1、2019-2020 学年江苏省南京师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在第分在第 1 题第题第 10 题给出的四个选题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）设 （2，2，t） ， （6，4，5）分别是平面 ， 的法向量若 ， 则实数 t 的值是（ ） A3 B4 C5 D6 2 （3 分）设点 P 为椭圆 C：+1 上一点，则点 P 与椭圆 C 的两个焦点构成的三角 形的周长为（ ） A14 B15 C16 D17 3 （3 分）把一个体积为 64cm3、表面涂有红色的
2、正方体木块锯成 64 个体积为 1cm3的小正 方体 从这 64 个小正方体中随机取出 1 块， 则这 1 块至少有 1 面涂有红色的概率是 （ ） A B C D 4 （3 分）若双曲线 x21 的一条渐近线的斜率是2，则实数 k 的值为（ ） A4 B C4 D 5 （3 分）已知空间三点坐标分别为 A（1，1，1） ，B（0，3，0） ，C（2，1，4） ，点 P （3，x，3）在平面 ABC 内，则实数 x 的值为（ ） A1 B2 C0 D1 6 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）的左右顶点分别是 A1，A2，M 是双曲线 上任意一点，若直线 MA1和 MA2的斜率之积
3、等于 5，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B C6 D 7 （3 分）一抛物线型拱桥，当水面离拱顶 2m 时，水面宽 2m，若水面下降 4m，则水面宽 度为（ ） Am B2m C4m D6m 8 （3 分）已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0 的点 M 总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是（ ） 第 2 页（共 22 页） A （0，1） B （0， C （0，） D，1） 9 （3 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，短轴长为 2，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点若，则 k（ ） A1 B C D2 10 （3 分）已知 F 是抛物线
4、 C：y24x 的焦点，过点 F 作倾斜角为的直线与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，若 M（1，0） ，则 sinPMQ（ ） A B C D 在第在第 11、12 题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 3 分，不全的分，不全的 或有选错的得或有选错的得 0 分分 11 （3 分）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果（2，1，4） ， （4，2，0） ，（1，2，1） 下列结论正确的有（ ） AAPAB BAPAD C是平面 ABCD 的一个法向量 D 12（
5、3 分） 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+y21+|xy|就是其中之一 给 出下列四个结论，其中正确的选项是（ ） A曲线 C 关于坐标原点对称 B曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C曲线 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1 D曲线 C 所围成的区域的面积小于 4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13 （3 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是
6、 B1C1的中点，且x+y+z， 则 x+y+z 的值为 14 （3 分）已知 m 为实数，直线 mx+y10 与椭圆+y21 的交点个数为 第 3 页（共 22 页） 15 （3 分）今年，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收 垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况， 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） 则 估计生活垃圾投放错误的概率是 “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 230
7、 30 其他垃圾 20 20 70 16 （3 分）设双曲线y21，F1是它的左焦点，直线 l 通过它的右焦点 F2，且与双曲 线的右支交于 A，B 两点，则|的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 17 （8 分）从 4 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人参加演讲比赛 （1）求所选 2 人恰有 1 名男生的概率； （2）求所选 2 人中至少有 1 名女生的概率 18 （10 分）在长方体 ABC
