1、2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、填空题： （本小题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 70 分，将答案填在答题表中）分，将答案填在答题表中） 1 （5 分）复数 1+3i 的模为 2 （5 分）命题“xR，x2+x+10”的否定是 3 （5 分）用反证法证明“不是有理数”时第一步应该假设“ ” 4 （5 分）如果 p：x2，q：x2，那么 p 是 q 的 条件 5 （5 分）若 k1，k2，k8的方差为 3，则 2（k13） ，2（k23） ，2（k83）的方 差为 （参考公式） 6 （5 分）一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中
2、3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出 2 只球，摸出的 2 只球都是白球的概率是 7 （5 分）已知双曲线上一点 P 到一个焦点的距离为 4，则点 P 到此焦点相应准 线的距离为 8 （5 分）某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额，采取如下 方法：从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张，如 15 号，然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本这种抽取样本的方法是 （填 序号） 抽签法系统抽样分层抽样随机数表法 9 （5 分）已知点 P 在抛物线 x24y 上运动，F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为（2，3） ， 求 P
3、A+PF 的最小值 10 （5 分）取一根长度为 3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 11 （5 分）过点 O（0，0）作曲线 yex的切线，切线方程为 12 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆 C：（ab0）相交于 A，B 两点，若，则椭圆 C 的离心率为 第 2 页（共 19 页） 13 （5 分）已知函数 f（x）对于任意实数 t，方程 f（x）tx 总有实数 解，则实数 a 组成的集合是 14 （5 分）我们知道，平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个部分，推理过程如 下： 记 n 条直线最多把平面分成 rn个部分， 可以得到
4、 r121+1， r24r1+2， r37r2+3， r411r3+4，r516r4+5， 第 n 条直线与前面的 n1 条直线都相交，产生 n1 个交点，这 n1 个交点把这条直线 分成 n 段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，因此增加了 n 个部分，所以 rn rn1+n 可得平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个部分 类比可得，空间内 6 个平面最多可将空间分成 个部分 （填数字） 二解答题： （本大题共二解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 90 分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15 （14 分）已知命题 P
5、： “存在 xR，x22x+m0” ，命题 q： “曲线表示焦 点在 y 轴上的椭圆” ，命题 r：tmt+1 （1）若“p 且 q”是真命题，求 m 的取值范围； （2）若q 是r 的充分不必要条件，求 t 的取值范围 16 （14 分） （1）已知复数 z 满足|z|，z2的虚部为 2，z 所对应的点在第一象限，求复 数 z； （2）已知 z1，z2是两个虚数，并且 z1+z2与 z1z2均为实数，求证：z1，z2是共轭复数 17 （14 分）某公司计划购买一种机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件， 如果在购买机器的同时购买这种零件作为备件，每个 200 元：如果在机器使用期间
6、单独 购买，则每个 500 元 第 3 页（共 19 页） （1）若该公司购买了 1 台这种机器，并在购买机器的同时购买了 18 个易损零件记 x 表示这台机器在三年使用期内更换的易损零件数， y 表示这台机器在购买易损零件上所需 的费用（单位：元） ，求 y 与 x 的函数解析式： （2）为决策在购买机器的同时购买几个易损零件，该公司从 100 家不同公司各抽取了 1 台这种机器进行调查 收集整理了这 100 台机器在过去三年使用期内更换的易损零件数， 得如图柱状图假设这100台机器在购机的同时每台都购买了19个易损零件， 请计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 （各台机器购
7、买的易损零件不能调剂使用） 18 （16 分）学校内有一块矩形空地 ABCD，空地的一角有一个池塘（图中阴影部分） ，池 塘边缘线 OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离现要在这块空地上规划 一座图书馆，为保留这个池塘，图书馆底面设计成五边形 ABCEF（如图） ，其中 EF 边与 池塘边缘线 OM 相切于点 P（P 为池塘边缘线 OM 上的动点） ，AB 长度 40 米，BC 长度 20 米 （1）如图建立直角坐标系，求边缘线 OM 的方程； （2） 当 AF 长度为多少米的时候图书馆单层的面积最大（即五边形 ABCEF 面积最大） ？ 19 （16 分）将圆 x2+y21
