1、2018-2019 学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修学 历史）一、填空题：共 14 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案写在答题卡相应位置上分请把答案写在答题卡相应位置上 1 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是 2 （5 分） 某学校共有 160 名教职工，其中教师 120 名， 行政人员 16 名，后勤人员 24 名 为 了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，现拟抽取一个容量为 n 的样本，其中教师 代表抽取了 15 人，则 n 的值为 3 （5 分）某班 60 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40，100上，其频率分布直方 图如图所示，
2、则成绩不低于 60 分的人数为 4 （5 分）根据如图所示算法流程图，则输出 E 的值是 5 （5 分）已知一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球从中 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 6 （5 分） “x1”是“x2x”的 条件 7 （5 分）函数 ylg（12+xx2）的定义域是 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y+4 的最大值为 9 （5 分）若双曲线（a0）的一条渐近线方程为 3x2y0，则 a 10 （5 分）函数的单调减区间为 11 （5 分）若“xR，x2+2xa0”是真命题
3、，则实数 a 的取值范围是 12 （5 分）函数在区间0，2上的最大值为 13 （5 分）已知 x，y0，则的最小值为 14 （5 分）如图，椭圆的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为 F，上 顶点为 C， 线段 BC 的中点为 M， 直线 AM 与椭圆的另一个交点为 D， 且 DF 垂直于 x 轴， 则椭圆的离心率为 二、解答题：共二、解答题：共 6 小题，共小题，共 90 分请分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （14 分） （1）求经过点 P（2，4）的抛物线的标准方程； （2）求以椭
4、圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方 程 16 （14 分）已知 a0，b0，直线经过点（1，2） （1）求 ab 的最小值； （2）求 a+2b 的最小值 17 （14 分）已知函数 f（x）（m+1）x2mx+1 （1）当 m5 时，求不等式 f（x）0 的解集； 第 3 页（共 17 页） （2）若不等式 f（x）0 的解集为 R，求实数的取值范围 18 （16 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC3，BAC90，点 D，E 分别为 BC， AC 边上的动点，且ADE45设 BDx，DEC 的面积为 y （1）试用 x 的代数式表示 EC； （2）当 x 为何值时
5、，DEC 的面积最大？求出最大面积 19（16 分） 已知椭圆 C：+1 的离心率为， 且过点， 其右焦点为 F 点 P 是椭圆 C 上异于长轴端点的任意一点， 连接 PF 并延长交椭圆 C 于点 Q， 线段 PQ 的中 点为 M，O 为坐标原点，且直线 OM 与右准线 l 交于点 N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 MN2OM，求点 P 的坐标 20 （16 分）已知 aR，函数 f（x）x36x2+3（4a）x （1）若曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线与直线 x3y0 垂直，求 a 的值； （2）若函数 f（x）在区间（1，4）上单调递减，求 a 的取值范围； （3
6、）求函数 f（x）在 x1，3上的最小值 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修 历史）历史） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：共一、填空题：共 14 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案写在答题卡相应位置上分请把答案写在答题卡相应位置上 1 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是 （1，0） 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在 x 轴正半轴上，且 p2， 由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线 y
7、24x 的开口向右，其焦点在 x 轴正半轴上， 且 p2， 则抛物线的焦点坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向 2 （5 分） 某学校共有 160 名教职工，其中教师 120 名， 行政人员 16 名，后勤人员 24 名 为 了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，现拟抽取一个容量为 n 的样本，其中教师 代表抽取了 15 人，则 n 的值为 20 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：某学校共有 160 名教职工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名 抽取一个容量为 n 的样本，其中教师代表
