1、2018-2019 学年江苏省无锡市江阴市两校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分.请把答案直接填在答题卡相应位请把答案直接填在答题卡相应位 置上置上. 1 （5 分）命题“x0，x2+x1”的否定是 2 （5 分）设集合 A1，2，3，5，8，Bx|2x4，则 AB 3 （5 分）已知复数（i 是虚数单位） ，则|z| 4 （5 分）函数的定义域为 5 （5 分）设幂函数 f（x）kx的图象经过点（9，3） ，则 k+ 6 （5 分）若函数 f（x+1）x22x，则 f（x）的解析式 7（5 分） 已知 f （x
2、） x2 （m+2） x+2 在1， 3上是单调函数， 则实数 m 的取值范围为 8 （5 分） “log2alog2b”是“2a2b”的 条件 （充分不必要、必要不充分、充要、 既不充分也不必要） 9 （5 分）函数 f（x）ln的值域是 10（5 分） 函数是定义在 （2， 2） 上的奇函数， 且 则 b2a 11 （5 分）已知定义域为（，0）（0，+）的偶函数 f（x）在（0，+）上为增函 数，且 f（2）0，则不等式 f（x+1）0 的解集为 12 （5 分）已知不等式 12x+1+a4x0 对一切 x1+）恒成立，则实数 a 的取值范围 是 13 （5 分）圆与椭圆有很多类似的性质
3、，如圆的面积为 r2（r 为圆的半径） ，椭圆的面积为 ab（a，b 分别为椭圆的长、短半轴的长） 某同学经研究发现：如图 1，点 T 为 x 轴上 一点，TA，TB 为圆 x2+y2r2的切线，A，B 为切点，OT 与 AB 交于点 P，则 OPOT r2；如图 2，点 T 为 x 轴上一点，TA，TB 为椭圆切线，A，B 为切点，OT 与 AB 交于点 P，则 OPOT 第 2 页（共 16 页） 14 （5 分）已知函数，若 f（x）1 有 3 个零点，则 a 的取值范 围是 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程
4、或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15 （14 分）已知复数 zm2m6+（m2+5m+6）i， （mR，i 为虚数单位） （1）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值； （2）若复数 z 对应的点在复平面内的第二象限，求实数 m 的取值范围 16 （14 分）已知集合，Bx|x22xa（a+2）0 （1）当 a4 时，求 AB； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 17 （14 分）用合适的方法证明： （1）已知 a，b 都是正数，求证：a4+b4ab3+a3b； （2）已知 xR，ax2x+1，b4x，cx22x试证明 a，b，c 至少有一个不小于 1 18 （1
5、6 分）已知函数是奇函数（a，b 为实数） （1）求 a 与 b 的值； （2）当 a，b0 时，求解下列问题： 判断并证明函数 f（x）的单调性； 求不等式的解集 19 （16 分）已知甲、乙两个旅游景点之间有一条 5km 的直线型水路，一艘游轮以 xkm/h 的 速度航行时（考虑到航线安全要求 20x50） ，每小时使用的燃料费用为万元（k 为常数，且） ，其他费用为每小时万元 第 3 页（共 16 页） （1）若游轮以 30km/h 的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的 所有费用不超过万元，求 x 的取值范围； （2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值 20 （16 分
6、）设 aR，函数 f（x）x|xa|a （1）当 a2 时，求函数的单调区间； （2）若对任意的 x2，3，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （3）当 a0 时，讨论函数 yf（x）的零点个数，并求出零点 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省无锡市江阴市两校高二（下）期中数学试学年江苏省无锡市江阴市两校高二（下）期中数学试 卷（文科）卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分.请把答案直接填在答题卡相应位请把答案直接填在答题卡相应位 置上置上. 1 （
7、5 分）命题“x0，x2+x1”的否定是 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x0，x2+x1”的否定 是： 故答案为： 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题 2 （5 分）设集合 A1，2，3，5，8，Bx|2x4，则 AB 2，3 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A1，2，3，5，8，Bx|2x4； AB2，3 故答案为：2，3 【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算 3 （5 分）已知复数（i 是虚数单位） ，则|z| 1 【分析】直接利用商的模等于模的商求解 【解答】解：