8、6 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 C 的方程为 （1）写出求曲线 C 的方程的过程； 第 4 页（共 19 页） （2）动直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点，与两定直线 x2y0 和 x+2y0 分别 交于 PQ 两点； 当直线垂直于 x 轴时，求OPQ 的面积； OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值：若不存在，说明理由 20 （16 分）已知函数 f（x）x33x2+（2a）x，aR （1）若 a1，求函数 f（x）的单调增区间 （2）若函数 f（x）有三个互不相同的零点 0，t1，t2，其中 t1t2 （i）若 t23t1，求 a 的值： （
9、ii）若对任意的 xt1，t2，都有 f（x）16a 成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题： （本小题一、填空题： （本小题共共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 70 分，将答案填在答题表中）分，将答案填在答题表中） 1 （5 分）复数 1+3i 的模为 【分析】利用复数模的计算公式即可得出 【解答】解：复数 1+3i 的模， 故答案为： 【点评】本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力
10、，属于基础题 2 （5 分）命题“xR，x2+x+10”的否定是 xR，x2+x+10 【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方： “” ；： “”即可，据此 分析选项可得答案 【解答】解：命题“xR，x2+x+10“的否定是： xR，x2+x+10 故答案为：xR，x2+x+10 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定 用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是” ，而不是“都 不是” 特称命题的否定是全称命题， “存在”对应“任意” 3 （5 分）用反证法证明“不是有理数”时第一步应该假设“ 假设是有理数 ” 【分析】根据反证法的
11、步骤进行求解即可 【解答】解：反证法的第一步是假设结论不成立， 即假设是有理数， 故答案为：假设是有理数 【点评】本题主要考查反证法的应用，结合反证法的步骤是解决本题的关键 4 （5 分）如果 p：x2，q：x2，那么 p 是 q 的 充分不必要 条件 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可 【解答】解：因为 p：x2，q：x2；但是 x2；不能说是 x2； 所以么 p 是 q 的充分不必要条件 第 6 页（共 19 页） 故答案为：充分不必要 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用 5 （5 分）若 k1，k2，k8的方差为 3，则 2（k13） ，2（k
12、23） ，2（k83）的方 差为 12 （参考公式） 【分析】已知一组数据的方差，求在这一组上同时乘以 2，再减去 6 的方差，根据在一组 数据上都乘以一个数，则方差的变化是乘以一个数据的平方得到结果，在这组数据上减 去 6，方差不变 【解答】解：k1，k2，k8的方差为 3， 2k1，2k2，2k8的方差是 22312， 2k16，2k26，2k86 的方差是 12， 故答案为：12 【点评】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也 乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变 6 （5 分）一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中
13、3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出 2 只球，摸出的 2 只球都是白球的概率是 【分析】从中一次摸出 2 只球，基本事件总数 n10，摸出的 2 只球都是白球包含 的基本事件个数 m，由此能求出从中一次摸出 2 只球，摸出的 2 只球都是白球的 概率 【解答】解：一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球， 从中一次摸出 2 只球， 基本事件总数 n10， 摸出的 2 只球都是白球包含的基本事件个数 m， 从中一次摸出 2 只球，摸出的 2 只球都是白球的概率： p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 第 7 页（共
14、 19 页） 题 7 （5 分）已知双曲线上一点 P 到一个焦点的距离为 4，则点 P 到此焦点相应准 线的距离为 3+2 【分析】设点 P 到另一焦点的距离为 x，由双曲线的定义可得|x3|2a2，解之可 得 【解答】解：由双曲线的可知： a，b，c3，一个焦点坐标（0，3） ，另一个焦点坐标（0，3） ， 设点 P 到另一焦点的距离为 x， （x0） 由双曲线的定义可得|x3|2a2， 解得 x3+2，或 x32（舍去） ， 故答案为：3+2 【点评】本题考查双曲线的定义，属基本知识的考查 8 （5 分）某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额，采取如下 方法：从某本
15、 50 张的发票存根中随机抽取 1 张，如 15 号，然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本这种抽取样本的方法是 （填 序号） 抽签法系统抽样分层抽样随机数表法 【分析】利用系统抽样的定义和性质直接求解 【解答】解：某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额，采取 如下方法： 从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张，如 15 号， 然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本 这种抽取样本的方法是系统抽样 故答案为： 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查系统抽样的定义和性质等基础知识