8、DA1B1C1D1中，AB，BC1，AA12，E 为 A1D 的中点 （1）求直线 EC1与 A1B 所成角的余弦值； （2）若 F 为 BC 的中点，求直线 EC1与平面 FA1D1所成角的正弦值 19 （10 分）若椭圆 C：1（ab0）经过点（1，） ，离心率为过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点 （1）求实数 a、b 的值； （2）若 AB，求直线 AB 的方程 第 4 页（共 22 页） 20 （12 分）将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面 CBD， 又 AE平面 ABD （1）若 AE，求证：DEBC；
9、（2）若二面角 ABED 的大小为，求线段 AE 的长 21 （12 分）设点 A 是抛物线 y24x 上到直线 l：yx+3 的距离最短的点，点 B 是抛物线上 异于点 A 的一点，直线 AB 与 l 相交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 C （1）求点 A 的坐标； （2）求证：直线 BC 过定点； （3）求ABC 面积的最小值 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年江苏省南京师大附中高二（上）期中数学试卷学年江苏省南京师大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每
10、小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在第分在第 1 题第题第 10 题给出的四个选题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）设 （2，2，t） ， （6，4，5）分别是平面 ， 的法向量若 ， 则实数 t 的值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由题意知 ，得出 0，列方程求出 t 的值 【解答】解：由题意知， ， 则 26+2（4）+5t0， 解得 t4 故选：B 【点评】本题考查了空间向量的数量积计算问题，是基础题 2 （3 分）设点 P 为椭圆 C：+1 上一点，则点 P 与椭圆 C 的两个焦点构成的三角 形的周长为（ ）
11、A14 B15 C16 D17 【分析】利用椭圆的定义与性质，求解三角形的周长即可 【解答】解：点 P 为椭圆 C：+1 上一点，则 a5，b4，c3， 点 P 与椭圆 C 的两个焦点构成的三角形的周长为：2a+2c10+616 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题 3 （3 分）把一个体积为 64cm3、表面涂有红色的正方体木块锯成 64 个体积为 1cm3的小正 方体 从这 64 个小正方体中随机取出 1 块， 则这 1 块至少有 1 面涂有红色的概率是 （ ） A B C D 【分析】从这 64 个小正方体中随机取出 1 块，基本事件总
12、数 n64，这个木块六个面都 第 6 页（共 22 页） 没有涂成红色包含的基本事件个数 m8， 由此利用对立事件概率计算公式能求出这 1 块 至少有 1 面涂有红色的概率 【解答】解：把一个体积为 64cm3、表面涂有红色的正方体木块锯成 64 个体积为 1cm3 的小正方体 从这 64 个小正方体中随机取出 1 块，基本事件总数 n64， 这个木块六个面都没有涂成红色包含的基本事件个数 m8， 则这 1 块至少有 1 面涂有红色的概率是 p11 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 4 （3 分）若双曲线 x21 的一条渐近
13、线的斜率是2，则实数 k 的值为（ ） A4 B C4 D 【分析】利用双曲线的渐近线的斜率，推出 k 即可 【解答】解：双曲线 x21 的一条渐近线的斜率是2， 可得2，解得 k4 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题 5 （3 分）已知空间三点坐标分别为 A（1，1，1） ，B（0，3，0） ，C（2，1，4） ，点 P （3，x，3）在平面 ABC 内，则实数 x 的值为（ ） A1 B2 C0 D1 【分析】用坐标表示向量、和，由 A、B、C、P 四点共面得+，列 方程组求出 、 和 x 的值 【解答】解：由题意知，（4，x1，2） ，（
14、1，2，1） ，（3， 2，3） ； 由 A、B、C、P 四点共面，则+（3，22，+3）（4， x1，2） ； 第 7 页（共 22 页） 由，解得， 则实数 x 的值为 1 故选：A 【点评】本题考查了共面向量的坐标表示和运算问题，也考查了运算求解能力，是基础 题 6 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）的左右顶点分别是 A1，A2，M 是双曲线 上任意一点，若直线 MA1和 MA2的斜率之积等于 5，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B C6 D 【分析】根据 M（x0，y0） （x0a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A1、A2是双 曲线的左右顶点，直线 MA1与直线 MA2的斜率之
15、积是 5，求出直线 MA1与直线 MA2的 斜率，然后整体代换，消去 x0，y0，再由 c2a2+b2，即可求得双曲线的离心率 【解答】解；设 M（x0，y0） （x0a）是双曲线1（a0，b0）上一点， 则，得到， 故， 又 A1（a，0） ，A2（a，0） ， 则， ， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，考 查化简整理的运算能力，属于中档题 7 （3 分）一抛物线型拱桥，当水面离拱顶 2m 时，水面宽 2m，若水面下降 4m，则水面宽 度为（ ） 第 8 页（共 22 页） Am B2m C4m D6m 【分析】建立直角坐标系，设
