1、2018-2019 学年江苏省苏州市常熟市高二（下） 期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请把答案填写在答题卷相应的位分，请把答案填写在答题卷相应的位 置上置上. 1 （5 分）已知复数 z 满足 z （1+i）1i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 2 （5 分）已知集合 Ax|0，Bx|x22x30，xR，则 AB 3 （5 分）已知幂函数 f（x）过点（27，） ，则 f（x） 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的 交
2、点横坐标为，则 cos2 的值是 5 （5 分）已知 4sin（）cos，则 tan 的值是 6 （5 分）计算：2lg2+lg 7 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 A45，C75，a1， 则 b 8 （5 分）已知函数 f（x），若 f（f（0） ）2，则 a 9 （5 分）若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x）0，f（x+2）对任意 xR 恒 成立，则 f（2019） 10 （5 分）已知函数 f（x）lg对任意两个不相等的实数 x1，x23，+ ） ，都有不
3、等式0 成立，则实数 a 的取值范围是 11 （5 分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l4a（其中 a 为正方形的边长） ，二维 测度（面积）Sa2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S6a2（其中 a 为正方 形的边长） ，三维测度（体积）Va3；应用合情推理，若四维空间中， “超立方”的三维 测度 V4a3，则其四维测度 W 12 （5 分）已知 0，则 cos（）+sin（）的最小值是 13 （5 分） 设定义在 R 上的奇函数 f （x） 满足： x0 时， f （x） 1+t （其中 t 为常数） 若 第 2 页（共 19 页） a
4、ef（e） ，bf（1） ，c2f（2） ，则 a，b，c 的大小关系是 （用“”连 接） 14 （5 分）已知 k 为常数，函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）kx+1 有 且只有 2 个不同的解，则实数 k 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤. 15已知复数 z（mR，i 是虚数单位） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2） 设 是 z 的共轭复数， 复数 +2
5、z 在复平面上对应的点在第四象限， 求 m 的取值范围 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且ccos A（2ba）cosC （1）求角 C； （2）若 A，ABC 的面积为，D 为 AB 的中点，求 sinBCD 17设函数 f（x）sin（）+sin（x+） ，其中 05，已知 f（）0 （1）求 ； （2）将函数 yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍（纵坐标不变） ，再将得 到图象向右平移个单位，得到函数 yg（x）的图象，求 g（x）在上 的取值范围 18如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道已知小区某处
6、三幢房 屋分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开 挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为铺设三条地下天燃气管线 PO，PA，PB，已知 OA 40 米，AOB，记APQrad，该三条地下天燃气管线的总长度为 y 米 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最 小值 第 3 页（共 19 页） 19已知函数 f（x）3x，xR （1）解方程：f（2x）f（x+1）10； （2）设 a0，求函数 g（x）f（x）+a9x在区间0，1上的最大值 M（a）的
7、表达式； （3）若 f（x2）+f（x3）f（x2）f（x3）且 f（x1）+f（x2）+f（x3）f（x1）f（x2）f（x3） ， 求 x1的最大值 20设函数 f（x）ax1lnx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数在（0，+）时恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若函数，求证：函数 g（x）的极大值小于 1 第 4 页（共 19 页） 2018-2019 学年江苏省苏州市常熟市高二 （下） 期中数学试卷 （文学年江苏省苏州市常熟市高二 （下） 期中数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14
8、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请把答案填写在答题卷相应的位分，请把答案填写在答题卷相应的位 置上置上. 1 （5 分）已知复数 z 满足 z （1+i）1i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 1 【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出 【解答】解：z （1+i）1i， z i， |z|1， 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|0，Bx|x22x30，xR，则 AB x|5x 1 【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合
9、Ax|0x|5x2， Bx|x22x30，xRx|x1 或 x3， ABx|5x1 故答案为：x|5x1 【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式 和一元二次不等式的合理运用 3 （5 分）已知幂函数 f（x）过点（27，） ，则 f（x） ，x0 【分析】由幂函数 f（x）xa过点（27，） ，得 a，由此能求出 f（x）的值 第 5 页（共 19 页） 【解答】解：幂函数 f（x）xa过点（27，） ， f（27）27a， 解得 a， f（x）x，x0 故答案为：x，x0 【点评】本题考查函数的表达式的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力
