1、2019-2020 学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求有一个选项是符合题目要求 1 （5 分）命题“xR，x2+10”的否定是（ ） AxR，x2+10 BxR，x2+10 CxR，x2+10 DxR，x2+10 2 （5 分）双曲线1 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 3 （5 分）若 aR，则“1a2”是“a23a0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要
2、条件 4 （5 分）椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，一条直线经过 F1与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为（ ） A B6 C D12 5 （5 分）为比较甲，乙两地某月 14 时的气温，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时 的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论： 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的
3、统计结论的编号为（ ） A B C D 6 （5 分）执行如图的程序框图，若输出的结果为 10，则判断框中的条件是（ ） 第 2 页（共 22 页） Ai4 Bi5 Ci6 Di7 7 （5 分）袋中有大小相同 4 个小球，编号分别为 1，2，3，4，从袋中任取两个球（不放回） ， 则这两个球编号正好相差 1 的概率是（ ） A B C D 8 （5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：x2y21 上的一点，F1，F2是 C 上的两个焦点， 若，则 x0的取值范围是（ ） A B C D （，11，） 9 （5 分） 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y （万元） ， 有如
4、下的统计资料： x 1 2 3 4 5 y 5 6 7 8 10 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为 20 年时，维修费用约为（ ） A26.2 B27 C27.6 D28.2 10 （5 分）已知 F 是抛物线 y22x 的焦点，准线与 x 轴的交点为 M，点 N 在抛物线上，且 第 3 页（共 22 页） |MN|2|NF|，则FMN 等于（ ） A30 B45 C60 D75 11 （5 分）已知双曲线方程为 x2y24，过点 A（3，1）作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，若点 A 恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为（ ） Ay3x8
5、 By3x+8 Cy3x10 Dy3x+10 12 （5 分）已知 F1（1，0） ，F2（1，0）是椭圆 C1与双曲线 C2共同的焦点，椭圆的一个 短轴端点为 B，直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行，椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分 别为 e1，e2，则 e1+e2取值范围为（ ） A2，+） B4，+） C （4，+） D （2，+） 二、填空题，共二、填空题，共 16 分分 13 （5 分）一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人用分层抽样的 方法从全体职工中抽取一个容量为 50 的样本，应抽取女职工 人 14 （5 分）若点 P 在双曲线1 上，它
6、的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同， 则点 P 与双曲线的左焦点的距离为 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是 16 （5 分）椭圆1 的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且F1PF290， 则F1PF2的面积是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 设命题 q： 对任意实数 x， 不等式 x22x+m0 恒成立； 命题 q： 方程 表
7、示焦点在 x 轴上的双曲线 （1）若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若命题： “pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了 100 个用户，得到 用户对产品的满意度评分频率分布表如下： 组别 分组 频数 频率 第一组 （50，60 10 0.1 第 4 页（共 22 页） 第二组 （60，70 20 0.2 第三组 （70，80 40 0.4 第四组 （80，90 25 0.25 第五组 （90，100） 5 0.05 合计 100 1 （1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品
8、的满意度评分超过 70 分的概率； （2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若 平均分低于 75 分，视为不满意判断该地区用户对产品是否满意？ 19 （12 分）已知椭圆经过两点（0，1） ， （）求椭圆 E 的方程； （）若直线 l：xy10 交椭圆 E 于两个不同的点 A，B，O 是坐标原点，求AOB 的面积 S 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px 上一点到焦点 F 距离为 1， （1）求抛物线 C 的方程； （2）直线 l 过点（0，2）与抛物线交于 M，N 两点，若 OMON，求直线的方程 21 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每
9、玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与但 都不超过 4 小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）已知椭
