1、2018-2019 学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1 （5 分）复数 z（1+2i） （3i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 2 （5 分）为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取 一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级 共有学生 2000 人，则该校学生总人数是 3 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 2，则输出 y 的值为 4 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测
2、了其中 60 株树木的底部周长（单位： cm） ，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树 木中，有 株树木的底部周长大于 110cm 5（5 分） 已知一组数据 6， 7， 8， x， y 的平均数是 8， 且 xy90， 则该组数据的方差为 6 （5 分）某种产品每箱装 6 个，其中有 4 个合格，2 个不合格，现质检人员从中随机抽取 2 个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是 第 2 页（共 25 页） 7 （5 分）执行如图所示的伪代码，则输出的 5 的值是 8（5分） 在区间2， 4上随机地取一个实数x， 若实数x满足|x|m的概率为
3、， 则m 9 （5 分）已知命题 p：任意 xR，ax2+ax+10 恒成立，命题 q：方程表示 双曲线若“pq”为真命题，则实数 a 的取值范围为 10 （5 分）在（1x）4（1+y）5的展开式中，x2项的系数为 （用数字作答） 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的左顶点 A 和右焦点 F 到一条渐近线的 距离之比为 1：2，则该双曲线的渐近线方程为 12 （5 分）一场晚会共有 7 个节目 A、B、C、D、E、F、G，要求第一个节目不能排 G，节 目 A 必须排在前 4 个，节目 D 必须后 3 个，则有 种不同的排法 （用数字作答） 13 （5 分）观察下列数表， 如此继续下去，
4、则此表最后一行的数为 （用数字作答） 14 （5 分）已知函数 f（x），tR，若函数 g（x）f（f（x）2） 恰有 4 个不同的零点，则 t 的取值范围为 二、解答题：本大体共二、解答题：本大体共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明，证明过程或演算步骤说明，证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知矩阵 （1）求 A2 （2）求矩阵 A 的特征值和特征向量 第 3 页（共 25 页） 16 （14 分）如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1 （1）求异面直线所成角的
5、余弦值； （2）求二面角 B1EBF 的余弦值 17 （14 分）为了纪念国庆 70 周年，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高二某班的 同学将班级长 AB4 米、宽 BC2 米的黑板做如图所示的区域划分：取 AB 中点 F，连 接 CF，以 AB 为对称轴，过 A、C 两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点 P，作 PE AB 垂足为 E作 PGAB 交 CF 于点 G在四边形 PEFG 内设计主题 LOGO，其余区域 用于文字排版，设 PE 的长度为 t 米 （1）求 PG 长度的表达式 f（t） ，并写出定义域； （2）设四边形 PEFG 面积为 S，求当 t 为何值时，S 取最大值，最
6、大为多少平方米？ 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：（a0，b0）的 离心率为，点（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 与圆 O：x2+y22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，且与圆 O 切于第一象限，求OPQ 的面积； 求证：的值为定值 第 4 页（共 25 页） 19 （16 分）已知数列an各项均为正数， （1）若 m2， 求 a2，a3，a4的值： 猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若 m1，证明：当 n2 时， 20 （16 分）已知函数 g（x）x
7、3+ax2+bx（a，bR）有极值，且函数 f（x）（x+a）ex 的极值点是 g（x）的极值点，其中 e 是自然对数的底数 （极值点是指函数取得极值时对 应的自变量的值） （1）若 a1，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求 b 关于 a 的函数关系式； （3）当 a0 时，若函数 F（x）f（x）g（x）的最小值为 M（a） ，证明：M（a） 【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指分请在答卷纸指 定区域作答解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤定区域作答解答应写出文字说明、