8、， |z| 故答案为：1 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题 4 （5 分）函数的定义域为 x|x1，且 x2 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，0 指数幂的底数不等于 0 联立不等式组求解 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：由，解得：x1，且 x2 函数的定义域为x|x1，且 x2 故答案为：x|x1，且 x2 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题 5 （5 分）设幂函数 f（x）kx的图象经过点（9，3） ，则 k+ 【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出 k 和 的值，再计算 k+ 的值 【解答】解：幂函数 f（x）kx的图象经过点（9，3） ， ，
9、解得 k1， k+ 故答案为： 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 6 （5 分）若函数 f（x+1）x22x，则 f（x）的解析式 x24x+3 【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简 单函数自变量之间的联系与区别 【解答】解：由 f（x+1）x22x，得到 f（x+1）（x+11）22（x+1）+2 故 f（x） （x1）22x+2（x2）21x24x+3 故答案为：x24x+3 【点评】本题考查函数解析式的求解，考查学生的整体意识和换元法的思想 7 （5 分）已知 f（x）x2（m+2）x+2 在1，3上是单调函数，则实数 m 的取值
10、范围为 m 0 或 m4 【分析】 根据题意， 求出函数的对称轴， 结合函数单调性的定义分析可得1 或 3，解可得 m 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）x2（m+2）x+2 为二次函数，其对称轴为 x， 若 f（x）在1，3上是单调函数，则有1 或3， 解可得 m0 或 m4， 第 6 页（共 16 页） 即 m 的取值范围为 m0 或 m4； 故答案为：m0 或 m4 【点评】本题考查二次函数的单调性，注意分析函数的对称轴，属于基础题 8 （5 分） “log2alog2b”是“2a2b”的 充分不必要 条件 （充分不必要、必要不充分、 充要、既不充分也不必要） 【分析
11、】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】解：由 2a2b得 ab， 由 log2alog2b 得 ab0， 即“log2alog2b”是“2a2b”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据不等式的性质是解决本题的关键 9 （5 分）函数 f（x）ln的值域是 （，0 【分析】先确定解析式中真数位置的范围，再由对数函数的单调性计算值域 【解答】解：|x|0，|x|+11， 从而 再根据对数函数的单调性，有 故所求值域为（，0 【点评】本题考查的是复合函数的值域问题，只需逐步计算范围即可 10 （5 分）函数是定义在（
12、2，2）上的奇函数，且则 b2a 2 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，利用 f（0）0，以及条件建立方程进行求解即 可 【解答】解：f（x）是定义在（2，2）上的奇函数， f（0）0，即 f（0）0，得 b0， ， 第 7 页（共 16 页） 得 a1， 则 b2a022， 故答案为：2 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合条件建立方程是解决本题的关键 11 （5 分）已知定义域为（，0）（0，+）的偶函数 f（x）在（0，+）上为增函 数，且 f（2）0，则不等式 f（x+1）0 的解集为 （，3）（1，+） 【分析】由已知中函数 f（x）是定义在实数集 R 上的偶函数，根据偶函数
13、在对称区间上 单调性相反，结合 f（x）上在（0，+）为单调增函数，易判断 f（x）在（，0上 的单调性，根据单调性的定义即可求得 【解答】解：定义域为（，0）（0，+）的偶函数 f（x）在（0，+）上为增 函数，且 f（2）0， f（x）在（，0）上为减函数，且 f（2）0， 若 f（x+1）0，则 x+12 或 x+12， 解得 x1 或 x3， 故答案为： （，3）（1，+） 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性 相反，判断 f（x）在（，0上的单调性是解答本题的关键 12 （5 分）已知不等式 12x+1+a4x0 对一切 x1+）恒成立，则实数
14、 a 的取值范围 是 （，0 【分析】分离出参数 a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可 求得最大值 【解答】解：12x+1+4xa0 可化为 a， 令 t2 x，由 x1+） ，得 t（0， ， 则 at2+2t， t2+2t（t1）2+1 在（0，上递增，当 t时t2+2t 取得最大值为，t0 时， 函数取得最小值为 0， 所以 a0 实数 a 的取值范围是： （，0 第 8 页（共 16 页） 故答案为： （，0 【点评】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问 题的能力 13 （5 分）圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为 r2（r