10、，考查函数与方程思想，是基础题 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的 交点横坐标为，则 cos2 的值是 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义求得 cos 的值， 再利用二倍角的余弦公式， 求得 cos2 的值 【解答】解：平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位 圆的交点横坐标为， 则 cos，cos22cos211， 故答案为： 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础 题 5 （5 分）已知 4sin（）cos，则 tan 的值是 【分析】直接利用三角函数
11、关系式的变换和诱导公式的应用求出结果 【解答】解：已知 4sin（）cos， 故：4sincos， 解得：tan 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，诱导公式的应用，主要考察学 生的运算能力和转换能力，属于基础题型 第 6 页（共 19 页） 6 （5 分）计算：2lg2+lg 1 【分析】利用对数的运算法则直接求解 【解答】解：2lg2+lglg4+lglg101 故答案为：1 【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且
12、A45，C75，a1， 则 b 【分析】由已知利用三角形内角和定理可求 B 的值，根据正弦定理可求 b 的值 【解答】解：A45，C75，a1， B180AC60， 由正弦定理可得：b 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转 化思想，属于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x），若 f（f（0） ）2，则 a 1 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（0）0+11，据此可得 f（f（0） ）f（1） 1a2，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x），则 f（0）0+11， 则 f（f（0） ）f（1）1a2， 解可得 a
13、1； 故答案为：1 【点评】本题考查分段函数的求值，注意分析函数解析式的形式，属于基础题 9 （5 分）若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x）0，f（x+2）对任意 xR 恒 第 7 页（共 19 页） 成立，则 f（2019） 1 【分析】根据 f（x+2），f（x+2+2）f（x） ，f（x+4） f（x） ，即 f（x）的周期为 4，所以 f（2019）f（3），再根据偶函数可得 f （1）1 【解答】解：f（x+2），f（x+2+2）f（x） ， f（x+4）f（x） ，即 f（x）的周期为 4， f（2019）f（4504+3）f（3）f（1+2）， x1 时，f（1+2）
14、，f（1）， 因为 f（x）为偶函数，所以 f（1）f（1） ， f（1）21，f（x）0，f（1）1， f（2019）1， 故答案为：1 【点评】本题考查了函数恒成立问题，属中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）lg对任意两个不相等的实数 x1，x23，+ ） ，都有不等式0 成立，则实数 a 的取值范围是 ，2） 【分析】根据题意，设 t，则 ylgt，分析可得 f（x）在区间3，+ ）上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法分析可得 t在3， +）上为增函数且 t0 恒成立，则有，解可得 a 的取值范围，即可 得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）lg，设 t， 则 ylgt，
15、 第 8 页（共 19 页） 若对任意两个不相等的实数 x1，x23，+） ，都有不等式0 成立，则 f（x）在区间3，+）上为增函数， 而 ylgt 为增函数， 则对于 t，则有 t在3，+）上为增函数且 t0 恒成立， 则有，解可得a2，即 a 的取值范围为，2） ； 故答案为：，2） 【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数的定义域以及二次函数的性质，属于基 础题 11 （5 分）二维空间中，正方形的一维测度（周长）l4a（其中 a 为正方形的边长） ，二维 测度（面积）Sa2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S6a2（其中 a 为正方 形的边长） ，三维测度（体积）Va3；应用
16、合情推理，若四维空间中， “超立方”的三维 测度 V4a3，则其四维测度 W 【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从 而得到 WV，从而求出所求 【解答】解：二维空间中，正方形的一维测度（周长）l4a（其中 a 为正方形的边长） ， 二维测度（面积）Sa2； 三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S6a2（其中 a 为正方形的边长） ，三维测度 （体积）Va3； 应用合情推理，若四维空间中， “超立方”的三维测度 V4a3，则其四维测度 W， 故答案为： 【点评】本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所 给的示例及类比推理的规则
17、得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题 第 9 页（共 19 页） 12 （5 分）已知 0，则 cos（）+sin（）的最小值是 2 【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成一元二次函数的形式， 进一步利用函数的定义域求出函数的值域最后求出函数的最小值 【解答】解：已知 0， 所以：cos（）+sin（） ， ， ， 设， 则：原始转换为：2t2+t1， 由于：0， 故：， 所以：， 当 t， 函数的最小值为 故答案为：2 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，一元二次函数关系式的变换的 应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 13 （5