8、证明过程或浪算步骤A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知点 P（1，2） ，经矩阵，对应的变换作用下，变为点 Q（4，2） （1）求 a，b 的值； （2）直线 l 在 M 对应的变换作用下变为直线 m：2x+4y+10，求直线 l 的方程 B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ，试求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标 C.选修选修 4 一一 5：不等式选讲：不
9、等式选讲 第 5 页（共 25 页） 23设正数 a，b，c 满足 a+b+c1，求+的最小值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域作答解答分请在答卷纸指定区域作答解答 应写出文字说明、证明过程或浪算步骤应写出文字说明、证明过程或浪算步骤 24 （10 分）某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有 7 名男同学，3 名女同学， 在这 10 名同学中，1 班和 2 班各有两名同学，3 班至 8 班各有一名同学，现从这 10 名同 学中随机选取 3 名同学，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每位同学被选到的
10、 可能性相同） （1）求选出的 3 名同学是来自不同班级的概率； （2）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 25 （10 分）已知函数，其中 R，nN 若 2，n2019，求 a1+a3+a5+a2019的值； 若 1，化简： 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小小题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1 （5 分）复数 z（1+2i）
11、 （3i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 5 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解：z（1+2i） （3i）5+5i， 则 z 的实部是 5， 故答案为：5 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取 一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级 共有学生 2000 人，则该校学生总人数是 5000 【分析】依题意，其它年级共抽取 500200100200 人，而其他年级共有学生 2000 人，所以抽样比为，所以
12、该校学生总人数是 5005000 【解答】解：依题意，其它年级共抽取 500200100200 人， 而其他年级共有学生 2000 人， 所以抽样比为， 所以该校学生总人数是 5005000 人 故答案为：5000 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键 3 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 2，则输出 y 的值为 5 第 7 页（共 25 页） 【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量 y 的值并输出，根据 x 值，可得答案 【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数 y 的值， 由题意：x21，
13、所以：y3+25 故答案为：5 【点评】本题考查根据流程图写程序的运行结果，解题的关键是分析流程图，从流程图 中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型得到结果， 属于基础题 4 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位： cm） ，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树 木中，有 18 株树木的底部周长大于 110cm 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：根据频率分布直方图，周长大于 110cm由两组： 110
14、，120）频率是：0.020100.2，频数为：600.212 株； （120，130的频率是：0.010100.1，频数为：600.16 株； 树木的底部周长大于 110cm 的有 12+618 株 故答案为：18 【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方 图坐标轴的应用，属于基础题 5 （5 分） 已知一组数据 6， 7， 8， x， y 的平均数是 8， 且 xy90， 则该组数据的方差为 2 【分析】根据题意，解得或者，不妨设，代入 方差的公式即可得到方差 【解答】解：依题意，解得或者，不妨设， 所以该组数据的方差为 s2+（98）2+（108）22
15、， 故答案为：2 【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 6 （5 分）某种产品每箱装 6 个，其中有 4 个合格，2 个不合格，现质检人员从中随机抽取 2 个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是 【分析】先求出基本事件总数 n15，检测出至少有一个不合格产品包含的基本事 件个数 n9，由此能求出检测出至少有一个不合格产品的概率 【解答】解：某种产品每箱装 6 个，其中有 4 个合格，2 个不合格， 现质检人员从中随机抽取 2 个进行检测， 基本事件总数 n15， 检测出至少有一个不合格产品包含的基本事件个数 n9， 则检测出至少有一个不
