1、2019-2020 学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）命题“若 ab，则 a+cb+c”的逆否命题是（ ） A若 a+cb+c，则 ab B若 a+cb+c，则 ab C若 a+cb+c，则 ab D若 a+cb+c，则 ab 2 （5 分）对于命题 p 和 q，若 p 且 q 为真命题，则下列四个命题： p 或q 是真命题； p 且q 是真命题； p 且q 是假命题； p
2、或 q 是假命题 其中真命题是（ ） A B C D 3 （5 分）刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的 思想，创立了割圆术，即从半径为 1 尺的圆内接正六边形开始计算面积下图是一个圆 内接正六边形，若向内随机一投掷点，则该点落在正六边形内的概率为（ ） A B C D 4（5 分） 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查， 为此将他们随机编号 1， 2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29，则抽到的 32 人中，编 号落入区间200，480的人数为（ ） A7 B9 C10 D12 5 （5 分）已知某地区中小
3、学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了了解该地区中 小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区 4%的学生进行调查，则样 本 容 量 和 抽 取 的 初 中 生 中 近 视 人 数 分 别 为 （ ） 第 2 页（共 22 页） A400，54 B200，40 C180，54 D400，40 6 （5 分）对抛物线 y4x2，下列描述正确的是（ ） A开口向上，焦点为（0，1） B开口向上，焦点为 C开口向右，焦点为（1，0） D开口向右，焦点为 7 （5 分）以为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2y22 相交于 M，N 两点，若MNF 为正三角形，则抛物线 C
4、的方程为（ ） A B C D 8 （5 分）若焦点在 x 轴上的椭圆+1 的离心率是，则 m 等于（ ） A B C D 9 （5 分）已知点 P 是抛物线 xy2上的一个动点，则点 P 到点 A（0，2）的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为（ ） A2 B C1 D+1 10 （5 分）k9 是方程表示双曲线的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 11 （5 分）1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果 它是奇数， 对它乘 3 加 1， 如果它是偶数， 对它除以 2， 这样循环， 最终结果都能得到 1 有
5、 的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域” ， 第 3 页（共 22 页） 这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图， 则输出 i 的值为（ ） A8 B7 C6 D5 12 （5 分）已知椭圆 C 的方程为，焦距为 2c，直线与 椭圆 C 相交于 A，B 两点，若|AB|2c，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上）分将答案填在答题卡相应的位置上） 13 （5 分）用秦九韶算法求多项式 f（
6、x）4x5+2x43x2+1，当 x3 时，v3 14 （5 分）已知曲线 x24y24，过点 A（3，1）且被点 A 平分的弦 MN 所在的直线方 程为 15 （5 分）给出下列命题： 命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ； “x1”是“x25x60”的必要不充分条件； 命题“xR，使得 x2+x10”的否定是： “xR，均有 x2+x10” ； 命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是 16 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2与 第 4 页（共 22 页） 双曲线的一条渐近线平行
7、的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi（单位：千元）与 月储蓄 yi（单位：千元）的数据资料，算得80，20，184， 720 （1）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 x+ 时，并判断变量 x 与 y 之间 是正相关还是负相关； （2）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 18 （12 分）
8、已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 P（x0，3）为抛物线 C 上一 点，且点 P 到焦点 F 的距离为 4，过 A（a，0）作抛物线 C 的切线 AN（斜率不为 0） ， 切点为 N （）求抛物线 C 的标准方程； （）求证：以 FN 为直径的圆过点 A 19 （12 分）某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对） ，进 行了如下的调查研究全年级共有 1350 人，男女生比例为 8：7，现按分层抽样方法抽取 若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下 2x2 列联表： 支持 反对 总计 男生 30 女生 25 总计 （I）完成
9、列联表，并判断能否有 99.9%的把握认为态度与性别有关？ （皿）若某班有 6 名男生被抽到，其中 2 人支持，4 人反对；有 4 名女生被抽到，其中 2 人支持，2 人反对，现从这 10 人中随机抽取一男一女进一步调查原因求其中恰有一人 支持一人反对的概率 第 5 页（共 22 页） 参考公式及临界表：K2 P（K2k0） 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706% 3.841 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且M