10、圆1（ab0）的离心率 e，左、右焦点分别为 F1、F2，点，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 ， ，且 +，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）期中数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个
11、选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是有一个选项是符合题目要求符合题目要求 1 （5 分）命题“xR，x2+10”的否定是（ ） AxR，x2+10 BxR，x2+10 CxR，x2+10 DxR，x2+10 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命 题的否定 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题“xR，x2+10”的否定“xR，x2+10” ， 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等 号的变化，考查转换能力，属于基础题 2 （5 分）双曲线1 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx
12、 Cyx Dyx 【分析】渐近线方程是0，整理后就得到双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线标准方程为1， 其渐近线方程是0， 整理得 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐 第 7 页（共 22 页） 近线方程属于基础题 3 （5 分）若 aR，则“1a2”是“a23a0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由 a23a0，解得 0a3，即可判断出结论 【解答】解：由 a23a0，解得 0a3， “1a2”是“a23a0”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的解法、简易
13、逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 4 （5 分）椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，一条直线经过 F1与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为（ ） A B6 C D12 【分析】 椭圆的焦点在 x 轴上， a， b1， 由椭圆的定义可知： |AF1|+|AF2| 2a，|BF1|+|BF2|2a，ABF2 的周长 L|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a 【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在 x 轴上，a，b1， 由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|2a，|BF1|+|BF2|2a， ABF2 的周长 L|AB|+|BF2|+|AF2|AF1|+|AF
14、2|+|BF1|+|BF2|4a4， ABF2 的周长 L4， 故选：C 【点评】本题考查椭圆性质的简单应用，考查椭圆的定义，属于基础题 5 （5 分）为比较甲，乙两地某月 14 时的气温，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时 的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论： 第 8 页（共 22 页） 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其
15、中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ） A B C D 【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度， 进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案 【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度 分别为： 甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32； 可得：甲地该月 14 时的平均气温：（26+28+29+31+31）29， 乙地该月 14 时的平均气温：（28+29+30+31+32）30， 故甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时温度的方差为：（26
16、29）2+（2829）2+（2929）2+（31 29）2+（3129）23.6 乙地该月 14 时温度的方差为：（2830）2+（2930）2+（3030）2+（31 30）2+（3230）22， 故， 所以甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温标准差 故选：B 【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基 础题 6 （5 分）执行如图的程序框图，若输出的结果为 10，则判断框中的条件是（ ） 第 9 页（共 22 页） Ai4 Bi5 Ci6 Di7 【分析】模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环 时，变量
17、 i 值所要满足的要求，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，i1 满足判断框内的条件，执行循环体，S1，i2， 满足判断框内的条件，执行循环体，S3，i3， 满足判断框内的条件，执行循环体，S6，i4， 满足判断框内的条件，执行循环体，S10，i5， 由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 10 可得判断框内的条件为 i5？ 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法， 但要注意过程中对变量值的管理，以免产生混乱，属于基础题 7 （5 分）袋中有大小相同 4 个小球，编号分别为 1，2，3，4，从袋中任取两个球
