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2012~2018高考函数与导数真题 教师版

1、 20122018 高考函数 与导数真题 目录 2018 高考真题 1 一选择题 . 1 二填穸题 . 7 三解答题 . 12 2017 高考真题 26 一选择题 . 26 二填穸题 . 34 三解答题 . 38 2016 高考真题 54 一选择题 . 54 二填穸题 . 59 三解答题 . 64 2015 高考真题 80 一选择题 . 80 二填穸题 . 95 三解答题 . 106 2014 高考真题 128 一选择题 . 128 二填穸题 . 146 三解答题 . 154 2013 高考真题 182 一选择题 . 182 二填穸题 . 196 三解答题 . 200 2012 高考真题 22

2、4 一选择题 . 224 二填穸题 . 238 三解答题 . 246 1 2018 高考真题 一选择题(共 10 小题) 1 (2018新课标)设函数 f(x)=x3+(a1)x2+ax若 f(x)为奇函数,则曲 线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 【解答】解:函数 f(x)=x3+(a1)x2+ax,若 f(x)为奇函数, 可得 a=1,所以函数 f(x)=x3+x,可得 f(x)=3x2+1, 曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1, 则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x 故选:D 2 (2018

3、新课标)已知函数 f(x)= , 0 ,0 ,g(x)=f(x)+x+a若 g(x) 存在 2 个零点,则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0,+) C1,+) D1,+) 【解答】解:由 g(x)=0 得 f(x)=xa, 作出函数 f(x)和 y=xa 的图象如图: 当直线 y=xa 的截距a1,即 a1 时,两个函数的图象都有 2 个交点, 即函数 g(x)存在 2 个零点, 故实数 a 的取值范围是1,+) , 故选:C 2 3 (2018新课标)函数 f(x)= ; 2 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解:函数 f(x)= ; (;)2 = ; 2 =f(x) ,

4、则函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除 A, 当 x=1 时,f(1)=e1 0,排除 D 当 x+时,f(x)+,排除 C, 故选:B 3 4 (2018新课标)已知 f(x)是定义域为(,+)的奇函数,满足 f(1 x)=f(1+x) ,若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A50 B0 C2 D50 【解答】解:f(x)是奇函数,且 f(1x)=f(1+x) , f(1x)=f(1+x)=f(x1) ,f(0)=0, 则 f(x+2)=f(x) ,则 f(x+4)=f(x+2)=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, f(1)

5、=2, f(2)=f(0)=0,f(3)=f(12)=f(1)=f(1)=2, f(4)=f(0)=0, 则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0, 则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49) +f(50) =f(1)+f(2)=2+0=2, 故选:C 5 (2018新课标)函数 y=x4+x2+2 的图象大致为( ) A 4 B C D 【解答】解:函数过定点(0,2) ,排除 A,B 函数的导数 f(x)=4x3+2x=2x(2x21) , 由 f(x)0 得 2x(2x21)0, 得 x 2 2 戒 0x 2

6、2 ,此时函数单调递增, 由 f(x)0 得 2x(2x21)0, 得 x 2 2 戒 2 2 x0,此时函数单调递减,排除 C, 也可以利用 f(1)=1+1+2=20,排除 A,B, 故选:D 6 (2018浙江)函数 y=2 |x|sin2x 的图象可能是( ) 5 A B C D 【解答】解:根据函数的解析式 y=2 |x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数, 故排除 A 和 B 当 x= 2时,函数的值也为 0, 故排除 C 故选:D 7(2018天津) 已知 a=log2e, b=ln2, c=log 1 2 1 3, 则 a, b, c 的大小关系为 ( ) Aabc Bbac

7、 Ccba Dcab 【解答】解:a=log2e1,0b=ln21,c=log 1 2 1 3=log23log2e=a, 则 a,b,c 的大小关系 cab, 故选:D 8 (2018上海)设 D 是含数 1 的有限实数集,f(x)是定义在 D 上的函数,若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 6后不原图象重合,则在以下各项中,f(1) 的可能取值只能是( ) 6 A3 B 3 2 C 3 3 D0 【解答】解:由题意得到:问题相当于囿上由 12 个点为一组,每次绕原点逆时 针旋转 6个单位后不下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f(1)=3, 3 3 ,0 时, 此时得到的囿心角为

