边三角形，则四面 体ABCD的表面积为 A18( 133)B18( 39 3)C9( 393)D9( 133) 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量 (3,2)m ， ( ,1)n ，其中R若向量m与23mn共线，则_ 14已知实数x，y满足 240 2 0 xy y xy ，则 3zxy 的最大值为_ 15已
6、知函数 ( )f x的定义域为 9,9 ，其图象关于原点对称，且当 (0,9x 时( )3213 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集为_（用区间表示） 16 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 正 方 形MNPQ关 于 坐 标 轴 对 称 ， 且 点 , ,M N P Q在 椭 圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab上，设椭圆C的右焦点为F，若点F在正方形MNPQ内部（不包括边界） ，则 椭圆C的离心率e的取值范围为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 为了调查抑郁症患者的
7、发病情况与睡眠时间是否具有相关性，研究人员随机调查了200名抑郁症患者， 统计了他们近250天每天的睡眠时间 （1）某抑郁症患者近250天每天的睡眠时间的统计数据如下表所示，求该抑郁症患者这250天的日平 均睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； 睡眠时间（小时） 1,2)2,3)3,4)4,5 频数（天）151008550 （2）将这200名抑郁症患者这250天的发病次数与日平均睡眠时间进行统计，得到如下表所示的22 列联表，请将该22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠时间的长短”与“发病 次数的多少”有关系？ 睡眠时间少于4小时睡眠时间不少于4小时总计
8、文科数学第 4页（共 5页） 发病次数不小于5次60 发病次数小于5次20 总计100 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 18 （本小题满分 12 分） 如图， 四边形ABCD为菱形，120ABC，MNAC，BMD为等边三角形， 且平面AMD与平面BNC 无公共点 （1）求证：CN平面ABM； （2）若2AB ， 3AM ，求三棱锥NBCD的体积 19 （本
9、小题满分 12 分） 已知首项为 1 2 的数列 n a满足 11 21 nnn aaa ，记数列 n a的前n项和为 n S （1）求 2 S， 3 S的值； （2）求证：数列 1 1 n a 是等差数列； （3）求数列 1 4 1 n n a 的前n项和 n T 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx与过点(2,0)的直线l交于M，N两点 （1）若| 8 3MN ，求直线l的方程； （2）若 1 2 MPMN ，PQ y 轴，垂足为Q，探究：以PQ为直径的圆是否过定点？若是，求出该定 点的坐标；若不是，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 文科数学第 5页（共
10、5页） 已知函数 2 ( )ln2f xaxx，aR （1）探究函数 ( )f x的极值点情况； （2）求证：当 (0,)x时， 2 e( )0 x axf x恒成立，其中e为自然对数的底数 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 ( 2 xt t yt 为参数)，曲线 1 C的参数方程为 1cos sin x y (为参数)，曲线 1 C与x轴交于O，A两点以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系 （1）求直线l的普通方程及曲线 1 C的极坐标方程； （2）若直线l与曲线 2 2: 4Cyx在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线 1 C上，求 |PN的最小值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （1）已知x，y，z均为正数，且 1 8 64 xyz ，求证：(82)(82)(82)27xyz； （2）已知实数m，n满足1m ， 1 2 n ，求证： 2222 24142m nmnm nmn