18、（不放回） ， 则这两个球编号正好相差 1 的概率是（ ） 第 10 页（共 22 页） A B C D 【分析】先求出基本事件总数，再由列举法这两个球编号正好相差 1，由此能求出这两个 球编号正好相差 1 的概率 【解答】解：一个袋子中有号码为 1，2，3，4 大小相同的 4 个小球， 从袋中任取两个球（不放回） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）基 本事件总数为 6 个， 这两个球编号正好相差 1 基本事件有： （1，2） ， （2，3） ， （3，4） ，共 3 个， 则这两个球编号正好相差 1 的概率是， 故选：B 【点评】本
19、题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 8 （5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：x2y21 上的一点，F1，F2是 C 上的两个焦点， 若，则 x0的取值范围是（ ） A B C D （，11，） 【分析】将 M 代入双曲线的方程，求得两焦点的坐标，运用向量的数量积的坐标表示， 解不等式即可得到 M 的横坐标的范围 【解答】解：由题意可得 x02y021， F1，F2是 C 上的两个焦点，且为（，0） ， （，0） ， 由， 可得（x0，0y0） （x0，0y0）0， 即为（x0） （x0）+（y0）20， 即有 x02+y022， 由可得 2x023，
20、由 x01 或 x01 解得x01 或 1x0 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程的运用，向量数量积的坐标表示，以及解不等式的能力， 属于中档题 第 11 页（共 22 页） 9 （5 分） 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y （万元） ， 有如下的统计资料： x 1 2 3 4 5 y 5 6 7 8 10 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为 20 年时，维修费用约为（ ） A26.2 B27 C27.6 D28.2 【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心 点，根据样本中心点在线性回归直线上，
21、把样本中心点代入求出 a 的值，写出线性回归 方程，代入 x 的值，预报出结果 【解答】解：由表格可知 3， 7.2， 这组数据的样本中心点是（3，7.2） ， 根据样本中心点在线性回归直线上， 7.2a+1.23， a3.6， 这组数据对应的线性回归方程是 y1.2x+3.6， x20， y1.220+3.627.6 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二 乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求 a 的值，这样使得题目简化，注意运 算不要出错 10 （5 分）已知 F 是抛物线 y22x 的焦点，准线与 x 轴的交点为 M，点 N 在抛物
22、线上，且 |MN|2|NF|，则FMN 等于（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】过 N 作 NE 垂直于准线与 E，由抛物线的定义得|NE|NF|；在 RTENM 中求 出EMN30即可得到结论 【解答】解：过 N 作 NE 垂直于准线与 E 由抛物线的定义得：|NE|NF| 第 12 页（共 22 页） 在 RtENM 中，因为|EN|NF|MN|， 所以EMN30 故FMN90EMN60 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线的简单性质解题的关键在于利用抛物线的定义得到|NE| |NF| 11 （5 分）已知双曲线方程为 x2y24，过点 A（3，1）作直线 l 与该双曲线交于
23、M，N 两点，若点 A 恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为（ ） Ay3x8 By3x+8 Cy3x10 Dy3x+10 【分析】由题意可知设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则，求得： （x1x2） （x1+x2） （y1+y2） （y1y2）0，由中点坐标公式可知：x1+x2236，y1+y2212，代 入可知：直线 MN 的斜率为 k3，利用点斜式方程，即可求得直线 MN 的方 程 【解答】解：由双曲线方程为 x2y24 为等轴双曲线，焦点在 x 轴上， 过点 A（3，1）作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， ，两式相减可得：
24、（x1x2） （x1+x2）（y1+y2） （y1y2）0， A 为 MN 的中点， x1+x2236，y1+y2212， 6（x1x2）2（y1y）0， 第 13 页（共 22 页） 则3， 直线 MN 的斜率为 k3 由直线的点斜式方程可知：y13（x3） ，整理得：y3x8， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点 坐标公式及直线的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知 F1（1，0） ，F2（1，0）是椭圆 C1与双曲线 C2共同的焦点，椭圆的一个 短轴端点为 B，直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行，椭圆 C1与双
25、曲线 C2的离心率分 别为 e1，e2，则 e1+e2取值范围为（ ） A2，+） B4，+） C （4，+） D （2，+） 【分析】设椭圆的长轴为 2a，短轴为 2b；双曲线的实轴为 2a，虚轴为 2b由椭圆、双 曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得，即有（） 2（ ）2，可得 e1e21由此结合基本不等式求最值，即可算出 e1+e2取值范围 【解答】解：设椭圆的长轴为 2a，短轴为 2b；双曲线的实轴为 2a，虚轴为 2b， 椭圆的一个短轴端点为 B，直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行， ，平方可得 由此得到， 即， 也即（）2（）2，可得 e1e21， e1、e2
26、都是正数， e1+e222，且等号不能成立 因此 e1+e2取值范围为（2，+） 故选：D 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题给出椭圆与双曲线有公共的焦点，在椭圆的短轴端点 B 与 F1的连线平行双 曲线的一条渐近线情况下，求离心率之和的范围着重考查了椭圆、双曲线的标准方程 与简单几何性质等知识，属于中档题 二、填空题，共二、填空题，共 16 分分 13 （5 分）一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人用分层抽样的 方法从全体职工中抽取一个容量为 50 的样本，应抽取女职工 20 人 【分析】根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论 【解答