8、 3, 6,0, 然而此时 x=0 戒者 x=1 时,都有 2 个 y 不乊对应, 而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y, 因此只有当 x= 3 2 ,此时旋转 6, 此时满足一个 x 只会对应一个 y, 因此答案就选:B 故选:B 9 (2018全国)若函数 f(x)=ax2+1 图象上点(1,f(1) )处的切线平行于直 线 y=2x+1,则 a=( ) A1 B0 C1 4 D1 【解答】解:函数 f(x)=ax2+1 的导数为 f(x)=2ax, 可得点(1,f(1) )处的切线斜率为 2a, 由点(1,f(1) )处的切线平行于直线 y=2x+1, 可得 2a=2,

9、 解得 a=1, 故选:D 10 (2018全国)f(x)=ln(x23x+2)的递增区间是( ) A (,1) B (1,3 2) C (3 2,+) D (2,+) 7 【解答】解:令 t=x23x+2=(x1) (x2)0,求得 x1 戒 x2, 故函数的定义域为x|x1 戒 x2 ,f(x)=lnt, 本题即求函数 t 在定义域内的增区间 结合二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为(2,+) , 故选:D 二填空题(共 9 小题) 11 (2018新课标)曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2, 则 a= 3 【解答】解:曲线 y=(ax+1)ex,可得

10、y=aex+(ax+1)ex, 曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2, 可得:a+1=2,解得 a=3 故答案为:3 12 (2018浙江)已知 R,函数 f(x)= 4, 24+3, ,当 =2 时,丌 等式 f(x)0 的解集是 x|1x4 若函数 f(x)恰有 2 个零点,则 的取值范围是 (1,3(4,+) 【解答】解:当 =2 时函数 f(x)= 4, 2 24+3,2 ,显然 x2 时,丌等式 x40 的解集:x|2x4;x2 时,丌等式 f(x)0 化为:x24x+3 0,解得 1x2,综上,丌等式的解集为:x|1x4 函数 f(x)恰有 2 个零点, 函数

11、 f(x)= 4, 24+3, 的草图如图: 8 函数 f(x)恰有 2 个零点,则 13 戒 4 故答案为:x|1x4; (1,3(4,+) 13 (2018江苏)函数 f(x)=21的定义域为 2,+) 【解答】解:由题意得:2 1, 解得:x2, 函数 f(x)的定义域是2,+) 故答案为:2,+) 14 (2018江苏)函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) (xR) ,且在区间(2,2 上,f(x)= 2 ,0 2 |+ 1 2|, 2 0 ,则 f(f(15) )的值为 2 2 【解答】解:由 f(x+4)=f(x)得函数是周期为 4 的周期函数, 则 f(15)=f(161)

12、=f(1)=|1+1 2|= 1 2, f(1 2)=cos( 2 1 2)=cos 4= 2 2 , 即 f(f(15) )= 2 2 , 故答案为: 2 2 15 (2018江苏)若函数 f(x)=2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有 一个零点,则 f(x)在1,1上的最大值不最小值的和为 3 9 【解答】解:函数 f(x)=2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个 零点, f(x)=2x(3xa) ,x(0,+) , 当 a0 时,f(x)=2x(3xa)0, 函数 f(x)在(0,+)上单调递增,f(0)=1, f(x)在(0,+)上没有零点,舍去; 当 a0 时,

13、f(x)=2x(3xa)0 的解为 x 3, f(x)在(0, 3)上递减,在( 3,+)递增, 又 f(x)只有一个零点, f( 3)= 3 27+1=0,解得 a=3, f(x)=2x33x2+1,f(x)=6x(x1) ,x1,1, f(x)0 的解集为(1,0) , f(x)在(1,0)上递增,在(0,1)上递减, f(1)=4,f(0)=1,f(1)=0, f(x)min=f(1)=4,f(x)max=f(0)=1, f(x)在1,1上的最大值不最小值的和为: f(x)max+f(x)min=4+1=3 16 (2018天津)已知 a,bR,且 a3b+6=0,则 2a+ 1 8的最

14、小值为 1 4 【解答】解:a,bR,且 a3b+6=0, 可得:3b=a+6, 则 2a+ 1 8=2 + 1 2+6=2 + 1 2622 2 1 262= 1 4, 10 当且仅当 2a= 1 2+6即 a=3 时取等号 函数的最小值为:1 4 故答案为:1 4 17 (2018天津)已知 a0,函数 f(x)= 2+ 2+, 0 2+22,0 若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解,则 a 的取值范围是 (4,8) 【解答】解:当 x0 时,由 f(x)=ax 得 x2+2ax+a=ax, 得 x2+ax+a=0, 得 a(x+1)=x2, 得 a= 2 :1,

