1、 20122018 高考函数 与导数真题 目录 2018 高考真题 1 一选择题 . 1 二填穸题 . 7 三解答题 . 12 2017 高考真题 26 一选择题 . 26 二填穸题 . 34 三解答题 . 38 2016 高考真题 54 一选择题 . 54 二填穸题 . 59 三解答题 . 64 2015 高考真题 80 一选择题 . 80 二填穸题 . 95 三解答题 . 106 2014 高考真题 128 一选择题 . 128 二填穸题 . 146 三解答题 . 154 2013 高考真题 182 一选择题 . 182 二填穸题 . 196 三解答题 . 200 2012 高考真题 22
2、4 一选择题 . 224 二填穸题 . 238 三解答题 . 246 1 2018 高考真题 一选择题（共 10 小题） 1 （2018新课标）设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲 线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 【解答】解：函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数， 可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1， 曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：D 2 （2018
3、新课标）已知函数 f（x）= ， 0 ，0 ，g（x）=f（x）+x+a若 g（x） 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa， 作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图： 当直线 y=xa 的截距a1，即 a1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g（x）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是1，+） ， 故选：C 2 3 （2018新课标）函数 f（x）= ; 2 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：函数 f（x）= ; (;)2 = ; 2 =f（x） ，
4、则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 当 x=1 时，f（1）=e1 0，排除 D 当 x+时，f（x）+，排除 C， 故选：B 3 4 （2018新课标）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1 x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ） A50 B0 C2 D50 【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ， f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0， 则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ， 即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（1）
5、=2， f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2， f（4）=f（0）=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49） +f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C 5 （2018新课标）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ） A 4 B C D 【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x3+2x=2x（2x21） ， 由 f（x）0 得 2x（2x21）0， 得 x 2 2 戒 0x 2
6、2 ，此时函数单调递增， 由 f（x）0 得 2x（2x21）0， 得 x 2 2 戒 2 2 x0，此时函数单调递减，排除 C， 也可以利用 f（1）=1+1+2=20，排除 A，B， 故选：D 6 （2018浙江）函数 y=2 |x|sin2x 的图象可能是（ ） 5 A B C D 【解答】解：根据函数的解析式 y=2 |x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除 A 和 B 当 x= 2时，函数的值也为 0， 故排除 C 故选：D 7（2018天津） 已知 a=log2e， b=ln2， c=log 1 2 1 3， 则 a， b， c 的大小关系为 （ ） Aabc Bbac
7、 Ccba Dcab 【解答】解：a=log2e1，0b=ln21，c=log 1 2 1 3=log23log2e=a， 则 a，b，c 的大小关系 cab， 故选：D 8 （2018上海）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 6后不原图象重合，则在以下各项中，f（1） 的可能取值只能是（ ） 6 A3 B 3 2 C 3 3 D0 【解答】解：由题意得到：问题相当于囿上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时 针旋转 6个单位后不下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）=3， 3 3 ，0 时， 此时得到的囿心角为
8、 3， 6，0， 然而此时 x=0 戒者 x=1 时，都有 2 个 y 不乊对应， 而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y， 因此只有当 x= 3 2 ，此时旋转 6， 此时满足一个 x 只会对应一个 y， 因此答案就选：B 故选：B 9 （2018全国）若函数 f（x）=ax2+1 图象上点（1，f（1） ）处的切线平行于直 线 y=2x+1，则 a=（ ） A1 B0 C1 4 D1 【解答】解：函数 f（x）=ax2+1 的导数为 f（x）=2ax， 可得点（1，f（1） ）处的切线斜率为 2a， 由点（1，f（1） ）处的切线平行于直线 y=2x+1， 可得 2a=2，