27、】解：一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人， 5020 人， 故答案为：20 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本 方法，比较基础 14 （5 分）若点 P 在双曲线1 上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同， 则点 P 与双曲线的左焦点的距离为 11 【分析】根据点 P 在双曲线 1 上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相 同，可求出 P 点坐标，进而求出 P 与双曲线的右焦点的距离，根据双曲线的定义，可得 P 与双曲线的左焦点的距离 【解答】解：双曲线 1 的右焦点坐标为（2，0） 由点 P 的横坐标与双曲线
28、的右焦点的横坐标相同， 可设 P 的坐标为（2，y） ，代入1 得 解得 y3 即 P 与双曲线的右焦点的距离为|y|3 则点 P 与双曲线的左焦点的距离为 3+2a3+811 故答案为：11 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的定义是解答的关键 第 15 页（共 22 页） 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是 【分析】根据ABF2是正三角形，且直线 AB 与椭圆长轴垂直，得到 F2F1是正三角形 ABF2的高，AF2F130在 RtAF2F1中，设|AF1
29、|m，可得，所以|AF2| 2m，用勾股定理算出|F1F2|m，得到椭圆的长轴 2a|AF1|+|AF2|3m，焦距 2c m，所以椭圆的离心率为 e 【解答】解：ABF2是正三角形， AF2B60， 直线 AB 与椭圆长轴垂直， F2F1是正三角形ABF2的高，AF2F16030， RtAF2F1中，设|AF1|m，sin30， |AF2|2m，|F1F2| 因此，椭圆的长轴 2a|AF1|+|AF2|3m，焦距 2cm 椭圆的离心率为 e 故答案为： 【点评】本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离 心率着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题 16
30、（5 分）椭圆1 的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且F1PF290， 则F1PF2的面积是 1 第 16 页（共 22 页） 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式即可得出 【解答】解：由椭圆定义，|PF1|+|PF2|2a4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|4a216， 由勾股定理，|PF1|2+|PF2|24c212， |PF1|PF2|2（a2c2）2b22， 则F1PF2的面积 S|PF1|PF2|b21 故答案为：1 【点评】熟练掌握椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式是解题的关键、属于中档 题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共
31、 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 设命题 q： 对任意实数 x， 不等式 x22x+m0 恒成立； 命题 q： 方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线 （1）若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若命题： “pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由方程表示焦点在 x 轴上的双曲线可得，得 m 范 围 （2）由不等式 x22x+m0 恒成立，可得0，由 pq 为假命题，pq 为真命题， 可得 p，q 一真一假 【解答】解： （1）方程表示焦点在
32、x 轴上的双曲线 ，得 m3； 当 m3 时，q 为真命题 （2）不等式 x22x+m0 恒成立44m0， m1，当 m1 时，p 为真命题 pq 为假命题，pq 为真命题，p，q 一真一假； 当 p 真 q 假 第 17 页（共 22 页） 当 p 假 q 真，无解 综上，m 的取值范围是1，3 【点评】本题考查了不等式的解法、双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定 及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了 100 个用户，得到 用户对产品的满意度评分频率分布表如下： 组别 分组 频数 频率 第一组 （50，
33、60 10 0.1 第二组 （60，70 20 0.2 第三组 （70，80 40 0.4 第四组 （80，90 25 0.25 第五组 （90，100） 5 0.05 合计 100 1 （1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过 70 分的概率； （2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若 平均分低于 75 分，视为不满意判断该地区用户对产品是否满意？ 【分析】 （1）根据频率估计概率即可求出， （2）根据中位数众数，平均数的定义求出，再分析数据即可 【解答】解： （1）用频率估计相应的概率为 0.4+0.25+0.050.7， （2
34、）设中位数约为 a，则，得 a75， 中位数为 75， 值分别为 55、65、75、85、95， 故平均值约 550.1+650.2+750.4+850.25+950.0574.5， 74.575， 该地区用户对产品是不满意的 【点评】本题考查了频率分布表和众数中位数，平均数的问题，以及数据的分析，属于 基础题 第 18 页（共 22 页） 19 （12 分）已知椭圆经过两点（0，1） ， （）求椭圆 E 的方程； （）若直线 l：xy10 交椭圆 E 于两个不同的点 A，B，O 是坐标原点，求AOB 的面积 S 【分析】 （）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可 得 a、b 的