16、合格产品的概率是 p 故答案为： 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 7 （5 分）执行如图所示的伪代码，则输出的 5 的值是 110 【分析】根据已知中的伪代码，可得这是一个 FOR 型循环，且循环变量的初值为 1，终 值为 10，步长为 1，代入模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】解：由于循环变量的初值为 1，终值为 10，步长为 1，可得程序代码的功能是计 算并输出 S2+4+6+20 的值， 由于 S2+4+6+202（1+2+3+10）255110 故答案为：110 【点评】本题考查的知识点是伪代码
17、，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终 值及步长，是解答的关键，属于基础题 8（5 分） 在区间2， 4上随机地取一个实数 x， 若实数 x 满足|x|m 的概率为， 则 m 2 【分析】画出数轴，利用 x 满足|x|m 的概率，可以求出 m 的值 【解答】解：如图所示， 区间2，4的长度是 6，在区间2，4上随机地取一个数 x， 若 x 满足|x|m 的概率为，则 m2 故答案为：2 【点评】本题考查了几何概型的应用问题，画出数轴是解题的关键 9 （5 分）已知命题 p：任意 xR，ax2+ax+10 恒成立，命题 q：方程表示 双曲线若“pq”为真命题，则实数 a 的取值范围为 0，
18、1） 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得 到结论 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：如果 p 是真命题，命题 p：任意 xR，ax2+ax+10 恒成立； ）a0（满足条件） ； ）ax2+ax+10 在 xR 上恒成立； 则有：a0，a24a0，解得：0a4； 所以：0a4； （2）命题 q：方程表示双曲线； 若 q 真： （a+2） （1a）0； 解得：2a1， 若“pq”为真命题，则：p 真 q 真； 解得： ：0a1； 综上可得：0，1） ； 故答案为：若“pq”为真命题，则实数 a 的取值范围为：0，1） ； 【点评】本题主要考
19、查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真 假是解决本题的关键，比较基础 10 （5 分）在（1x）4（1+y）5的展开式中，x2项的系数为 6 （用数字作答） 【分析】把 （1x）4和（1+y）5 分别按照二项式定理展开，可得 x2项的系数 【解答】解： （1x）4（1+y）5（14x+6x24x3+x4） （1+5y+10y2+10y3+5y4+y5） ，x2 项的系数为 6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的左顶点 A 和右焦点 F 到一条渐近线的 距
20、离之比为 1：2，则该双曲线的渐近线方程为 yx 【分析】由双曲线方程得渐近线方程和 A，F 坐标，利用点到直线距离公式和距离之比求 得 c2a，利用 a，b，c 的关系求得的值，从而求得渐近线方程 【解答】解：由双曲线方程可得渐近线为：yx，A（a，0） ，F（c，0） ， 第 11 页（共 25 页） 则点 A 到渐近线距离：d1， 点 F 到渐近线距离：d2b， 双曲线（a0，b0）的左顶点 A 和右焦点 F 到一条渐近线的距离之比为 1： 2， 1：2，即：c2a， 则， 双曲线渐近线方程为：yx 故答案为：y 【点评】本题考查双曲线性质的应用，涉及到点到直线距离公式，属于基础题 12
21、 （5 分）一场晚会共有 7 个节目 A、B、C、D、E、F、G，要求第一个节目不能排 G，节 目 A 必须排在前 4 个，节目 D 必须后 3 个，则有 1224 种不同的排法 （用数字作答） 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，节目 A 排在第一个，节目 A 不排在第一 个，则节目 A 有 3 种排法，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，节目 A 排在第一个， 若 G 排在后 3 位，G 的排法有 3 种，D 有 2 种排法，剩下的 4 个节目全排列，有 A44 24 种情况，此时有 3224144 种排法； 若 G 不排
22、在后 3 位，G 的排法有 3 种，D 有 3 种排法，剩下的 4 个节目全排列，有 A44 24 种情况，此时有 3324216 种排法； 此时有 144+216360 种排法； ，节目 A 不排在第一个，则节目 A 有 3 种排法， 若 G 排在后 3 位，G 的排法有 3 种，D 有 2 种排法，剩下的 4 个节目全排列，有 A44 24 种情况，此时有 33224432 种排法； 若 G 不排在后 3 位，G 的排法有 2 种，D 有 3 种排法，剩下的 4 个节目全排列，有 A44 24 种情况，此时有 32324432 种排法； 第 12 页（共 25 页） 则此时有 432+43
23、2864 种排法； 则一共有 360+8641224 种排法； 故答案为：1224 【点评】本题考查排列组合的实际应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 13 （5 分）观察下列数表， 如此继续下去，则此表最后一行的数为 2816 （用数字作答） 【分析】由数列的递推关系及归纳推理得：第 n 行的第一个数等于第 n1 行的第一个与 第二个数之和，且第 n 行为公差为 2n 1 的等差数列， 设第 n 行的第一个数为 an，则 an+12an+2n 1，则 a 102560+282816，得解 【解答】解：由图表可知，第 n 行的第一个数等于第 n1 行的第一个与第二个数之和， 且第 n 行为