18、分） 设定义在 R 上的奇函数 f （x） 满足： x0 时， f （x） 1+t （其中 t 为常数） 若 aef（e） ，bf（1） ，c2f（2） ，则 a，b，c 的大小关系是 acb （用“” 连接） 【分析】根据 f（x）是 R 上的奇函数，并且 x0 时，f（x）1+t 即可得出 f（0） t0，从而得出 x0 时，从而得出，求导得出 ，根据 x0 即可得出（xf（x） ）0，从而得出函数 xf（x）在（ ，0上单调递增，并容易得出 xf（x）为 R 上的偶函数，从而得出 xf（x）在0，+） 第 10 页（共 19 页） 上单调递减，从而 aef（e） ，且 b1f（1） ，c
19、2f（2） ，从而得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且 x0 时，f（x）1+t； f（0）11+t0； t0； x0 时，； ； ； x0； 1x1，0ex1； ； ； xf（x）在（，0上单调递增； 又 xf（x）是 R 上的偶函数； xf（x）在0，+）上单调递减； aef（e）ef（e） ，bf（1）1f（1） ，c2f（2） ，且 e21； ef（e）2f（2）1f（1） ； acb 故答案为：acb 【点评】考查奇函数、偶函数的定义，基本初等函数的求导，以及根据导数符号判断函 数单调性的方法，不等式的性质，以及偶函数在对称区间上的单调
20、性 14 （5 分）已知 k 为常数，函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）kx+1 有 且只有 2 个不同的解，则实数 k 的取值范围是 k4 或 k 【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为 f（x）与 ykx+1 有两个不同的交点，利 用数形结合进行转化求解即可 【解答】解：当 x0 时，f（x）1+，关于（1，1）对称， 第 11 页（共 19 页） 作出函数 f（x）的图象如图， 要使方程 f（x）kx+1 有且只有 2 个不同的解， 等价为 f（x）与 ykx+1 有两个不同的交点， 当 k0 时，y1 与 f（x）没有交点，不满足条件 当 k0 时，要使 f（x）与 ykx
21、+1 有两个不同的交点， 则 ykx+1 与 yx3，有两个不同的交点， 当 x0 时，f（x）x2，设切点坐标为（a，a3） ， 切线斜率 ka2，则切线方程为 ya3a2（xa）a2xa3， 即 ya2xa3，切线方程为 ykx+1，得a31，得 a1，则 k， 当 x0，k0 时，ykx+1 与 f（x）1+，有两个不同的交点， 即 kx+11+，即 kx，在 0x1 时，有两个不同的交点， 即 k， 当 0x1 时， （x）2（，0） ， 4， 此时 k4， 综上 k4 或 k， 故答案为：k4 或 k 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象 第
22、12 页（共 19 页） 交点问题，利用数形结合是解决本题的关键 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤. 15已知复数 z（mR，i 是虚数单位） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2） 设 是 z 的共轭复数， 复数 +2z 在复平面上对应的点在第四象限， 求 m 的取值范围 【分析】 （1）化简 z12m+（2m+1）i，若 z 是纯虚数，只需 12m0 且 2m+10 即 可； （2）求得 z12m
23、（2m+1）i，得 +2z36m+（2m+1）i，只需即可 【解答】解： （1）z12m+（2m+1）i z 是纯虚数，12m0 且 2m+10， 解得 m； （2） 是 z 的共轭复数， 12m（2m+1）i +2z12m（2m+1）i+212m+（2m+1）i 36m+（2m+1）i 复数 +2z 在复平面上对应的点在第一象限， ，解得m，即实数 m 的取值范围为（，） 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表 示法及其几何意义，是基础题 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且ccos A（2ba）cosC （1）求
24、角 C； （2）若 A，ABC 的面积为，D 为 AB 的中点，求 sinBCD 【分析】 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得： 2sinBccosCsinB，由 sinB0，可求 cosC，结合 C 的范围可求 C 的值 （2）利用三角形内角和定理可求 B，利用三角形面积公式可求 a，在DBC 中，利用余 弦定理可求 CD，在DBC 中，由正弦定理可得 sinBCD 的值 第 13 页（共 19 页） 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（1） 在ABC 中， ccos A （2ba） cosC， 可得： 2bccosC（ccosA+acosC） ， &
25、nbsp;由正弦定理可得：2sinBccosC（sinCcosA+sinAcosC）sinB， sinB0， cosC， 0C， C6 分 （2）A，C，可得：ABC 为等腰三角形，B， SABCa2sinB， a2， 在DBC 中，由余弦定理可得：CD2DB2+BC22DBBCcosB7，可得：CD， 在DBC 中，由正弦定理可得：，即：， sinBCD12 分 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角 形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中 档题 17设函数 f（x）sin（）+sin（x+） ，其中 0
26、5，已知 f（）0 （1）求 ； （2）将函数 yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍（纵坐标不变） ，再将得 到图象向右平移个单位，得到函数 yg（x）的图象，求 g（x）在上 的取值范围 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由 f（）0，求得 ，可得函数 的解析式 （2）利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数 的定义域和值域求得 g（x）在上的取值范围 第 14 页（共 19 页） 【解答】 解： （1） 函数 f （x） sin （） +sin （x+） sinx+cosx+cosx sin（x+） ， 其中 05， 已