35、值，即可得椭圆的方程； （）记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与椭圆的方程，5y2+2y30，解可得 y 的 值，即可得直线 l 与 x 轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案 【解答】 解：（） 根据题意， 椭圆经过两点 （0， 1） ， 则有，解得：a2，b1 即椭圆 E 的方程为+y21 （）记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 xy+1 由消去 x 得 5y2+2y30， 所以 设直线 l 与 x 轴交于点 P（1，0） S|OP|y1y2| S 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关
36、键是求出椭圆的标 准方程 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px 上一点到焦点 F 距离为 1， （1）求抛物线 C 的方程； （2）直线 l 过点（0，2）与抛物线交于 M，N 两点，若 OMON，求直线的方程 【分析】 （1）利用抛物线的定义建立方程，求出 p，即可求出抛物线 C 的方程； （2）联立得 ky22y+40，利用 OMON，即 x1x2+y1y20， 求出 k，即可求直线的方程 【解答】解： （1）依据抛物线的定义知：A 到抛物线焦点 F 的距离为， 所以 p1，抛物线的方程为 y22x；（5 分） （2）依题意，直线 l 的方程设为 ykx+2（k0） ，M（x1，y
37、1） ，N（x2，y2） ， 联立得 ky22y+40， 由416k0，得；（7 分） OMON，即 x1x2+y1y20（9 分） ，即，解得 k1（11 分） 所以直线 l 的方程为 yx+2，即 x+y201（2 分） 【点评】此题主要考查直线与抛物线相交后的一系列问题，其中涉及到韦达定理的考查， 在交点问题的求法中应用很广泛，需要理解记忆 第 20 页（共 22 页） 21 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与但 都不超过 4 小时，甲、乙二人
38、在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 【分析】 （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34，由此利用列举 法能求出“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率 （2）由已知 0x1，0y1 点（x，y）在正方形 OABC 内，作出条
39、件的 区域，由此能求出顾客中奖的概率 【解答】解： （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为： （10，10） ， （10，18） ， （10，26） ， （10，34） ， （18，10） ， （18，18） ， （18，26） ， （18， 34） ， （26，10） ， （26，18） ， （26，26） ， （26，34） ， （34，10） ， （34，18） ， （34，26） ， （34， 34）共 16 种情形 （4 分） 其中， （10，34） ， （18，26） ， （26，18） ， （34，10）
40、这 4 种情形符合题意 第 21 页（共 22 页） 故“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率为 （6 分） （2）由已知 0x1，0y1 点（x，y）如图的正方形 OABC 内， 由条件，得到的区域为图中阴影部分， （9 分） 由 x2y+10，令 x0 得；令 x1 得 y1； 由条件满足的区域面积 （11 分） 设顾客中奖的事件为 N，则顾客中奖的概率 （12 分） 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型 的合理运用 22 （12 分）已知椭圆1（ab0）的离心率 e，左、右焦点分别为 F1、F2，点，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆
41、 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 ， ，且 +，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标 【分析】 （1）根据椭圆的离心率求得 a 和 c 的关系，进而根据椭圆 C 的左、右焦点分别 为 F1（c，0） ，F2（c，0）又点 F2在线段 PF1的中垂线上推断|F1F2|PF2|，进而求得 c，则 a 和 b 可得，进而求得椭圆的标准方程 （2）设直线 MN 方程为 ykx+m，与椭圆方程联立消去 y，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 根据韦达定理可表示出 x1+x2和 x1x2，表示出直线 F2M
42、 和 F2N 的斜率，由 + 可推 断两直线斜率之和为 0， 把 x1+x2和 x1x2代入即可求得 k 和 m 的关系， 代入直线方程进而 可求得直线过定点 第 22 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由椭圆 C 的离心率得，其中， 椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0）又点 F2在线段 PF1的中垂线上 |F1F2|PF2|，解得 c1，a22，b21， （2）由题意，知直线 MN 存在斜率，设其方程为 ykx+m由 消去 y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m220设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则（4km）24（2k2+1） （2m22）0 即 2k2m2+10 则，且 由已知 +，得 化简，得 2kx1x2+（mk） （x1+x2）2m0 整理得 m2k 直线 MN 的方程为 yk（x2） ，因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为（2，0） 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程考查了学生对问题的综合分析和基本的运算 能力