16、，考查运算 求解能力，是基础题 9 （5 分）已知点 P 在抛物线 x24y 上运动，F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为（2，3） ， 第 8 页（共 19 页） 求 PA+PF 的最小值 4 【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得 |PA|+|PF|PA|+|PM|AM|，故|AM|（A 到准线的距离）为所求 【解答】解：抛物线标准方程 x24y，p2，焦点 F（0，1） ，准线方程为 y1 设 p 到准线的距离为 d，则 PFd， 所以求 PA+PF 的最小值就是求 PA+d 的最小值 显然，直接过 A 做 y1 的垂线 AQ，当 P 是 AQ 与抛物
17、线的交点时，PA+d 有最小值 最小值为 AQ3（1）4 故答案为 4 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PA|+|PF| |PA|+|PM|AM|，是解题的关键 10 （5 分）取一根长度为 3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为 3m 的绳子分成相等的三段， 在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间 1m 处的两个界点，再求出其比值 【解答】解：记“两段的长都不小于 1m”为事件 A， 则只能在中间 1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于 1m， 所以事件 A
18、发生的概率 故答案为： 【点评】本题主要考查概率中的几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得 到 11 （5 分）过点 O（0，0）作曲线 yex的切线，切线方程为 yex 【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到函数在 xm 时的导数值，即切线的 斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则 切线方程可求 【解答】解：由线 yex，得 yex， 设切点为（m，em） ， 则 yem， 第 9 页（共 19 页） 切线方程为 y0em（x0） ， 切线过点（0，0） ， em 解得：m1 切线方程为 yex 故答案为：yex 【点评】本题考查了利用
19、导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的 斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题 12 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆 C：（ab0）相交于 A，B 两点，若，则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用点差法，结合 M 是线段 AB 的中点，斜率为，即可求出椭圆 C 的离心 率 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， M 是线段 AB 的中点， 1，1， 直线 AB 的方程是 y（x1）+1， y1y2（x1x2） ， 过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆 C：（ab0）相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点， 两式相减可得，即， a
20、b， cb， 第 10 页（共 19 页） e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键 13 （5 分）已知函数 f（x）对于任意实数 t，方程 f（x）tx 总有实数 解，则实数 a 组成的集合是 【分析】在同一坐标系中画出函数 y和 ylnx 的图象，可得两个函数图象相切于 （，）点，数形结合，可得实数 a 的值 【解答】解：在同一坐标系中画出函数 y和 ylnx 的图象如下图所示： 两个函数图象相切于（，）点， 若函数 f（x）对于任意实数 t，方程 f（x）tx 总有实数解， 则函数 f（x）的图象与直线 ytx 总有交点， 故 a， 第 1
21、1 页（共 19 页） 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，方程的根与函数零点之间的关系， 难度中档 14 （5 分）我们知道，平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个部分，推理过程如 下： 记 n 条直线最多把平面分成 rn个部分， 可以得到 r121+1， r24r1+2， r37r2+3， r411r3+4，r516r4+5， 第 n 条直线与前面的 n1 条直线都相交，产生 n1 个交点，这 n1 个交点把这条直线 分成 n 段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，因此增加了 n 个部分，所以 rn rn1+n 可得平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个
22、部分 类比可得，空间内 6 个平面最多可将空间分成 64 个部分 （填数字） 【分析】先阅读再结合归纳推理及等比数列的通项公式可得：空间内 n 个平面最多可将 空间分成 2n个部分，得解 【解答】解：空间内 n 个平面最多可将空间分成 2n个部分，推理过程如下： 记 n 个平面最多可将空间分成 rn个部分，可以得到 r1221，r24r1222，t38 r2223， 第 n 个平面与前面的 n1 个平面都相交，则原有的每一个部分又分成两部分，所以 rn 2rn1， 即空间内 n 个平面最多可将空间分成 2n个部分， 故空间内 6 个平面最多可将空间分成 2664 个部分， 故答案为：64 【点