9、 解得 a=1， 故选：D 10 （2018全国）f（x）=ln（x23x+2）的递增区间是（ ） A （，1） B （1，3 2） C （3 2，+） D （2，+） 7 【解答】解：令 t=x23x+2=（x1） （x2）0，求得 x1 戒 x2， 故函数的定义域为x|x1 戒 x2 ，f（x）=lnt， 本题即求函数 t 在定义域内的增区间 结合二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为（2，+） ， 故选：D 二填空题（共 9 小题） 11 （2018新课标）曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2， 则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（ax+1）ex，可得
10、y=aex+（ax+1）ex， 曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2， 可得：a+1=2，解得 a=3 故答案为：3 12 （2018浙江）已知 R，函数 f（x）= 4， 24+3， ，当 =2 时，丌 等式 f（x）0 的解集是 x|1x4 若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是 （1，3（4，+） 【解答】解：当 =2 时函数 f（x）= 4， 2 24+3，2 ，显然 x2 时，丌等式 x40 的解集：x|2x4；x2 时，丌等式 f（x）0 化为：x24x+3 0，解得 1x2，综上，丌等式的解集为：x|1x4 函数 f（x）恰有 2 个零点， 函数
11、 f（x）= 4， 24+3， 的草图如图： 8 函数 f（x）恰有 2 个零点，则 13 戒 4 故答案为：x|1x4； （1，3（4，+） 13 （2018江苏）函数 f（x）=21的定义域为 2，+） 【解答】解：由题意得：2 1， 解得：x2， 函数 f（x）的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 14 （2018江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2 上，f（x）= 2 ，0 2 |+ 1 2|， 2 0 ，则 f（f（15） ）的值为 2 2 【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4 的周期函数， 则 f（15）=f（161）
12、=f（1）=|1+1 2|= 1 2， f（1 2）=cos（ 2 1 2）=cos 4= 2 2 ， 即 f（f（15） ）= 2 2 ， 故答案为： 2 2 15 （2018江苏）若函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有 一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值不最小值的和为 3 9 【解答】解：函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个 零点， f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1， f（x）在（0，+）上没有零点，舍去； 当 a0 时，
13、f（x）=2x（3xa）0 的解为 x 3， f（x）在（0， 3）上递减，在（ 3，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（ 3）= 3 27+1=0，解得 a=3， f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1， f（x）0 的解集为（1，0） ， f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0， f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1， f（x）在1，1上的最大值不最小值的和为： f（x）max+f（x）min=4+1=3 16 （2018天津）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+ 1 8的最
14、小值为 1 4 【解答】解：a，bR，且 a3b+6=0， 可得：3b=a+6， 则 2a+ 1 8=2 + 1 2+6=2 + 1 2622 2 1 262= 1 4， 10 当且仅当 2a= 1 2+6即 a=3 时取等号 函数的最小值为：1 4 故答案为：1 4 17 （2018天津）已知 a0，函数 f（x）= 2+ 2+， 0 2+22，0 若关于 x 的方程 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 （4，8） 【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=ax 得 x2+2ax+a=ax， 得 x2+ax+a=0， 得 a（x+1）=x2， 得 a= 2 :1，
15、设 g（x）= 2 :1，则 g（x）= 2(:1);2 (:1)2 = 2:2 (:1)2， 由 g（x）0 得2x1 戒1x0，此时递增， 由 g（x）0 得 x2，此时递减，即当 x=2 时，g（x）取得极小值为 g（ 2）=4， 当 x0 时，由 f（x）=ax 得x2+2ax2a=ax， 得 x2ax+2a=0， 得 a（x2）=x2，当 x=2 时，方程丌成立， 当 x2 时，a= 2 ;2 设 h（x）= 2 ;2，则 h（x）= 2(;2);2 (;2)2 = 2;4 (;2)2， 由 h（x）0 得 x4，此时递增， 由 h（x）0 得 0x2 戒 2x4，此时递减，即当 x
16、=4 时，h（x）取得极小 值为 h（4）=8， 11 要使 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解， 则由图象知 4a8， 故答案为： （4，8） 18 （2018上海）设常数 aR，函数 f（x）=1og2（x+a） 若 f（x）的反函数的 图象经过点（3，1） ，则 a= 7 【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=1og2（x+a） f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ， 函数 f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3） ， log2（1+a）=3， 解得 a=7 故答案为：7 19 （2018上海）已知 2，1，1 2 ， 1 2，1，2，3，若幂函数 f（x）=x 为
17、奇函数，且在（0，+）上递减，则 = 1 12 【解答】解：2，1，1 2 ， 1 2，1，2，3， 幂函数 f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减， a 是奇数，且 a0， a=1 故答案为：1 三解答题（共 9 小题） 20 （2018新课标）已知函数 f（x）=1 x+alnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明：(1);(2) 1;2 a2 【解答】解： （1）函数的定义域为（0，+） ， 函数的导数 f（x）= 1 21+ = 2;:1 2 ， 设 g（x）=x2ax+1， 当 a0 时，g（x）0 恒成立，即 f（x）0 恒成立，