24、公差为 2n 1 的等差数列， 设第 n 行的第一个数为 an， 则 an+12an+2n 1， 则 a540+2348， a696+24112， a7224+25256， a8512+26576， a91152+271280， a102560+282816， 即此表最后一行的数为 2816， 故答案为：2816 【点评】本题考查了数列的递推关系及归纳推理，属中档题 14 （5 分）已知函数 f（x），tR，若函数 g（x）f（f（x）2） 恰有 4 个不同的零点，则 t 的取值范围为 16，0） 【分析】首先分析出 t0，此时 f（m）0 有两个解，一个 0，和一个负根 m1，则 f（x）
25、第 13 页（共 25 页） 2 或 f（x）2+m1共有 4 个不同的零点，显然 f（x）2 有两个根，则只需 f（x） 2+m1有两个根，由图象可知，2+m10，进而得解 【解答】解：当 x0 时，f（x）3x2+4xx（3x4）0，则 f（x）在（， 0）上为减函数，且 f（x）f（0）t， 令 f（x）2m，当 t0 时，f（m）0 只有一个解 m0，此时 g（x）0 不可能有 4 个不同的零点， 故 t0，此时 f（m）0 有两个解，一个 0，和一个负根 m1，如下图所示， 即 f（x）2 或 f（x）2+m1， 显然 f（x）2 有两个根，则只需 f（x）2+m1有两个根， 则由图
26、象可知，2+m10，即2m10，则 f（2）（2）3+2（2）2+t0， 解得16t0 故答案为：16，0） 【点评】本题考查函数的零点，复合函数问题一般利用换元法转化为简单函数，再将函 数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解 二、解答题：本大体共二、解答题：本大体共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明，证明过程或演算步骤说明，证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知矩阵 （1）求 A2 （2）求矩阵 A 的特征值和特征向量 【分析】 （1）按照矩阵的运算规律即可求出答案 （2
27、）先求出特征多项式，令其等于 0，即可求出特征值与对应的特征向量 第 14 页（共 25 页） 【解答】解： （1） （2）矩阵 A 的特征多项式 f（）（3） （4）6（1） （6） ， 令 f（）0，得 11，26， ， 解得，取 y2，得， ， 解得 xy，取 y1，得， 矩阵 A 的特征值为 11，26， 分别对应特征向量 【点评】本题考查特征值与特征向量的运算，属于基础题 16 （14 分）如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1 （1）求异面直线所成角的余弦值； （2）求二面角 B1EBF 的余弦值 【分析】 （1）由 DA，DC，DD1 两两垂直，分
28、别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出与的坐标，再由数量积求夹角公式求解； （2）平面 A1EBB1 的法向量为，在求出平面 BED1F 的一个法向量， 由两法向量所成角的余弦值可得二面角 B1EBF 的余弦值 【解答】解： （1）DA，DC，DD1 两两垂直， 分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 棱长为 3，A1ECF1， 则 D（0，0，0） ，A（3，0，0） ，B（3，3，0） ，D1（0，0，3） ， 第 15 页（共 25 页） C1（0，3，3） ，E（3，0，2） ，F（0，3，1） ， ， cos，
29、 异面直线所成角的余弦值为； （2）平面 A1EBB1 的法向量为， 设平面 BED1F 的法向量为， 又， 则，取 x1，得 cos， 二面角 B1EBF 的余弦值是 【点评】本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是 中档题 17 （14 分）为了纪念国庆 70 周年，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高二某班的 同学将班级长 AB4 米、宽 BC2 米的黑板做如图所示的区域划分：取 AB 中点 F，连 接 CF，以 AB 为对称轴，过 A、C 两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点 P，作 PE AB 垂足为 E作 PGAB 交 CF 于点 G在四边形 PEFG
30、 内设计主题 LOGO，其余区域 用于文字排版，设 PE 的长度为 t 米 （1）求 PG 长度的表达式 f（t） ，并写出定义域； 第 16 页（共 25 页） （2）设四边形 PEFG 面积为 S，求当 t 为何值时，S 取最大值，最大为多少平方米？ 【分析】 （1）以 A 为坐标原点，以 AB，AD 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标 系，求出直线 FC 的方程，求出抛物线方程，再求得 P，G 的坐标，即可得到 PG 长度的 表达式 f（t） ，并写出定义域； （2）由 PEAB，PGAB，得到四边形 PEFG 面积，然后利用导数求最值 【解答】解： （1）以 A 为坐标原点，
31、以 AB，AD 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角 坐标系， A（0，0） ，C（4，2） ，B（4，0） ，F（2，0） ， 直线 FC 为 xy20 抛物线是以 AB 为对称轴，设抛物线的方程为 y22px（p0） ， 点 C 在抛物线上，y2x PEt，P（t2，t） ，G（t+2，t） ， f（t）t2+t+2（） （2）PEAB，PGAB， 四边形 PEFG 面积为 S， 设 g（t），由 g（t）3t2+t+20，解得：t1 当 t（0，1）时，g（t）0，g（t）单调递增， 当 t（1，）时，g（t）0，g（t）单调递减， 当 t1 时，g（t）取极大值且是最大值 g（t）