10、NF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+b 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OAOB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结论 21 （12 分）设双曲线1（a，b0）的实轴长为 4，焦点到渐近线的距离为 （1）求此双曲线的方程； （2）已知直线 yx2 与双曲线的右支交于 A，B 两点，且在双曲线的右支上存在点 C，使得+m，求 m 的值及点 C 的坐标 22 （12 分）已知点 C 为圆（x+1）2+y28 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A（1，0）和 AP 上的点 M，满足0，2 （）当点 P 在圆上
11、运动时，判断 Q 点的轨迹是什么？并求出其方程； （）若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2+y21 相切，与（）中所求点 Q 的轨迹交于不同的 两点 F，H，且（其中 O 是坐标原点）求 k 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目
12、要求的） 1 （5 分）命题“若 ab，则 a+cb+c”的逆否命题是（ ） A若 a+cb+c，则 ab B若 a+cb+c，则 ab C若 a+cb+c，则 ab D若 a+cb+c，则 ab 【分析】把所给的命题看做一个原命题，写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并 且要交换位置，得到结果 【解答】解：把“若 ab，则 a+cb+c”看做原命题， 它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置， 它的逆否命题是： “若 a+cb+c，则 ab” ， 故选：C 【点评】本题考查求一个命题的逆否命题，实际上把一个命题看做原命题是根据需要来 确定的，所有的命题都可以看做原命题，写出它的其他三个命
13、题属基础题 2 （5 分）对于命题 p 和 q，若 p 且 q 为真命题，则下列四个命题： p 或q 是真命题； p 且q 是真命题； p 且q 是假命题； p 或 q 是假命题 其中真命题是（ ） A B C D 【分析】先判断命题 p，q 的真假，然后判断p，q 的真假，并判断由逻辑连接词“或 “， “且“，连接的复合命题的真假 【解答】解：p 且 q 为真命题； p，q 都为真命题； p 或q 是真命题，正确，p 和q 中，p 是真命题； 第 7 页（共 22 页） p 且q 是真命题，错误，p 和q 中，q 是假命题，p 且q 是假命题； p 且q 是假命题，正确，p 和q 都为假命题
14、； p 或 q 是假命题，错误，p 和 q 中 q 是真命题，p 或 q 是真命题 其中真命题是： 故选：C 【点评】考查由“且“， “或“连接的复合命题 p 且 q，p 或 q 的真假和命题 p，q 真假的 关系，p 和p 真假的关系 3 （5 分）刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的 思想，创立了割圆术，即从半径为 1 尺的圆内接正六边形开始计算面积下图是一个圆 内接正六边形，若向内随机一投掷点，则该点落在正六边形内的概率为（ ） A B C D 【分析】设正六边形的边长，得到圆的半径，分别求出正六边形及圆的面积，由测度比 为面积比得答案 【解答】解：如图，
15、设正六边形的边长为 r，则圆的半径为 r， 圆面积为 r2，正六边形的面积为 6r2 向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为 故选：D 【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题 4（5 分） 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查， 为此将他们随机编号 1， 2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29，则抽到的 32 人中，编 第 8 页（共 22 页） 号落入区间200，480的人数为（ ） A7 B9 C10 D12 【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为 9603230 人，即抽到号码的公差 d 30，然后根据等差数
16、列的公式即可得到结论 【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为 9603230 人，即抽到号码的公 差 d30， 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29， 等差数列的首项为 29， 则抽到号码数为 an29+30（n1）30n1， 由 20030n1480， 得 7n16， 即编号落入区间200，480的人数为 10 人 故选：C 【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键 5 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了了解该地区中 小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区 4%的学生进行调查，则样 本
17、 容 量 和 抽 取 的 初 中 生 中 近 视 人 数 分 别 为 （ ） A400，54 B200，40 C180，54 D400，40 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】解：由图 1 得样本容量为（3500+2000+4500）4%100004%400， 抽取的初中生人数为 45004%180 人， 则近视人数为 1800.354 人， 故选：A 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属 第 9 页（共 22 页） 于基础题 6 （5 分）对抛物线 y4x2，下列描述正确的是（ ） A开口向上，焦点为（0，1） B开口向上，焦
18、点为 C开口向右，焦点为（1，0） D开口向右，焦点为 【分析】根据二次函数的性质进行判断 【解答】解：a40， 图象开口向上， 焦点为 故选：B 【点评】考查抛物线开口方向与焦点坐标，属基础题 7 （5 分）以为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2y22 相交于 M，N 两点，若MNF 为正三角形，则抛物线 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】由题意，y代入双曲线 x2y22，可得 x，利用MNF 为正三 角形，求出 p，即可求出抛物线的方程 【解答】解：由题意，y代入双曲线 x2y22，可得 x， MNF 为正三角形， p2， p0，p2， 抛物线 C 的方程为 x24y， 故选