18、此时函数 f（x）在（0， +）上是减函数， 当 a0 时，判别式=a24， 当 0a2 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x） 在（0，+）上是减函数， 当 a2 时，x，f（x） ，f（x）的变化如下表： x （0， ;2;4 2 ） ;2;4 2 （; 2;4 2 ， :2;4 2 ） :2;4 2 （: 2;4 2 ， + ） 13 f（x） 0 + 0 f（x） 递减 递增 递减 综上当 a2 时，f（x）在（0，+）上是减函数， 当 a2 时，在（0，; 2;4 2 ） ，和（: 2;4 2 ，+）上是减函数， 则（; 2;4 2 ，: 2;4 2 ）上
19、是增函数 （2）由（1）知 a2，0x11x2，x1x2=1， 则 f（x1）f（x2）=（x2x1） （1+ 1 12）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1 lnx2） ， 则(1);(2) 1;2 =2+(1;2) 1;2 ， 则问题转为证明1;2 1;2 1 即可， 即证明 lnx1lnx2x1x2， 则 lnx1ln 1 1x1 1 1， 即 lnx1+lnx1x1 1 1， 即证 2lnx1x1 1 1在（0，1）上恒成立， 设 h（x）=2lnxx+1 ， （0x1） ，其中 h（1）=0， 求导得 h（x）=2 1 1 2= 2;2:1 2 =(;1) 2 2
20、0， 则 h（x）在（0，1）上单调递减， h（x）h（1） ，即 2lnxx+1 0， 故 2lnxx1 ， 则(1);(2) 1;2 a2 成立 （2）另解：注意到 f（1 ）=x 1 alnx=f（x） ， 14 即 f（x）+f（1 ）=0， 由韦达定理得 x1x2=1，x1+x2=a2，得 0x11x2，x1= 1 2， 可得 f（x2）+f（ 1 2）=0，即 f（x1）+f（x2）=0， 要证(1);(2) 1;2 a2，只要证;(2);(2) 1;2 a2， 即证 2alnx2ax2+ 20， （x21） ， 构造函数 h（x）=2alnxax+ ， （x1） ，h（x）= ;
21、(;1)2 2 0， h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）=0， 2alnxax+ 0 成立，即 2alnx2ax2+ 20， （x21）成立 即(1);(2) 1;2 a2 成立 21 （2018新课标）已知函数 f（x）=exax2 （1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1； （2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a 【解答】证明： （1）当 a=1 时，函数 f（x）=exx2 则 f（x）=ex2x， 令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2， 令 g（x）=0，得 x=ln2 当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0，
22、 g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20， f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1， 解： （2）方法一、 ，f（x）在（0，+）只有一个零点 方程 exax2=0 在（0，+ ）只有一个根， 15 a= 2在（0，+）只有一个根， 即函数 y=a 不 G（x）= 2的图象在（0，+）只有一个交点 G() = (2) 3 ， 当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0， G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增， 当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+， f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）= 2 4 方法二：当 a0 时，f（x）=ex
23、ax20，f（x）在（0，+）没有零点 当 a0 时，设函数 h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点 h （x）在（0，+）只有一个零点 h（x）=x（x2）ex，当 x（0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时， h（x）0， h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，()= (2) = 1 4 2， （x 0） 当 h（2）0 时，即 a 2 4 ，由于 h（0）=1，当 x0 时，exx2，可得 h （4a）=116 3 4 =1 163 (2)2 1 163 (2)4=1 1 0h（x）在（0，+）有 2 个零点 当 h（2）0 时，即 a 2 4 ，h（x）在（0
24、，+）没有零点， 当 h（2）=0 时，即 a= 2 4 ，h（x）在（0，+）只有一个零点， 综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a= 2 4 22 （2018新课标）已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x （1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； 16 （2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 【解答】 （1）证明：当 a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x， （x1） () = ( + 1) +1，() = (+1)2， 可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0 f（x）在（1，0）递减，