15、为圆的半径） ，椭圆的面积为 ab（a，b 分别为椭圆的长、短半轴的长） 某同学经研究发现：如图 1，点 T 为 x 轴上 一点，TA，TB 为圆 x2+y2r2的切线，A，B 为切点，OT 与 AB 交于点 P，则 OPOT r2；如图 2，点 T 为 x 轴上一点，TA，TB 为椭圆切线，A，B 为切点，OT 与 AB 交于点 P，则 OPOT 4 【分析】圆 x2+y2r2上一点（x0，y0）处的切线方程为 x0x+y0yr2，类似地，过椭圆 上一点（x0，y0）的切线方程为，利用切线即可得到 OPOT 的值 【解答】解：类别圆的性质：圆 x2+y2r2上一点（x0，y0）处的切线方程为
16、 x0x+y0yr2， 得过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为， 设 A 点坐标为（x0，y0） ，则椭圆的切线 AT 的方程为，令 y0，得 T 点的 横坐标为，又因为 P 点的横坐标为 x0，所以 OPOT4 故填：4 【点评】本题考查了类比推理，是一种发散思维，难度较大，属于难题 14 （5 分）已知函数，若 f（x）1 有 3 个零点，则 a 的取值范 围是 （1，2（3，+） 第 9 页（共 16 页） 【分析】根据 f（x）1，利用数形结合进行求解即可利用数形结合进行求解即可 【解答】解：由方程 f（x）1 恰有 3 个实数根， 当 x1 时，由|x+1|a10， 解得 xa2
17、或 xa，当 x1，由（xa）21，得 xa1 或 xa+1，所以 a2 1 或， 得：1a2或 a3 故答案为： （1，2（3，+） 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为 f（x）1，利用数形结合以 及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15 （14 分）已知复数 zm2m6+（m2+5m+6）i， （mR，i 为虚数单位） （1）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值； （2）若复数 z 对应的点在复
18、平面内的第二象限，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由实部等于 0 且虚部不为 0 求得 m 值； （2）由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 【解答】解： （1）z 为纯虚数，解得 m3； （2）复数 z 对应的点在复平面内的第二象限，解得2m3 第 10 页（共 16 页） 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表 示法及其几何意义，是基础题 16 （14 分）已知集合，Bx|x22xa（a+2）0 （1）当 a4 时，求 AB； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）可求出 A（1，7） ，a4 时，可求出集合 B
19、，然后进行交集的运算即可； （2）根据 ABB 即可得出 AB，并且得出 Bx|（x+a） （xa2）0，从而可讨 论 a+2 和a 的关系，根据 AB 即可得出 a 的取值范围 【解答】解： （1）A（1，7） ； 当 a4 时，Bx|x22x240（4，6） ； AB（1，6） ； （2）ABB； AB，且 Bx|（x+a） （xa2）0； 当aa+2，即 a1 时，B，AB 不成立； 当 a+2a，即 a1 时，B（a，a+2） ，则：，解得 a5； 当 a+2a，即 a1 时，B（a+2，a） ，解得 a7； 综上，实数 a 的取值范围是（，75，+） 【点评】考查描述法、区间的定义，
20、分式不等式和一元二次不等式的解法，交集、并集 的定义及运算，以及子集的定义 17 （14 分）用合适的方法证明： （1）已知 a，b 都是正数，求证：a4+b4ab3+a3b； （2）已知 xR，ax2x+1，b4x，cx22x试证明 a，b，c 至少有一个不小于 1 【分析】 （1）利用综合法通过 a4+b4（ab3+a3b）转化求解证明即可 （2）利用反证法假设 a，b，c 均小于 1，求出 a+b+c 的表达式，推出矛盾结果即可证明 a，b，c 至少有一个不小于 1 【解答】证明： （1） （综合法） 因为（a4+b4）（ab3+a3b） a3（ab）+b3（ba） （a3b3） （ab
21、） 第 11 页（共 16 页） （ab） （a2+ab+b2） （ab） （ab）2（a2+ab+b2）（6 分） 因为 a，b 都是正数，所以上式非负，所以（a4+b4）（ab3+a3b）0， 所以 a4+b4ab3+a3b（7 分） （2）假设 a，b，c 均小于 1，（9 分） 即 a1，b1，c1 则有 a+b+c3； （11 分） 而 a+b+cx2x+1+4x+x22x2x24x+52（x1）2+33（13 分） 与假设矛盾，所以原命题不成立 a，b，c 至少有一个不小于 1（14 分） （其他证明方法相应给分） 【点评】本题考查不等式的证明，反证法以及综合法的应用，考查逻辑推理
22、能力以及计 算能力 18 （16 分）已知函数是奇函数（a，b 为实数） （1）求 a 与 b 的值； （2）当 a，b0 时，求解下列问题： 判断并证明函数 f（x）的单调性； 求不等式的解集 【分析】 （1）根据题意，由函数奇偶性的对于可得对定义域内任意 实数 x 都成立，变形可得，解可得 a、b 的，即可得答案； （2），任取 x1，x2，且 x1x2，由作差法分析可得结论， ，根据题意，由函数的解析式分析可得，则原不等式等价为 f（x）f（1） ， 结合函数的单调性分析可得结论 【解答】解： （1）根据题意，由函数 f（x）是奇函数，得 f（x）f（x） ， 即对定义域内任意实数 x