19、：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能 力以及计算能力 第 10 页（共 22 页） 8 （5 分）若焦点在 x 轴上的椭圆+1 的离心率是，则 m 等于（ ） A B C D 【分析】先根据椭圆的标准方程求得 a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于 m 的 方程，解之即得答案 【解答】解：由题意，则 ， 化简后得 m1.5， 故选：B 【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得 a，b，c， 进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论 9 （5 分）已知点 P 是抛物线 xy2上的一个动点，则点 P 到
20、点 A（0，2）的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为（ ） A2 B C1 D+1 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可 【解答】解：抛物线 xy2，可得：y24x，抛物线的焦点坐标（1，0） 依题点 P 到点 A（0，2）的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值，就是 P 到（0，2） 与 P 到该抛物线准线的距离的和减去 1 由抛物线的定义，可得则点 P 到点 A（0，2）的距离与 P 到该抛物线焦点坐标的距离之 和减 1， 可得：1 故选：C 【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和 化归，数形结合等数学思想 10
21、 （5 分）k9 是方程表示双曲线的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 第 11 页（共 22 页） 【分析】k9方程表示双曲线；方程k9 或 k4 【解答】解：k9，9k0，k40，方程表示双曲线， 方程表示双曲线， （9k） （k4）0，解得 k9 或 k4， k9 是方程表示双曲线的充分不必要条件 故选：B 【点评】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条 件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用 11 （5 分）1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果 它是
22、奇数， 对它乘 3 加 1， 如果它是偶数， 对它除以 2， 这样循环， 最终结果都能得到 1 有 的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域” ， 这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图， 则输出 i 的值为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可 【解答】解：a3，a1 不满足，a 是奇数满足，a10，i2， 第 12 页（共 22 页） a10，a1 不满足，a 是奇数不满足，a5，i3， a5，a1 不满足，a 是奇数满足，a16，i4， a16，a1 不满足，a 是奇数不满足，a8，i5，
23、 a8，a1 不满足，a 是奇数不满足，a4，i6， a4，a1 不满足，a 是奇数不满足，a2，i7， a2，a1 不满足，a 是奇数不满足，a1，i8， a1，a1 满足，输出 i8， 故选：A 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键比 较基础 12 （5 分）已知椭圆 C 的方程为，焦距为 2c，直线与 椭圆 C 相交于 A，B 两点，若|AB|2c，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】如图，由直线与椭圆交于 A，B 两点，|AB|2c，根据椭圆的对称性 得 OAc，求出 A 的坐标，代入椭圆方程得到关于 a，b，c 的等量关系，得出关
24、于 a，c 的等式，解之即可得该椭圆的离心率 【解答】解：如图，由直线与椭圆交于 A，B 两点，|AB|2c， 得：|OA|c，且点 A 的坐标，代入椭圆方程得： ，又 b2a2c2， ，e（0，1） 解之得： 则该椭圆的离心率为 故选：A 第 13 页（共 22 页） 【点评】本小题主要考查函数椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上）分将答案填在答题卡相应的位置上） 13 （5 分）用
25、秦九韶算法求多项式 f（x）4x5+2x43x2+1，当 x3 时，v3 123 【分析】由于函数 f（x）4x5+2x43x2+1（ （ （ （4x+2）x）x3）x）x+1，当 x3 时， 分别算出 v0，v1，v2，v3即可得出 【解答】解：f（x）4x5+2x43x2+1（ （ （ （4x+2）x）x3）x）x+1， 当 x3 时，V04， V143+214， V214342， V34233123， 故答案为：123 【点评】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知曲线 x24y24，过点 A（3，1）且被点 A 平分的弦 MN 所在的直线方 程
26、为 3x+4y50 【分析】设两个交点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，利用点差法求得直线的斜率， 进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可 【解答】解：设两个交点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） 所以 x124y124，x224y124，两式相减得（x1+x2） （x1x2）4（y1+y2） （y1y2） ， 又3，1， 所以直线的方程为 y+1（x3） ，即 3x+4y50 第 14 页（共 22 页） 由点 A（3，1）在双曲线内部，直线方程满足题意 MN 所在直线的方程是 3x+4y50 故答案为：3x+4y50 【点评】本题主要考查了直线