32、max 当 t1m 时，四边形 PEFG 面积取得最大值为m2 【点评】本题考查根据实际问题性质函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：（a0，b0）的 第 17 页（共 25 页） 离心率为，点（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 与圆 O：x2+y22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，且与圆 O 切于第一象限，求OPQ 的面积； 求证：的值为定值 【分析】 （1）由题意得关于 a，b，c 的方程，求解可得 a，b 的值，则椭圆 C 的标准
33、方程 可求； （2）椭圆 C 的右焦点 F（，0） ，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径求得 k，得到切线方程，与椭圆方程联立，得到关于 x 的一 元二次方程，利用根与系数的关系求得弦长，再由三角形面积公式求得OPQ 的面积； 若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x或 x求得 P，Q 的坐 标，得到，则 OPOQ，由等面积法可得；若直线 PQ 的斜率存 在，设直线 PQ 的方程为 ykx+m，即 kxy+m0由直线与圆相切，得 m22k2+2将 直线 PQ 的方程代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m260利用根与系数的关 系及数量积的坐标运算可得，得
34、 OPOQ由等面积法可得 【解答】 （1）解：由题意得：，解得 a26，b23， 椭圆 C 的标准方程为； （2）解：椭圆 C 的右焦点 F（，0） ， 设切线方程为，即， 第 18 页（共 25 页） ，解得， 切线方程为 把切线方程代入椭圆 C 的方程，消去 y 得， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则有 由椭圆定义可得，PQPF+FQ2ae（x1+x2） OPQ 的面积为； 证明：若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x或 x 当 x，P（，） ，Q（） ，OPOQ， 当 x时，同理可得 OPOQ 由等面积法可得； 若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程
35、为 ykx+m，即 kxy+m0 直线与圆相切，即 m22k2+2 将直线 PQ 的方程代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m260 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则有， x1x2+（kx1+m） （kx2+m） （1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 将 m22k2+2 代入上式，可得，可得 OPOQ 由等面积法可得 综上可得， 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用， 考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，属难题 第 19 页（共 25 页） 19 （16 分）已知数列an各项均为正数， （1）若 m2， 求
36、 a2，a3，a4的值： 猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若 m1，证明：当 n2 时， 【分析】 （1） 猜想， 当 nk+1 时， 即可得证； （2）利用数学归纳法证明假设当 nk（k2）时，命题成立，即，由 即可得证 【解答】解： （1）当 m2 时，an+12anan2， ，； 由猜想，下面用数学归纳法证明 证明： （i）当 n1 时，显然成立； （ii）假设当 nk 时，猜想成立，即，则 当 nk+1 时，ak+12akak2ak（2ak） ， 当 nk+1 时，猜想也成立， 由（i） ， （ii）知，猜想成立，故； （2）当 m1 时，an+1anan2 当 n
37、2 时，由知不等式成立； 假设当 nk（k2）时，命题成立，即， 第 20 页（共 25 页） 由 ， 当 nk+1 时，命题成立， 由知，原命题成立，即当 n2 时， 【点评】 本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式和利用数学归纳法证明不等式， 考查了考查运算能力，属中档题 20 （16 分）已知函数 g（x）x3+ax2+bx（a，bR）有极值，且函数 f（x）（x+a）ex 的极值点是 g（x）的极值点，其中 e 是自然对数的底数 （极值点是指函数取得极值时对 应的自变量的值） （1）若 a1，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求 b 关于 a 的函数关系式； （3）当
38、 a0 时，若函数 F（x）f（x）g（x）的最小值为 M（a） ，证明：M（a） 【分析】 （1）利用导数的几何意义求解 （2） 推导出 f （x） ex（x+a+1） ， 令 f （x） 0， 得 xa1， 求出 g （x） 3x2+2ax+b， 从而 g（a1）3（a1）2+2a（a1）+b0，由此能求出 b 关于 a 的函数 关系式 （3）F（x）f（x）g（x）（x+a）exx3ax2+（a2+4a+3）x，推导出 F（x） （x+a+1）ex3x22ax+a2+4a+3（x+a+1） （ex3x+a+3） ，令 h（x）ex3x+a+3，则 h（x）ex3，令 h（x）0，得 xl