8、抽取了 15 人， 则， 解得 n20， n 的值为 20 故答案为：20 【点评】本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分）某班 60 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40，100上，其频率分布直方 图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为 45 第 5 页（共 17 页） 【分析】由频率分布直方图得成绩不低于 60 分的频率，由此能求出成绩不低于 60 分的 人数 【解答】解：由频率分布直方图得成绩不低于 60 分的频率为： 1（0.010+0.015）100.75， 成绩不低于 60 分的人数为 600.7545 故答案为：
9、45 【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 4 （5 分）根据如图所示算法流程图，则输出 E 的值是 9 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，n1 满足条件 n6，执行循环体，S1，n3 满足条件 n6，执行循环体，S4，n5 满足条件 n6，执行循环体，S9，n7 第 6 页（共 17 页） 此时，不满足条件 n6，退出循环，输出 S 的值为 9 故答案为：9 【点评】本题考查了程序框图的
10、应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）已知一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球从中 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 0.4 【分析】从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n10，这 2 只球颜色相同包含 的基本事件个数 m4，由此能求出这 2 只球颜色相同的概率 【解答】解：一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球 从中一次随机摸出 2 只球， 基本事件总数 n10， 这 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m4， 这 2 只球颜色相同的概率为 p 故答
11、案为：0.4 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 6 （5 分） “x1”是“x2x”的 充分不必要 条件 【分析】由题意把 x2x，解出来得 x1 或 x0，然后根据命题 x1 与命题 x1 或 x 0，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断 【解答】解：x2x， x1 或 x0， x1x2x， x1 是 x2x 充分不必要， 故答案为充分不必要 【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题 7 （5 分）函数 ylg（12+xx2）的定义域是 x|3x4 【分析】令 12+xx20，解不等式即可 【
12、解答】解：由 12+xx20，即 x2x120 解得3x4 第 7 页（共 17 页） 所以函数的定义域为x|3x4 故答案为：x|3x4 【点评】本题考查函数定义域的求解，属基础题，难度不大 8 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y+4 的最大值为 9 【分析】画出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线 过 A（1，2）时，z 值最大，求解即可 【解答】解：画出实数 x，y 满足约束条件表示的平面区域， 如图所示； 作出目标函数 zx+2y+4 对应的直线， 当直线 zx+2y+4 过 A 时，其纵截距最大，即 z 最大， 由， 解得 A（1，2）
13、 ， 此时 z 取得最大值为 9； 所以目标函数 zx+2y+4 的最大值为 9 故答案为：9 【点评】本题考查了画不等式组表示的平面区域，利用数形结合求函数最值的应用问题 9 （5 分）若双曲线（a0）的一条渐近线方程为 3x2y0，则 a 2 【分析】求出双曲线（a0）的渐近线和 3x2y0 相比较，得到 a 的值 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：双曲线（a0）的渐近线方程是， ，解得 a2 答案：2 【点评】本题考查双曲线的渐近线，比较简单，注意不要和椭圆弄混了 10 （5 分）函数的单调减区间为 【分析】求出导函数，利用导函数的符号小于 0，求解即可 【解答】解：函数，函数的定
14、义域为：x|x0 可得 f（x）2x， 由 2x0，可得 x（0， 故答案为： （0， 【点评】本题考查函数的导数的应用，减函数的解法，考查计算能力 11 （5 分）若“xR，x2+2xa0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 （1，+） 【分析】由题意结合二次函数的图象可得判别式大于 0，解不等式即可得到所求范围 【解答】解：若“xR，x2+2xa0”是真命题， 可得0，即 4+4a0， 解得 a1 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查不等式成立问题解法，注意运用判别式大于 0，考查运算能力，属于基 础题 12 （5 分）函数在区间0，2上的最大值为 【分析】利用导数研究函数的单调性，进