27、与圆锥曲线的综合问题解题的关键是充分运用数形结合 的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题 15 （5 分）给出下列命题： 命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ； “x1”是“x25x60”的必要不充分条件； 命题“xR，使得 x2+x10”的否定是： “xR，均有 x2+x10” ； 命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是 【分析】根据命题的否命题和原命题之间的关系判断利用充分条件和必要条件的 定义判断利用特称命题的否定判断利用逆否命题的等价性进行判断 【解答】解：根据否命题的定义可知命题“若 x
28、21，则 x1”的否命题为“若 x21， 则 x1” ，所以错误 由 x25x60 得 x1 或 x6，所以“x1”是“x25x60”的充分不 必要条件，所以错误 根据特称命题的否定是全称命题得命题 “xR， 使得 x2+x10” 的否定是： “xR， 均有 x2+x10” ，所以错误 根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确， 所以命题 “若 xy， 则 sinxsiny” 的逆否命题为真命题，所以正确 故答案为： 【点评】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础 16 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2与 双曲线的一条
29、渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为 【分析】设过 F2与双曲线的一条渐近线 yx 平行的直线交双曲线于点 P，运用双曲线 的定义和条件可得|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结 第 15 页（共 22 页） 合离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：设过 F2与双曲线的一条渐近线 yx 平行的直线交双曲线于点 P， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， 由|PF1|3|PF2|，可得|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c， 由 tanF1F2P可得 cosF1F2P， 在三角形 PF1F2中，
30、由余弦定理可得： |PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosF1F2P， 即有 9a2a2+4c22a2c， 化简可得，c23a2， 则双曲线的离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以 及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi（单位：千元）与 月储蓄 yi（单位：千
31、元）的数据资料，算得80，20，184， 720 （1）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 x+ 时，并判断变量 x 与 y 之间 是正相关还是负相关； （2）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 【分析】 （1）利用公式求出 ， ，即可得出结论变量 y 的值随 x 的值增加可判断正相 关还是负相关 （2）当 x7 时带入，即可预测该家庭的月储蓄 【解答】解： （1）由题意知 n10， 第 16 页（共 22 页） 2 lxx80 lxy 由此得 0.3， 20.380.4， 故所求回归方程为 y0.3x0.4 由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加（b0.3
32、0） ，故 x 与 y 之间是正相关 （2）将 x7 代入回归方程 y0.3x0.4 可得：y0.370.41.7（千元） 可以预测该家庭的月储蓄为 y0.370.41.7（千元） 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题 18 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 P（x0，3）为抛物线 C 上一 点，且点 P 到焦点 F 的距离为 4，过 A（a，0）作抛物线 C 的切线 AN（斜率不为 0） ， 切点为 N （）求抛物线 C 的标准方程； （）求证：以 FN 为直径的圆过点 A 【分析】 （）由抛物线的定义即可求出 p 的值，即可； （）设
33、切线 AN 的方程为 yk（xa） ，k0，联立直线方程与抛物线方程，可得 16k216ka0，即 ak，求得切点 N（2a，a2） ，由数量积为 0 即可判定以 FN 为直径的 圆过点 A 【解答】 （）解：|PF|yP+， 43+，解得 p2， 抛物线方程为 x24y （）证明：设切线 AN 的方程为 yk（xa） ，k0， 第 17 页（共 22 页） 联立方程，消 y 可得 x24kx+4ka0， 由题意可得16k216ka0，即 ak， 切点 N（2a，a2） ，又 A（a，0） ，F（0，1） ， （a，1） （a，a2）0 FAN90， 以 FN 为直径的圆过点 A 【点评】本题
34、考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系， 考查了运算能力和转化能力，是中档题 19 （12 分）某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对） ，进 行了如下的调查研究全年级共有 1350 人，男女生比例为 8：7，现按分层抽样方法抽取 若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下 2x2 列联表： 支持 反对 总计 男生 30 女生 25 总计 （I）完成列联表，并判断能否有 99.9%的把握认为态度与性别有关？ （皿）若某班有 6 名男生被抽到，其中 2 人支持，4 人反对；有 4 名女生被抽到，其中 2 人支持，2 人