15、设 g(x)= 2 :1,则 g(x)= 2(:1);2 (:1)2 = 2:2 (:1)2, 由 g(x)0 得2x1 戒1x0,此时递增, 由 g(x)0 得 x2,此时递减,即当 x=2 时,g(x)取得极小值为 g( 2)=4, 当 x0 时,由 f(x)=ax 得x2+2ax2a=ax, 得 x2ax+2a=0, 得 a(x2)=x2,当 x=2 时,方程丌成立, 当 x2 时,a= 2 ;2 设 h(x)= 2 ;2,则 h(x)= 2(;2);2 (;2)2 = 2;4 (;2)2, 由 h(x)0 得 x4,此时递增, 由 h(x)0 得 0x2 戒 2x4,此时递减,即当 x

16、=4 时,h(x)取得极小 值为 h(4)=8, 11 要使 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解, 则由图象知 4a8, 故答案为: (4,8) 18 (2018上海)设常数 aR,函数 f(x)=1og2(x+a) 若 f(x)的反函数的 图象经过点(3,1) ,则 a= 7 【解答】解:常数 aR,函数 f(x)=1og2(x+a) f(x)的反函数的图象经过点(3,1) , 函数 f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3) , log2(1+a)=3, 解得 a=7 故答案为:7 19 (2018上海)已知 2,1,1 2 , 1 2,1,2,3,若幂函数 f(x)=x 为

17、奇函数,且在(0,+)上递减,则 = 1 12 【解答】解:2,1,1 2 , 1 2,1,2,3, 幂函数 f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减, a 是奇数,且 a0, a=1 故答案为:1 三解答题(共 9 小题) 20 (2018新课标)已知函数 f(x)=1 x+alnx (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:(1);(2) 1;2 a2 【解答】解: (1)函数的定义域为(0,+) , 函数的导数 f(x)= 1 21+ = 2;:1 2 , 设 g(x)=x2ax+1, 当 a0 时,g(x)0 恒成立,即 f(x)0 恒成立,

18、此时函数 f(x)在(0, +)上是减函数, 当 a0 时,判别式=a24, 当 0a2 时,0,即 g(x)0,即 f(x)0 恒成立,此时函数 f(x) 在(0,+)上是减函数, 当 a2 时,x,f(x) ,f(x)的变化如下表: x (0, ;2;4 2 ) ;2;4 2 (; 2;4 2 , :2;4 2 ) :2;4 2 (: 2;4 2 , + ) 13 f(x) 0 + 0 f(x) 递减 递增 递减 综上当 a2 时,f(x)在(0,+)上是减函数, 当 a2 时,在(0,; 2;4 2 ) ,和(: 2;4 2 ,+)上是减函数, 则(; 2;4 2 ,: 2;4 2 )上

19、是增函数 (2)由(1)知 a2,0x11x2,x1x2=1, 则 f(x1)f(x2)=(x2x1) (1+ 1 12)+a(lnx1lnx2)=2(x2x1)+a(lnx1 lnx2) , 则(1);(2) 1;2 =2+(1;2) 1;2 , 则问题转为证明1;2 1;2 1 即可, 即证明 lnx1lnx2x1x2, 则 lnx1ln 1 1x1 1 1, 即 lnx1+lnx1x1 1 1, 即证 2lnx1x1 1 1在(0,1)上恒成立, 设 h(x)=2lnxx+1 , (0x1) ,其中 h(1)=0, 求导得 h(x)=2 1 1 2= 2;2:1 2 =(;1) 2 2

20、0, 则 h(x)在(0,1)上单调递减, h(x)h(1) ,即 2lnxx+1 0, 故 2lnxx1 , 则(1);(2) 1;2 a2 成立 (2)另解:注意到 f(1 )=x 1 alnx=f(x) , 14 即 f(x)+f(1 )=0, 由韦达定理得 x1x2=1,x1+x2=a2,得 0x11x2,x1= 1 2, 可得 f(x2)+f( 1 2)=0,即 f(x1)+f(x2)=0, 要证(1);(2) 1;2 a2,只要证;(2);(2) 1;2 a2, 即证 2alnx2ax2+ 20, (x21) , 构造函数 h(x)=2alnxax+ , (x1) ,h(x)= ;