15、而求出最大值即可 【解答】解：f（x）x+sinx， f（x）+cosx， 令 f（x）0，得+cosx0， 又 x0，2，所以 0x或x2， 第 9 页（共 17 页） f（x）在0，和，2上是增函数； f（x）在0，2上的最大值为：f（）或 f（2） ， 而 f（）f（2）， 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属基础题 13 （5 分）已知 x，y0，则的最小值为 2 【分析】 由 x， y0， 则， 设t， t0， 则 （t+1） +2，根据基本不等式即可求出 【解答】解：x，y0，则， 设t，t0， 则（t+1）+2224 22， 当且仅当 t+1，
16、即 t1 时取等号，此时 xy， 故的最小值为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查了函数的最值问题，以及基本不等式在最值中的应用，属于中档题 14 （5 分）如图，椭圆的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为 F，上 顶点为 C， 线段 BC 的中点为 M， 直线 AM 与椭圆的另一个交点为 D， 且 DF 垂直于 x 轴， 第 10 页（共 17 页） 则椭圆的离心率为 【分析】由已知分别求得 A，B，C 的坐标，求出 M 的坐标，得到 AM 的方程，取 xc 求得 D 的坐标，代入椭圆方程求解 【解答】解：由已知可得，A（a，0） ，B（a，0） ，C（0，b） ， 则 M（） ， ，则 A
17、M 所在直线方程为 y 取 xc，可得 D（c，） ，代入椭圆方程， 可得，即 整理得：5c2+ac4a20， 则 ca（舍） ，或 5c4a， e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 二、解答题：共二、解答题：共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （14 分） （1）求经过点 P（2，4）的抛物线的标准方程； （2）求以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方 程 【分析
18、】 （1）设抛物线的标准方程为 y22px（p0） 利用已知条件求解即可 第 11 页（共 17 页） （2）由题意得双曲线的焦点在 x 轴上，故可设其标准方程，通过椭圆长轴两 端点分别为（5，0） ， （5，0） ，焦点为（4，0） ， （4，0） ，转化求解即可 【解答】解： （1）由题意得抛物线的焦点在 x 轴的负半轴或轴的正半轴 若抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，设其标准方程为 y22px（p0） 因为抛物线过点 P（2，4） ，所以 162p（2） ，p4，所以 y28x（3 分） 若抛物线的焦点在轴的正半轴上，设其标准方程为 x22py（p0） 因为抛物线过点 P（2，4） ，所
19、以 42p4，所以 x2y 综上，所求抛物线的标准方程为 y28x 或 x2y（6 分） （2）由题意得双曲线的焦点在 x 轴上，故可设其标准方程为（a0，b0） ， 半焦距为 c， 因为椭圆长轴两端点分别为（5，0） ， （5，0） ，焦点为（4，0） ， （4，0） ， c5，a4，b2c2a29，故所求双曲线的标准方程为（14 分） 【点评】本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 16 （14 分）已知 a0，b0，直线经过点（1，2） （1）求 ab 的最小值； （2）求 a+2b 的最小值 【分析】 （1）根据直线过点（1，2）即可得出，根据 a0，b0 即可
20、 得出，从而求出 ab 的最小值； （ 2 ） 可 得 出， 根 据 基 本 不 等 式 即 可 求 出 ，从而得出 a+2b 的最小值 【解答】解：直线过点（1，2） ； ； （1）a0，b0； 第 12 页（共 17 页） ，当且仅当，即 a2，b4 时取等号； ab8，即 ab 的最小值为 8； （2）， 当且仅当，即 ab3 时取等号； a+2b 最小值为 9 【点评】考查直线的方程和直线上点的坐标的关系，基本不等式在求最值时的应用，以 及不等式的性质 17 （14 分）已知函数 f（x）（m+1）x2mx+1 （1）当 m5 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若不等式 f（x
21、）0 的解集为 R，求实数的取值范围 【分析】 （1）求出 m5 时一元二次不等式 f（x）0 的解集即可； （2）讨论 m 的取值，求出不等式（m+1）x2mx+10 的解集为 R 时 m 的取值范围 【解答】解： （1）当 m5 时，f（x）6x25x+1， 不等式 f（x）0 即为 6x25x+10， 解得 x或 x， 该不等式的解集为；（5 分） （2）由题意得（m+1）x2mx+10 的解集为 R， 当 m1 时，该不等式的解集为（1，+） ，不符合题意，舍去； 当 m1 时，不符合题意，舍去； 当 m1 时，（m）24（m+1）0，解得； 综上所述，实数 m 的取值范围是（14 分
22、） 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是基础题 18 （16 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC3，BAC90，点 D，E 分别为 BC， AC 边上的动点，且ADE45设 BDx，DEC 的面积为 y （1）试用 x 的代数式表示 EC； （2）当 x 为何值时，DEC 的面积最大？求出最大面积 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （1）通过三角形相似转化求解即可 （2）求出三角形的面积，利用函数的导数，求解函数的极值判断函数的单调性，然后求 解最值 【解答】解： （1）在ABC 中，ADCBAD+BADE+CDE， 又BADE45，则B