16、抛物线的方程为 x22py（p0） 利用当水面离拱顶 2m 时，水面宽 2m，可得 B（1，2） 代入抛物线方程可得 p设 D（x，6） ，代入抛物 线方程求得 x，则答案可求 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系 设抛物线的方程为 x22py（p0） 当水面离拱顶 2m 时，水面宽 2m，则 B（1，2） 代入抛物线方程可得 122p（2） ， 解得 p 抛物线的标准方程为：x2y 设 D（x，6） ，代入抛物线方程可得 x2（6） ， 解得 x |CD|2 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了 计算能力，是基础题 8 （3 分）已知 F1、
17、F2是椭圆的两个焦点，满足0 的点 M 总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是（ ） A （0，1） B （0， C （0，） D，1） 【分析】由0 知 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆又 第 9 页（共 22 页） M 点总在椭圆内部，cb，c2b2a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围 【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a，b，c， 0， M 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆 又 M 点总在椭圆内部， 该圆内含于椭圆，即 cb，c2b2a2c2 e2，0e 故选：C 【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公
18、式的选取，认真解答 9 （3 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，短轴长为 2，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点若，则 k（ ） A1 B C D2 【分析】利用已知条件求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆联立，由韦达定理代入通 过，即可求得 k 的值 【解答】解：椭圆 C：1（ab0）的离心率为，短轴长为 2，可得 b1， ，解得 a2，c，b1， 右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， ， y13y2， 设直线 AB 方程为 yk（x） ， 代入，消去 x，可得（+1）y
19、2+y0， 第 10 页（共 22 页） y1+y2，y1y2， 2y2，3y22， 解得：k 故选：B 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达 定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 10 （3 分）已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，过点 F 作倾斜角为的直线与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，若 M（1，0） ，则 sinPMQ（ ） A B C D 【分析】求得抛物线的焦点，可设直线方程为 y（x1） ，联立抛物线方程，求得交 点 P，Q，再由直线的斜率公式，分别求得 PM，QM 的斜率，再由三角函数的万能公式， 计算可得所求值 【解
20、答】解：抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0） ， 过点 F 作倾斜角为的直线方程为 y（x1） ， 联立抛物线方程 y24x，可得 3x210x+30， 解得 x3 或， 可设 P（3，2） ，Q（，） ， 由 M（1，0） ，可得 kPMtanPMF，kQM， 可得直线 PM，QM 关于 x 轴对称，即有PMQ2PMF， 则 sinPMQsin2PMF， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，考 查直线的斜率公式和三角函数的万能公式，考查运算能力，属于中档题 第 11 页（共 22 页） 在第在第 11、12 题给出的四个题给出的四个选项中
21、，有多项是符合题目要求的，全部选对的得选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 3 分，不全的分，不全的 或有选错的得或有选错的得 0 分分 11 （3 分）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果（2，1，4） ， （4，2，0） ，（1，2，1） 下列结论正确的有（ ） AAPAB BAPAD C是平面 ABCD 的一个法向量 D 【分析】由0 得出，判断 A 正确； 由0 得出，判断 B 正确； 由且得出是平面 ABCD 的一个法向量，判断 C 正确； 由是平面 ABCD 的法向量得出，判断 D 错误 【解答】解：对于 A，2（1