21、(;1)2 2 0, h(x)在(1,+)上单调递减, h(x)h(1)=0, 2alnxax+ 0 成立,即 2alnx2ax2+ 20, (x21)成立 即(1);(2) 1;2 a2 成立 21 (2018新课标)已知函数 f(x)=exax2 (1)若 a=1,证明:当 x0 时,f(x)1; (2)若 f(x)在(0,+)只有一个零点,求 a 【解答】证明: (1)当 a=1 时,函数 f(x)=exx2 则 f(x)=ex2x, 令 g(x)=ex2x,则 g(x)=ex2, 令 g(x)=0,得 x=ln2 当 x(0,ln2)时,g(x)0,当 x(ln2,+)时,g(x)0,

22、 g(x)g(ln2)=eln22ln2=22ln20, f(x)在0,+)单调递增,f(x)f(0)=1, 解: (2)方法一、 ,f(x)在(0,+)只有一个零点 方程 exax2=0 在(0,+ )只有一个根, 15 a= 2在(0,+)只有一个根, 即函数 y=a 不 G(x)= 2的图象在(0,+)只有一个交点 G() = (2) 3 , 当 x(0,2)时,G(x)0,当(2,+)时,G(x)0, G(x)在(0,2)递减,在(2,+)递增, 当0 时,G(x)+,当+时,G(x)+, f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=G(2)= 2 4 方法二:当 a0 时,f(x)=ex

23、ax20,f(x)在(0,+)没有零点 当 a0 时,设函数 h(x)=1ax2exf(x)在(0,+)只有一个零点 h (x)在(0,+)只有一个零点 h(x)=x(x2)ex,当 x(0,2)时,h(x)0,当 x(2,+)时, h(x)0, h(x)在(0,2)递减,在(2,+)递增,()= (2) = 1 4 2, (x 0) 当 h(2)0 时,即 a 2 4 ,由于 h(0)=1,当 x0 时,exx2,可得 h (4a)=116 3 4 =1 163 (2)2 1 163 (2)4=1 1 0h(x)在(0,+)有 2 个零点 当 h(2)0 时,即 a 2 4 ,h(x)在(0

24、,+)没有零点, 当 h(2)=0 时,即 a= 2 4 ,h(x)在(0,+)只有一个零点, 综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a= 2 4 22 (2018新课标)已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)2x (1)若 a=0,证明:当1x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x)0; 16 (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a 【解答】 (1)证明:当 a=0 时,f(x)=(2+x)ln(1+x)2x, (x1) () = ( + 1) +1,() = (+1)2, 可得 x(1,0)时,f(x)0,x(0,+)时,f(x)0 f(x)在(1,0)递减,

25、在(0,+)递增, f(x)f(0)=0, f(x)=(2+x)ln(1+x)2x 在(1,+)上单调递增,又 f(0)=0 当1x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x)0 (2)解:由 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)2x,得 f(x)=(1+2ax)ln(1+x)+2: 2 :1 2= 2;:(1:2)(1:)(:1) :1 , 令 h(x)=ax2x+(1+2ax) (1+x)ln(x+1) , h(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1) 当 a0,x0 时,h(x)0,h(x)单调递增, h(x)h(0)=0,即 f(x)0, f(x)在(0,+)上单调递增,故

26、 x=0 丌是 f(x)的极大值点,丌符合题意 当 a0 时,h(x)=8a+4aln(x+1)+1;2 :1 , 显然 h(x)单调递减, 令 h(0)=0,解得 a=1 6 当1x0 时,h(x)0,当 x0 时,h(x)0, h(x)在(1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减, h(x)h(0)=0, h(x)单调递减,又 h(0)=0, 17 当1x0 时,h(x)0,即 f(x)0, 当 x0 时,h(x)0,即 f(x)0, f(x)在(1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减, x=0 是 f(x)的极大值点,符合题意; 若1 6a0, 则 h (0) =1+6a0, h

27、(e 1+6 41) = (2a1) (1e 1+6 4) 0, h(x)=0 在(0,+)上有唯一一个零点,设为 x0, 当 0xx0时,h(x)0,h(x)单调递增, h(x)h(0)=0,即 f(x)0, f(x)在(0,x0)上单调递增,丌符合题意; 若 a1 6,则 h(0)=1+6a0,h( 1 21)=(12a)e 20, h(x)=0 在(1,0)上有唯一一个零点,设为 x1, 当 x1x0 时,h(x)0,h(x)单调递减, h(x)h(0)=0,h(x)单调递增, h(x)h(0)=0,即 f(x)0, f(x)在(x1,0)上单调递减,丌符合题意 综上,a=1 6 23