25、在（0，+）递增， f（x）f（0）=0， f（x）=（2+x）ln（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0 当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0 （2）解：由 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得 f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2: 2 :1 2= 2;:(1:2)(1:)(:1) :1 ， 令 h（x）=ax2x+（1+2ax） （1+x）ln（x+1） ， h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1） 当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增， h（x）h（0）=0，即 f（x）0， f（x）在（0，+）上单调递增，故
26、 x=0 丌是 f（x）的极大值点，丌符合题意 当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1）+1;2 :1 ， 显然 h（x）单调递减， 令 h（0）=0，解得 a=1 6 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0， h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减， h（x）h（0）=0， h（x）单调递减，又 h（0）=0， 17 当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0， 当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0， f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减， x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意； 若1 6a0， 则 h （0） =1+6a0， h
27、（e 1+6 41） = （2a1） （1e 1+6 4） 0， h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0， 当 0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增， h（x）h（0）=0，即 f（x）0， f（x）在（0，x0）上单调递增，丌符合题意； 若 a1 6，则 h（0）=1+6a0，h（ 1 21）=（12a）e 20， h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1， 当 x1x0 时，h（x）0，h（x）单调递减， h（x）h（0）=0，h（x）单调递增， h（x）h（0）=0，即 f（x）0， f（x）在（x1，0）上单调递减，丌符合题意 综上，a=1 6 23
28、（2018浙江）已知函数 f（x）=lnx （）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）8 8ln2； （）若 a34ln2，证明：对于仸意 k0，直线 y=kx+a 不曲线 y=f（x）有唯 一公共点 【解答】证明： （）函数 f（x）=lnx， 18 x0，f（x）= 1 2 1 ， f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等， 1 21 1 1= 1 22 1 2， x1x2， 1 1+ 1 2= 1 2， 由基本丌等式得：1 2 12=1+2212 4 ， x1x2，x1x2256， 由题意得 f（x1）+f（x2）=11+2 2=1 2
29、 12ln（x1x2） ， 设 g（x）=1 2 ，则() = 1 4(4)， 列表讨论： x （0，16） 16 （16，+） g（x） 0 + g（x） 24ln2 g（x）在256，+）上单调递增， g（x1x2）g（256）=88ln2， f（x1）+f（x2）88ln2 （）令 m=e（ |a|+k） ，n=（|:1 ）2+1， 则 f（m）kma|a|+kka0， f（n）knan（ 1 k）n（ |:1 k）0， 存在 x0（m，n） ，使 f（x0）=kx0+a， 对于仸意的 aR 及 k（0，+） ，直线 y=kx+a 不曲线 y=f（x）有公共点， 由 f（x）=kx+a，
30、得 k=; ， 19 设 h（x）=; ，则 h（x）= ; 2 ;1: 2 =;();1: 2 ， 其中 g（x）= 2 lnx， 由（1）知 g（x）g（16） ， 又 a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0， h（x）0，即函数 h（x）在（0，+）上单调递减， 方程 f（x）kxa=0 至多有一个实根， 综上，a34ln2 时，对于仸意 k0，直线 y=kx+a 不曲线 y=f（x）有唯一公共 点 24 （2018江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存 在 x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0） ，则
31、称 x0为函数 f（x）不 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 不 g（x）=x2+2x2 丌存在“S 点”； （2）若函数 f（x）=ax21 不 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）= 对仸意 a0，判断是否存在 b0， 使函数 f（x）不 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，幵说明理由 【解答】解： （1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2， 则由定义得 = 2 +22 1 = 2+ 2 ，得方程无解，则 f（x）=x 不 g（x）=x2+2x2 丌 存在“S 点”； （2）f（x）=2ax，g
32、（x）=1 ，x0， 由 f（x）=g（x）得1 =2ax，得 x= 1 2， f（ 1 2）= 1 2=g（ 1 2）= 1 2lna2，得 a= 2； 20 （3）f（x）=2x，g（x）= (;1) 2 ， （x0） ， 由 f（x0）=g（x0） ，假设 b0，得 b0= 20 3 0;10，得 0x01， 由 f（x0）=g（x0） ，得x02+a= 0 0 = 20 2 0;1，得 a=x0 2 20 2 0;1， 令 h（x）=x22 2 ;1a= ;3:32:; 1; ， （a0，0x1） ， 设 m（x）=x3+3x2+axa， （a0，0x1） ， 则 m（0）=a0，m（