23、评】本题考查了阅读能力及归纳推理能力，属中档题 二解答题： （本大题共二解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 90 分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15 （14 分）已知命题 P： “存在 xR，x22x+m0” ，命题 q： “曲线表示焦 点在 y 轴上的椭圆” ，命题 r：tmt+1 （1）若“p 且 q”是真命题，求 m 的取值范围； （2）若q 是r 的充分不必要条件，求 t 的取值范围 【分析】 （1）求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可 第 12 页（共 19 页） （2）根据q
24、是r 的充分不必要条件转化为 r 是 q 的充分不必要条件，利用充分条件 和必要条件和集合真子集关系进行求解即可 【解答】解： （1）存在 xR，x22x+m0，则判别式44m0，得 m1，即 p： m1， 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则， 得，即1m2，即 q：1m2， 若“p 且 q”是真命题，则 p，q 同时为真命题， 则，得1m1，即实数 m 的取值范围是（1，1 （2）若q 是r 的充分不必要条件， 即 r 是 q 的充分不必要条件， 则（t，t+1）（1，2） ， 则，得， 得1t1，即实数 t 的取值范围是1，1 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价
25、条件是解决 本题的关键 16 （14 分） （1）已知复数 z 满足|z|，z2的虚部为 2，z 所对应的点在第一象限，求复 数 z； （2）已知 z1，z2是两个虚数，并且 z1+z2与 z1z2均为实数，求证：z1，z2是共轭复数 【分析】 （1）设出复数 z，利用已知求得 z，由 z 对应的点在第一象限，则复数 z 可求； （2）设出复数 z1、z2，由 z1、z2是虚数，且 z1+z2与 z1z2均为实数列式求得两个复数的 实部和虚部的关系得答案 【解答】 （1）解：设 zx+yi（x，yR） ， 由|z|，z2的虚部为 2，得， 解得： 或 第 13 页（共 19 页） z 对应的点
26、在第一象限，则复数 z1+i； （2）证明：设 z1a+bi（a，bR） ，z2c+di（c，dR） ， 则 z1+z2（a+c）+（b+d）i， z1z2（a+bi） （c+di）（acbd）+（ad+bc）i， z1+z2与 z1z2均为实数， b+d0，db， z2cbi， 则 z1z2（a+bi） （c+di）（acbd）+（ad+bc）i （ac+b2）+（bcab）i 是实数， bcab0， 又 z1a+bi 是虚数，b0，ca0，即 ca， z1a+bi，z2abi，z1、z2是共轭虚数 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 17 （14 分）
27、某公司计划购买一种机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件， 如果在购买机器的同时购买这种零件作为备件，每个 200 元：如果在机器使用期间单独 购买，则每个 500 元 （1）若该公司购买了 1 台这种机器，并在购买机器的同时购买了 18 个易损零件记 x 表示这台机器在三年使用期内更换的易损零件数， y 表示这台机器在购买易损零件上所需 的费用（单位：元） ，求 y 与 x 的函数解析式： （2）为决策在购买机器的同时购买几个易损零件，该公司从 100 家不同公司各抽取了 1 台这种机器进行调查 收集整理了这 100 台机器在过去三年使用期内更换的易损零件数， 得如图柱状图假设这1
28、00台机器在购机的同时每台都购买了19个易损零件， 请计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 （各台机器购买的易损零件不能调剂使用） 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （1）当 x18 时，y182003600，当 x18 时，y18200+（x18） 500500x5400由此能求出 y 与 x 的函数解析式 （2）这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，利用柱状图能求出这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 【解答】解： （1）当 x18 时，y182003600， 当 x18 时，y18200+（x18）500500x5400 y 与
29、x 的函数解析式为 y （2）这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： （7019200+430020+480010）4000（元） 【点评】本题考查函数解析式、平均数的求法，考查柱状图的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 18 （16 分）学校内有一块矩形空地 ABCD，空地的一角有一个池塘（图中阴影部分） ，池 塘边缘线 OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离现要在这块空地上规划 一座图书馆，为保留这个池塘，图书馆底面设计成五边形 ABCEF（如图） ，其中 EF 边与 池塘边缘线 OM
30、 相切于点 P（P 为池塘边缘线 OM 上的动点） ，AB 长度 40 米，BC 长度 20 米 （1）如图建立直角坐标系，求边缘线 OM 的方程； （2） 当 AF 长度为多少米的时候图书馆单层的面积最大（即五边形 ABCEF 面积最大） ？ 【分析】 （1）根据定义可知边缘线 OM 为抛物线的一部分，从而得出结论； （2）设 P（x0，） ，求出 SDEF关于 x0的函数，得出三角形的最小值对应的 x0的值， 从而得出 AF 的长 【解答】解： （1）由题意可知边缘线 OM 为抛物线的一部分，抛物线的焦点为 D，准线 第 15 页（共 19 页） 为 AB， 设抛物线方程为 x22py，则