22、）+（1）2+（4）（1）0， ，即 APAB，A 正确； 对于 B，（1）4+22+（1）00，即 APAD，B 正确； 对于 C，由，且，得出是平面 ABCD 的一个法向量，C 正确； 对于 D，由是平面 ABCD 的法向量，得出，则 D 错误 故选：ABC 【点评】本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题 12（3 分） 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+y21+|xy|就是其中之一 给 出下列四个结论，其中正确的选项是（ ） A曲线 C 关于坐标原点对称 B曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C曲线
23、 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1 D曲线 C 所围成的区域的面积小于 4 第 12 页（共 22 页） 【分析】将 x 换成x，y 换成y，方程不变，所以图形关于（0，0）对称；再结合基本 不等式就可求解 【解答】解：将 x 换成x，y 换成y，方程不变，所以图形关于（0，0）对称；故 A 正 确； x2+y21+|xy|2|xy|xy|1，要使得 x，y 均为整数，则 x，y 只能为 0，1，1，则可得 整点有 8 个： （1，1） ， （0，1） ， （1，0） ，故 B 错误； 因为 x2+y21+|xy|1，曲线 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1，故 C
24、正确； 令 x（0，1） ，y0 可得 y2xy+x210， 记函数 f（y）y2xy+x21，可得43x20，所以函数有两个零点， 又因为 f（0）0，f（1）x2x0，故两个零点一个小于 0，一个大于 1，即曲线 C 上横坐标 x（0，1）时 y1； 同理 y（0，1）时，x1； 即第一象限部分图象应在 y1，x1 与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可 得面积应大于 4，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，也考查了新定义的应用问题，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分请把答案填写在
25、答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13 （3 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是 B1C1的中点，且x+y+z， 则 x+y+z 的值为 【分析】画出正方体，用向量、和表示出向量，求出 x、y，z 的值即可得出 结论 【解答】解：如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是 B1C1的中点， 则+x+y+z， 所以 x+y+z+1+1 故答案为： 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查了正方体的结构特征和向量加减运算问题，是基础题 14 （3 分）已知 m 为实数，直线 mx+y10 与椭圆+y21 的交点个数为 2 【分析】先
26、整理直线方程判断出直线恒过的点，然后把此点代入椭圆方程判断此点是在 椭圆内部还是外部，在内部过此点的直线与椭圆一定有两个交点 【解答】解：mx+y10， 直线恒过（0，1）点， 椭圆+y21 的焦点坐标在 x 轴时，|m|1，此时（0，1）是椭圆的上顶点，直线与椭 圆有 2 个交点 当椭圆的焦点坐标在 y 轴时，|m|1，并且 m0，此时（0，1）是椭圆的上顶点，直线 与椭圆有 2 个交点 故答案为：2 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系考查了学生分析问题的能力和数形结 合思想的运用 15 （3 分）今年，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收 垃圾和其他垃圾三
27、类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况， 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） 则 估计生活垃圾投放错误的概率是 “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 230 30 第 14 页（共 22 页） 其他垃圾 20 20 70 【分析】设生活垃圾投放错误为事件 A，则其对立事件 表示生活垃圾投放正确， 先求 P（ ） ，由对立事件的关系可得答案 【解答】解：设生活垃圾投放错误为事件 A，则其对立事件 表示生活垃圾投放正确； 事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “
28、可回收物”箱里可回收物量 与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量， 即 P（ ）， 所以 P（A）1 故答案为： 【点评】本题考查了古典概型的概率和对立事件的概率计算问题，是基础题 16 （3 分）设双曲线y21，F1是它的左焦点，直线 l 通过它的右焦点 F2，且与双曲 线的右支交于 A，B 两点，则|的最小值为 【分析】由双曲线方程求出双曲线右焦点坐标，当直线的斜率存在时，设出直线方程， 代入双曲线方程，利用根与系数的关系及双曲线定义求得|； ）当直线 AB 垂直于 x 轴时，求得|，可得|，可知当直线 AB 垂 直于 x 轴时|取最小值为 【解答】解：双曲线的右焦点为 F2（