35、反对，现从这 10 人中随机抽取一男一女进一步调查原因求其中恰有一人 支持一人反对的概率 参考公式及临界表：K2 第 18 页（共 22 页） P（K2k0） 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706% 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （）利用所给数据，可以完成列联表；求出 k0，与临界值比较，即可得出能否 有 99.9%的把握认为态度与性别有关； （）确定基本事件的个数，根据概率公式，可得结论 【解答】解： （）列联表如下： 支持 反对 总计 男生 30 50 80 女生 45 25 70 总计 75 75 150 计算得 K21
36、0.71410.828， 所以没有 99.9%的把握认为态度与性别有关（6 分） （）随机抽取一男一女所有可能的情况有 24 种，其中恰有一人支持一人反对的可能情 况有 22+4212 种，所以概率为 P（12 分） 【点评】本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，确定基本事件是关键 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+b 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OAOB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值
37、，证明你的结论 【分析】 （1）由题意可知：4a8，e，即可求得 a 和 b 的值，求得椭 圆方程； （2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 m 和 k 的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点 O 到直线 AB 的距离是否为定值 【解答】解： （1）由题意知，4a8，则 a2， 第 19 页（共 22 页） 由椭圆离心率 e，则 b23 椭圆 C 的方程； （2）由题意，当直线 AB 的斜率不存在，此时可设 A（x0，x0） ，B（x0，x0） 又 A，B 两点在椭圆 C 上， ， 点 O 到直线 AB 的距离， 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB
38、 的方程为 ykx+m设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立方程，消去 y 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120 由已知0，x1+x2，x1x2， 由 OAOB，则 x1x2+y1y20，即 x1x2+（kx1+m） （kx2+m）0， 整理得： （k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m20， 7m212（k2+1） ，满足0 点 O 到直线 AB 的距离 d为定值 综上可知：点 O 到直线 AB 的距离 d为定值 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达 定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题 21 （
39、12 分）设双曲线1（a，b0）的实轴长为 4，焦点到渐近线的距离为 （1）求此双曲线的方程； （2）已知直线 yx2 与双曲线的右支交于 A，B 两点，且在双曲线的右支上存在点 第 20 页（共 22 页） C，使得+m，求 m 的值及点 C 的坐标 【分析】 （1）由实轴长可得 a 值，由焦点到渐近线的距离可得 b，c 的方程，再由 a，b， c 间的平方关系即可求得 b； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x0，y0） ，则 x1+x2mx0，y1+y2my0，联立直线 方程与双曲线方程消掉 y 得 x 的二次方程，由韦达定理可得 x1+x2，进而求得 y1+y2，从
40、 而可得，再由点 D 在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得 C 点坐标，从而求得 m 值 【解答】解： （1）由实轴长为 4，得 a2， 渐近线方程为 yx，即 bx2y0， 焦点到渐近线的距离为， ，又 c2b2+a2，b23， 双曲线方程为：1； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x0，y0） ，则 x1+x2mx0，y1+y2my0， 由直线与双曲线方程联立，可得，x1+x216， y1+y2（x1+x2）4412， ，解得 x04，y03，m4， C（4，3） ，m4 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线 性运算，考查学生分
41、析问题解决问题的能力 22 （12 分）已知点 C 为圆（x+1）2+y28 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A（1，0）和 AP 上的点 M，满足0，2 （）当点 P 在圆上运动时，判断 Q 点的轨迹是什么？并求出其方程； （）若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2+y21 相切，与（）中所求点 Q 的轨迹交于不同的 第 21 页（共 22 页） 两点 F，H，且（其中 O 是坐标原点）求 k 的取值范围 【分析】 （）求出|CP|QC|+|QP|2|CA|2，求出对应的 a，c，b 的值，从而求 出 Q 的轨迹方程即可； （）设出直线方程，根据直线和圆相切以及
42、二次函数的性质求出的范围即可 【解答】解： （）由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线， 所以|CP|QC|+|QP|QC|+|QA|2|CA|2， 所以点 Q 的轨迹是以点 C，A 为焦点，焦距为 2，长轴为 2的椭圆， a，c1，b1， 故点 Q 的轨迹方程是+y21； （）设直线 l：ykx+b，F（x1，y1） ，H（x2，y2） ， 直线 l 与圆 x2+y21 相切， 故1，解得：b2k2+1， 联立， 故（1+2k2）x2+4kbx+2b220， 16k2b24（1+2k2） （b21）8（2k2b2+1）8k20， 故 k0，x1+x2，x1x2， x1x2+y1y2（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2 +k2+1 ， 所以， k2， 第 22 页（共 22 页） 故|k|， 故k或k， 故所求范围为， 【点评】本题考查了直线和圆的关系，考查椭圆的方程以及二次函数的性质，考查向量 的运算，是一道综合题