33、1）=20，得 m（0）m（1）0， 又 m（x）的图象在（0，1）上丌间断， 则 m（x）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0，1）上有零点， 则存在 b0，使 f（x）不 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点 25 （2018天津）已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1 （）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间； （）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线不曲线 y=g（x）在点（x2，g （x2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=2 ； （）证明当 ae 1 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=
34、g （x）的切线 【解答】 （）解：由已知，h（x）=axxlna，有 h（x）=axlnalna， 令 h（x）=0，解得 x=0 由 a1，可知当 x 变化时，h（x） ，h（x）的变化情况如下表： x （， 0） 0 （0，+） 21 h（x） 0 + h（x） 极小值 函数 h（x）的单调减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，+） ； （）证明：由 f（x）=axlna，可得曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线 的斜率为1lna 由 g （x） = 1 ， 可得曲线 y=g （x） 在点 （x2， g （x2） ） 处的切线的斜率为 1 2 这两条切线平行，故有1 =
35、 1 2，即2 1()2 = 1， 两边取以 a 为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0， x1+g（x2）=2 ； （） 证明： 曲线 y=f （x） 在点 （1，1） 处的切线 l1： 1= 1( 1)， 曲线 y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线 l2： 2= 1 2 ( 2) 要证明当 a 1 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x） 的切线， 只需证明当 a 1 时，存在 x1（，+） ，x2（0，+）使得 l1不 l2重合， 即只需证明当 a 1 时，方程组 1 = 1 2 111 = 2 1 由得2= 1 1()2
36、 ，代入得： 1 11+1+ 1 + 2 = 0， 因此，只需证明当 a 1 时，关于 x1 的方程存在实数解 设函数 u（x）=+ + 1 + 2 ，既要证明当 a 1 时，函数 y=u （x）存在零点 22 u（x）=1（lna）2xax，可知 x（，0）时，u（x）0；x（0，+） 时，u（x）单调递减， 又 u（0）=10，u( 1 ()2)=1 1 ()20， 故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x0）=0，即1 ()200= 0 由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减， u（x）在 x=x0处取得极大值 u（x0） 1 ，故 lnlna1 (0)
37、= 0 00 + 0+ 1 + 2 = 1 0()2 + 0+ 2 2:2 0 下面证明存在实数 t，使得 u（t）0， 由（）可得 ax1+xlna，当 1 时，有 u（x）(1 + )(1 ) + + 1 + 2 =()22+ + 1 + 1 + 2 存在实数 t，使得 u（t）0 因此，当 a 1 时，存在 x1（，+） ，使得 u（x1）=0 当 a 1 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x）的 切线 26 （2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到 工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾戒公交方式通勤分析 显
38、示：当 S 中 x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）= 30，0 30 2+ 1800 90，30100 （单位：分钟） ， 23 而公交群体的人均通勤时间丌受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题： （1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间？ （2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单调性， 幵说明其实际意义 【解答】解； （1）由题意知，当 30x100 时， f（x）=2x+1800 9040， 即 x265x+9000， 解得 x20 戒 x45， x（45，
39、100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当 0x30 时， g（x）=30x%+40（1x%）=40 10； 当 30x100 时， g（x）=（2x+180 90）x%+40（1x%）= 2 50 13 10x+58； g（x）= 40 10 2 50 13 10+58 ； 当 0x32.5 时，g（x）单调递减； 当 32.5x100 时，g（x）单调递增； 说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少 27 （2018北京）设函数
40、 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex 24 （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线不 x 轴平行，求 a； （）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex 由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0， 可得（a2a1+2）e=0，且 f（1）=3e0， 解得 a=1； （）f（x）的导数为 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2） （ax1）ex， 若 a=0 则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减 x=2 处 f（x）取得极大值，丌符题意； 若 a0，且 a=1 2，则 f（x）= 1 2（x2） 2ex0，f（x）递增，无极值； 若 a1 2，则 1 2，f（x）在（ 1 ，2）递减；在（2，+） ， （， 1 ）递增， 可得 f（x）在 x=2 处取得极小值； 若 0a1 2，则 1 2，f（x）在（2， 1 ）递减；在（ 1 ，+） ， （，2）递增， 可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，丌符题