29、，0） ， （1）当直线的斜率存在时，设直线 AB 的方程为：yk（x） ， 代入双曲线方程，消去 y 得（14k2）x2+8k2x20k240， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x2，x1x2， |（+2） （x2+2）x1x2+（x1+x2）+4 ， |； 第 15 页（共 22 页） （2）当直线 AB 垂直于 x 轴时，得|， |2a+， | 由（1） ， （2）得：当直线 AB 垂直于 x 轴时|取最小值为 故答案为： 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线定义的应用，体现了分类讨论 的数学思想方法，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共
30、5 小题，共小题，共 52 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 17 （8 分）从 4 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人参加演讲比赛 （1）求所选 2 人恰有 1 名男生的概率； （2）求所选 2 人中至少有 1 名女生的概率 【分析】 （1）记 4 名男生分别是 B1、B2、B3、B4，2 名女生分别为 G1、G2，从中选取 2 人，由此能求出从中选 2 人恰有 1 名男生的概率 （2）由题意，选 2 人中至少有 1 名女生和选 2 人中没有女生是对立事件，记选 2 人中至 少有 1
31、 名女生为事件 B，选 2 人中没有女生为事件 C，由此利用对立事件概率计算公式 能求出结果 【解答】解： （1）记 4 名男生分别是 B1、B2、B3、B4，2 名女生分别为 G1、G2，从中选 取 2 人，有如下基本事件： （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B1，B4） ， （B1，G1） ， （B1，G2） ， （B2，B3） ， （B2，B4） ， （B2，G1） ， （B2，G2） ， （B3，B4） ， （B3，G1） ， （B3，G2） ， （B4，G1） ， （B4，G2） ， （G1，G2） ， 共 15 个基本事件，它们是等可能的 从中选 2 人恰有 1 名男生的基
32、本事件有： （B1，G1） ， （B1，G2） ， （B2，G1） ， （B2，G2） ， （B3，G1） ， （B3，G2） ， （B4，G1） ， （B4， G2） ，共 8 个基本事件 记从中选 2 人恰有 1 名男生为事件 A， 第 16 页（共 22 页） 则 P（A） （2）由题意，选 2 人中至少有 1 名女生和选 2 人中没有女生是对立事件， 记选 2 人中至少有 1 名女生为事件 B，选 2 人中没有女生为事件 C， 则 P（B）1P（C） 选 2 人中没有女生的基本事件有： （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B1，B4） ， （B2，B3） ， （B2，B4） ，
33、（B3，B4） ，共 6 个基本事件， 则 P（C）， 故 P（B）1P（C）1 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法和对立事件概率计算公式等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 18 （10 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB，BC1，AA12，E 为 A1D 的中点 （1）求直线 EC1与 A1B 所成角的余弦值； （2）若 F 为 BC 的中点，求直线 EC1与平面 FA1D1所成角的正弦值 【分析】 （1）建立直角坐标系，写出每个点的坐标，求出直线 EC1与 A1B 所成角的余弦 值； （2）求出平面 FA1D1的法向量 （x，y，z） ，设直线 EC1与平
34、面 FA1D1所成角为 ， ，利用 sin|cos， |求出结果 【解答】解： （1）以 A1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A1xyz 第 17 页（共 22 页） 设直线 EC1与 A1B 所成角为 ，与所成角为 则各点坐标为 A1（0，0，0） ，D（0，1，2） ，E（0，1） ，C1（，1，0） ，B（， 0，2） ， 所以，（，1） ，（，0，2） 所以， 所以，直线 EC1与 A1B 所成角的余弦值为 （2）由题意，B（，0，2） ，C（，1，2） ，D1（0，1，0） ，则（0，1，0） ， 因为 F 位 BC 中点，所以 F（，2） ，则（，2） 设平面
35、 FA1D1的法向量为 （x，y，z） ， 则，得平面 FA1D1的法向量 （2，0，） ， 由题（1）知（，1） ， 所以 cos， 设直线 EC1与平面 FA1D1所成角为 ， 则 sin|cos， | 【点评】 （1）考查利用相量法求异面直线所成的角； （2）考查法向量的求法，直线与平 面所成的角，中档题 第 18 页（共 22 页） 19 （10 分）若椭圆 C：1（ab0）经过点（1，） ，离心率为过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点 （1）求实数 a、b 的值； （2）若 AB，求直线 AB 的方程 【分析】 （1）根据题意可得a2b，再根据点在椭圆上，即可