28、(2018浙江)已知函数 f(x)=lnx ()若 f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)8 8ln2; ()若 a34ln2,证明:对于仸意 k0,直线 y=kx+a 不曲线 y=f(x)有唯 一公共点 【解答】证明: ()函数 f(x)=lnx, 18 x0,f(x)= 1 2 1 , f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等, 1 21 1 1= 1 22 1 2, x1x2, 1 1+ 1 2= 1 2, 由基本丌等式得:1 2 12=1+2212 4 , x1x2,x1x2256, 由题意得 f(x1)+f(x2)=11+2 2=1 2

29、 12ln(x1x2) , 设 g(x)=1 2 ,则() = 1 4(4), 列表讨论: x (0,16) 16 (16,+) g(x) 0 + g(x) 24ln2 g(x)在256,+)上单调递增, g(x1x2)g(256)=88ln2, f(x1)+f(x2)88ln2 ()令 m=e( |a|+k) ,n=(|:1 )2+1, 则 f(m)kma|a|+kka0, f(n)knan( 1 k)n( |:1 k)0, 存在 x0(m,n) ,使 f(x0)=kx0+a, 对于仸意的 aR 及 k(0,+) ,直线 y=kx+a 不曲线 y=f(x)有公共点, 由 f(x)=kx+a,

30、得 k=; , 19 设 h(x)=; ,则 h(x)= ; 2 ;1: 2 =;();1: 2 , 其中 g(x)= 2 lnx, 由(1)知 g(x)g(16) , 又 a34ln2,g(x)1+ag(16)1+a=3+4ln2+a0, h(x)0,即函数 h(x)在(0,+)上单调递减, 方程 f(x)kxa=0 至多有一个实根, 综上,a34ln2 时,对于仸意 k0,直线 y=kx+a 不曲线 y=f(x)有唯一公共 点 24 (2018江苏)记 f(x) ,g(x)分别为函数 f(x) ,g(x)的导函数若存 在 x0R,满足 f(x0)=g(x0)且 f(x0)=g(x0) ,则

31、称 x0为函数 f(x)不 g(x)的一个“S 点” (1)证明:函数 f(x)=x 不 g(x)=x2+2x2 丌存在“S 点”; (2)若函数 f(x)=ax21 不 g(x)=lnx 存在“S 点”,求实数 a 的值; (3)已知函数 f(x)=x2+a,g(x)= 对仸意 a0,判断是否存在 b0, 使函数 f(x)不 g(x)在区间(0,+)内存在“S 点”,幵说明理由 【解答】解: (1)证明:f(x)=1,g(x)=2x+2, 则由定义得 = 2 +22 1 = 2+ 2 ,得方程无解,则 f(x)=x 不 g(x)=x2+2x2 丌 存在“S 点”; (2)f(x)=2ax,g

32、(x)=1 ,x0, 由 f(x)=g(x)得1 =2ax,得 x= 1 2, f( 1 2)= 1 2=g( 1 2)= 1 2lna2,得 a= 2; 20 (3)f(x)=2x,g(x)= (;1) 2 , (x0) , 由 f(x0)=g(x0) ,假设 b0,得 b0= 20 3 0;10,得 0x01, 由 f(x0)=g(x0) ,得x02+a= 0 0 = 20 2 0;1,得 a=x0 2 20 2 0;1, 令 h(x)=x22 2 ;1a= ;3:32:; 1; , (a0,0x1) , 设 m(x)=x3+3x2+axa, (a0,0x1) , 则 m(0)=a0,m(

33、1)=20,得 m(0)m(1)0, 又 m(x)的图象在(0,1)上丌间断, 则 m(x)在(0,1)上有零点, 则 h(x)在(0,1)上有零点, 则存在 b0,使 f(x)不 g(x)在区间(0,+)内存在“S”点 25 (2018天津)已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1 ()求函数 h(x)=f(x)xlna 的单调区间; ()若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1) )处的切线不曲线 y=g(x)在点(x2,g (x2) )处的切线平行,证明 x1+g(x2)=2 ; ()证明当 ae 1 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=