39、n3，h（ln3）63ln3+a 为 h（x）最小值， 推导出 F（a1）为 F（x）最小值，M（a）F（a1）e a1（a+1）2 （a+2） ， 由此能证明 M（a） 【解答】解： （1）a1 时，f（x）（x+1）ex f（x）（x+2）ex f（1）3e，f（1）2e 函数 f（x）在 x1 处的切线方程：y2e3e（x1） 即 y3exe （2）函数 f（x）（x+a）ex， f（x）ex（x+a+1） ， 第 21 页（共 25 页） 令 f（x）0，解得 xa1， 函数 g（x）x3+ax2+bx（a，bR） ， g（x）3x2+2ax+b， 函数 g（x）x3+ax2+bx（a
40、，bR）有极值，且函数 f（x）（x+a）ex的极值点是 g （x）的极值点， g（a1）3（a1）2+2a（a1）+b0， 解得 ba24a3 证明：（3） F （x） f （x） g （x） （x+a） exx3ax2bx （x+a） exx3ax2+ （a2+4a+3） x， F（x）（x+a+1）ex3x22ax+a2+4a+3 （x+a+1）ex（x+a+1） （3xa3） （x+a+1） （ex3x+a+3） ， 令 h（x）ex3x+a+3，则 h（x）ex3， 令 h（x）0，得 xln3， h（ln3）为 h（x）最小值，且 h（ln3）63ln3+a， a0，h（ln3）0
41、， h（x）0， 对于 F（x）（x+a+1）h（x）0，有唯一解 xa1， 当 x（，a1）时，F（x）0， 当 x（a1，+）时，F（x）0， F（a1）为 F（x）最小值， M（a）F（a1）e a1（a+1）2 （a+2） ， 当 a0 时，M（a）是减函数， M（a）M（0）2， M（a） 【点评】本题考查导数几何意义、不等式的证明，考查函数性质、导数性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指分请在答卷纸指 定区域作答解
42、答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤定区域作答解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 第 22 页（共 25 页） 21 （10 分）已知点 P（1，2） ，经矩阵，对应的变换作用下，变为点 Q（4，2） （1）求 a，b 的值； （2）直线 l 在 M 对应的变换作用下变为直线 m：2x+4y+10，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由矩阵的点变换可得 a，b 的方程，解方程可得 a，b 的值； （2）直线 l 上任一点为（x，y） ，直线 m 上一点为（s，t） ，由点变换可得方程，即可得 到所求直线 l 的方程 【解答】解： （1），即为 2
43、+2a4，b+22，解得 a1，b0； （2）直线 l 上任一点为（x，y） ，直线 m 上一点为（s，t） ，可得 2s+4t+10， 由题意可得，可得 2x+ys，yt， 则直线 l 的方程为 2（2x+y）+4y+10，即 2x+6y+10 【点评】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题 B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ，试求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标
44、【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标 【解答】解：直线 l 的极坐标方程为 ，直角坐标方程为 yx，曲线 C 的参数方程 为（ 为参数） ，普通方程为 y2x2（1x1） ， 联立方程可得 x2+x20，x1 或 x2（舍去） ， 直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为（1，1） 【点评】本题考查三种方程的互化，考查方程思想，正确转化是关键 C.选修选修 4 一一 5：不等式选讲：不等式选讲 23设正数 a，b，c 满足 a+b+c1，求+的最小值 【分析】利用柯西不等式，即可求得的最小值 【解答】解：正数 a，b，c 满足 a+b+c1， 第
45、23 页（共 25 页） （）（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）（1+1+1）2， 即 当且仅当 abc时，取等号 当 abc时，的最小值为 1 【点评】本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域作答解答分请在答卷纸指定区域作答解答 应写出文字说明、证明过程或浪算步骤应写出文字说明、证明过程或浪算步骤 24 （10 分）某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有 7 名男同学，3 名女同学， 在这 10 名同学中，1 班和 2 班各有两名同学，
46、3 班至 8 班各有一名同学，现从这 10 名同 学中随机选取 3 名同学，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每位同学被选到的 可能性相同） （1）求选出的 3 名同学是来自不同班级的概率； （2）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 【分析】 （1）基本事件总数为120，来自不同班级包含的基本事件个数为 104，所以选出的 3 名同学是来自不同班级的概率为 ； （2）依题意，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3分别计算出对应概率列出分布列求出 期望即可 【解答】解： （1）设“选出的 3 名同学是来自不同班级”为事件 A，则 P（A） 答：选出的 3 名同学是来自不同班级的概率为 （2）随机变量 X 的所有