36、求出 a，b， （2）可设直线 AB 的方程为 xmy+1，根据弦长公式，即可求出 【解答】解： （1）因为椭圆离心率为，且 a2b2+c2，所以a2b， 又因为椭圆+1（ab0）经过点（1，） ，所以+1， 解得 a2，b， （2）当直线 AB 斜率为 0 时，AB2a4，不符合题意 所以可设直线 AB 的方程为 xmy+1， 与椭圆方程联立得： （3m2+4）y2+6my90，36m2+36（3m2+4）0， 则 yA+yB，yAyB， AB|yAyB|， 所以 m2，m， 故直线 AB 的方程为 xy10 【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，同时考查了学生的化简运算能力及分类讨 论的
37、思想方法应用 20 （12 分）将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面 CBD， 又 AE平面 ABD （1）若 AE，求证：DEBC； （2）若二面角 ABED 的大小为，求线段 AE 的长 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）推导出 ABAD，CBCD，AEAB，AEAD，以点 A 为原点，AB，AD， AE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz作 CFBD，垂足为 F利用向 量法能求出直线 DE 与直线 BC 所成角 （2）设 AE 的长度为 a（a0） ，则 E（0，0，a） 由 ADAE，ADAB，AE，AB平 面 A
38、BE，得 AD平面 ABE，利用向量法能求出 AE 的长度 【解答】解： （1）证明：因为正方形 ABCD 的边长为 2 所以 ABAD，CBCD，ABADCDBC2 又 AE平面 ABD，AB，AD平面 ABD， 所以 AEAB，AEAD， 以点 A 为原点，AB，AD，AE 所在直线为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系 Axyz 作 CFBD，垂足为 F 因为平面 ABD平面 CBD，CF平面 CBD， 平面 ABD平面 CBDBD， 所以 CF平面 ABD 因为 CBCD2，所以点 F 为 BD 的中点，CF， 因为 AE，所以 E（0，0，） ，F（2，0，0） ，D（0，2，0）
39、，F（1，1，0） ， C（1，1，） ， 所以（0，2，） ，（1，1，） ，0， 所以，所以直线 DE 与直线 BC 所成角为 （2）设 AE 的长度为 a（a0） ，则 E（0，0，a） 由 ADAE，ADAB，AE，AB平面 ABE，且 AEABA，得 AD平面 ABE， 所以平面 ABE 得一个法向量为（0，1，0） 设平面 BDE 的法向量（x1，y1，z1） ， 第 20 页（共 22 页） 又（2，0，a） ，（2，2，0） ， 所以，取 z12，则 x1y1a， 所以平面 BDE 的一个法向量为（a，a，2） ， 所以|cos|， 因为二面角 ABED 的大小为， 所以，解得
40、 a，所以 AE 的长度为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）设点 A 是抛物线 y24x 上到直线 l：yx+3 的距离最短的点，点 B 是抛物线上 异于点 A 的一点，直线 AB 与 l 相交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 C （1）求点 A 的坐标； （2）求证：直线 BC 过定点； （3）求ABC 面积的最小值 【分析】 （1）设抛物线上任意一点的坐标（t2，2t） ，运用点到直线的距离公式和二次函 数
41、的最值求法，可得 t1 时，d 取得最小值，可得 A 的坐标； （2）设点 B 的坐标为（m2，2m） （m1） 可得直线 AB 的方程，联立直线 yx+3，可 得 P 的坐标，由平行的条件可得 C 的坐标，讨论 BC 的斜率不存在和存在，求得直线 BC 的斜率和方程，结合直线恒过定点求法，可得所求定点； （3）可设 BC：x3k（y2） ，即 xky+32k，联立抛物线方程，运用韦达定理和三 第 21 页（共 22 页） 角形的面积公式可得 SABC|AQ|yByC|，代入化简，结合二次函数的最值求法，可 得所求最小值 【解答】解： （1）设抛物线上任意一点的坐标（t2，2t） ， 则它到直
42、线 l：xy+30 的距离 d， 当 t1 时，d 有最小值 故点 A 的坐标为（1，2） ； （2）证明：设点 B 的坐标为（m2，2m） （m1） 则直线 AB：y2（x1） ，即 y（x1）+2， 与 yx+3 联立解得点 P（，） 由直线 PC 平行于 x 轴，可得 C（ （）2，） 当 m23 时，m2（）2， 直线 BC：y2m（xm2） ， 化为 y2m（xm2） ， 所以（m23） （y2m）（2m2） （xm2） ， 整理得 m2（y2）+m（62x）（3y2x）0（*） 当 x3，y2 时，对于任意实数 m（m） ，方程（*）恒成立， 直线 BC 过定点 Q（3，2） ；
43、当 m23 时，B（3，2m） ，C（3，） ，直线 BC 过定点（3，2） 综上所述直线 BC 过定点 Q（3，2） ； （3）由（2）可设 BC：x3k（y2） ，即 xky+32k， 联立抛物线方程 y24x 得：y24ky+4（2k3）0 16k216（2k3）16（k1）2+20， 则 yB+yC4k，yByC4（2k3） ， SABC|AQ| |yByC|yByC| 第 22 页（共 22 页） 4， 则当 k1 时，ABC 的面积得最小值为 4 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和 弦长公式，以及直线恒过定点的求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题