23、ADCDE（2 分） 在BAD 和CDE 中，由得BADCDE，（4 分） 所以因直角ABC 中，ABAC3，则，所以， 代入；（6 分） （2）DEC的面积为y，则 ，（9 分） 则0，得（12 分） 当时，y0，所以 y 在上单调递增； 当时，y0，所以 y 在上单调递减（14 分） 所以当时， 答：当时，DEC 的面积最大，最大面积为（16 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 19（16 分） 已知椭圆 C：+1 的离心率为， 且过点， 其右焦点为 F 点 P 是椭圆 C 上异于长轴端点的任意一点， 连接 PF 并延长交椭圆 C 于点 Q，
24、 线段 PQ 的中 点为 M，O 为坐标原点，且直线 OM 与右准线 l 交于点 N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 MN2OM，求点 P 的坐标 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （1）由离心率得出 a、b、c 的等量关系，再将点 A 的坐标代入椭圆方程，可求 出 a、b、c 的值，从而得出椭圆 C 的标准方程； （2）解法 1：设点 P（x0，y0） （y00） ，对 PF 与 x 轴是否垂直进行分类讨论，在两种情 况下先求出中点 M 的坐标，写出直线 OM 的方程，并求出点 N 的坐标，结合条件 MN 2OM 以及点 P 的坐标椭圆 C 的方程可求出点 P 的坐标； 解法
25、 2：对直线 PQ 与 x 轴是否垂直进行分类讨论，在第一种情况 PQx 轴时，分别求 出点 M、N 的坐标，并对条件 MN2OM 进行验证是否满足题意； 第二种情况就是直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 yk（x1） （k0） ，将直 线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，并求出线段 PQ 的中点 M 的坐标， 由 MN2ON 得出 k 的值，从而得出点 P 的坐标 【解答】解： （1）由题意可知解得，bc1， 所以椭圆 C 的标准方程为； （2）解法 1：设 P（x0，y0） （） 当 x01 时，M 点坐标为（1，0） ，N 点坐标为（2，0） ，MN2OM
26、，不符合题意； 当 x01 时，直线 PF 的方程为，代入 C 的方程，消去 y 整理得 ， 第 15 页（共 17 页） 所以 PQ 中点 M 的横坐标， 因为 MN2OM，椭圆 C 的右准线为 x2，所以， 从而，即（12 分） 又因为，所以，解得 x00 或， 故点 P 的坐标为（0，1）或； 解法 2：当直线 PQ 的斜率不存在时，M 点坐标为（1，0） ，N 点坐标为（2，0） ，MN 2OM，不符合题意； 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ：yk（x1） ， 联立得（1+2k2）x24k2x+2k220， 所以 PQ 中点 M 的横坐标， 因为 MN2OM，椭圆 C 的右准线
27、为 x2，所以， 从而，解之得 k1 当 k1 时，PQ：yx1，联立得 P（0，1）或； 当 k1 时，PQ：yx+1，联立得 P（0，1）或 故点 P 的坐标为（0，1）或 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，问题的关键在于求出一些关键点的坐标与直 线的方程，考查计算能力与转化能力，属于难题 第 16 页（共 17 页） 20 （16 分）已知 aR，函数 f（x）x36x2+3（4a）x （1）若曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线与直线 x3y0 垂直，求 a 的值； （2）若函数 f（x）在区间（1，4）上单调递减，求 a 的取值范围； （3）求函数 f（x）在 x1，3
28、上的最小值 【分析】 （1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出 a 的值即可； （2）求出函数的导数，分离参数得到 ax24x+4 在（1，4）上恒成立，求出 a 的范围 即可； （3）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即 可 【解答】解： （1）因 f（x）3x212x+123a，则 kf（3）2736+123a33a 而直线 x3y0 的斜率为，则 k33a3，得 a2 （3 分） （2）由 f（x）在（1，4）上单调递减， 得 f（x）3x212x+123a0 在（1，4）上恒成立， 即 ax24x+4 在（1，4）上恒成立，得 a4 （6 分）
29、（3）由于 f（x）3（x2）23a，1x3，所以 当 a0 时，f（x）0，f（x）在1，3上递增， 故 f（x）minf（1）73a； 当 a1 时，f（x）0，f（x）在1，3上递减， 故 f（x）minf（3）99a； （9 分） 当 0a1 时，由 f（x）0 得，1x1x23 f（x）在1，x1上是增函数，在x1，x2上是减函数，在x2，3上是增函数 f（x）在 x1，3上最小值只能是 f（1）或（11 分） 令（0，1） ，则， f（1）f（x2）（73t2）（2t36t2+8）（t+1）2（2t1） ，（13 分） 于是，当时，f（1）f（x2） ；当时，f（1）f（x2） 所以，当时，f（x）minf（1）73a； 当时， （15 分） 第 17 页（共 17 页） 综上，f（x）在x1，3上的最小值为 （16 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 综合题