31、10，p20 边缘线 OM 的方程为 x240y， （0x20） （2）由（1）可得 y，y， 设 P（x0，） ，则直线 EF 的斜率为 直线 EF 的方程为 y（xx0）+， 令 x0 得 y，令 y10 得 x+， |DE|+，|DF|10+， SDEF（+） （10+）+5x0+， 令 y+5x0+，则 y+5， 令 y0 可得+5x0210000，解得 x02或 x02400（舍） 当 0x0时，y0，当x020 时，y0， y+5x0+在（0，）上单调递减，在（，20）上单调递增 当 x0时，SDEF取得最小值，即五边形 ABCEF 面积最大 此时|AF|10 所以当|AF|时，图
32、书馆单层的面积最大 【点评】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，函数最值的计算，属于 中档题 19 （16 分）将圆 x2+y216 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 第 16 页（共 19 页） C 的方程为 （1）写出求曲线 C 的方程的过程； （2）动直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点，与两定直线 x2y0 和 x+2y0 分别 交于 PQ 两点； 当直线垂直于 x 轴时，求OPQ 的面积； OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值：若不存在，说明理由 【分析】 （1）先设曲线 C 上任取一个动点 P 的坐标（x，y） ，然后根据题意（
33、x，2y）在 圆 x2+y216 上，整理即可解出曲线 C 的方程 （2） （1）直线垂直于 x 轴时，分别求出点 P，Q 的坐标，即可求出面积 （2）当直线 l 的斜率存在时，设线直线 ykx+m， （k） ，联立直线方程和椭圆方程， 运用判别式为 0，再联立直线方程组，求得 P，Q 的坐标，求得 PQ 的长，求出 OPQ 的 面积，化简整理，可得最小值 【解答】解： （1）设所求曲线 C 上的任一点坐标为（x，y） ，圆 x2+y216 上的对应点的 坐标为（x，y） ，由题意可得， x2+y216， x2+（2y）216， 即+1 曲线 C 的方程为即+1； （2） （1）当直线垂直于
34、x 轴时，则直线 l 为 x4 或 x4， 当 x4 时， 第 17 页（共 19 页） 解得 P（4，2） ，Q（4，2） ， |PQ|4， SOPQ448 同理，当 x4 时，SOPQ448 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 ykx+m， （k） ， 由消去 y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2160 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 64k2m24（1+4k2） （4m216）0，即 m216k2+4 又由可得 P（，） ； 同理可得 Q（，） 由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d和|PQ|xPxQ|， 可得 SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|+|8 当
35、k2时，SOPQ88（1+）8 当 0k2时，SOPQ88（1+） 0k2时，则 014k21，2， SOPQ8（1+）8 当且仅当 k0 时取等号当 k0 时，SOPQ的最小值为 8 综上可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查三角形的面积的最小 值，注意讨论直线的斜率是否存在，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦 第 18 页（共 19 页） 长公式，属于难题 20 （16 分）已知函数 f（x）x33x2+（2a）x，aR （1）若 a1，求函数 f（x）的单调增区间 （2）若函数
36、f（x）有三个互不相同的零点 0，t1，t2，其中 t1t2 （i）若 t23t1，求 a 的值： （ii）若对任意的 xt1，t2，都有 f（x）16a 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出原函数的导函数，再利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的 单调增区间； （2） （）由题意可知，f（x）x33x2+（2a）xx（xt1） （x3t1） ，可得关于 t1， a 的方程组，求解得答案； （）由题意可知，f（x）x33x2+（2a）xx（x23x+2a）x（xt1） （xt2） ， 求解可得 a 范围，当 t10 时，设 f（x1）f（x2）0（x1x2） ，则 t1x10x2
37、 t2，当 xt1，t2时，求得 x1的范围，则 a 的取值范围可求 【解答】解： （1）f（x）3x26x+2a， 当3612（2a）0，即 a1 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递 增； 当 a1 时，令 f（x）0，解得 x1，2， f（x）0 的解集为（，）（，+） ， 即 f（x）的单调增区间为（，） ， （，+） ； （2） （）由题意可知，f（x）x33x2+（2a）xx（xt1） （x3t1） ， ，解得 t1，a； （）由题意可知，f（x）x33x2+（2a）xx（x23x+2a）x（xt1） （xt2） ， ， a（，2）（2，+） 第 19 页（共 19 页
38、） 若 t2t10，即 a（，2）时，f（x）0 在 xt1，t2上恒成立，且 16a0， a（，2）符合题意； 当 t10 时，设 f（x1）f（x2）0（x1x2） ，则 t1x10x2t2， 当 xt1，t2时，f（x）maxf（x1）16a， 3x126x1+2a0，3x126x1a2， f（x1）x133x12（3x126x1）x116（3x126x1+2） ， 整理得 x133x12+3x1+70，即（x1+1） （x124x1+7）0，解得 x11，0） ， 又a3x126x1+23（x11）21， a（2，11 【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查分类讨论的数 学思想方法，是一道综合题