23、都成立， 整理得（3ab） 32x+（2ab6） 3x+（3ab）0 对定义域内任意实数 x 都成立， 第 12 页（共 16 页） ，解得或； （2）由（1）可知，易判断 f（x）为 R 上的减函数， 证明：任取x1，x2，且x1x2，则 因为 y3x为 R 上的单调增函数， 且 x1x2， 所以，（+3）（+3） 0， 则 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， 故 f（x）为 R 上的减函数； 根据题意，f（x），则， 不等式，等价为 f（x）f（1） ， 由 f（x）在 R 上的减函数可得 x（1，+） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出 a、b
24、的值，确定函数 的解析式，属于基础题 19 （16 分）已知甲、乙两个旅游景点之间有一条 5km 的直线型水路，一艘游轮以 xkm/h 的 速度航行时（考虑到航线安全要求 20x50） ，每小时使用的燃料费用为万元（k 为常数，且） ，其他费用为每小时万元 （1）若游轮以 30km/h 的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的 所有费用不超过万元，求 x 的取值范围； （2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值 【分析】 （1）由题意求得 k 的值，再列不等式求出 x 的取值范围； （2）写出游轮单程航行所需总费用 y 关于 x 的解析式，再讨论 k 的取值范围，从而求得 y 的最
25、小值 【解答】解： （1）由题意 x30 时，每小时使用的燃料费为k，解得 k； 第 13 页（共 16 页） 此时每小时的所有费用为+， 化简得 x241x+400， 解得 1x40； 又 20x50， 20x40， x 的取值范围是20，40； （2）设该游轮单程航行所需总费用为 y 万元， 则 y （k+）+（20x50） ， 令 t，则 t， 即 y5t25kt+； 由k，得对称轴 t，； 若，即k， 则函数 y5t25kt+在，上单调递减，在，上单调递增； 故当 t，即 x时，y 取得最小值为 ymin； 若，即k， 则函数 y5t25kt+在，上单调递减， 故当 t，即 x20 时
26、，y 取得最小值为 ymin； 综上所述，当k时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元， 当k时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元 【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题 20 （16 分）设 aR，函数 f（x）x|xa|a （1）当 a2 时，求函数的单调区间； （2）若对任意的 x2，3，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （3）当 a0 时，讨论函数 yf（x）的零点个数，并求出零点 第 14 页（共 16 页） 【分析】 （1）当 a2 时，对 x 分类讨论，利 用二次函数的单调性即可得出 （2）由对任意的 x2，3，f（x）0 恒成
27、立，可得 f（x）min0对 a 分类讨论，利用 单调性即可得出 （3）对 a 分类讨论，利用二次函数单调性即可得出 【解答】解： （1）当 a2 时， （1 分） 当 x2 时，f（x）x22x2（x1）23， f（x）在（2，+）上单调递增；（2 分） 当 x2 时，f（x）x2+2x2（x1）21， f（x）在（1，2）上单调递减，在（，1）上单调递增；（3 分） 综上所述，f（x）的单调递增区间是（，1）和（2，+） ，单调递减区间是（1，2） （4 分） （2）因为对任意的 x2，3，f（x）0 恒成立，所以 f（x）min0 当 a0 时，对任意的 x2，3，f（x）x|xa|a0
28、 恒成立，所以 a0（5 分） 当 a0 时，易得在上是单调增函数， 在上是单调减函数，在a，+）上是单调增函数， 当 0a2 时，f（x）minf（2）2（2a）a0，解得，所以； （7 分） 当 2a3 时，f（x）minf（a）a0，解得 a0，所以 a 不存在； 当 a3 时，f（x）minminf（2） ，f（3）min2（a2）a，3（a3）a0， 解得，所以； （9 分） 综上得，或 （10 分） （3）当 a0 时，f（x）x|x|，函数 yf（x）的零点为 x00；（11 分） 第 15 页（共 16 页） 当 a0 时， 故当 xa 时，二次函数对称轴， f（x）在（a，+
29、）上单调递增，f（a）0； 当 xa 时，二次函数对称轴， f（x）在上单调递减，在上单调递增； （12 分） ， 1当，即 0a4 时，函数 f（x）与 x 轴只有唯一交点，即唯一零点， 由 x2axa0 解之得 函数 yf（x）的零点为或（舍去） ； （13 分） 2当，即 a4 时，函数 f（x）与 x 轴有两个交点，即两个零点，分别为 x12 和；（14 分） 3当，即 a4 时，函数 f（x）与 x 轴有三个交点，即有三个零点， 由x2+axa0 解得， 函数 yf（x）的零点为和 （15 分） 综上可得，当 a0 时，函数的零点为 0； 当 0a4 时，函数有一个零点，且零点为； 当 a4 时，有两个零点 2 和； 第 16 页（共 16 页） 当 a4 时，函数有三个零点和（16 分） 【点评】本题考查了二次函数的单调性、绝对值问题解答、一元二次方程由于不等式的 解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题