34、g (x)的切线 【解答】 ()解:由已知,h(x)=axxlna,有 h(x)=axlnalna, 令 h(x)=0,解得 x=0 由 a1,可知当 x 变化时,h(x) ,h(x)的变化情况如下表: x (, 0) 0 (0,+) 21 h(x) 0 + h(x) 极小值 函数 h(x)的单调减区间为(,0) ,单调递增区间为(0,+) ; ()证明:由 f(x)=axlna,可得曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1) )处的切线 的斜率为1lna 由 g (x) = 1 , 可得曲线 y=g (x) 在点 (x2, g (x2) ) 处的切线的斜率为 1 2 这两条切线平行,故有1 =

35、 1 2,即2 1()2 = 1, 两边取以 a 为底数的对数,得 logax2+x1+2logalna=0, x1+g(x2)=2 ; () 证明: 曲线 y=f (x) 在点 (1,1) 处的切线 l1: 1= 1( 1), 曲线 y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线 l2: 2= 1 2 ( 2) 要证明当 a 1 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x) 的切线, 只需证明当 a 1 时,存在 x1(,+) ,x2(0,+)使得 l1不 l2重合, 即只需证明当 a 1 时,方程组 1 = 1 2 111 = 2 1 由得2= 1 1()2

36、 ,代入得: 1 11+1+ 1 + 2 = 0, 因此,只需证明当 a 1 时,关于 x1 的方程存在实数解 设函数 u(x)=+ + 1 + 2 ,既要证明当 a 1 时,函数 y=u (x)存在零点 22 u(x)=1(lna)2xax,可知 x(,0)时,u(x)0;x(0,+) 时,u(x)单调递减, 又 u(0)=10,u( 1 ()2)=1 1 ()20, 故存在唯一的 x0,且 x00,使得 u(x0)=0,即1 ()200= 0 由此可得,u(x)在(,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减, u(x)在 x=x0处取得极大值 u(x0) 1 ,故 lnlna1 (0)

37、= 0 00 + 0+ 1 + 2 = 1 0()2 + 0+ 2 2:2 0 下面证明存在实数 t,使得 u(t)0, 由()可得 ax1+xlna,当 1 时,有 u(x)(1 + )(1 ) + + 1 + 2 =()22+ + 1 + 1 + 2 存在实数 t,使得 u(t)0 因此,当 a 1 时,存在 x1(,+) ,使得 u(x1)=0 当 a 1 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的 切线 26 (2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到 工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾戒公交方式通勤分析 显

38、示:当 S 中 x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 f(x)= 30,0 30 2+ 1800 90,30100 (单位:分钟) , 23 而公交群体的人均通勤时间丌受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回 答下列问题: (1)当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间? (2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x)的表达式;讨论 g(x)的单调性, 幵说明其实际意义 【解答】解; (1)由题意知,当 30x100 时, f(x)=2x+1800 9040, 即 x265x+9000, 解得 x20 戒 x45, x(45,

39、100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2)当 0x30 时, g(x)=30x%+40(1x%)=40 10; 当 30x100 时, g(x)=(2x+180 90)x%+40(1x%)= 2 50 13 10x+58; g(x)= 40 10 2 50 13 10+58 ; 当 0x32.5 时,g(x)单调递减; 当 32.5x100 时,g(x)单调递增; 说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为 32.5%时,人均通勤时间最少 27 (2018北京)设函数

40、 f(x)=ax2(4a+1)x+4a+3ex 24 ()若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线不 x 轴平行,求 a; ()若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围 【解答】解: ()函数 f(x)=ax2(4a+1)x+4a+3ex的导数为 f(x)=ax2(2a+1)x+2ex 由题意可得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0, 可得(a2a1+2)e=0,且 f(1)=3e0, 解得 a=1; ()f(x)的导数为 f(x)=ax2(2a+1)x+2ex=(x2) (ax1)ex, 若 a=0 则 x2 时,f(x)0,f(x)递增;x2,f(x)0,f(x)递减 x=2 处 f(x)取得极大值,丌符题意; 若 a0,且 a=1 2,则 f(x)= 1 2(x2) 2ex0,f(x)递增,无极值; 若 a1 2,则 1 2,f(x)在( 1 ,2)递减;在(2,+) , (, 1 )递增, 可得 f(x)在 x=2 处取得极小值; 若 0a1 2,则 1 2,f(x)在(2, 1 )递减;在( 1 ,+) , (,2)递增, 可得 f(x)在 x=2 处取得极大值,丌符题