27、知 f（）sin（+）0，+k，kZ，即 6k2，kZ， 4，f（x）sin（4x+） （2）将函数 yf（x）sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍（纵 坐标不变） ，可得 ysin（x+）的图象， 再将得到图象向右平移个单位，得到函数 yg（x）sin（x+）sin （x+）的图象 在上，x+，sin（x+），1，g（x）， ，即 g（x）的取值范围为， 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函 数的定义域和值域，属于中档题 18如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道已知小区某处三幢房 屋分别位于扇形 OAB 的三
28、个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开 挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为铺设三条地下天燃气管线 PO，PA，PB，已知 OA 40 米，AOB，记APQrad，该三条地下天燃气管线的总长度为 y 米 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最 小值 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （1）利用正弦定理可求得 PA、PO，从而得到 y20，其 中 的取值范围是（，） ； （2）利用导数求得单调性，可得极小值且为 y 的最小值 【解答】解： （1）因为 Q 为弧 AB
29、 的中点， 有对称性可知，PAPB， AOPBOP， 又APO，OAP， 由正弦定理，得， 又 AO40，得 PA，OP， 所以 yPA+PB+OP2PA+OP+ 20， 由题意， 的取值范围是（，） ； （2）令 f（），（，） ， 则 f（），令 f（）0，得 ， 列表： （，） （，） f（） 0 + f（） 递减 极小值 递增 所以当 时，OP米，f（）有唯一极小值 f（） 此时 y 有最小值 40米 答：当 OP 长为米时，此处天燃气管线的长度最短为 40米 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题为导数背景
30、下的应用题，关键在于利用题设条件构建数学模型，这些数学 模型通常是三次函数、三角函数或分式函数，建模时注意自变量的合适选取及其相应的 范围的确定解模时可以利用导数等工具讨论其性质 19已知函数 f（x）3x，xR （1）解方程：f（2x）f（x+1）10； （2）设 a0，求函数 g（x）f（x）+a9x在区间0，1上的最大值 M（a）的表达式； （3）若 f（x2）+f（x3）f（x2）f（x3）且 f（x1）+f（x2）+f（x3）f（x1）f（x2）f（x3） ， 求 x1的最大值 【分析】 （1）令 t3x，解方程 t23t100 后可得 xlog3 5 （2）令 t3x，
31、则 t1，3，分类讨论可求 h（t）at2+t 的最大值 M（a）的表达式 （3） 根据题设有 3， 利用基本不等式求出 3的最小值后可得 3的 最大值从而得到 x1的最大值 【解答】解（1）由题意，32x3x+1100，解得 3x5，3x2（舍去） 所以原方程的解为：xlog35 （2）g（x）3x+a9x，x0，1，令 t3x，则 t1，3， 设函数 h（t）at2+t，则 h（t）at2+ta（t+）2 当 01，即 a时，M（a）h（1）a+1； 当3，即a0 时，M（a）h（3）9a+3； 当 13，即时，M（a）h（） 第 17 页（共 19 页） 综上，M（a） （3）由题意，得
32、 3+333， 所以 31+， 其中 t33+322，所以 t4， 由 31+知 3的最大值是， 又 y3x单调递增，所以 3，x1log3， 即 x1的最大值为 log341 【点评】本题考查了复合函数的值域一般通过换元来处理，通过换元把复杂函数转化为 基本初等函数（如二次函数、指数函数、对数函数等）的值域，换元时注意中间变量的 范围二元等式条件下的最值问题，往往利用线性规划或基本不等式来处理属中档题 20设函数 f（x）ax1lnx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数在（0，+）时恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若函数，求证：函数 g（x）的极大值小于 1
33、 【分析】 （1）对 f（x）求导，分 a0 和 a0 两种情况讨论单调性； （2）函数在（0，+）时恒成立，即 a在（0，+）上恒成立， 利用分离参数法求出函数 h（x）的最大值； （3）g（x），对 g（x）求导，判断单调性，然后求出极值证明其小于 1 【解答】解： （1）f'（x）（x0） ， 当 a0 时，f'（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，令 f'（x）0，则 x， 第 18 页（共 19 页） 当 0x时，f'（x）0；当 x时，f'（x）0， f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增； （2）函数
34、 f在（0，+）时恒成立， 即 a在（0，+）上恒成立， 令 h（x）（x0） ，则 h'（x）， 令 h'（x）0，则 x， 当时，h'（x）0；当 x时，h'（x）0， h（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， ，a， a 的取值范围为，+） ； （3）g（x0） ，则 g'（x）， 令 F（x）1+lnx（x0） ，显然 F（x）在（0，+）上单调递减， 又 F（3）ln30，F（4）ln40， x0（3，4） ，使得 F（x0）0， 当 0xx0时，g'（x）0；当 xx0时，g（x）0， g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减， g（x）极大值g（x0）1 g（x）的极大值小于 1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和构造法，属 中档题